运筹学

然后进行检验，第一、第二、第四列已没有未作标号 的0，第三列有一个0，标上括号，表示第3辆车分派给第 丙组工人卸车，于是得
3 0） （ 1 1
2 1 2
1 （0） 2 3 0 1 2 3
然后进行检验，第一、第二、第四列已没有未作标号的 0，第三列有一个0，标上括号，表示第3辆车分派给第丙 组工人卸车，于是得
4 2 (cij ) 4 3 3 3 3 2 4 6 5 6 1 5 4 5
求出指派问题一个可行解并不难，问题是如何求出最 优解，指派问题的最优解有这样的性质：若从系数矩阵的 一行（列）各元素中分别减去该行（列）的最小元素，得 到新的矩阵，那么以新系数矩阵求得的最优解和用原系数 矩阵求得的最优解相同。
1-2-2-2位势法
用闭回路法求检验数，需要对每一空格寻找闭回路， 然后再去求检验数，当一个运输问题的产销点很多时，这
种方法的计算量是很大的，下面介绍一种较为简便的方
法——位势法 设给定一组基本可行解，它的基变量为
xi1 j1 , xi 2 j 2 , , xisjs （s=m+n-1）
又设 u1 , u2 , , um ; v1 , v2 , , vn 是对应于运输问题的m+n个约 束条件的对偶变量，方程组中共有m+n-1个方程，m+n
第二步：试求最优解。 在 中找位于不同行不同列的0元素可按下述方法进行。
a) 从行开始，遇到每行只有一个0元素的就用括号括上，记 作（0），然后划去所在列的其他0元素，用 表示，遇到 有俩个及其以上0元素的行先放下 b) 进行检验，给只有一个0元素的列的0元素用括号括上，计 作（0） ，然后划去所在行的其他0元素，用 表示 c) 反复进行（1）（2）俩步 d) 若仍有没有括上的0元素，且同行（列）的0元素至少有俩 个，这时可从有0元素最少的行（列）开始，比较这行 （列）各0元素所在列（行）中的0元素的数目，选择0元 素最少的那列（行）的这个0元素加括号，然后划掉同行 同列的其他元素，反复进行，直到所有0元素都已括上和 划掉为止。 若（0）元素的数目等于系数矩阵的阶数n ,那么这指 派问题的最优解已得到，否则转入第三步。
率可能不同，因而创造的价值也不同，应如何安排，才能
使创造的总价值最大? 数学模型可表示为
n
min Z
i 1
m
c
j 1
n i 1
n
ij ij
x
c
j 1
ij ij
x 1，i 1,2, , n
x
ij
1, j 1,2, , n
1-4-2匈牙利算法
例4-1：现有4辆装载不同货物的待卸车，派班员要分给4个
偶顶点同时有同一最小值时，则任取一个作为换出变量， 然后按以下方法进行调整。
a)在上述闭回路顶点以外的地方， xij 的值不变。
b)在上述闭回路的奇顶点上， xij 的值都加上调整量；在偶顶 点上，xij 的值都减去调整量。
1-3特殊运输问题的解法
1-3-1产大于销 当产大于销时，即
a
i 1
2 3 0） 1 （ 1 1 （0） 1 （0） 2 3 0 1 2 3
此时（0）元素的数目等于系数矩阵的阶数4，故该指 派问题的最优解已得到，最优解的矩阵形式为
0 1 ( xij ) 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
1-1运输问题及其数学模型
设某种物资有m个产地 A1 , , A m , 产量分别为 a1 , am , 个 单位; 另外有n个消地 B1， , , Bm , 销量分别为b1 , bm又假设产销总量是平衡
的，即
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
此外，还知道由产地 Ai 向销地Bi 运输每单位货物的运输价为 cij 。 这些数据通常用产销平衡表（见表1-1）和单位运价表（见表1-2）来 表示，有时可把两表合一，问应该如何调动这种物资才能使总的运费 最少？
而 x23 对应的检数为 23 c23 c24 c14 c12 c32 - c33 2
其他非基变量对应的检数用同样的方法求出，结果见表18， 格中右边画圈的数字为基变量的取值，不画圈的数字 为大量基变量对应的检验数。 表1-8
用闭回路法求检验数的经济解释为：在给定的基本可 行解表中，从某空格出发，沿着其闭回路把调运方案调整 一个单位给总运费带来的影响。
个未知数中，若任意决定其中一个的取值，就可以解出方 程组，我们把这个方程组的解叫做位势。
1-2-3方案的调整
对已求得的基本可行解，若存在有负的检验数，表明
它还不是最优解，应进行调整，以求出另一组能使目标函
数值下降的基本可行解，为求出一组新的基本可行解，首
先要确定哪一个非基变量要进入基中，哪一个基变量要从 基中移出。设y为换入变量，以y为起点，可以找到唯一的 闭回路，在由y出发的闭回路的偶顶点上，xij 的最小值就 是调整量，而相应的基变量 xij 就为换出变量，若有俩个
表1-1 产销平衡表
表1-2 单价运价表
设 xij 表示从产地 Ai 向销地Bi 调运这种物资的数量，那么 在产销平衡的情况下，由 Ai运出的物资总量应该等于 Ai 的 产量，所以有
x
j 1
n
ij
ai , i 1,2, , m
( B j ) 的销量，可得 同样，运进 ( B j ) 的物资总量应该等于
运 筹 学
( Operations Research )
——运输问题与指派问题
运输问题与指派问题
运输问题是一种特殊的线性规划问题，又称为康特洛 维奇问题，因最初研究交通运输问题而得名,实际上，这 种问题的解法除了解决交通运输中的线性规划以外，还可 以用于工业、农业、商业、军事等各方面同类型的规划问 题。 指派问题是一种整数规划问题，但从算法思想看， 把它归为运输问题的一种特殊形式更为合适。指派问题是 运筹学中一个具有理论意义又很有实用价值的问题，其一 般提法是：设有n个人，需要分派他们去做n件工作，由于 每个人的专长不同，各人做任一种工作的效率可能不同， 因而创造的价值也不同，应如何安排，才能使创造的总价 值最大?
