由传递函数转换成状态空间模型
系统传递函数与状态空间
0
y c
x x 0 x x p x p x
r 1
1
2
r 1
r
r 1
11
c
12
cc
r
r 1
c x
n
n
n
0 0 0 u 1 1 1
n n n
11
1
12
2
1r
r
r 1
r 1
n
n
x x x x x x
1
2
r 1
r
r 1
n
p 1 p 0
1
1
1 p
1
1 p
1
根据微分方程写出系统的状态空间表达式
0 0 A a
1 0 a
0 1 a
n
n 1
n2
0 a a
2n 1
0 0 B 0 1
C bn an b0
bn1 an1b0
1.5.4 方框图描述导出系统状态空间表达式
5 s4
x1
u
7s 13 s 2 5s 4
y
y
u
2 s 1
x2
1 s2
x3
1 s2
选取如图所示的状态变量，基本原则是当且仅 当一阶惯性环节的输出取为状态变量。列写变
量之间的关系方程组，得
5 x1 (u x3 ) s4 2 x2 (u x3 ) s 1 1 x3 (x1 x2 ) s2
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
现代控制理论-3传递函数和状态空间模型间的转换
= 4 ⋅ 1 ⋅s+2 s +1 s +3 s + 4
G(s) = 4 ⋅ 1 ⋅ s + 2 s +1 s +3 s + 4
以下三个环节的串联
u
4
y1
1
y2
s+2 y
s +1
s+3
s+4
x1 = −x1 + 4u
y1
=
x1
xy 22
= −3x2 = x2
+
u2
x3 = −4x3 + u3
现代控制理论
Modern Control Theory (3)
俞立
浙江工业大学 信息工程学院
传递函数和状态空间模型间的转换
分解法建立复杂系统的状态空间模型 串联、并联、反馈关联
串联法：
G(s) =
4s + 8
s 3 + 8s 2 + 19s + 12
分解成
G(s) =
4(s + 2)
(s + 1)(s + 3)(s + 4)
例：求传递函数矩阵，其中状态空间模型的系数矩阵：
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
难点：求逆矩阵 (sI − A)−1
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
根据求逆矩阵的定义 (sI − A)−1 = adj(sI − A)
(sI − A) X (s) = BU (s)
X (s) = (sI − A)−1 BU (s)
由传递函数转换成状态空间模型(1)
由传递函数转换成状况空间模子——办法多!!!SISO线性定常体系高阶微分方程化为状况空间表达式外部描写←—实现问题：有了内部构造—→模仿体系内部描写实现问题解决有多种办法,办法不合时成果不合.一、直接分化法因为对上式取拉氏反变换,则按下列纪律选择状况变量,于是有写成矩阵情势式中,把这种尺度型中的A系数阵称之为友阵.只要体系状况方程的系数阵A和输入阵b具有上式的情势,c 阵的情势可以随意率性,则称之为能控尺度型.则输出方程写成矩阵情势.在须要对现实体系进行数学模子转换时,不必进行盘算就可以便利地写出状况空间模子的A.b.c矩阵的所有元素.例：已知SISO体系的传递函数如下,试求体系的能控尺度型状况空间模子.解：直接得到体系进行能控尺度型的转换,即若选（若何斟酌？）斟酌式依次对第一式求导,并带入第二式;对第二式求导,并带入第三式;依次类推,便得到写成矩阵情势式中.只要体系状况空间表达式的A阵和c 阵具有上式的情势,b阵的情势可以随意率性,则称之为能不雅尺度型从情势上看,能控尺度型和能不雅尺度型的系数阵A是互为转置,能控尺度型输入阵b和能不雅尺度型输出阵c互为转置,这种互为转置的关系被称为对偶关系.将在第六章进一步评论辩论.经由过程以上对传递函数阵的能控尺度型或能不雅尺度型转换的评论辩论,对单输入体系而言,应留意如下问题：（1）传递函数转化成能控尺度型的状况空间表达式,状况方程的构造只由传递函数阵的顶点（特点）多项式肯定,而与其零点多项式无关,零点多项式只影响输出方程的构造.（2）从能不雅尺度型的转换可以看出,系数阵A的元素仅决议于传递函数顶点多项式系数,而其零点多项式则肯定输入阵B的元素.（3）只有当传递函数零点和顶点多项式同阶时,状况,.例：求前例的能不雅尺度型的状况空间模子解：直接得到能不雅尺度型的状况空间模子,即二、串联分化法若SISO体系的传递函数顶点互异,体系传递函数分子分母写成因式相乘情势图示！！三、并联分化法（对角尺度型/约旦尺度型——特点值尺度型）（一）若SISO体系的传递函数顶点互异,则可求得对角尺度型的模子.当体系的顶点互异时,体系传递函数分子分母写成因式相乘情势写成部分分式个中,其值为选择状况变量为（绘图示意状况变量的取法）即对上式拉氏反变换,得即写成矩阵情势式中,系数矩阵A为对角阵.对角线上的元素是传递函数G（s）的顶点,即体系的特点值.b阵是元素全为1的n×1矩阵.求对角尺度型模子的输出方程中c的构造对上式拉氏反变换,得假如体系的状况方程的A阵是对角阵,暗示体系的各个变量之间是解耦的.多变量的体系解耦是庞杂体系实现准确掌握的症结问题,关于若何实现解耦掌握将在第五章评论辩论.体系的状况构造图如图所示.例：设体系的闭环传递函数如下,试求体系对角尺度型的转换,得对角尺度型的转换为（二）对SISO体系式,当其有重特点值时,可以得到约当尺度型的状况空间模子.此时模子的系数矩阵A中与重特点值对应的那些子块都是与这些特点值相对应的约当块,即其重数为j,而其余为互异的特点值,则传递函数可以用部分分式睁开成式中,,其值为.绘图示意状况变量的取法：例：设体系的闭环传递函数如下,试求体系对约当准型的状况空间模子,该体系为四阶,有一个重顶点,重数为j=2,有两个互异的顶点,按部分分式睁开可得约当尺度型的模子为。
mimo传递函数转化为状态空间模型matlab代码
MIMO传递函数转化为状态空间模型Matlab代码1. 介绍MIMO（多输入多输出）系统是指系统具有多个输入和多个输出的特性。
在控制系统领域中，MIMO系统的建模和分析是非常重要的。
传递函数和状态空间模型是两种常用的系统建模方法。
本文将介绍如何将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并给出相应的Matlab代码实现。
