2019版高考数学一轮复习课时分层作业：十二 2.9函数模型及其应用 Word版含解析

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[推荐学习]2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业：十二 2.9函数模型及其应

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课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选 C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为________元.【解析】因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.答案:4.247.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用________年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元?【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化简得:x-6×0.9x=0,令f(x)=x-6×0.9x.因为f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.答案:48.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【解析】由得e11k=.当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24.答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b 均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率有最大值为500%.10.(2018·衡水模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x≥0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以总利润y=8.25万元.②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y 万元.则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以当t=4时,y max ==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.1.(5分)2005年至2017年某市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ( )A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=ae x+bC.f(x)=e ax+bD.f(x)=aln x+b 【解析】选D.由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,-<0,可得满足条件的函数;对于B,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a<0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.2.(5分)(2018·秦皇岛模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的范围为 ( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]【解析】选 B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2≤x<6.所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围为[3,4].3.(5分)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是________.【解析】甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元).答案:120万元4.(12分)(2018·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式.(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4<x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20]内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max =f(4)=4×2=8;当4<x≤20时,f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+,f(x)max =f(10)=12.5.所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.5.(13分)(2018·无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x; ②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6.①求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);②为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.【解析】 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)①对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).②因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f′(x)=3x2-12x+9,令f′(x)<0,得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.关闭Word文档返回原板块。

一轮复习课时训练§2.9：函数模型及其应用

第二章§9：函数模型及其应用(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间60分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a ，b 为待定系数)A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x2．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m3．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米4．某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米为经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米，按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16，1.054＝1.22,1.055＝1.28) A ．2010年 B ．2011年 C ．2012年 D ．2013年5．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费y(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y ＝110x 2－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为______． 7．某市电力公司鼓励居民节约用电，采用分段计费方法计算电费，每月用电不超过100度时，按每度0.50元计费；每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.57元计费．小王家7月份交电费72.80元，用电________度．8．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图(1)(2)所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图(3)所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋24t ＋100，0<t ≤10240，10<t ≤20－7t ＋380，20<t ≤40.(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由表格中的数据，画出散点图，模拟函数y ＝a ＋b x 最接近．答案：B2．解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a ＜0)．设点A 的坐标为(4，－h)，则C(3,3－h)，将这两点的坐标代入y ＝ax 2.可得⎩⎪⎨⎪⎧ －h ＝a·423－h ＝a·32，解得⎩⎨⎧ a ＝－37h ＝487≈6.9.所以厂门的高为6.9 m.答案：A3．解析：t 时刻时人走的路程s ′＝6t ，车走的路程s ＝12t 2，则人与车之间的距离 d ＝|s ＋25－s ′|＝|12t 2＋25－6t|＝|12(t －6)2＋7|， ∵12(t －6)2＋7>0，∴人不可能追上汽车，其间最近距离为7米．答案：D4．解析：设从2009年起第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n ，经济适用房面积为 b n ＝25＋10n ，由2b n ＞a n ，得2(25＋10n)＞100(1＋5%)n ，当n ＝1,2,3时都不成立，当n ＝4时，2b n ＝130，a n ＝122，∴2012年时满足题意．答案：C5．解析：设A ，B 两种方式在100分钟时话费为a 元，则A ，B 两种方式的函数关系式分别为y A ＝a －20100t ＋20， y B ＝a 100t ， ∴打出150分钟时话费相差：a 100×150－a －20100×150－20＝10(元)．答案：A二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4 000x －30，则y x ≥2x 10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，∴当每吨的成本最低时，相应的年产量为200吨．答案：200吨7．解析：设用电x 度时交电费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.50x (0<x ≤100)50＋0.57(x －100)(x>100).由y ＝72.80得 50＋0.57(x －100)＝72.80，解得x ＝140. 答案：1408．解析：由图(3)知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，故①正确．由图(3)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．由图(3)知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故排除③.答案：①三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x(100－x －3 00050)－x －3 00050×50－(100－x －3 00050)×150＝－x 250＋162x －21000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.∴当月租金为4 050元时，最大收益是307 050元．10.（本小题满分18分（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)当0<t ≤10时，f(t)＝－t 2＋24t ＋100＝－(t －12)2＋244是增函数，且f(10)＝240；当20<t ≤40时，f(t)＝－7t ＋380是减函数，且f(20)＝240.所以，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．(2)f(5)＝195，f(25)＝205，故讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．(3)当0<t ≤10时，f(t)＝－t 2＋24t ＋100＝180，则t ＝4；当20<t ≤40时，令f(t)＝－7t ＋380＝180，t ≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4＝24.57>24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．。

