均匀设计
均匀设计
1，3列பைடு நூலகம்
试验点划分越细，均匀性越好
1，4列
混合水平均匀设计表
均匀设计表适用于因素水平数较多的试验，但在具体的试 验中，往往很难保证不同因素的水平数相等，这样直接利 用等水平的均匀表来安排试验就有一定的困难。下面采用 拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表。
采用拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表
例： A，B，C三因素；A，B：3水平；C：2水平
均匀设计：可将U6*（64）改造成U6（32×21）
根据使用表，将A和B放在前两列，C放在第三列 ，并将前两列的水平进行合并：{1，2}→1， {3 ，4}→2， {5，6}→3。同时，将第三列的水平合 并为二水平：{1，2，3}→1，{4，5，6}→2，于 是就得到了下面的设计表。这是一个混合水平的 设计表 。
均匀设计
内容
均匀设计的定义及特点 等水平均匀设计表 混合水平均匀设计表 均匀设计与正交设计的对比
均匀设计 ：
一种试验设计方法，只考虑试验点在试验范围内均匀 散布的试验设计方法。 它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析 因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验。 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多水平时
均匀设计的基本步骤
1、明确试验目的，确定实验指标。 2、选因素。 3、确定因素的水平。 4、选择均匀设计表。 5、进行表头设计。 6、明确试验方案，进行试验。 7、实验结果统计分析。
均匀设计与正交设计的对比：
正交设计具有正交性。既可以估计出主效应，也
可估计出交互效应。均匀设计不可能估计出主效应和 交互效应，但是可以估计出回归模型中因素的主效应 和交互效应。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至 为水平数的平方。均匀设计的试验次数随水平数增加 连续增加。 正交设计的数据分析较简单，均匀设计的数据分析复 杂。
均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
第7章均匀设计
U——均匀表代号； n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； r——因素水平数，与n相等； l——均匀表纵列数； *——均匀性更好的表，优先选用Un*表
（2）使用表 每个均匀设计表都附有一个使用表
D表示均匀度的偏差(discrepancy)，D↓，均匀分散性↑
Lower 95% Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 8.300534323 28.86916 8.300534 28.86916 1.292706552 1.996182 1.292707 1.996182 -20.46011399 -2.87322 -20.4601 -2.87322 -0.058870759 0.260891 -0.05887 0.260891 -9.195631546 2.528965 -9.19563 2.528965
吸盐水比率y
34 42 40 45 55 59 60 61 63
7.3 均匀设计的应用
4因素9水平 选U9（95） 直观分析看出第9号试验所得产品吸盐水能力最强，对 应的条件为较优的工艺条件
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
丙烯酸x1ml
1（12.0） 2（14.5） 3 （17.0） 4 （19.5） 5 （22.0） 6 （24.5） 7 （27.0） 8 （29.5） 9 （32.0）
42
3
17 0.8
59 0.95
40
4 19.5
1
813 53.5 0.65
55
6 24.5 0.5 75.5 0.5
59
7
27 0.7
48 0.35
60
8 29.5 0.9
均匀设计和正交设计的比较
均匀设计和正交设计的比较均匀设计（Uniform Design）和正交设计（Orthogonal Design）是两种常用的实验设计方法，用于确定影响因素和因变量之间的关系，以及确定最适合的因素水平。
下面将对这两种设计方法进行比较。
1.定义和原理：-均匀设计：均匀设计是一种实验设计方法，旨在通过选择一系列设计点，在全区间内均匀覆盖因素水平的组合，从而得到最优的判别能力和推断效果。
-正交设计：正交设计是一种实验设计方法，它通过将影响因素的各个水平进行组合，使得各个因素及其交互作用之间的关系得以均匀分布，从而有效地降低测量误差和背景干扰。
2.设计要素数量：-均匀设计：均匀设计要求设计点之间具有相似的分布规律，通常需要更多的设计点来达到均匀覆盖的目的。
-正交设计：正交设计要求因素水平之间的关系在各个方向上都是均匀分布的，因此设计所需的样本数量通常比均匀设计少。