i 1
m
并令从该虚产地到各销地的运价 cm 1, j 0 ， 就转化为产 销平衡的运输问题。
1-4指派问题及其匈牙利法 1-4-1指派问题及其数学模型
指派问题是运筹学中一个具有理论意义又很有实用值 的问题，其一般提法是：设有n个人，需要分派他们去做n 件工作，由于每个人的专长不同，各人做任一种工作的效
的2单位的产量已调运完毕，故相应地在x22，x23 处打 上
，得表 1-5.
表1-5
类似地一步步进行下去，直到表中所有格子的右边要 么填上画圈的数字，要么打 为止，最后得到一个初始调 运方案，见表1- 6，这个方案的总运费为

Z=1 3+9 5+4 3+2 4+2 2=100
表1-6
x
i 1
m
ij
b j , j 1,2, , n
而总的运费可表示为
S
i 1
m
c
j 1
n
ij
xij
这就是运输问题的数学模型，可见，这是一个线性规
划问题，它包含
m n 个变量，m n
个约束方程。运输
问题既然是一个线性规划问题，当然可以用单纯行法求解， 但由于这个问题具有一种固定的结构，比较特殊，人们在 单纯行法的基础上，提出了一种更为简便的、专门用来求 解运输问题的运输单纯行法，在我国，这种方法习惯上称 为表上作业法。
例4-1中，第一行只有一个0元素，就在0处作出标号 （0），表示第4辆车已分派给甲组工人卸车，因此，第四 列其他元素如果有0就不能再分派。同理，第二行有一个0 元素，作出标号（0），第三行有俩个0元素，先放下，第 四行有一个0元素，作出标号（0），同时划去同列的0元 素，作标号得到
3 0） （ 1 1 2 1 2 1 （0） 2 3 0 1 2 3
1-2-2最优解的判别
和用单纯行法解线性规划问题一样，在求出初始基本 可行解以后，就应检查这组基本可行解是否为最优解，在
求目标函数值及小化的线性规划问题中，若所有的检数c j - Z j
非负，表示所检验的基本可行解是最优解，若有负检验数， 就需要迭代。
1-2-2-1闭合回路法
设变量组 xi1 j1 , xi 2 j 2 , , xisjs （s=m+n-1）是运输问 题表格中的一组基变量，y是一个非基变量，则在变量组
装卸班组，每个班组卸一辆。由于各个班组的技术专长不
同，各个班组卸不同车辆所需时间（小时）如表4-1所示。
类似的例子很多，但是，用运输问题的表上作业法求 解此类问题时，必须解决基本可行解中出现的严重退化而
引起的问题，所以一般采用另一种特殊的方法——匈牙利 算法求解。 我们知道，指派问题都要给出系数矩阵，例4-1中的系 数矩阵为;
1-2表上作业法 表上作业是单纯行法在求解运输问题时的一种简化方 法，其实质是单纯行法，同用单纯行法解线性规划问题一
样，运输问题的最优解也一定可以在基本可行解中找到，
其求解过程类似，即首先找到初始基本可行解，然后判断 是否是最优解. 1-2-1确定初始基本可行解 这种方法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中 最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到给出初 始基本可行解为止，用下例介绍这个方法，并将单位运价 cij
第一步：对系数矩阵进行变换，使各行各列中都出现0元素。 （1）从系数矩阵的每行元素中减去给该行的最小元素。 （2）再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。