江苏专用2019版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用课时作业

江苏专用2019版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用课时作业基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).的，故为一次函数模型．答案①2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．答案①3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e－bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166．A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A 的速度是，B 的速度是，经过________h ，AB 间的距离最短．解析设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝－40x2＋x2＝1 856t 2－11 600t ＋1452(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案2587．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．解析设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．答案 108．(2016·四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．解析设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200， ∴1.12x＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝＋－＋lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元．答案 2019 二、解答题9．(2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2·62－x 2， ∴SA 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263x (36－x 2)．由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)．由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值，故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元．则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．能力提升题组 (建议用时：30分钟)11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3.问：P 能否大于120，说明理由．解 (1)依题意得y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *. (2)法一依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k ax ＋＝0.2a ka 2＋＝a k a 2＋≤a a 2＋＝13⎝⎛⎭⎪⎫a ＋25a ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×25a＝130<120. P 不可能大于120.法二依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k ax ＋＝0.2a ka 2＋＝a k a 2＋.假设P >120，则ka 2－20a ＋25k <0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)<0，不等式ka 2－20a ＋25k <0无解，假设不成立．P 不可能大于120.12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20≤x ≤180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)． (1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解 (1)当20≤x ≤180时，由⎩⎨⎧a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，得⎩⎨⎧a ＝90，b ＝3 5.故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x <180，0，x ≥180.(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，9 000x －3005·x x ，20<x <180，0，x ≥180，当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，又f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x ≥180时，f (x )＝0.综上，当x ＝80元时，总利润取得最大值240 000元．13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5 千米，BC ＝8 千米，CD ＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/时．(1)若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； (2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．解 (1)由题意得AD ＝12 千米，⎪⎪⎪⎪⎪⎪126－16v ≤14，解得649≤v ≤647，故乙的速度v 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫649，647.(2)设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于乙先到达D 地，故16v<2，即v >8.①当0<vt ≤5，即0<t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos∠DAB ＝⎝⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36t 2.因为v 2－485v ＋36>0，所以当t ＝5v 时，f (t )取最大值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36×⎝ ⎛⎭⎪⎫5v 2≤25，解得v ≥154.②当5<vt ≤13，即5v <t ≤13v时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6)2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1v －62＋9. 因为v >8，所以1v －6<5v ，(v －6)2>0，所以当t ＝13v时，f (t )取最大值，所以(v －6)2⎝ ⎛⎭⎪⎫13v －1v －62＋9≤25，解得398≤v ≤394. ③当13≤vt ≤16，即13v ≤t ≤16v时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2因为12－6t >0,16－vt >0，所以f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13v ，16v 上单调递减，所以当t ＝13v时，f (t )取最大值，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－6×13v 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－v ×13v 2≤25，解得398≤v ≤394. 因为v >8，所以8<v ≤394.综上所述，v 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤8，394.。

2019年高考数学一轮复习函数模型及其应用

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异在区间(0，＋∞)，尽管 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝
增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同 xn(n>0)都是_________
一“档次”上，随着 x 的增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越
课时小结
课后练习
点评：实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．
复习目标课前预习源自高频考点课时小结课后练习
9a＋3b＋c＝0.7，解：由已知得16a＋4b＋c＝0.8， 25a＋5b＋c＝0.5， a＝－0.2，解得b＝1.5， c＝－2.
1 15 2 13 所以 p＝－0.2t ＋1.5t－2＝－ (t－ ) ＋ . 5 4 16
复习目标课前预习高频考点课时小结
课后练习
1．指数增长模型：设原有总量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x. 2．解函数应用问题的基本步骤
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．当 x>0 时，比较 y＝log5x，y＝5x，y＝x5 三个函数，下列说法正确的是( ) A．y＝5x 的图象始终在最上方 B．当 x 增长到足够大时，y＝5x 的图象始终在最上方 C．y＝x5 的图象与 y＝5x 的图象会不断穿插交汇，有无数个交点 D．y＝log5x 的图象与 y＝x5 的图象有一个交点解：画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析