2. MIMO系统的传递函数表示MIMO系统的传递函数通常表示为一个矩阵，每个元素对应一个输入到一个输出的传递函数。
假设有n个输入、m个输出，则MIMO系统的传递函数可以表示为一个m×n的传递函数矩阵G(s)。
传递函数矩阵的元素可以用s表示，如G11(s)、G12(s)等。
3. MIMO系统传递函数到状态空间模型的转化方法MIMO系统的传递函数可以通过状态空间模型来表示。
状态空间模型的基本形式如下：\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \]其中，A是状态矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是传递函数零极点对应的矩阵。
MIMO系统的传递函数可以通过以下步骤转化为状态空间模型：1）将传递函数矩阵分解为多个SISO（单输入单输出）系统的传递函数；2）针对每个SISO系统，可以将其转化为状态空间模型；3）将各个SISO系统的状态空间模型组合成一个整体的MIMO系统的状态空间模型。
4. Matlab代码实现下面我们通过一个实例来演示如何用Matlab将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型。
假设传递函数矩阵为：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2}\frac{3s+2}{s^2+4s+3} \\ \frac{4s+1}{s^2+2s+1}\frac{5s+2}{s^2+3s+2} \end{bmatrix} \]我们需要将传递函数矩阵分解为四个SISO系统的传递函数：\[ G11(s) = \frac{2s+1}{s^2+3s+2} \]\[ G12(s) = \frac{3s+2}{s^2+4s+3} \]\[ G21(s) = \frac{4s+1}{s^2+2s+1} \]\[ G22(s) = \frac{5s+2}{s^2+3s+2} \]针对每个SISO系统，我们可以将其转化为状态空间模型，以G11(s)为例：```Matlab将传递函数G11(s)转化为状态空间模型num = [2, 1]; 分子系数den = [1, 3, 2]; 分母系数[A11, B11, C11, D11] = tf2ss(num, den); 转化为状态空间模型```将各个SISO系统的状态空间模型组合成整体的MIMO系统的状态空间模型：```Matlab对四个SISO系统的状态空间模型进行组合A = [A11, A12; A21, A22];B = [B11, B12; B21, B22];C = [C11, C12; C21, C22];D = [D11, D12; D21, D22];```至此，我们成功地将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并通过Matlab代码实现了这一过程。
实验一MATLAB系统地传递函数和状态空间表达式地转换
实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换一、实验目的1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法；3、掌握相应的MATLAB 函数。
二、实验原理设系统的模型如式（1.1）所示：⎩⎨⎧+=+=DCx y BuAx x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。
系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。
表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下：函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D)函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den)其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。
函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中对于多输入系统，必须确定iu 的值。
例如，若系统有三个输入u 1，u 2，u 3，则iu 必须是1、2、或3，其中1表示u 1,2表示u 2，3表示u 3。
该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。
三.实验步骤及结果1、应用MATLAB 对下列系统编程，求系统的A 、B 、C 、D 阵，然后验证传递函数是相同的。
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m%调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(H)−0.39120.01234H(H)0.033440.01234H1(H)=+ℎ(H)ℎ(H)H2(H)−0.02200.0008960H1(H)H(H)H1(H)=11+00H2(H)ℎ(H)H2(H)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715 Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952) Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。
这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。
首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。
接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。
$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。