3.因素水平组合：-均匀设计：均匀设计通过选择各个因素的水平组合来实现因素与因变量之间的关系研究，可以包含更多的因素和水平数，但样本点之间的因素水平组合可能会重复。
-正交设计：正交设计通过选择各个因素水平组合的方式来实现因素与因变量之间的关系研究，可以保证不同因素之间的水平组合均匀分布，从而减少重复度。
4.探索和解释能力：-均匀设计：均匀设计具有较高的探索性能，因为它能够覆盖全区间的因素水平组合，可用于快速筛选和发现影响因素。
-正交设计：正交设计具有较高的解释能力，因为它能够有效地区分主要因素和交互作用，从而更加精确地解释因果关系。
5.应用场景：-均匀设计：均匀设计适用于对影响因素的探索性研究、多因素筛选和较小样本量的试验设计。
-正交设计：正交设计适用于影响因素的优选、因素交互作用的分析、样本容量要求相对较高的试验设计。
总结来说，均匀设计和正交设计是两种不同的实验设计方法，各自具有不同的优势和适用场景。
均匀设计适用于探索性研究、多因素筛选等，而正交设计适用于因素优选和因素交互作用的分析。
均匀设计法名词解释
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。
该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。
试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。
均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。
此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。
这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
均匀设计
表5 用逐步回归法数据处理结果
变量 常数 x1 x2 x3 x12 偏回归系数 -9.105 3.672 -0.768 -4.014 -0.159 标准偏回归系数 — 4.478 -0.936 -0.300 -4.075
各因素对y值影响的大小取决于标准偏回归系数，各因素对y的 影响大小顺序为：x1（葡萄糖）＞x2（硫酸铵） ＞ x3（尿素）
对上述方程求一阶偏导数得：在x1取值的 范围内（8.0—14.0），经计算得： x1=11.55.x2和x3则应选择较低值，以保 证获得较大的y值。 若x1=11.55，x2=2.0， x3=0.1 则y=10.07 若将x3改为x3=0.05 则y=10.30 因此，通过该设计及计算，不但可以 解释因变量y与各自变量间的定量关系， 而且可以寻找优化的实验条件。
3
2
3
4
0.2132
通常有”*”号的均匀设计表有更好的均匀性，应 优先选用，但实验数n确定后，通常Un表比Un* 表能安排更多的因素，故当s较大且超过Un*的 使用范围时，可使用Un表。
例如由表1和表6两个均匀设计表U7(74)和 U7*(74)及它们的使用表来安排实验，今有两个 因素，若选用U7(74)的1.3列，其偏差 D=0.2398，而选用U7*(74)的1.3列，相应偏 差D=0.1582,后者较小，均匀度更好，应优先 选用。
表3 葡萄糖、硫酸铵和尿素因素与水平数
因素
水
平
数
1
葡萄糖x1 硫酸铵x2 尿素x3 8.00 2.00 0.00
2
9.00 3.00 0.05
3
10.00 4.00 0.10
4
11.00 5.00 0.15
5
试验设计-第07章-均匀设计
§2 均匀设计表
一、均匀设计表
列号 试验号
1 1 2 3 4 5
2 2 4 1 3 5
3 3 1 4 2 5
4 4 3 2 1 5
U a (b )
c
U 5 (5 )
其中 U 表示均匀设计表
4
1 2 3 4 5
a 表示行数，即均匀试验次数； b 表示每列中的不同字母个数，即每个因素的水平数； c 表示列数，即该均匀设计表最多能安排的因素数。
例：无粘上漿是纺织工业的一项重要改革，用化 学原料代替淀粉可以节省大量的粮食，CMC(羟 甲基纤维毛内)就是一种代替淀粉的化学原料，为 了寻找CMC的最佳生产条件，拟进行53因素试验， 选定的因素水平如表。
因素水平表
水 平 因 素 A 碱化时间（min）
1
2 135 26 105
3 150 27 120
L25 (5 )
6
10
5
U 25 (25 )
0 5 10 15 20 25
4
0
正交试验与均匀试验（试验点数相等） 正交试验点
均匀试验点
5水平2因素情况下，n=5 的均匀试验。
5
4
3
L25 (5 )
6
2
1
U 5 (5 )
0 1 2 3 4 5
4
0
正交试验与均匀试验（试验点数不等） 正交试验点
均匀试验点
0
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
43
32
21
0
0 1
1 2
2 3
43
54
65
第1、3列各水平在 平面格子点上的组合
第1、6列各水平在 平面格子点上的组合
均匀设计