2019版高考数学(理)一轮讲义：第12讲函数模型及其应用 Word版含答案

第12讲函数模型及其应用1．三种函数模型性质比较2．几种常见的函数模型3．解决函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际意义．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(×)(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)解析(1)错误．当x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当x∈(2,4)时，x2>2x.(2)正确．由两者的图象易知．(3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·b x＋c(a>0，b>1)．(4)正确．根据指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长特点易知．2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(B)A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)解析由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表.则x，y最适合的函数的是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B项，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的(B)解析由题意知h ＝20－5t (0≤t ≤4)，故选B ．5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( B )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．一二次函数模型在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．【例1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．二指数函数、对数函数模型一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制．【例2】 (1)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( C )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时(2)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1．12≈0.05，lg 1．3≈0.11，lg 2≈0.30)( B )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析 (1)由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212 ＝⎝⎛⎭⎫1412 ＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24.(2)设第n (b ∈N *)年该公司年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n －1>200，则lg[130(1＋12%)n －1]>lg 200，∴lg 130＋(n －1)lg 1．12>lg 2＋2， ∴2＋lg 1．3＋(n －1)lg 1．12>lg 2＋2，∴0.11＋(n －1)×0.05>0.30，解得n >245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年，故选B ．三分段函数模型(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【例3】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产品x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解析 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x ·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．四函数y ＝x ＋ax(a >0)模型函数y ＝x ＋ax (a >0)在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减，在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增(函数单调性定义法、导数方法均可证明)，如图所示，函数图象无限趋近于直线y＝x，但永不相交．当a在函数的定义域内时，可以使用基本不等式求最小值，当a不在函数的定义域内时，根据函数的单调性求最小值．【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析(1)由已知得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2(6x＋10)·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．1．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(C)A．11 000元B．22 000元C．33 000元D．40 000元解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，有最大利润33 000元，故选C．2．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为(B)A．3 000元B．3 800元C．3 818元D．5 600元解析根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 200×14%＝448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元．根据题意可知其稿费应该为420÷14%＋800＝3 800(元)，故选B．3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6解析由题图，易求得y 与x 的关系式为y ＝－(x －6)2＋11，yx ＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－10＝2，∴yx有最大值2，此时x ＝5.4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析 (1)设旅行团人数为x 人，由题意得0<x ≤75，需交费用为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤30，900－10(x －30)，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设利润为W ，则W ＝xy －15 000＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，(1 200－10x )x －15 000，30<x ≤75，当x ∈(30,75]时，W ＝－10(x －60)2＋21 000≤21 000， ∴每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21 000元．易错点函数应用问题错因分析：(1)题意理解偏差，数学模型应用不准确；(2)数学计算不准，回答问题不合实际含义．【例1】已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解析 (1)当0＜x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x ＞40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0＜x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x ＞40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6 104万美元．【跟踪训练1】已知某厂固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为2万元，设生产该产品x (x ∈N ，单位：百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋8x ，0≤x ≤7，24.5＋x ，x >7，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，生产数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解析依题意，g (x )＝2x ＋3，设利润为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －3，0≤x ≤7，21.5－x ，x >7.(1)要使工厂有盈利，则有f (x )>0，当0≤x ≤7时，f (x )＝－0.5x 2＋6x －3>0，即x 2－12x ＋6<0⇔6－30<x <6＋30，∴6－30<x ≤7；当x >7时，21．5－x >0，∴7<x <21．5，又x ∈N ，∴1≤x ≤21，故产品数量应控制在大于等于100台小于等于2 100台的范围内． (2)当1≤x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋15，f (x )max ＝f (6)＝15；当8≤x ≤21时，f (x )＝21．5－x ，f (x )max ＝f (8)＝13.5，故当工厂生产600台产品时，盈利最大．课时达标第12讲[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( C )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C ．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )A ．9天B ．10天C ．11天D ．12天解析设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少，故选B ．3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题意有，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320(万元)．4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1．017)( C )A ．1．5%B ．1．6%C ．1．7%D ．1．8%解析设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1．017，所以x ＝1．7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析由题意，设租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N )．则利润为y ，y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B ．二、填空题7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为__180__.解析依题意知：20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )，y ∈[8,24)，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.8．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为__2_500_m 2__(围墙厚度不计)．解析设矩形场地的宽度为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋ 2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.9．(2018·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表.根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ，利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__. (2)最低种植成本是__80__元/100 kg. 解析根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120.代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答题10．某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低34x 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)．(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．解析 (1)依题意，产品升级后，每件的成本为⎝⎛⎭⎫1 000－3x 4元，利润为⎝⎛⎭⎫200＋3x4元，年销售量为⎝⎛⎭⎫1－2x 万件，纯利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫200＋3x 4⎝⎛⎭⎫1－2x －x ＝198.5－400x －x4. (2)f (x )＝198.5－400x －x4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5，当且仅当400x ＝x4，即x ＝40时等号成立．所以f (x )取最大值时的x 的值为40.11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1．80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1．8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4<5x 时， y ＝4×1．8＋3x ×1．8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1．8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4；当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4；当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1．5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，付费S 1＝4×1．8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1．8＋0.5×3＝8.70(元)．12．(2018·湖北重点中学起点考试)A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x km 处建一核电站为A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距离A 城多远处，才能使供电总费用y 最少？解析 (1)由题意得，x 的取值范围是{x |10≤x ≤90}． (2)由题易知y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90)． (3)因为y ＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003，100故核电站建在距A城3km处，能使供电总费用y最小．。

