立体几何专题(学生版)

立体几何专题---空间角（3）二面角的五法求法（学生版）
从全国19份高考试卷中知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2014年高考的重点，因此，我们每位学生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。

一、 定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1、如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD
，AD =2DC SD ==，点SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。

练习1、如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD
E —A
F —C 的余弦值.
二、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2、 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

练习2、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩
形． 已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例3、如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD
是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角
（锐角）的大小.
练习3、已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；
（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

四、射影面积法（cos s S
q =
射影）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

例4、如图，在三棱锥P ABC -中，2A C B C ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
A
B C
E
D P A
C
B
P E
A
B
C F E A B C
D D
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
练习4： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.
五、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例5、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥
平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥
AD ，M 为EC
的中点，
AF=AB=BC=FE=
12
AD
(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小的余弦值；(II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值。

A 1
D 1 B 1 C 1
E D B
C
A
图5。