4第四章 运输问题(第1-2节)
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
运输问题(运筹学)
求时总运价最小.
供求平衡的运输问题
供应量 A1=14
供应地 1
6 7 5
运价
需求地 1
需求量 B1=22
A2=27 A3=19
2 3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
B2=13
B3=12
3
4
总供应量60吨 供求平衡的运输问题
B4=13 总需求量60吨
单位 利润
销地
产地
B1 6 /x11
B2
B3
若☆格的检验数存在负数，说明当前调运方案不 是最优解，需要进行改进.
若☆格的检验数存在一个以上的检验数为负， 一般应选取其中检验数最小的所在空格进行调整. 调整方法：闭回路法
步骤
(1)以该☆格为出发点，做一闭回路.
B1 B2
7 5
B3
3
B4
产
A1
A2 A3
6
14
8 4
5 ☆
2
5 ☆
7
7 9
6
☆ ☆ 13
13
13
☆ -11 6
22
-3 ☆
13 12
0 6
步骤
(2)以☆格不在的对角线上最小运量作为调整量，☆格 的运量增加调整量，其余各顶点的运量对应改变.
B1 A1 A2 A3 销
6 7
B2
5
B3
3
B4
产
14
8 4
☆
2
☆
7
☆ ☆
6
14 27 19
2
5 9
13
10
12
0
12
6
22
☆
13
13
13
运筹学 第四章 运输问题
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d
bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
最新第四章-运输问题课件PPT
产量 B4
A1
18
14
17
12
100
A2
5
8
13
15
100
A3
17
7
12
9
150
销量
50
70
60
80
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
❖ 总销量>总产量
❖ 某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到五个销地B1， B2，B3，B4， B5，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各 销地的单位运价如下表所示：
20
A3
80
销量
80
B2
B3
120
40
100
30
50
110
140
120
B4 110 90 60 140
产量
160 100 220
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
闭回路法检验解的最优性
从每一个非基变量的空格出发，构造闭回路。若非基
变量所对应的检验数 ij 0 ，则当前解即为最优解。
其中：
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
销地
产地
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学运输问题
销量
b1
b2
…
bn
销地销量
第6页
如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
a
i 1
m
i
b
j 1
n
j
则称为产销平衡运输问题。
第7页
若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小 的调运方案，可建立如下数学模型：
min z c ij x ij
i 1 j 1 m n
并同时划去一行和一列。
最小元素法的缺点：按某一最小运价优先安排物品调 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高，从而使 得总运费很高。
第29页
例：
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
1
A2 7 A3 销量 3 6
9
2
8
4
4
10
5 9Leabharlann 56第30页
解：判断：问题为一产销平衡问题。
由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
又因为，产销平衡的运输问题的目标函数有下界
，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必
有有限最优解。
第18页
例 判断题
运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结
果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，无
穷多最优解，无界解，无可行解。 （×）
第19页
第41页
证明：运输问题中，变量 xij 的系数列向量为
0 1(第 i行 ) 0 （ 1 第m j行 ） 0
第42页
Pij=
2019年第四部分运输问题.ppt
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
第四章 运输问题
4.1 运输问题 4.2 运输问题的表上作业法 4.3 运输问题的进一步讨论
第一节 运输问题 及其数学模型
运输问题是一类特殊的线性规划 问题，本节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，运输问题的对偶问题及其对偶 变量与原问题检验数的关系。