我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。
2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。
传递函数到状态空间的实现
实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：计算机仿真一、实验目的1、理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、理解状态初值的计算方法二、实验内容1、应用MATLAB®写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的m文件。
并用相应例题验证程序的正确性。
2、完善该程序使其可以用来计算状态初值。
并用相应的例题验证程序的正确性。
3、程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况＜三、报告内容1、给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、如果做了程序的状态初值得求解，请给出相应的验证结果，及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
四、实验理论1、传递函数为 --------------------那么其状态空间模型能控标准型为：A= B=C=能观标准型为：能观能控能观能控能观2、计算状态变量初值：D= 能控能观能控(1)不含u的导数项时，则有:y (o ) y (o )I = I]y (n 」(0)-五、程序检验程序运行结果: 能控标准型：A = 0 1 0 0 0 0 1 0 00 1-2 -4 -5 -2 B = 0、1(0)--a na n■…a1们 ■ y(0) ■ [ _ C n_ C n_2 —C 2 — Ci -u(0)-X 2(0)an/ an & (1)y(0)_皿 ......... —G 0u(0) X 3(0)a =a n(-aay(0)a+ _C n ( ....................................aaaU(0)■X n ±(0)a 1......... 0 y (n「0)a一 C jU2)(0) 川(0) _1 1 0 .................... 0 一yj (0)一I0 … 0屮2)(0)一 u 的输入项，而且包含u 的导数项，则: n 1n n n 1n (n-1)(n-1) 1x 1( 0)X 2(0)I : I I IX n ( 0)(2)系统微分方程不仅包含 (1)输入一个分母首系数为 1且分子分母不同阶传递函数:5 3 4 2D =能观标准型：A =0 0 0 -21 0 0 -40 1 0 -50 0 1 -2B =5342C =0 0 0 1D =初值部分：请输入系统输出的初值=[1；1；1；1]请输入系统输入的初值=[0；0；0]x0 =12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2且分子分母同阶传递函数: 程序运行结果：能控标准型：A =0 1.0000-1.5000 -2.5000B =1C =1.5000 1.5000D =0.5000能观标准型：A =0 -1.50001.0000 -2.5000B =1.50001.5000C =1.5000 1.5000D =0.5000初值部分：请输入系统输出的初值=[1；1]请输入系统输入的初值=[0]x0 =3.50001.0000运行结果正确六、流程图七、实验小结通过本次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
matlab根据传递函数矩阵求状态空间方程
MATLAB根据传递函数矩阵求状态空间方程在探讨MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程之前，首先需要了解传递函数和状态空间方程的概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的数学方法，通常用于描述信号处理、控制系统等领域中的系统行为。
而状态空间方程则是另一种描述系统动态行为的方法，它能够全面描述系统的状态随时间的变化。
在工程领域中，状态空间方程常常用于分析系统的稳定性、控制系统的设计等问题。
在MATLAB中，我们可以利用控制工具箱提供的函数来求解传递函数矩阵对应的状态空间方程。
我们需要用tf函数将传递函数表示为MATLAB中的传递函数对象，然后利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象，从而得到对应的状态空间方程。
接下来，我们以一个具体的例子来演示MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程。
假设有如下传递函数矩阵：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2} &\frac{3s+2}{s^2+s+1} \\ \frac{s+1}{s^2+2s+1} &\frac{4s+1}{s^2+4s+3} \end{bmatrix} \]我们希望利用MATLAB求解对应的状态空间方程。
我们可以利用tf函数将传递函数矩阵表示为MATLAB中的传递函数对象：```matlabnum = {[2 1; 3 2]; [1 1; 4 1]}; % 分子矩阵den = {[1 3 2; 1 1 1]; [1 2 1; 1 4 3]}; % 分母矩阵G = tf(num,den);```接下来，我们可以利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象：```matlabsys = ss(G);```通过以上步骤，我们就可以得到对应的状态空间方程。
值得注意的是，状态空间方程通常表示为如下形式：\[ \dot{x} = Ax + Bu \]\[ y = Cx + Du \]其中，\[ A \]、\[ B \]、\[ C \]、\[ D \] 分别是状态方程的系数矩阵，\[ x \] 是系统的状态向量，\[ u \] 是系统的输入向量，\[ y \] 是系统的输出向量。
