最新人教版八年级数学上册第十五章分式
八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
最新人教版八年级数学上册《15.1.2 分式的基本性质》优质教学课件
x 1
4 x3
解：(3)最简公分母是 12x 3 .
x 1 （x 1） 6 x
6 x（x 1）
,
2
2
3
2 x
2 x 6 x
12 x
4
4 （ 4 x 2） 16 x 2
,
2
3
3x
3 x （ 4 x ） 12 x
x 1 （x 1）（ 3） （
(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；
(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
探究新知
素养考点 1
分式的基本性质的应用
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
解: (1)成立.
(2) 成立.
因为
因为
所以
所以
巩固练习
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如
果不正确，说明理由.
x
1
(1)
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整
式，分式的值不变．
探究新知
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
A
A C A
A C
,
（C 0）
.
B
B C B
B C
其中A，B，C 是整式.
探究新知
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
,
B. 3a 2b3 与 3a 2b 2c 通分后为 2 3
3a b c 3a 2 b 3 c
1
C. m +n 与
1
m–n
的最简公分母为m2-n2
最新数学人教版八年级上册第15章分式15.3.1分式方程课件
B. 160 400 160 18
x
1 20% x
C.
160 400 160 18 x 20% x
D.
400 400 160 18 x 1 20% x
知2－练
1
(中考· 乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km的博物馆参 观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余 学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速 度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车
辽阳)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450 3 (中考· 公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某
客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35
公里/小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普 通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由 高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的 分式方程是( D )
本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元
购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下 列所列方程正确的是( B )
A.
C.
200 350 x x3 200 350 x3 x
B.
D.
200 350 x x3 200 350 x3 x
（来自《典中点》）
知2－练
导引：(1)中的方程分母不含有未知数，(2)(3)(4) 中的方
程分母含有未知数．
解： (1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数； (2)是分式方程，因为分母中含有未知数；
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数；
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数．
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
(1)分式方程的两个特点：
人教版八年级数学上册第十五章分式)+15
（二）讲授新知，500字
1.首先讲解分式的定义，强调分子和分母的含义，以及分式的表示方法。
2.接着，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过具体例题，讲解分式的化简、约分等基本操作，让学生掌握这些基本技能。
3.讲解分式乘除法的运算规则，特别是分子分母交叉相乘的技巧，通过典型例题和练习，使学生熟练运用。
3.通过合作交流，培养学生团结协作的精神，提高他们的人际沟通能力。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让他们认识到数学在生活中的重要性。
5.引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了提高成绩，更是为了培养逻辑思维、解决问题的能力，为未来的发展打下基础。
本章节教学设计将围绕以上目标进行，注重知识传授与能力培养，关注学生情感态度与价值观的形成，努力提高教学质量，为学生的全面发展奠定基础。
（四）课堂练习，500字
1.设计难易适度的练习题，包括分式的化简、乘除法运算、分式方程的求解等，让学生独立完成。
2.在学生练习过程中，关注他们的解题方法、运算过程和答案，及时发现问题并进行纠正。
3.针对不同学生的掌握情况，给予个性化的辅导，提高他们的运算能力和解题技巧。
（五）总结归纳，500字
1.让学生回顾本节课所学的分式的定义、性质、运算规则等内容，总结自己的学习收获。
5.通过分式的学习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过导入环节，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索分式的概念及其运算规律。
2.采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，发现并掌握分式的化简、运算方法。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高运算技巧。
最新人教版八年级数学上册《15.2.1 分式的乘除(第1课时)》优质教学课件
15.2
分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时
导入新知
通过前面分式的学习，我们知道分式和
分数有很多的相似性，如基本性质、约分和
通分.那么在运算上它们有相似性吗？
素养目标
2.能准确地进行分式的乘除法的计算.
1.知道并熟记分式乘除法法则.
探究新知
知识点
分式的乘除法法则
500
a 2 -1 a +1
2
(2)
=
=
.