均匀设计（Uniform Design），又称均匀设计试验法（Uniform Design Experimentation）），或空间填充设计，是一种试验设计方法（Experimental Design Method。
它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
1简介所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，方开泰、王元完成的“均匀试验设计的理论、方法及其应用”，首次创立了均匀设计理论与方法，揭示了均匀设计与古典因子设计、近代最优设计、超饱和设计、组合设计深刻的内在联系，证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性。
该项工作涉及数论、函数论、试验设计、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，形成了中国人创立的学派，并获得国际认可，已在国内外诸如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛应用。
2提出均匀设计是继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出的一种试验设计方法。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计和贝叶斯设计等相辅相成。
我们知道，试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点，通过试验得到响应的观测值，然后进行数据分析求得达到最优响应值的试验条件。
因此，试验设计的目标，就是要用最少的试验取得关于系统的尽可能充分的信息。
均匀设计即可以较好地实现这一目标，尤其对多因素、多水平的试验。
3原理分布理论均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。
均匀设计
7.1 均匀设计表
7.1.1 等水平均匀设计表
（1）记号： ）记号： Un(rl)或 Un*(rl) 或 U——均匀表代号； 均匀表代号； 均匀表代号 n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数 r——因素水平数，与n相等； 因素水平数， 相等； 因素水平数 相等 l——均匀表纵列数； 均匀表纵列数； 均匀表纵列数 *——均匀性更好的表，优先选用Un*表 均匀性更好的表，优先选用 均匀性更好的表 表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3 (7)4 (8)4 (9)5 (10)5
B (2)1 (4)2 (6)3 (8)4 (10)5 (1)1 (3)2 (5)3 (7)4 (9)5
C (5)1 (10)2 (4)1 (9)2 (3)1 (8)2 (2)1 (7)2 (1)1 (6)2
均匀设计（ design） 均匀设计（uniform design） ： 一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的 试验设计方法 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多 应用：试验因素变化范围较大， 水平时 例如： 因素31水平的试验： 31水平的试验 例如：5因素31水平的试验： 正交设计试验次数≥ 正交设计试验次数≥312＝961 均匀设计试验次数： 均匀设计试验次数：31
7.2 均匀Biblioteka 计基本步骤（1）明确试验目的，确定试验指标 ）明确试验目的， （2）选因素 ） （3）确定因素的水平 ） 可以随机排列因素的水平序号 （4）选择均匀设计表 ） 根据试验的因素数和水平数来选择 参考使用表 首选U 表 首选 n*表
7.2
均匀设计基本步骤
均匀设计
Regression Residual Total
a. Predic tors: (Con stant), X 3 方 , X1X2, X4, X1, X2, X3 b. Dependent Variable: Y
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta -2.146 -2.715 -4.106 .329 4.695 3.658
在淀粉接枝丙烯制备高吸水性树脂的试验中,为了提高树脂吸盐水的能力,考察 了丙烯酸用量X1,引发剂用量X2,丙烯酸中和度X3和甲醛用量X4四个因素,每个因素取 9个水平，如下表所示：
根据因素和水平，我们选取均匀设计表U9﹡(94)或U9﹡(95)。但由于它们的使 用表可以发现，均匀表U9﹡(94)最多只能安排3个因素，所以选用U9﹡(95)来安排 该实验。根据U9﹡(95)的使用表，将x1，x2，x3，x4，x5分别放在U9﹡(95)表的1， 2,3,4,5列，试验方案和试验结果如下表所示：
即丙烯酸用量>引发剂用量>丙烯酸中和度>甲醛用量。