基于Matlab进行系统的状态空间表达式和传递函数的转换
基于Matlab进⾏系统的状态空间表达式和传递函数的转换基于Matlab进⾏系统的状态空间表达式和传递函数的转换系统的状态空间表达式和传递函数的转换⼀、学习⽬的1、学习系统状态空间模型的建⽴⽅法、了解状态空间模型与传递函数相互转换的⽅法；2、通过编程、上机调试，掌握系统状态空间模型与传递函数相互转换的⽅法。
⼆、原理说明函数ss（state space的⾸字母）给出了状态空间模型，其⼀般形式是SYS = ss(A,B,C,D)，函数tf（transfer function的⾸字母）给出了传递函数，其⼀般形式是G=tf(num,den)，其中的num表⽰传递函数中分⼦多项式的系数向量（单输⼊单输出系统），den表⽰传递函数中分母多项式的系数向量。
函数tf2ss给出了传递函数的⼀个状态空间实现，其⼀般形式是[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其⼀般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中对多输⼊系统，必须确定iu的值。
三、Matlab程序已知系统的状态空间表达式如下，求系统的传递函数。
,631234100010321321u x x x x x x -+---= []=321001x x x y程序:%⾸先给A 、B 、C 阵赋值；A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0;%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)程序运⾏结果:num =0 1.0000 5.0000 3.0000den =1.00002.00003.00004.0000从程序运⾏结果得到:系统的传递函数为:43235)(232+++++=s s s s s S G。
Matlab入门4,传递函数形式转换
传递函数形式转换传递函数模型可转化成零极点模型，也可转换成状态空间模型。
例一、模型转换22235(56)52530()(1)(2)32s s s s G s s s s s -+-+==-+-+% name:model_transform_01clear,clc % 清除此前运行程序的变量，清屏num1=5*[1,-5,6] % 传函分子多项式 den1=conv(conv([1,-1],[1,-1]),[1,2]) % 传函分母多项式 tfGs=tf(num1,den1) % 传函的分式形式 zpGs=zpk(tfGs) % 转换成传函的零极点形式[z,p,k]=zpkdata(zpGs,'v') % 列出零极点和比例系数 ssGs=ss(tfGs) % 转换成状态空间形式运行结果：num1 = 5 -25 30den1 = 1 0 -3 2Transfer function:5 s^2 - 25 s + 30-----------------s^3 - 3 s + 2Zero/pole/gain:5 (s-3) (s-2)-------------(s+2) (s-1)^2z = 3.00002.0000p = -2.00001.00001.0000k = 5a = x1 x2 x3x1 0 0.75 -0.25x2 4 0 0x3 0 2 0b = u1x1 4x2 0x3 0c = x1 x2 x3y1 1.25 -1.563 0.9375d = u1y1 0Continuous-time model.状态方程：XaX bu =+ 11223300.750.25440000200xx x x u x x -⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭输出方程：T Y c X du =+[]1231.25 1.5630.93750x y x u x ⎛⎫ ⎪=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭例二、传递函数模型的串联% series exampleclear,clcnum1=[0,1];den1=[1,1];num2=[0,2];den2=[1,2];num3=[0,3];den3=[1,3];Gs1=tf(num1,den1)Gs2=tf(num2,den2)Gs3=tf(num3,den3)Gs4=series(Gs1,Gs2) % 不允许三连串Gs4=series(Gs1,Gs2,Gs3) Gs5=series(Gs4,Gs3)Gs6=Gs1*Gs2*Gs3 % 允许三连乘运行结果：Transfer function ：1-----Transfer function:2-----s + 2Transfer function:3-----s + 3Transfer function:2-------------s^2 + 3 s + 2Transfer function:6----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6Transfer function:6----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6例三、传递函数模型的并联% parallel exampleclear,clcnum1=[0,1];den1=[1,1];num2=[0,2];den2=[1,2];num3=[0,3];den3=[1,3];Gs1=tf(num1,den1)Gs2=tf(num2,den2)Gs3=tf(num3,den3)Gs4= parallel (Gs1,Gs2) % 不允许三连并Gs4= parallel (Gs1,Gs2,Gs3) Gs5= parallel (Gs4,Gs3)Gs6=Gs1+Gs2+Gs3 % 允许三连加运行结果：Transfer function:1-----Transfer function:2-----s + 2Transfer function:3-----s + 3Transfer function:3 s + 