2
2
（a -1） a -1 （a -1） 500
a -1
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的
单位面积产量的
倍.
巩固练习
取一条长度为1个单位的线段AB，如图
第一步，把线段AB三等分，以中间
的一段为边作等边三角形，然后去掉这
一段，就得到由4条长度相等的线段组
则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
探究新知
分式的乘除法法则
a c
ac
a
c
a d
a d
；
．
b d
bd
b
d
b c
bc
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的
分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
相乘.
C.ab
D．
课堂检测
基础巩固题
−
1.化简
A.
2.计算：
人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案
第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y +-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例 参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。
八年级数学上册听课记录：第十五章分式《分式：分式的基本性质》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十五章分式《分式：分式的基本性质》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握分式的基本性质，包括分式有意义的条件、分式相等的条件以及分式的约分与通分。
2.过程与方法：通过实例分析和讨论，引导学生探索分式基本性质的规律，培养学生的观察、归纳和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度和探究精神，以及合作学习的意识。
二、导入教师行为：•教师首先复习上节课关于分式概念的内容，提问学生：“谁能说说什么是分式？分式与分数有什么不同？”•接着，教师展示两个简单的分式，如32x和6x4x2，提问：“这两个分式相等吗？为什么？”引导学生思考分式相等的条件。
•由此引出本节课的主题：“为了更深入地理解分式，我们需要掌握分式的基本性质。
那么，分式有哪些基本性质呢？这就是我们今天要学习的内容。
”学生活动：•学生回忆并回答教师关于分式概念的提问，巩固上节课所学内容。
•认真观察教师给出的分式例子，思考并尝试回答分式相等的条件，为学习分式基本性质做铺垫。
过程点评：•教师通过复习旧知和提出问题，自然过渡到新课内容，激发了学生的学习兴趣和求知欲。
•学生积极参与思考，为学习分式基本性质奠定了良好的基础。
三、教学过程3.1 分式有意义的条件教师行为：•教师明确指出：“分式有意义的条件是分母不能为0。
”•通过具体例子说明，如x−1x，当x=1时，分母为0，分式无意义。
•引导学生思考并总结分式有意义的条件。
学生活动：•认真听讲，理解分式有意义的条件。
•分析教师给出的例子，尝试自己总结分式有意义的条件，并与同学交流讨论。
过程点评：•教师通过具体例子和清晰讲解，使学生明确了分式有意义的条件。
•学生通过思考和讨论，加深了对这一性质的理解。
3.2 分式相等的条件教师行为：•教师给出两个分式相等的例子，如ba=dc（b=0,d=0），并指出：“如果两个分式相等，那么它们的交叉相乘也相等，即ad=bc。
2023八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质教案(新版)新人教版
- 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个数，分式的值也不变。
3. 分式的运算
- 加减法：XXX
- 乘除法：XXX
4. 分式的应用
- 实际问题：XXX
- 解题步骤：XXX
5. 总结
- 分式的概念和性质
- 分式的运算方法
- 分式的应用实例
2. 调整教学方法：采用多种教学方法，如案例教学、小组讨论、实验法等，提高学生的学习兴趣和参与度。
3. 多元化评价：采用多元化评价方式，如过程性评价、学生互评、自我评价等，全面了解学生的学习情况，促进学生的全面发展。
八、板书设计
1. 分式的概念
- 分子：XXX
- 分母：XXX
- 分式：XXX
2. 分式的基本性质
强调分式的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对分式知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决分式问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解分式的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习分式内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确分式教学目标和分式重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保分式教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习分式的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
