2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学案苏教版必修4

3．1.1 两角和与差的余弦1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．1．两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． [注意]2.π2±α，3π2±α的诱导公式 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α．(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α．(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α．(4)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α．名称变化：正弦――→转化余弦，余弦――→转化正弦．符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立．( ) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )解析：(1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角和的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32答案：C3．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________．解析：因为cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝265. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin α·sin π3＝15×12－265×32＝1－6210.答案：1－6210两角和与差的余弦公式的应用计算下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． 【解】 (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.两角和与差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解．1.化简下列各式的值．(1)cos 40°cos 20°－cos 70°cos 50°； (2)32cos 75°＋12sin 75°. 解：(1)cos 40°cos 20°－cos 70°·cos 50°＝cos 40°cos 20°－sin 20°sin 40°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝12.(2)32cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75° ＝cos(30°－75°) ＝cos(－45°) ＝22. 给值求值问题设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos 3α－3β2.【解】 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. 所以cos 3α－3β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53－459×23＝－53.解答给值求值题目应注意的两点(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧，如α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等．(2)角的范围问题许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．2.(1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．(2)已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sin α＝45，所以cos α＝35，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×35＋6365×45＝204325. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝23， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－53. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos β＝－34， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－74. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74 ＝35－2712.给值求角问题(1)已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β＝________．(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β的值．【解】 (1)因为α，β均为锐角， 所以sin α＝55，sin β＝31010， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α＜sin β， 所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0.故α－β＝－π4.故填－π4.(2)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β） ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.求解给值求角的三个步骤(1)求所求角的一种三角函数值． (2)确定所求角的范围．(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．3.(1)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．(2)已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，0＜α＜β＜π，求α－β 的值．解：(1)由α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π， 且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.又由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1213×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又因为α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以2β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以2β＝π， 所以β＝π2.(2)因为(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0， 所以α－β＝－2π3.对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角(和角)的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式(差式)，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2 ”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β. cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos α＝cos[(α－β)＋β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．若α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．【解析】 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π， β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝1－sin 2（α＋β）＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213 ＝－5665.【答案】 －5665(1)解答本题，易因忽视角α＋β，β－π4的范围的计算，导致由正弦值计算余弦值时符号选择出错，也容易因不能发现已知角α＋β，β－π4和所求角α＋π4之间的关系，导致无法对角α＋π4进行正确变形，进而计算cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4出现错误．(2)①应用两角差(和)的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判断终边位置．②正确分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键．1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A ．32B ．12C ．1＋32D ．3－12解析：选B ．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B ．2．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为__________．解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 答案：323．sin 195°＝__________．解析：sin 195°＝sin(90°＋105°)＝cos 105°＝cos (45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝22×12－22×32＝2－64. 答案：2－644．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________．解析：因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)且sin α＝255＞35＝sin(α＋β)，所以cos α＝55，cos(α＋β)＝－45， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525.答案：2525[学生用书P120(单独成册)])[A 基础达标]1．cos π12cos π6－sin π12·sin π6＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1解析：选B ．cos π12cos π6－sin π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝cos π4＝22，故选B ． 2．若cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )sin 2x ＝0，则x 的值可能是( )A ．π10B ．π6C ．π5D ．π4解析：选B ．因为cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )·sin 2x ＝cos 5x cos 2x ＋sin 5x sin 2x ＝cos(5x －2x )＝cos 3x ＝0，所以3x ＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π3，k ∈Z ，所以当k ＝0时，x ＝π6.3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365解析：选A ．因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513.因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.故选A ． 4．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：选B ．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos (2π－β)的值为( )A ．3365 B ．－3365C ．5465D ．－5465解析：选A ．因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos (2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. 6．已知cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－45， 即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35， 所以tan α＝sin αcos α＝34. 答案：347．若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形8．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为________．解析：sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4， 因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ， 所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4≤1， 所以－2≤m ≤ 2.答案：－2≤m ≤ 29．求下列各式的值：(1)sin 44°sin 16°－cos 44°cos 16°；(2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.解：(1)原式＝－(cos 44°cos 16°－sin 44°sin 16°)＝－cos(44°＋16°)＝－cos 60°＝－12. (2)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22. 10．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)因为sin α＝55，α为锐角． 所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； 因为cos β＝31010，β为锐角． 所以sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 因为α、β均为锐角，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4. [B 能力提升]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos A ＝________． 解析：由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，可知A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210，cos A ＝cos[⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4]＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4· cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×22＋7210×22＝35. 答案：352．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 5°－32sin 5°＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2，即A ·cos π4＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6.由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－3017，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β －π6＋π6＝85，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1517，cos β＝45.因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(选做题)已知sin α＋sin β＝22，求(cos α＋cos β)2的取值范围．解：由sin α＋sin β＝22，平方可知，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝12.①设cos α＋cos β＝m ，平方可知，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2.②①＋②得sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2＋12，整理得m 2＝32＋2cos(α－β)．又由于cos(α－β)∈[－1，1]，所以m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，72，即得0≤m 2≤72.所以(cos α＋cos β)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.。