4-------------s^2 + 3 s + 2Transfer function:6 s^2 + 22 s + 18----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6Transfer function:6 s^2 + 22 s + 18----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6例四、传递函数模型的反馈% feedback_example clear,clcnum1=[0,1];den1=[1,1];num2=[0,2];den2=[1,2]; num3=[0,3];den3=[1,3];Gs1=tf(num1,den1) Gs2=tf(num2,den2) Gs3=tf(num3,den3)Gs4= series (Gs1,Gs2)Gs5= feedback (Gs4,Gs3) % 建立反馈闭路的闭环传函 Gs6= feedback (Gs1*Gs2,Gs3) % 建立反馈闭路的闭环传函运行结果：Transfer function:1-----12123()1G G G s G G G =+Transfer function:2-----s + 2Transfer function:3-----s + 3Transfer function:2-------------s^2 + 3 s + 2Transfer function:2 s + 6-----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 12Transfer function:2 s + 6-----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 12例五、传递函数模型的单位反馈% unit_feedback_exampleclear,clcnum1=[0,1];den1=[1,1];num2=[0,2];den2=[1,2];Gs1=tf(num1,den1)Gs2=tf(num2,den2)[num3,den3]=series(num1,den1,num2,den2);[num4,den4]=cloop(num3,den3) % 求出单位反馈闭环传函的分子分母Gs4=tf(num4,den4) % 求出单位反馈闭环传函运行结果：Transfer function:1-----s + 1Transfer function:2-----s + 2num4 = 0 0 2 den4 = 1 3 4Transfer function:2-------------s^2 + 3 s + 4。
由传递函数转换成状态空间模型1
X n =_a n X ia n 4X 2-a 1X n u由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!!SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOy (n j+a y D+azy W )+…+a n y =b 0u 俨)+b 1u (m _L )+…+b m u(n ^m )b °s mb,sm 4s nys n」 a 2s n^ ■ a n外部描述＜实现问题：有了内部结构一-模拟系统 内部描述‘X = Ax +bu y =cx+ du实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同直接分解法 因为Y(s) Z(s) _ Z(s) Y(s) U(s) Z(s) U(s) Z(s)n―1b )s m bs m bmQ ss ys 亠 亠a n 」s a n:丫(s) =(b °s m +bs m '+…+b m 」s + b m )Z(s)iU (s) = (s n+a 1s n，十■八 +a n/S + a n)Z(s)对上式取拉氏反变换，则jy =b o Z (m)+32^)+…+b m'Z + b m Z<(n )丄(n 4) I ■ ■ ■.u=z +az ++a n 』z+a n zX 2 = X 3G(s)二SISO按下列规律选择状态变量,即设x 1 二 z, X 2 二乙 ,X n(nd),于是有_x ；l - 0ir x j 「0] X 2■01—4y 二[b 2 b 1 b °] X 2 =[30] f uX 1X ；式中，|心为n -1 A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态方程的系数阵 A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。
则输出方程y 二 b °X n b i X n 」b m 」X 2 b m X i写成矩阵形式_X L IX 2y = [b m b m」b 1 b 0 ]'X n 」」n 一分析A,b,c 阵的构成与传递函数系数的关系。
tf2ss函数
tf2ss函数TF2SS函数是一种将传递函数转换为状态空间模型的MATLAB函数。
在控制系统中，状态空间模型是一种常见的表示方法，它使用一组状态变量和一个控制输入来描述系统的动态行为。
TF2SS函数将传递函数转换为这种状态空间模型，并可以在控制系统分析和设计中使用。
TF2SS函数的语法为：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，其中num是传递函数的分子多项式，den是传递函数的分母多项式。
返回的A、B、C、D是状态空间模型的矩阵，其中A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是传递矩阵。
下面将详细介绍TF2SS函数及其应用。
一、TF2SS函数的原理在信号处理和控制系统中，传递函数通常被用来描述系统的输入和输出之间的关系。
传递函数是一个复数函数，表示输出与输入的比值。
状态空间模型是一种更一般的描述系统的方法，它包含状态变量和控制输入，描述了过程的完整的物理和数学过程，包括状态、输入和输出之间的所有关系。
状态空间模型是一组微分方程，它可以从初始状态开始通过控制输入来预测未来的系统行为，通常还包括噪声。