例7-2 利用废弃塑料制备清漆的研究中,以提高警惕清漆漆膜的附着 力作为试验目的。结合专业知识,选定了以下四个因素,并确定了每 个因素的考察范围。 因素及水平见下表U10﹡(108)：
Coefficientsa Standardi zed Coefficien ts Beta .368 .798 -.315 .333
t 5.896 -7.115 -6.483 -8.120 7.344 8.430 7.456
Sig. .010 .006 .007 .004 .005 .004 .005
a. Dependent Variable: Y
均匀设计
两类均匀表的说明
Un表最后一行为各因素最高水平的组合，将最后 一行划去，相当于减少一个水平，此时便得到了 水平数少1的U*n表
在实际应用中，当某些因素的最高水平相遇时， 实验无法进行。如某些化学反应中，最高水平相 遇会发生爆炸
通常U*n表有更好的均匀性，应优先选用 当实验次数n给定时，通常Un表比U*n表能安排更 多的因素。故当因素个数较多，且超过U*n表的 使用范围时可使用Un表
均匀性的度量
均匀设计表的均匀度用偏差（discrepancy）来度 量，用D表示偏差 偏差值越小，表示均匀度越好 偏差可对任意均匀设计表中的任意二列、任意三 列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作 为使用列，从而形成使用表
均匀设计表的使用表
均匀设计表 U7（7 ）的使用表 因素个数 2 3 4 列号 1，3 1，2，3 1，2，3，6 D 0.2398 0.3721 0.4760
四、均匀设计的实施步骤
第一步，在确定了因素及其水平之后，根据因素 数及各因素的水平数选择合适的均匀表 第二步，根据该均匀表的使用表从中选出最合适 的列号，使得偏差最小，将因素分别安排到这些 列上，此时不需要考虑因素之间的交互作用
第三步，根据设计好的表头，将标有单个实验 因素的那些列连同其下的“水平代码”一起摘 录出来 第四步，结合实验因素各水平的具体内容，将 摘录出来的各列的“水平代码”转换成“真实 代码”（即实验因素的真实水平），并按均匀 表各行所决定的实验条件进行具体实验
用 1，3 列 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 1
用 1，6 列
均匀设计
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
第07章 均匀设计
b2、b4小于0，表明试验指标随x2、x4的增加而减 小，确定优方案时，因素x2、x4的取值应取下限， 即引发剂用量取0.3％、甲醛用量取0.20ml；
优方案为：
丙烯酸用量取32ml、中和度取92％；引发剂用
量取0.3％、甲醛用量取0.20ml。
将上述优化值代入回归方程可得：
y＝76.3
该结果好于第9号试验结果，但需要进行验证。
第3列 水平 x3/% 64.5 86.5 59.0 81.0 53.5 75.5 48.0 70.0 92.0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
第5列 1.25 1.10 0.95 0.80 0.65 0.50 0.35 0.20 1.40
指标 34 42 40 45 55 59 60 61 63
(2)1
(4)2
(3)1
(6)2
3
4 5 6
(3)2
(4)2 (5)3 (6)3
(6)3
(1)1 (3)2 (5)3
(2)1
(5)2 (1)1 (4)2
改造要求：混合均匀表有较好的均
衡性，即两列表的任一列上，不同
水平出现次数是相同的，但出现次
数≥1
7.2
均匀设计基本步骤
第 7 章
均匀设计
均匀设计是指利用均匀设计表进行试验设计的
一种试验设计方法，它的设计原理是数论中的一致
分布理论，即只考虑试验点在试验范围内的均匀散 布；挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而 不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分 布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且 仅做一次试验，任两个因素的试验点在平面的格子 点上，每行每列有且仅有一个试验点。
试验点在积分范围内散布得十分均匀，并使分布点离被积函
均匀设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
均匀设计名词解释
均匀设计名词解释
嘿，你知道啥是均匀设计不？这可不是一般的概念哦！均匀设计就
像是一场巧妙安排的“布局游戏”。
比如说吧，你要给一群小朋友分糖果，怎么分才能让每个小朋友都觉得公平合理，而且又不会太麻烦呢？这就需要均匀设计啦！
它是一种实验设计方法，能在各种复杂的情况下找到最优的方案。
好比你在走迷宫，均匀设计就是帮你找到那条最快捷、最靠谱的出路。
想象一下，你是个大厨，要准备一道超级美味的菜肴。
你有很多种
食材可以选择，每种食材的用量也有很多可能。