2024年-人教版数学八年级上册第15章——15.3《分式方程》同步练习及(含答案)3
一、选择题
1．小明和小张两人 练习 电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相 等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的 是（ ）
A： B： C： D：
2．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所 用的天数相等，若设甲班每天植 树x棵，则根据题意列出的方程是()．
20．列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
5．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）
18 ．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎么样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程：．
三、解答题
19．某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
最新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程(第2课时)》优质教学课件
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶
s
（x+v）
s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为
km/h，
x
s+50
（s+50）km，所用时间为 x+v h. 根据行驶时间
提速后列车运行
的等量关系可以列出方程:
s s+50
x = x+v
探究新知
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
探究新知
素养考点 1 利用分式方程解答工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
1
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
3
巩固练习
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件
新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
最新人教版八年级数学上册第十五章《分式方程》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、分式方程的定义1.定义：一般地，分母上含有未知数的方程，叫分式方程.2.分式方程的特征：①含有分母；②分母中含未知数.其中②是分式方程与整式方程的根本区别.二、可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）的解法1.解分式方程的基本思路：解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母.2.解分式方程必须检验，检验的方法是：将整式方程的解代入最简公分母（或每个分母），如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（有的书上称为原方程的增根）.深化升华 为什么会出现增根呢？我们举例说明一下. 解方程：xx x -=--2121-2.① 方程两边都乘以x-2，得1-x=-1-2(x-2),②解这个方程，得x=2.我们把解题步骤简化为：①−−−−→−-2x 两边都乘以②→x=2,即①−−−−→−0两边都乘以②.这与等式的基本性质不相符.从另一个角度看，方程②中允许x=2，即x=2是方程②的解，但方程①中不允许x=2，在从方程①变形为方程②的过程中，x≠2这一限制条件被取消了，因此，出现了满足方程②但不满足方程①的解x=2.记忆要诀 解分式方程的步骤是：①分母能因式分解的首先要因式分解；②找出最简公分母；方程两边同时乘以最简公分母；③化成整式方程；解整式方程；④代入原方程各分母或最简公分母检验；如果整式方程的解使得原方程各分母或最简公分母不为零，则是原分式方程的根，否则就是增根.3.解含有字母已知数的分式方程以及公式变形是本节的难点和疑点.例如，解方程求x:1+-x n x m =0(m≠n). 题目中明确指出x 是未知数，那么m ，n 就是字母已知数.方程两边同乘x(x+1)，得,m(x+1)-nx=0.化简，得(m-n)x=-m,∵m≠n,∴m-n≠0,解得x=nm m --. 深化升华 上面的讨论（∵m≠n,∴m-n≠0）是不可缺少的，因为根据等式的基本性质，两边同乘（或除以）一个不为0的整式，才是一个恒等变形.由于x+1=n m m --+1=nm n --，m,n 的取值范围不清楚，所以我们要分几种情况进行检验： ①当m=0或n=0时，x=0或x+1=0, x=nm m --不是原方程的解，原分式方程无解； ②当m≠0且n≠0时, x=nm m --是原方程的解. 联想发散 公式变形不仅在数学学习中，而且在其他学科中也经常遇到，如并联电路总电阻R 与支路电阻R 1、R 2满足关系式21111R R R +=，试用含有R 1、R 2的式子表示R. 