TF2SS函数可以将传递函数转换为状态空间形式，由此得到了系统的状态空间表达式，这有利于控制系统的建模和分析。
TF2SS函数可以通过一系列步骤来使用。
1. 定义传递函数传递函数可以定义为一个分子和一个分母多项式的比值。
在MATLAB中，这可以通过一组向量来表示。
num=[1 2] %分子多项式den=[1 3 2] %分母多项式G=tf(num,den) %定义一个传递函数变量2. 调用TF2SS函数G变量包含了一个传递函数，可以通过调用TF2SS函数将其转换为状态空间模型。
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) %将传递函数转换为状态空间模型3. 检查结果转换后的结果由四个矩阵组成：状态转移矩阵A，输入矩阵B，输出矩阵C和传递矩阵D。
可以使用MATLAB命令disp来查看这四个输出。
传递函数到状态空间方程
传递函数和状态空间方程引言传递函数和状态空间方程是控制系统工程中常用的数学模型和分析工具。
它们用于描述和分析动态系统的行为和性能，对于控制系统的设计和优化起着关键作用。
传递函数定义在控制系统中，传递函数是一个描述输入和输出之间关系的数学函数。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复数变量，表示系统的复频域特性。
传递函数描述了一个线性、时不变系统对输入信号的响应。
传递函数的一般形式如下：b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bnG(s) = ---------------------------------------s^m + a1*s^(m-1) + ... + am其中n和m分别是传递函数的分子和分母的最高次幂。
用途传递函数可用于描述系统的频率响应和稳定性特性。
传递函数可以反映系统对不同频率的输入信号的放大或衰减情况，帮助工程师了解系统的动态特性。
传递函数还可以用于控制系统的设计和分析。
通过对传递函数进行数学运算和变换，可以获得系统的稳定性、动态响应以及频域特性等关键性能指标。
工作方式传递函数的输入是一个复数变量s，代表系统的频域特性。
通过将s带入传递函数的表达式中，可以得到系统的输出。
传递函数的输出代表了系统对输入信号的响应。
通过对传递函数表达式进行分析和计算，可以获得系统的稳定性、频率响应和动态响应等关键性能指标。
状态空间方程定义在控制系统中，状态空间方程是一种用状态变量表示系统状态的数学模型。
状态空间方程描述了系统的状态和状态变化随时间的规律。
状态空间方程的一般形式如下：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，表示系统的状态变量；u是系统的输入向量，表示系统的输入信号；y是系统的输出向量，表示系统的输出信号；A、B、C和D是系统的系数矩阵。
用途状态空间方程可以用于描述和分析系统的动态行为和稳定性特性。
状态空间方程是一种直观、物理意义明确的模型，可以帮助工程师理解系统的内部状态和相互关系。
利用MATLAB进行传递函数和状态空间模型间的转换
A= -6 1 0 B= 1 0 0 C= 0 D= 0 因此，所考虑传递函数的一个状态空间实现是 10 10 -5 0 1 -10 0 0
4
&1 ⎤ ⎡− 6 − 5 − 10⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎢& ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢0 ⎥ u ⎢ &3 ⎥ 1 0⎥ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = [0 10 10] ⎢ ⎢x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
2
(1.2)
编写并执行以下的 m-文件： A=[0 1 0;0 0 1;-5 –25 –5]; B=[0;25;-120]; C=[1 0 0]; D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) 得到：
num= 0 -0.0000 den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000 25.0000 5.0000
求其传递函数矩阵。 解 个传递函数： ⎡Y1 ( s ) U 1 ( s ) Y1 ( s ) U 2 ( s ) ⎤ ⎢Y ( s ) U ( s ) Y ( s ) U ( s )⎥ 1 2 2 ⎣ 2 ⎦ 当考虑输入 u1 时，可设 u 2 为零，反之亦然。执行以下的 m-文件：
A=[0 1;-25 –4]; B=[1 1;0 1]; C=[1 0;0 1]; D=[0 0;0 0]; [num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1) [num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2) 得到：
abcdtf2ssnumden得到a6510100010b100c01010d0因此所考虑传递函数的一个状态空间实现是4?????????????????????????????????????????????????????321321321101000010100011056xxxyuxxxxxx15在运行以上例程序的基础上应用matlab求下面传递函数阵的状态空间实现4323s522s32??????sssssg提示
传递函数转状态空间的各种方法
G (s) Y (s) / U (s)
Y(s) Z(s) Z(s) U(s)
(bm S bm 1S ( S an 1S
n
m
m 1
n 1
... b0 )
... a0 )
设n>m n=m+1
Z ( s) 1 n U ( s) ( S an 1S n 1 ... a0 ) S n Z ( s) an 1S n 1Z ( s) ... a0 Z ( s) U ( s)
u
输出方程
n
Байду номын сангаас
Y ( s) ci xi ( s)
i 1
n