如果靠瞎蒙乱试，那
得浪费多少时间和食材呀！但有了均匀设计，就像是有了一张神奇的
地图，能指引你快速找到最佳的搭配和用量。
咱再说说实际应用，在很多领域都能看到均匀设计的身影呢！比如
在工业生产中，怎么让生产过程更高效、更节能？均匀设计就能发挥
大作用。
它能帮工程师们找到最合适的参数组合，让产品质量更好，
成本更低。
在科学研究中，均匀设计也是个得力助手。
研究者们想要探索各种
因素对实验结果的影响，均匀设计就能帮他们有条理地安排实验，快
速得出有价值的结论。
总之，均匀设计是个超厉害的工具，它能让复杂的事情变得简单，让不可能变成可能！它就是那个能帮我们在各种领域中找到最佳答案的秘密武器！所以呀，可别小瞧了均匀设计，它的作用可大着呢！。
第10章 均匀设计
S i g. .134 .409 .553 .069 .101 .474 .044 .010 .021
3.关联度分析
• 有时由于试验次数少，试验方案与试验结果难以 建立明确的回归方程，因而各因素试验结果的影 响也无从知道。
• 我们将灰色系统理论中的关联度分析用于均匀设 计的试验数据处理。在试验次数不多的情况下， 可较好地提示出各因素对试验结果影响的大小。
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Байду номын сангаас
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原子化温度C
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原子化时间 D 8 7 5 4 9 7 6 4 9 8 6 5
如果全面考察试验点则要343次试验，用 正交设计安排这样一个七水平试验，则 至少要做49次试验，而均匀设计仅用7次 试验就初步完成了考察工作。
例2：用石墨炉原子吸收测定钯，选取灰 化温度，灰化时间，原子化温度，原子化时 间四个因素进行考察，试验的考察指标是测 定物质的吸光度。因素的变化范围如下：
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将各因素所对应的水平值填入表中，按试验表中每个试 验的条件安排试验，将所得结果填入表最右列。直观上 看，试验吸光度最高为0.048，如果对试验数据不进行 统计分析处理，可以认为最优试验方案就是第4号试验。
因素 试验号
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•均匀设计方法
•一、均匀试验设计
•均匀设计是在正交试验设计的基础上，创造出的一种新适用于多因素、多水平试验的试验设计方法。
•均匀设计特别适合需要考察因素因素变化范围较大，且每个因素有较多水平的试验设计问题。
•二、均匀设计及均匀表的使用
•均匀设计的基本思想就是让试验点在所考察的试验范围内尽量均匀地分布，为了达到均匀布点目的，与正交设计类似，可以使用均匀设计表（简称均匀表）安排试验，均匀表的表头形式是：
•
•
•
•4
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•正交表U6
•
•正交表U6
•
•
•三、均匀表的特点
• 1.任何一列，各水平仅出现一次；
• 2.任何两列同行数码构成的有序数对仅出现一次；
• 3.均匀表中任两列组成的试验方案不等价; 因此，每个均匀表都附加了使用表，告诉我们如何挑选相应的列按排试验。
• 4.当因素的水平数增加时，试验次数按水平数增加；
• 5.使用表最多可安排的因素数都比均匀表列数少。
只能安排（s/2+1）个因素
•四、用均匀表安排试验的步骤
• 1.根据试验的目的，确定考察的指标；
• 2.选择合适的因素和因素的考察范围；
• 3.选择合适该项试验的均匀表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到相应的列号上；
• 4.确定各因素的水平，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号号入座。
最后进行试验。
• 5.对实验结果进行分析，确定最佳的试验方案。
•例1．在阿魏酸的合成工艺考察中，选取原料配比，吡啶量，反应时间三个因素进行考察，试验的考察指标是阿魏酸的收率。
因素的变化范围如下：
•原料配比A：1.0~3.4
•吡啶量B：10~28(ml)
•反应时间C：0.5~3.5(hr)
•试用均匀设计安排试验。
•解:对于三个因素，s/2+1=3，求出s=4或5，考虑试验的承受程度，选用U7（76）均匀表安排试验，根据各因素的变化范围，划分因素水平表如下：
•
•由U7（76）均匀表的配套使用表可知，应选1，2，3列，因而得下面的试验设计表:
•
•将各因素所对应的水平值填入表中，得试验表如下，按试验表中每个试验的条件安排试验，将所得结果填入表最右列。
•
•直观上看，试验收率最高为0.482，如果对试验数据不进行统计分析处理，可以认为最优试验方案就是第七号试验，即：配比为3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5hr。