典型背景——单一物资运输调度问题 设某种物品有:
A x x 1
11 c21 12 c22
A2 x21 x22
cm1
cm 2
Am xm1 xm2
b 销量
1
b2
运输问题
B 产量 n c1n
x a 1n c2n 1 x2n a2
cmn
xmn am bn
产销平衡问题——总产量=总销量
即
m
n
Hale Waihona Puke ai bji 1i 1
产销不平衡问题——总产量=总销量
m个产地：A1, A2 ,, Am
产量：a1, a2 ,, am
n个销地：B1, B2 ,, Bn
销量：b1, b2 ,, bn
从产地 Ai到销地 Bi 的单位运价是cij 。
求总运费最小的调度方案。
运输问题
运筹学第四章 运输问题
第四章 运输问题主要内容：1、运输问题及其数学模型； 2、表上作业法；3、运输问题的进一步讨论。
重点与难点：表上作业法的原理、求解步骤，产销不平衡运输问题的求解方法。
要 求：理解运输问题的基本概念及表上作业法的原理，掌握表上作业法确定初始可行解、最优解的判别与改进的方法。
§1 运输问题及其数学模型一、运输问题引例，设有m 个生产地iA ，可供应（产量）分别为m i a i ,,2,1, =;有n 个销地,j B 其需要量分别为n j b j ,,2,1, =。
已知从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c ，试问如何调运物资才能使总费用最小？设用ij x 表示从i A 到j B 的运量，可将这些数据汇总于下表：产销平衡表单价运价表第四章 运输问题 第39页注：有时将两表合二为一。
（1）若各产地的总产量等于各销地的总销量，即∑∑===nj j m i i ba 11，则称之为产销平衡的运输问题（或平衡运输问题）；（2）若所有产地的总产量不等于所有销地的总销量，即∑∑==≠n j j mi i ba 11，则称之为产销不平衡的运输问题（或不平衡的运输问题）；（3）若在运输途中，还存在中间转运点（转运点即是产地，又是销地），则称之为有转运的运输问题（或扩大的运输问题）。
二、平衡运输问题的数学模型在产销平衡的条件下，要求得总运费最小，可建立以下数学模型：∑∑===m i nj ij ij x c z 11min⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥====∑∑==0,,2,1,,2,11,1ij n j i ij j mi ij x m i a x n j b x 该运输问题也属于线性规划问题，包括： （1）n m ⨯个决策变量；（2）m+n 个约束条件；由于有∑∑===n j j mi iba 11，所以模型只有m+n –1个独立约束条件，基变量中含有m+n –1个变量；（3）系数矩阵的秩1)(-+≤n m A rank40（4）系数矩阵为n m n m ⋅⨯+)(阶矩阵，该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m +j 个为1以外，其余的都为零。
04 第四章运输问题
黄芪运输问题最小元素法示例
例1的产销平衡运输表 的产销平衡运输表
销 地 产 地 基变量
B1 2 × 1 3 8 × 3 ﹨0 3 × 5
B2 9 × 3 × 4 4 8﹨ ﹨5 0
B3 10 4 4 2 2 × 4 ﹨0
B4 7 2
产 量
A1 A2 A3
销 量
﹨ ﹨5 0 9 5 ﹨2 0 ﹨
5 7 ﹨3 0 ﹨ 64 ﹨﹨0
在运输问题中，如果总产量等于总销量，即：
∑a = ∑b
i =1 i j =1
m
n
j
则称该运输问题为“产销平衡”的运输问题；否则称为产 销不平衡的运输问题。设xij代表从第i个产地调运给第j个 销地的物资单位的数量，则产销平衡运输问题的数学模型 可表示为如下形式： m n M in Z = ∑∑ cij xij
B3 10
B4 7 4 4 2 2
产 量
A1 A2 A3
销 量
9 5 5 6 7
1 3 8 3 8
2 4 4
三、运输问题的模型特征及有关结论 （一）运输问题的模型特征 m个产地和n个销地的产销平衡运输问题其约束 方程组的系数矩阵具有如下形式：
x11 x12 L x1n x21 x22 L x2 n 1 1 L 1 1 1 L 1 A= 1 1 1 1 O O 1 1 L xm1 xm 2 L xmn O 1 1 L 1 L 1 L 1 O L 1
n
i =1 j =1
产销平衡运输表的结构
销 地 产 地
1 c11 x11 … x12
2 c12
… …
n c1n x1n …
产 量
1 … m
第四章-运输问题
初始基本可行解
是否最优解？ Y
结束
寻找新的基本可行解 N
步骤1：初始基本可行解的确定
❖西北角法：从 x11开始分配，从西北向东南方 向逐个分配；
❖ 最小元素法：采用最小费用优先分配的原则；
步骤2：最优解的检验-位势法
检验数的公式为：
ijcij(ui vj)
其中 u i , v j 分别称为行位势、列位势。
结论：
（1）基变量所对应的检验数： ijcij(uivj)0 （2）若非基变量所对应的检验数 ijcij(uivj)0
当前解即为最优解；
步骤3：寻找新的基本可行解-闭回路法
闭回路： 从进基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，每
碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前 进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称 为闭回路。