y(t ) ci xi (t ) c1c2 cn
i 1
x1 x2 xn
特点：n个子系统互不相关，都是独立 的，即解耦系统
解耦系统图形
例1.6
Y(s) 6 6 3 2 u (s) s 6s 11s 6 (s 1)(s 2)(s 3)
b3 0 b2 1 b1 1 b0 3
x1 y 3 1 1 x 2 x 3
Y(s) 二、并联法 G(s) u (s)
M(s) (s 1 )(s 2 ) (s n )
i (i 1,2,n)
极点
n c c1 c2 cn i s 1 s 2 s n i 1 s i
可控标准型
其中 x1 z
同样
x2 z
x n z n 1
Y(s) b n 1Sn 1 b n 2Sn 2 ... b1S b 0 Z(s)
Y(s) bn1Sn1Z(s) bn2Sn2 Z(s) ... b1SZ (s) b0 Z(s)
微分方程与状态空间表达式之间变换
Y 1 0 0 X
其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一 行元素与方程系数对应，而其余各元为零或为单位阵（A阵，对角线上 方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B 阵，最后一行元素为1，其他元素为0。）D=0无直联通道，
6 y 6u 例：D-E. y 6 y 11y S-E
1、传递函数中没有零点时的变换 传递函数为：
b G( s) n s a1 s n 1 a n 1 s a n
系统的微分方程为：
a n y bu y ( n ) a1 y ( n1) a n1 y
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
二.输入项中包含有导数项：
D-E y a1 y
n n 1
an y b0u b1u
n
n 1
bnu bn 1u
若按相变量法选状态, 则出现解的不唯一性
x1 y x y 2 x y n 1 n
0 1 x x 2 n x an
1
an 1
0 x1 0 x 2 u 0 1 xn 1 a1
能控标准形实现的模拟图
b G (s) n s a1s n 1 an 1s an bs n 1 a1s 1 an 1s1 n an s n
• 其状态变量图为
1 s 1 1 s 1 s 1 1 s 1 b u (s) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ y ( s)
0 即X 0 an 1 0 0 x1 x 0 2 u 1 0 xn a1 b
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由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ)(2211110nn n n mm m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n外部描述←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统内部描述SISO ⎩⎨⎧+=+=ducx y bu Ax x&实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。
一、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1m m m mn n n nY s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯=⨯++++++++L L ⎩⎨⎧++++=++++=----)()()()()()(1111110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则⎩⎨⎧++++=++++=----z a z a za z u zb z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1)1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x zx z x Λ&，于是有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----===-u x a x a x a xx x x x n n n n 12113221Λ&M &&写成矩阵形式式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。
则输出方程121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 121011][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。
在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。
例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。
42383)()(23++++=s s s ss U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即u x x x u x x x a a a x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100324100010100100010321321123321&&& ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321012]083[][x x x x x x b b b y若选择状态变量[]Tn x x x x Λ21=满足下列条件（如何考虑）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n ΛΛΛΛM &&&&&)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x ub x a x n n nn n n m n n m n n 011122111121&&M && 写成矩阵形式u b b b b x x x x a a a a xx x x m m n n n n n n n I⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----011121121112100M M M Λ&&M &&⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n x x x x y 121]1000[M Λ式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。