2019届高考一轮复习备考资料之数学人教A版讲义：2.9 函数模型及其应用 Word版含答案

§2.9函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x知识拓展1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(3)不存在x 0，使0xa <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二教材改编2．[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )。

高考数学一轮复习课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用文(2021年整理)

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课时作业(十二）第12讲函数模型及其应用时间/ 30分钟分值/ 75分基础热身1.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为（)A. 800米B。

900米C。

1000米D。

1200米2。

图K12-1是张大爷晨练时离家的距离y与行走的时间x之间的函数关系的图像，若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷晨练行走的路线可能是（）图K12—1A B C D图K12—23.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年3月1日1235 0002018年3月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

在这段时间内，该车每行驶100千米的平均耗油量为()A. 6升B. 8升C. 10升D。

12升4。

拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元）由f(m)=1。

06×(0。

5[m］+1)给出，其中m>0,[m］是不超过m的最大整数(如[3］=3，[3.7]=3），则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.图K12—35.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图K12-3中阴影部分所示)备用，则截取的矩形面积的最大值为。

高考数学一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用(含答案)

高考数学一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用（含答案）2.9函数模型及其应用函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数.对数函数.幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升.指数增长.对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型如指数函数.对数函数.幂函数.分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象.单调性.最值及方程.不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fxaxba，b为常数，a0反比例函数模型fxkxbk，b为常数且k0二次函数模型fxax2bxca，b，c为常数，a0指数函数模型fxbaxca，b，c为常数，b0，a0且a1对数函数模型fxblogaxca，b，c为常数，b0，a0且a1幂函数模型fxaxnba，b为常数，a02.三种函数模型的性质函数性质yaxa1ylogaxa1yxnn0在0，上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logax0时，xa时取最小值2a，当x0的增长速度5“指数爆炸”是指数型函数yabxca0，b0，b1增长速度越来越快的形象比喻题组二教材改编2P102例3某工厂一年中各月份的收入.支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元答案D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060万元，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1640603030506045万元，故D错误3P104例5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为Cx12x22x20万元一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件答案18解析利润Lx20xCx12x182142，当x18时，Lx有最大值4P107A组T4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________答案3解析设隔墙的长度为x02.3，x为整数，3x6，xZ.当x6时，y503x6x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x115400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________答案300解析由题意，总利润y400x12x2100x20000，0x400，60000100x，x400，当0x400时，y12x300225000，所以当x300时，ymax25000；当x400时，y60000100x20000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元函数应用问题典例12分已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为Rx万美元，且Rx4006x，040.1写出年利润W万美元关于年产量x万部的函数解析式；2当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大并求出最大利润思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论规范解答解1当040时，WxRx16x4040000x16x7360.所以W6x2384x40，040.4分2当040时，W40000x16x7360，由于40000x16x240000x16x1600，当且仅当40000x16x，即x5040，时，取等号，所以此时W的最大值为5760.10分综合知，当x32时，W取得最大值6104万美元12分解函数应用题的一般步骤第一步审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模求解数学模型，得到数学结论；第四步还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练12函数模型及其应用理北师大版_