由于均匀设计保证所设计的试验点均匀分布，水平数取得又多，间隔不大，因此，真正的最优条件肯定与此相差下大。
•如果全面考察试验点则要343次试验，用正交设计安排这样一个七水平试验，则至少要做49次试验，而均匀设计仅用7次试验就初步完成了考察工作
•例2：用石墨炉原子吸收测定钯，选取灰化温度，灰化时间，原子化温度，原子化时间四个因素进行考察，试验的考察指标是测定物质的吸光度。
因素的变化范围如下：•灰化温度A：100--2300（0C）
•灰化时间B：10--60（S）
•原子化温度C：2500--3000（0C）
•原子化时间D：4--9（S）
•试用均匀设计安排试验。
•解：根据s/2+1=4求得s=6或7，为使试验点多些，结果更可靠，选用4因素12水平，根据试验条件，除灰化温度外，其它各因素采用拟水平法，将各因素模拟为12个水
•用均匀表U12（12）安排试验，根据使用表选择1，6，8，10列组成U12（12），试验安排表如下：
••
将各因素所对应的水平值填入表中，按试验表中每个试验的条件安排试验，将所得结果填入表最右列。
直观上看，试验吸光度最高为0.048，如果对试验数据不进行统计分析处理，可以认为最优试验方案就是第4号试验。
•
•
•五、试验数据的统计分析
•前面已经提到，如果试验数据不经统计处理从已做过的试验中挑选结果最好的试验作为最优方案，一般会得到满意的结果，但对试验数据进行统计处理则有希望得到更为有用的信息。
•由于均匀设计不再具有“整齐可比”的特点，因而不能象正交设计那样通过简单的方法差分析方法来处理。
下面是几种常用的处理均匀设计试验数据的方法。
•1．建立多元回归方程
•通过多元回归可以建立因素对试验结果影响的定量关系式。
•下面是利用计算机对例1的试验结果进行处理
•y=0.201+0.037x1-0.00343x2+0.077x3(1)
•n=7,R=0.857,s=0.092,F=3.29
•查F表，对于3个变量7个样本来说，F0.01(3,3)=5.39而F=3.29<5.39。
说明方程是不可信的。
•2．多元逐步回归
•多元线性回归是对全部因素进行回归，不重要的变是要通过人工删除，这往往不够准确，逐步回归根据变量对方程贡献大小决定是否选入方程或从方程中删除，因而比较合理。
•下面是对例1数据考虑平方项后进行逐步回归后的结果：
•
••
•
3.关联度分析
•有时由于试验次数少，试验方案与试验结果难以建立明确的回归方程，因而各因素试验结果的影响也无从知道。
•我们将灰色系统理论中的关联度分析用于均匀设计的试验数据处理。
在试验次数不多的情况下，可较好地提示出各因素对试验结果影响的大小。
•这时，我们大致知道各因素对试验结果影响的程度和方向（即越大越好，还是越小越好），则也可以抓主要矛盾找出更为适宜的试验条件.
•例3．甲酰天冬酸酐是合成甜味剂天冬甜精的中间体。
在它的合成工艺考察中，考虑
四个因素，各取六个水平，得试验表如下：
•
•我们曾尝试建立多元回归方程，但由于试验次数相对于因素较少没能成功，因而采
用关联度分析找出其规律，下表为各因素对试验结果的正负关联度。
• 关联序为 -
+-+=>>14111213r r r r ，表明原料配比对收率的影响最大，且越大越好。
反应温度对收率影响次之，且越低越好。
•
试验表明，适当降低温度有利反应进行，体现了数据处理的作用。
反应时间和投料时间对反应影响不大，可适当缩短，根据上述观察，取x1=5，x2=45,x3=2.5,x4=0.重新实验，收率为95.5%。
反应时间有所缩短. •
• 六．均匀设计的灵活应用
• 试验中所遇到的问题千变万化，均匀设计所能直接解决的问题是有限的。
但我们可以灵活运用均匀设计，结合专业知识，使其解决更多的问题。
• 1． 拟水平法
•
均匀设计的特点之一是水平数要大于等于因素数，因此，如果影响试验的因素较多，水平就应取得多些，而某些试验条件不可以取这么多的水平，这时可采用拟水平法，就是某一因素的各水平重复使用几次。
• 2． 均匀设计的水平调配法
•
在均匀设计表中，所有奇数试验的表最后一次试验都是所有高档水平相遇，反应太剧烈，有时甚至会出现意外，而所有低档水平相遇，反应有时太慢，甚至不起反应而得不到试验结果，为了避免这个情况，可将水平次序作适当的调整。
根据均匀设计表制作的原理，水平不能象正交试验的水平那样任意改变次序，而是将第一个水平与最后一个水平接起来组成一个圈，然后从任一处开始定为第一个水平，按圈子的原方向（或相反方向）排第二个水平，第三水平……..
•
最后一次试验都是所有的高档水平相遇，为了避免意外，将因素A 的水平作适当调整。
根据实际试验情况，调整水平的操作方法如下图，
•
• 均匀设计安排试验还要注意以下几点：
• ⑴各因素的水平数必须数量化，方便对结果进行多元回归分析。
• ⑵每个因素的水平划分应是等间距的，以充分保证试验点均匀分散性。
•
⑶对每个实验得到的数据必须有质和量的分析。
每个试验号至少要重复进行三次（偏差），取平均值作为结果数据。
• ⑷当因素A 与因素B 之间有交互作用时，回归方程不可能为线性的，其中一定有二
次项X A X B。