只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。
将在第六章进一步讨论。
通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。
（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A 的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B 的元素。
（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即n m =，状态空间表达式的输出方程中才出现Du 项，否则D 为零阵。
例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡083310201400321321&&& []Tx x x y 321]100[=二、串联分解法若SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++L L例：12123121232312123()()()()()()()()11K s z s z Y s G s U S s p s p s p s z s z K s p s p s p z p z p K s p s p s p ++==+++++=⋅⋅+++⎛⎫⎛⎫--=⋅+⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭图示！！[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321213232112213321100000x x x k p z p z y u x x x p k p k p z p x x x &&&三、 并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）（一）若SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。
当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++L L写成部分分式∑=+=++++++==ni ii n n p s c p s c p s c p s c s U s Y s G 12211)()()(Λ其中，i c ，n i ,,2,1Λ=为待定系数，其值为))((lim i s i p s s G c i+=-λ选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）,)()(ii p s s U s X +=n i ,,2,1Λ= 即)()()(s U s X p s sX i i i =+对上式拉氏反变换，得u x p x i i i =+&即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=u x p xu x p x u x p x n n n &M &&222111写成矩阵形式u x x x p p p x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111212121M M O&M && 式中，系数矩阵A 为对角阵。
对角线上的元素是传递函数G （s ）的极点，即系统的特征值。
b 阵是元素全为1的n ×1矩阵。
求对角标准型模型的输出方程中c 的结构)()(1s U p s c s Y ni ii∑=+= )()()(s X p s s U i i +=∑==ni i i s X c s Y 1)()(对上式拉氏反变换，得[]Tn n i i x x x c c c x c y ΛΛ2121][∑==如果系统的状态方程的A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。
多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。
系统的状态结构图如图所示。
例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换611686)()()(23++++==s s s s s U s Y s G 解：将)(s G 用部分分式展开321)3)(2)(1(86)(321+++++=++++=s cs c s c s s s s s G从而可得)(s G 的极点3,2,1111-=-=-=λλλ为互异的，求待定系数i c1)3)(2(86lim))((lim 1111=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ4)3)(1(86lim))((lim 2222=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ5)2)(1(86lim))((lim 3333-=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ得对角标准型的转换为u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111300020001321321&&&[][]Tx x x y 321541-=（二）对SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。