课时分层训练(十二) 函数模型及其应用组基础达标一、选择题．某家具的标价为元，若降价以九折出售(即优惠)，仍可获利(相对进货价)，则该家具的进货价是( )．元．元．元．元[设进货价为元，由题意知×(－)－＝，解得＝，故选.]．在某个物理试验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表：【导学号：】．＝．＝－．＝－．＝[根据＝，＝－，代入计算，可以排除；根据＝，＝，代入计算，可以排除，；将各数据代入函数＝，可知满足题意．]．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量如图丙所示．图给出以下个论断：①点到点只进水不出水；②点到点不进水只出水；③点到点不进水不出水，则一定正确的是( )．①②．①．①②③．①③[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以点到点不出水，点到点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，点到点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为( )．．．．[设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得＝(\\((＜≤)，＋(－)·(＞)，))则＋(－)·＝，解得＝.]．设某公司原有员工人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元(为正常数)．公司决定从原有员工中分流(＜＜，∈＋)人去进行新开发的产品的生产．分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )．．．．[由题意，分流前每年创造的产值为(万元)，分流人后，每年创造的产值为(－)(＋)(万元)，则由(\\(＜＜，,(－)(＋)≥，))解得＜≤.因为∈＋，所以的最大值为.]二、填空题．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润万元与年广告费万元之间的函数解析式为＝－(＞)．则当年广告费投入万元时，该公司的年利润最大．[＝－＝－× (＞)．当－＝，即＝时，取得最大值.故当年广告费投入万元时，该公司的年利润最大．]．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤次才能达到市场要求．(已知≈ ，≈ )【导学号：】[设过滤次才能达到市场要求，则≤，即≤，所以≤－－，所以≥，所以＝.]．某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系＝＋(＝…为自然对数的底数，，为常数)．若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是小时．[由已知条件，得＝，∴＝ .又∵＝＋＝＋＝＝()，∴＝)＝)＝.设该食品在℃的保鲜时间是小时，则＝＋＝＝()＝×＝.]三、解答题．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图()；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图()．(注：利润和投资单位：万元)。

(江苏专版)2019年高考数学一轮复习专题2.9函数模型及其应用(讲)