解法1：∵21212112121R R R R R R R R R R R +=+=, ∴R=2121R R R R +. 解法2：把R 看成未知数，R 1，R 2看成字母已知数,两边同乘RR 1R 2，得R 1R 2=R 2R+R 1R.化简，得(R 1+R 2)R=R 1R 2,显然R 1+R 2≠0,∴R=2121R R R R +. 三、列分式方程解决实际问题列方程解应用题的一般步骤是：①设未知数，有直接设法和间接设法两种，大多数情况下采用直接设法.②列式，用代数式表示未知量和已知量.要弄清和差倍分的表示法，增长率的表示法，顺水速度、逆水速度的表示法等等.③列方程，从不同角度寻求等量关系是列方程的前提和关键，它直接影响到问题的解决.有的等量关系是几个量之间的关系，如路程=时间×速度，总价=单价×数量等；有的等量关系隐藏在已知条件中，需要我们认真分析，仔细挖掘.④解方程，检验解的合理性（包括检验是否是方程的解，是否符合题意），写出答案. 学法一得 总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.(1)审——仔细审题，找出等量关系.(2)设——合理设未知数.(3)列——根据等量关系列出方程(组).(4)解——解出方程(组).(5)答——写出答案.典题·热题知识点一 分式方程的解法及有关注意事项例11112132-=+--x x x . 思路分析：此题重点考查了分式方程的解法.解：方程两边同时乘以（x ＋1）(x-1)，得3(x ＋1)-2(x-1)=1，整理并解得x=-4.检验：当x=-4时，（x ＋1）(x-1)=15≠0，∴x=-4是原方程的根.知识点二 公式变形的应用例2如果解分式方程2242---x x x x =-2出现增根，则增根为（ ） A.0或2 B.0 C.2 D.1思路分析：分式方程出现增根的原因是去分母化为整式方程后产生的，因此只要解这个分式方程即可.解：方程两边同时乘以x(x-2)，得4-x 2=-2x(x-2),整理并解得x=2，当x=2时,x(x-2)=0，∴x=2是原方程的增根.答案：C例3公式变形:在公式E=I （R+nr )中已知E ，I ，R ，r 且E≠IR,求n. 思路分析：题目中明确指出n 是未知数，那么E,I,R,r 就是字母已知数,按解分式方程的步骤求解即可.解：公式两边同时除以I ，得nr R I E +=. 两边同时乘以In 得：En=IRn+Ir.移项得：En-IRn=Ir.即:(E-IR)n=Ir.∵E≠IR,∴E-IR≠0.两边同时除以（E-IR ）得：n=IRE Ir -. 误区警示 要注意条件E≠IR 的应用.知识点三 分式方程的应用例4某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 m 3，求该市今年居民用水的价格.思路分析：本题涉及三个量，即用水量、单价（每立方米水费）和总价（水费），它们之间的关系是：总价（水费）=用水量×单价（每立方米水费）.认真审题，可以发现如下的等量关系： ……每立方米水费上涨31，即调价后单价=调价前单价×（1+31）；① 今年7月份的用水量=去年12月份的用水量+5；②去年12月份的水费是15元，即，去年12月份的用水量×调价前单价=15；③今年7月份的水费是30元，即，今年7月份的用水量×调价后单价=30；④设调价前单价为x 元/m 3，由①得,调价后单价（即今年居民用水的价格）为（1+31）x. 由③得,去年12月份的用水量为x15， 由④得,今年7月份的用水量为x )311(30+. 代入②，得x x 15)311(30=++5. 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3，则今年的水价为(1+31)x 元/m 3，根据题意，得,x x 15)311(30=++5,解得x=23. 经检验，x=23是所列方程的根.（1+31）x=(1+31)×23=2. 即该市今年居民用水的价格为2元/m 3.巧解提示 本题也可以设出去年的用水量，从价格上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例5为了方便广大游客到昆明参加、游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828 km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2 h ，比普通快车早4 h 到达昆明，求两车的平均速度.思路分析：由题意可知，直达快车的平均速度=普通快车平均速度的1.5倍；①直达快车走完全程所用的时间=普通快车走完全程所用的时间-6小时；②可设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，直达快车走完全程所用的时间=x 5.1828小时，普通快车走完全程所用的时间=x 828小时，由②得x 828-6=x 5.1828. 解：设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，依题意，得 x 828-6=x5.1828,解得：x=46. 经检验，x=46是方程的根，且符合题意.∴x=46,1.5x=69.答：直达快车和普通快车的平均速度分别为69 km/h ，46 km/h.巧解提示 本题也可以设直达快车走完全程所用的时间，从时间上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例6编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚.思路分析：此题重点考查大家的发散思维能力，在解答此题的过程中一定要符合题目给出的条件.这也体现了新课标要求的“数学来源于实践，又作用于实践”.解：所编应用题为：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做x 个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有2610-=x x , ∴x=5,x-2=5-2=3.答：甲每小时做5个，乙每小时做3个.巧解提示 此题答案不唯一，可从路程时间速度问题、劳力分配问题、浓度问题以及社会实际问题入手，但编写题目一定要符合条件.问题·探究思维发散探究问题 1 解分式方程,要先把分式方程化为整式方程,前面我们研究了最简公分母是两个多项式乘积的方程的解法,那么我们能否利用前面的方法解方程呢？（1）21611171-+-=-+-x x x x . （2）你发现方程的解有什么规律？ （3）利用你发现的规律，猜想方程d x c x b x a x +++=+++1111（a,b,c,d 表示不同的数，且a+b=c+d ）的解是什么？并加以验证.探究过程：用常规的方法去分母，计算量很大.如果我们能看到四个分母中的x-7与x-6差1,x-2与x-1也相差1;且把71-x 与61-x 相减，把21-x 与11-x 相减时,通分之后分子也都是1,这样变成整式,会非常简单.具体的计算过程如下:（1）把方程移项，得71-x -61-x =21-x -11-x , 两边分别通分，得)1)(2(1)6)(7(1--=--x x x x , ∴(x-7)(x-6)=(x-2)(x-1),∴x 2-13x+42=x 2-3x+2,化简，得：10x=40,即x=4.（2）观察结果我们会发现,(-7)+(-1)=(-6)+(-2), 且2)1()7(-+--=4. （3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-, 检验：左边=b b a a b a ++-+++-2121 =ba b a a b b a ---=-+-2222=0;右边=d c d c c d d c d d c c d c ---=-+-=++-+++-22222121 ∴x=2b a +-是方程的解. 探究结论：(1)可以用前面的方法解方程，但计算量很大.这道题有更简单的解法.（2）方程的解与各分式的分母中的常数项有关.（3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-,经验证，确实如此. 交流讨论探究问题2 解分式方程：14122-=-x x . 探究过程：小聪：这道题不难！去分母，转化为整式方程2(x+1)=4，解得x=1，大功告成了！ 小明：你还没检验呢！小聪：一定要检验吗？小明：是啊！你把x=1代入原方程，分母x-1=0，分式无意义！所以x=1是增根，应该舍去. 小聪：为什么叫增根呢？它是根吗？小明：增根也是根，譬如x=1就是方程2(x+1)=4的根，但它不是原分式方程的根，好像是分式方程身上长出的一个毒瘤，多余的，必须割去，所以称它为增根.小聪：我明白了！看来解分式方程时，检验是必不可少的啦！探究结论：方程两边都乘以最简公分母(x-1)(x+1)得:2(x+1)=4.解得x=1.检验：当x=1时，代入最简公分母，得(x-1)(x+1)=0,∴x=1是原方程的增根.。
八年级上册第十五章-分式知识梳理
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
最新人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》精品教案
本题源自《教材帮》
随堂练习 1
分子乘以a
（1）
a-b ab
(a2 - ab) a2b
分母乘以a
分子除以x
（2）x2 xy x2
x
x
y
分母除以x
本题源自《教材帮》
随堂练习 1
分子乘以(x+y)
（3）
xx
y y
(x2 (x
y2) y)2
分母乘以(x+y)
分子乘以(m-n)
m-n
（4）
mn
(m - n)2 m2 - n2
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号.
（1） - 3a - 7b
（2） y - 3x
（3） - 2m 5n
解析：（1） - 3a (-1) 3a 3a - 7b (-1) 7b 7b
（2）
y - 3x
y (-1) 3x
- y 3x
（3） - 2m (-1) 2m - 2m
2 x A. x - y
2y B. x2
2y3 C. 3x2
2y2
D. (x - y)2
解析：先按照题目的要求计算出变化后的分式，然后与原分式进行比较， 看结果是否等于原来的分式即可解答.
本题源自《教材帮》
拓展提升 1
若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ D ）
2 x A. x - y
B
③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.
判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看 原式的本来“面目”是否符合分式的概念.
知识回顾
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0， 所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 A 才有意义.