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
❖ 其中， B3的销量必须得到满足。请问，应如何调运产 品，使得总运费最少？
4.某公司有从三个产地A1，A2， A3 ，将物品运送到三 个销地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、 各产地到各销地的单位运价如下表所示：
9
销量
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
大纲解读 第四章 运输问题(共5张PPT)
最优解的确定。 大纲解读 第四章 运输问题
2、领会：（1）运输模型的建立， 3、应用：运输问题的表上作业求解方法。
（（二三） ）运产输销问不2题平、表衡上运作输领业问法题会：（1）怎样确定初始可行解，（2）运输问 题最优解的判定。 大纲解读 第四章 运输问题
大纲解读 第四章 运输问题
第一页，共5页。
一、考核知识点 （一）运输问题模型
（二）运输问题表上作业法
（三）产销不平衡运输问题
第二页，共5页。
（一）运输问题模型
1、识记：（1）运输问题的一般模型，
（2）运输问题的解的结构特征
2、领会：（1）运输模型的建立， （2）运输模型的特征。
（三）产销不平衡运输问题
3、应用：运输问题的表上作业求解方法。 2、领会：（1）运输模型的建立，
1、识记：（1模型， 1、识记：产销不平衡模型及其求解。 1、识记：（1）运输问题的一般模型，
第四页，共5页。
（三）产销不平衡运输问题
1、识记：产销不平衡模型及其求解。
2、领会：产销不平衡运输模型的解法。
第五页，共5页。
第三页，共5页。
（二）运输问题表上作业法
（2、二领）会运：输（问11题）、表运上输作模识业型法的记建立：， （1）几个概念：最小元素法、闭回路与 闭回路法、位势法，（2）初始解的确定方法，（3） 1、识记：（1）几个概念：最小元素法、闭回路与闭回路法、位势法，（2）初始解的确定方法，（3）最优解的确定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又因为，产销平衡的运输问题的目标函数有下界
，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必
有有限最优解。
第18页
例 判断题
运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结
果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，无
穷多最优解，无界解，无可行解。 （×）
第19页
第二节 表上作业法
表上作业法是单纯型法在求解运输问题时的一种简 化方法，其实质是单纯型法。
n
n xij ai , i 1,....,m j 1 m xij b j , j 1,...,n i 1 xij 0
这就是运输问题的数学模型。
第8页
如果运输问题中，总产量不等于总销量，即有
a
i 1
m
i
bj
j 1
n
称为产销不平衡运输问题。
运输问题就属于这样一类特殊的线性规划问题。
第3页
一、运输问题的提出
经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题：利用现有
的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、粮食等物资
，从生产地运往消费地，使得总运费最小。
第4页
二、运输问题的数学模型
用数学语言对上述问题进行描述： 1. 有 m个生产地 Ai ：i=1,2,…,m；供应量分别为：ai， i=1,2,…,m；
第12页
4、对于产销平衡的运输问题： 特点 1：模型中最多只有m+n-1个约束条件方程独立。 证明： 前m个约束条件方程之和为： xij ai 后n个约束条件方程之和为：
m n
m
n
m
x
j 1 i 1
i 1 j 1 n m
ij
bj
j 1
i 1 n
而，
a b ，故模型中最多只有 m+n-1 个约束条
m行
n行
第11页
该 系 数 矩 阵 中 对 应 于 变 量 xij 的 系 数 向 量 Pij=
（0…1…0…1…0）T，其分量中除第 i 个和第 m+j 个为
1 以外，其余的都为 0。 （1）约束条件系数矩阵的元素等于 0 或 1 ；
（2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非 0 元素，对
应于每一个变量的前 m 个约束条件中出现一次，后 n 个约束条件中也出现一次。
第9页
三、运输问题数学模型的特点
1、有 m×n 个变量。
2、（m + n）个约束条件，且都为等式。
3、其系数矩阵为：
第10页
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m1 x m 2 ... x mn 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... ... 1 1
1. 西北角法 思路：优先考虑位于运输表中西北角上空格的供 销业务。 步骤： （1）在（A1，B1）格中填入x11=min(a1,b1)；
第22页
（2）若 x11=a1，则产地 A1 的可供物品已用完（划去 该元素所在的行），且 B1 的需求量由 b1 减少为 b1-a1； （3）若x11=b1，则销地B1的需求已全部满足（划去该 元素所在的列），且A1的可供量由a1减少为a1- b1。 （4）运输表中尚未划去的部分中，左上角格子为 （A1，B2）或（A2，B1）；
m行
n行
--- ++
第14页