专题2.9 函数模型及其应用【考纲解读】【直击教材】1．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2002．用18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m 2.解析：设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818.所以当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.答案：818【知识清单】1．几种常见的函数模型2．三种函数模型性质比较【考点深度剖析】解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．【重点难点突破】考点1 一次函数与二次函数模型【1-1】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_________元．【答案】10【1-2】将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_________元．【答案】95【解析】设售价定为(90＋x )元，卖出商品后获得利润为：y ＝(90＋x －80)(400－20x )＝20(10＋x )(20－x )＝20(－x 2＋10x ＋200)＝－20(x 2－10x －200)＝－20[(x －5)2－225]，∴当x ＝5时，y 取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元).【思想方法】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【温馨提醒】1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．考点2 分段函数模型【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．【答案】(1) v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20<x ≤200.(2) 当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值．【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．【答案】(1) f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40. g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2) 上市后的第30天．∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000<6 300.当20<t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t . 由F (t )＝6 300，得3 t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30.当30<t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在 (30,40]上是减函数，得F (t )<F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．【思想方法】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．考点3 指数函数模型【3-1】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【答案】(1) x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 (2) 5．(3)15.【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用).【答案】略有亏损【思想方法】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．考点二函数y ＝x ＋ax模型的应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10 ·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． [由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？【易错试题常警惕】数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性．如：如图所示，在矩形CD AB 中，已知a AB =，C b B =（a b >）．在AB 、D A 、CD 、C B 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形FG E H 的面积最大？求出这个最大面积．【分析】设四边形FG E H 的面积为S ，则()()F D G 12S S a x b x ∆BE ∆H ==--，CFG S S ∆AEH ∆= 212x =，∴()()()22211222224a b S ab x a x b x x a b x x +⎡⎤⎛⎫=-+--=-++=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()28a b ++，由图形知函数的定义域为{}0x x b <≤． 0b a <<，∴02a bb +<<，若 4a b b +≤，即3a b ≤时，4a b x +=，使面积S 取得最大值()28a b +；若4a b b +>，即3a b >时，函数()S x 在(]0,b 上是增函数，此时当x b =时，S 有最大值为()22248a b a b b ++⎛⎫--+⎪⎝⎭ 2ab b =-．综上可知，若3a b ≤，当4a b x +=时，四边形FG E H 的面积取得最大值()28a b +；若3a b >，当x b =时，四边形FG E H 的面积取得最大值2ab b -．【易错点】忽略实际问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论．【练一练】某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形温室的边长各为40m ，20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是6482m ．。

2019年高考数学文科一轮复习课时作业 12函数模型及其

距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得
效，则第二次服药最迟的时间应为()
．中午12：00
．下午6：00
时，设y＝k1x，把(4,320)
，则其边长x为______(m)
设矩形花园的宽为y m，则
x 40＝
＝－x2＋40x＝－(
11．(2018·广东汕头模拟)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是() A．①B．①②
C．①③D．①②③
解析：由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
答案：A
12．(2018·贵州省适应性考试)
某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()
解析：若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的。

2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业：十二 2.9函数模型及其应用 Word版含解析

课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选 C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为________元.【解析】因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.答案:4.247.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用________年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元?【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化简得:x-6×0.9x=0,令f(x)=x-6×0.9x.因为f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.答案:48.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【解析】由得e11k=.当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24.答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b 均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率有最大值为500%.10.(2018·衡水模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x≥0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以总利润y=8.25万元.②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y 万元.则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以当t=4时,y max ==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.1.(5分)2005年至2017年某市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ( )A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=ae x+bC.f(x)=e ax+bD.f(x)=aln x+b 【解析】选D.由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,-<0,可得满足条件的函数;对于B,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a<0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.2.(5分)(2018·秦皇岛模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的范围为 ( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]【解析】选 B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2≤x<6.所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围为[3,4].3.(5分)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是________.【解析】甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元).答案:120万元4.(12分)(2018·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式.(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4<x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20]内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max =f(4)=4×2=8;当4<x≤20时,f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+,f(x)max =f(10)=12.5.所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.5.(13分)(2018·无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x; ②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6.①求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);②为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.【解析】 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)①对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).②因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f′(x)=3x2-12x+9,令f′(x)<0,得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.关闭Word文档返回原板块。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练12函数模型及其应用理北师大版

课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A 组基础达标一、选择题1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元D ．108元D [设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%a ，解得a ＝108，故选D.] 2．在某个物理试验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：【导学号：79140068】则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2xD [根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图294甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图294给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3A [设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0＜x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x ＞10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.]5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18B [由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t (万元)，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16.] 二、填空题6．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．4 [L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【导学号：79140069】8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图295(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图295(2)．(注：利润和投资单位：万元)(1) (2)图295(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)． (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N ＋)，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．B 组能力提升11．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]12．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司共100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( ) A ．3 000元 B ．3 300 C ．3 500元D ．4 000元B [设利润为y 元，租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N ＋)，则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每套房月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B.]13．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图296)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．图296180 [依题意知：20－x 20＝y －824－8(0＜x ≤20,8≤y ＜24)，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180(8≤y ＜24)．∴当y ＝12时，S 取最大值180.]14．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围.【导学号：79140070】[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令x＝2t ，x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，当x ＝2时，t ＝1.故经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t ∈[0，＋∞)，θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2(t ≥0)恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t (t ≥0)恒成立．令y ＝12t ，则0＜y ≤1，故对于任意的y ∈(0,1]，m ≥2(y －y 2)恒成立，因为y －y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋14≤14，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用学案理

2．9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (3)当a >1时，不存在实数x 0，使.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 59T 6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A ．2015年B ．2011年C ．2010年D ．2008年答案 B解析设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P 107T 1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.0418 7.5 1218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17，故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取最小值－20000，所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所得利润分别为f (x )，g (x )万元．由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (x ≥0)，所以根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例(2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log 1.0121.2≈15.3) 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人．题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.03.0y0.240.5112.023.988.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3，故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．(2017·北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1. ∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益． 16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )；当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。

2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第12讲函数模型及其应用(含解析)

第12讲函数模型及其应用考试说明 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考情分析考点考查方向考例考查热度一次、二次函数模型解决最值、变化趋势分析等问题★☆☆指数、对数函数模型变化趋势分析、最值等问题★☆☆分段函数模型变化趋势分析、最值等问题★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ()A.1033B.1053C.1073D.1093[解析] D lg=lg M-lg N=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈361×0.48-80=173.28-80=93.28,lg 1093=93,与93.28最接近,故选D.2.[2016·四川卷]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年[解析] B设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元.由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log 1.12=≈3.80.又资金需超过200万元,所以x的值取4,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.【课前双基巩固】知识聚焦1.递增递增递增对点演练1.y3>y1>y2[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得.2.在[0,t0]时间段内汽车行驶的路程[解析] 根据速率与时间的关系可得.3.S=+[解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是×1元,所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=+.4.[解析] 物体的温度总不低于2摄氏度,即Q≥2恒成立,即m·2t+≥2恒成立,即m≥2恒成立.令=x,则0<x≤1,所以m≥2(x-x2),由于x-x2≤,所以m≥.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.5.330元[解析] 根据题意,获得的优惠额为1000×0.2+130=330(元).6.8℃[解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃）.7.[0,26][解析] 令h≥0,解得0≤t≤26,故所求定义域为[0,26].8.S=[解析] 当0≤t≤2.5时,S=60t;当2.5<t≤3.5时,S=150;当3.5<t≤6.5时,S=150-50(t-3.5)=325-50t.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)由A产品的利润与投资额成正比,B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,结合函数图像,可以利用待定系数法来求两种产品的利润与投资额的函数关系;(2)由(1)的结论,设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,这时可以构造出一个关于利润y的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解.解:(1)由A产品的利润与投资额成正比,可设f(x)=kx,将点(1,0.25)代入,得f(x)=x(x≥0).由B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,可设g(x)=t,将点(4,2.5)代入,得g(x)=(x≥0). (2)设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,创业团队获得的利润为y万元,则y=g(x)+f(10-x)=+(10-x)(0≤x≤10).令=t,则y=-t2+t+(0≤t≤),即y=-+(0≤t≤),当t=,即x=6.25时,y取得最大值4.062 5.答:当B产品的投资额为6.25万元时,创业团队获得的最大利润为4.062 5万元.变式题解:(1)设CF=x,则BF=40-x.因为∠ABC=60°,所以EF=(40-x),所以S矩形CDEF=x(40-x).由于矩形地块的面积不小于300平方米,所以有x(40-x)≥300,解得CF长度(单位:米)的取值范围为[10,30].(2)由(1)可知S矩形CDEF=x(40-x)=-(x-20)2+400≤400(x∈(0,40)),当x=20时,矩形地块的面积取得最大值400.由题意可知,当矩形地块被分为面积之比为1∶3的两部分时,则有S△CMN=S△CDF=100.设CM=m,CN=n,则有mn=200(0<m<20,0<n<20),所以MN=≥=20,当且仅当m=n=时,MN取得最小值,即为20米.例2解:(1)保鲜时间y与储藏温度x间的关系符合指数型函数y=k·a x(k≠0),则解得故所求函数解析式为y=192×0.93x.(2)设f(x)=192×0.93x,因为f(x)是减函数,且10>5,所以f(10)<f(5),所以把牛奶储藏在 5 ℃的冰箱中,牛奶保鲜时间较长.变式题(1)D(2)1000[解析] (1)设经过x年后全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得130(1+0.12)x=200,则x=log1.12,即x==≈≈4,2016+4=2020,故选D.