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 xm 2 ...x mn 1 1 1 1 0 0 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... ... 0 0 0 ... ... 0 0 1 1 1 1 0 0 ... 1 ... ... 0
第23页
（5）重复（2）和（3）的过程；
（6）表中每填入一个数字，就划去一行或一列，表 中共有 m 行 n 列，总共可划（m+n）条直线；
（7）当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字， 并同时划去一行和一列。
第24页
例：
销地 产地 A1 1 A2 7 A3 销量 3 6 5 6
第25页
B1
3
B2
第40页
性质 1 构成闭回路的变量组如下
x
i1 j1
, xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,..., xis js , xis j1
其对应的列向量为
P
i1 j1
, Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 ,...,Pis js , Pis j1
是线性相关的。
第41页
2. 有n个消费地 Bj ：j=1,2,…,n；需求量分别为：bj ，
j=1,2,…,n； 3. 单位物资从 Ai 到 Bj 的运价为 cij 。
第5页
单位运价
产地产量
销地 产地 A1
B1
B2
…
Bn
产量
c11
x11
x12
c12
…
… …
c1n
x1n
a1
… am
…
Am
…
…
…
cm1
xm1 xm2
cm2
cmn
并同时划去一行和一列。
最小元素法的缺点：按某一最小运价优先安排物品调 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高，从而使 得总运费很高。
第29页
例：
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
1
A2 7 A3 销量 3 6
9
2
8
4
4
10
5 9
5
6
第30页
解：判断：问题为一产销平衡问题。
行差值
3
11
3
10
5
1
9 2
2 1
8
2 7
7 0
A2
3
7
1 4
1 6 0
4
10
5
A3
销量
6
3 6 5 5 1
3
6 2 3 3 2 0
9 3
2 1
列差值
2
第36页
4. 值得注意的问题 确定初始基可行解时，若在(i, j)填入数字时（不是最 后一个数字格），出现 Ai 处的余量 = Bj 处的余量，
则在填入该数字后，同时划去一行和一列，并在所划
11
B3
3
B4
10
产量
7
9
2
8 4
4
10
5 9
解：判断：问题为一产销平衡问题。
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
3
11
4
3
10
3
1
4 7
9 2 2 4 3
2
8 2 4
A2
7
10 6
5 9 6 6
第26页
A3
销量 3 2 6
5 3
2. 最小元素法 思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。
表上作业法的步骤： 1. 找出初始基可行解：在（m×n）产销平衡表中给
出（m+n-1）个数字格；
第20页
2. 求非基变量的检验数：在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解；
3. 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解： 在表上用闭回路法调整；
4. 重复2、3直到最优解为止。
第21页
一、确定初始基可行解(初始调运方案)
11 0
7 1
4
销量
3
6
1 5
6
第39页
二、最优解的判别
介绍两种求空格（空格对应着非基变量）检验数的 方法： 1. 闭回路法（cycle method） （1）关于闭回路的基本理论 定义：凡能排成 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,..., xis js , xis j1 形式的变量的集合称为一个闭回路。
去的一行或一列中选取某个空格填入数字 0 。 此时表示问题出现了退化现象。
第37页
例：
销地 产地 A1 7 A2 1 A3 销量 3 6 5 6
第38页
B1 3
B2 11
B3 4
B4 5
产量 7
7
3
8 4
2
10
6 9
解：最小元素法。
销地 产地 A1 7 A2 1 A3 3 6 2 B1 3 B2 B3 B4 产量 5 6 3 4 10 6 6 9 8 4 7 6
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 ... Pis js Pis j1 0
第16页
x
i 1
m
ij
i 1
m
ai b j Q
bj
a Q
i 1
m
i
bj Q
Q bj
xij
ai b j Q
满足所有约束条件。
又因为 xij
ai b j Q
0
xij
ai b j Q
, i 1,...,m; j 1,...,n 为可行解。
第17页
由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
m行
n行
第15页
特点 2 ：必有有限最优解。
证明：设
a b
i 1 i j 1
m
n
j
Q
令变量 xij
n n
ai b j Q