(2)设8级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则8=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,两式相减得3=lg A1-lg A2=lg,所以=103=1000.例3[思路点拨] (1)根据“年利润=年产量×每件商品的售价-投入成本-固定成本”建立年利润与年产量的函数解析式;(2)分别计算0<x<80与x≥80时的年利润的最大值,从而确定生产中的最大利润.解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴ｘ千件商品销售额为0.05×1000x万元.①当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;②当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-x+.综合①②可得,L(x)=(2)由(1)可知,L(x)=①当0<x<80时,L(x)=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值,即L(60)=950;②当x≥80时,L(x)=1200-x+≤1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000.综合①②可得,当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.变式题解:(1)依题设知,总成本为(20 000+100x)元,则y=(2)当0<x≤400时,y=-(x-300)2+25 000,故当x=300时,y max=25 000;当x>400时,y=60 000-100x是减函数,故y<60 000-100×400=20 000.所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.【备选理由】例1为二次函数模型,需结合几何图形具体分析;例2为构建含一次函数、二次函数的分段函数模型问题,题目文字较多,所给条件较复杂,需要认真审题,正确构建函数模型求解.1[配合例1使用] 某人准备定制一批地砖,每块地砖是边长为1米的正方形(如图所示),点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制作△CFE,△ABE和四边形AEFD 的三种材料每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最少?解:设CE=x,则BE=1-x,设每块地砖的费用为W,则W=x2·30+×1×(1-x)×20+1-x2-×1×(1-x)×10=10x2-5x+15=10x-2+,当x=时,W取得最小值,即费用最少.故当点E在距点C为0.25米的位置时,每块地砖所需费用最少.2[配合例3使用] 某电影院共有1000个座位,票价不分等次,根据影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全部售出;当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出.为了获得更好的收益,需确定一个合适的票价,票价需符合的基本条件是:①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;②电影院放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出.用x(元)表示每张票价,用y(元)表示该影院放映一场电影的净收入(除去成本支出后的收入).(1)把y表示为关于x的函数,并求其定义域.(2)试问在符合基本条件的前提下,票价定为多少时,放映一场的净收入最多?解:(1)∵电影院共有1000个座位,放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出,∴1000x>5750,即x>5.75,又x∈N*,∴票价最低为6元.当票价不超过10元时,y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N*).当票价高于10元时,y=x[1000-30(x-10)]-5750=-30x2+1300x-5750,由解得5<x<38,∴y=-30x2+1300x-5750(10<x≤38,x∈N*).∴y=(2)对于y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N*),当x=10时,y取得最大值,为4250;对于y=-30x2+1300x-5750(10<x≤38,x∈N*),当x=-≈21.7,即x=22时,y取得最大值,为8330.综上可知,当票价定为22元时,放映一场的净收入最多,为8330元.。

2019版高考数学(理)(全国通用版)1轮复习课时分层作业： 12 2.9函数模型及其应用 Word版含解析

答案:4
8.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.
【解析】由得e11k= .
当x=33时,y=e33k&令 =t,t∈[0,3 ],
则y= (-t2+8t+18)=- (t-4)2+ .
所以当t=4时,ymax= =8.5,
此时x=16,18-x=2.
所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.
1.(5分)2005年至2017年某市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()
所以当x=4时,f(x)有最小值 ,
故当x=4时,关税税率有最大值为500%.
10.(2018·衡水模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
2.(5分)(2018·秦皇岛模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为()
(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式.

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题12函数模型及其应用(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)三种函数模型的性质2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A【变式探究】(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案(1)D (2)B解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )答案 D解析依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元答案 C【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况答案 (1)C (2)B解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg2，所以lg(1＋x )＝lg240≈0.0075，所以100.0075＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1. 1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案 9【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21 答案 (1)5 (2)A解析 (1)设经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21. 5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A. 高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x－16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5760.综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万元。