1-【导学案】第1章第1.3.1节柱体、锥体、台体的表面积与体积

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《1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积》导学案

《1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积》导学案编写：江仁乐审核：高一数学组编写时间：2014-11-19 班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________【学习目标】1.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算方法；2.了解并掌握圆柱、圆锥以及圆台表面积的侧面积计算公式；3.会求一些简单几何体的表面积．【重点难点】重点：柱、锥、台的表面积公式的探究及公式的运用。

难点：柱、锥、台的表面积公式的由来和相互关系。

一．【新知引入】（展示模型）二．【新知探究】（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积思考：如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？试一试：请你分别求出下列几何体的表面积，相信你一定行！小结：1.它们都是。

2.它们的表面积就是。

4 3 5224h' h（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积试一试：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么图形？你能画出来吗？1. 圆柱的侧面积展开图是一个矩形：如果圆柱的底面半径为1,母线为2，那么圆柱的底面积为，侧面积为，因此圆柱的表面积为。

总结：圆柱的表面积公式：。

2.圆锥侧面的展开图是一个扇形：如果圆柱的底面半径为1，母线为2，那圆锥的底底面积为，侧面积为，因此圆锥的表面积为。

总结：圆锥的表面积公式：。

3.圆台的展开图是一个扇环：如果圆台的上下底面半径分别为1，2，母线为2，那么圆台的上下底面积的和为，侧面积为，因此圆台的表面积为。

总结：圆台的表面积公式：。

圆柱、圆锥、圆台表面积小结：S=S+S表侧底三．【学以致用】如图，有一种玩具，玩具下面是直四棱柱．上面是圆柱(尺寸如图). 要将其涂成蓝色，已知市面上涂漆是按每平方米100元计价的，假如你是油漆工，我需要给你多少钱呢?4cm10cm10cm6cm20cm四．【达标检测】A1．正方体的全面积是296()cm ，则正方体的棱长是（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cmB1．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（）A ．2B ．3C ．4D ．5B2.五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm ，求它的侧面面积。

人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积)示范教案新人教A版必修2

1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积整体设计教学分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h］∶［2)3(3r π·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m m ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3). 所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH∥BG， ∴BGEH AG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米, ∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）图11 A.1 B.21 C.31 D.61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（）图13 A.318 B.315 C.3824+ D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为 3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（） A.33π B.332π C.π3 D.3π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯. 答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO ,在△VAB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5. 所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm 2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm 2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm 2）.答：几何体的表面积为133.68 cm 2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm ，所以上面的表面积为12×9=9（ cm 2），前面的表面积为12×8=8（ cm 2），左面的表面积为12×7=7（ cm 2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm 2).答：此几何体的表面积为48 cm 2.知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）A.648B.64C.16D.96 分析：设正方体的棱长为a ，则6a 2=96，解得a=4，则正方体的体积是a 3=64. 答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（）A.427 B.49C.4327D.439分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍. 答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯.又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22SS =⨯ππ.图21答案：2S 7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a，∴h=a S aS ABC ABC 23243=∙∆∆. 答案：a 238.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h-=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（）图24A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3. 答案：B拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题. 作业习题1.3 A组第1、2、3题.设计感想新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.。

人教版高中数学全套教案导学案1.3.1柱体,锥体,台体的表面积

备课人授课时间课题柱体、锥体、台体的表面积教学目标知识与技能柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算，能利用公式求柱体、锥体和台体的表面积过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观让学生体验空间几何体的表面积的求解过程与方法重点柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算。

难点台体的表面积公式的推导。

教学设计教学内容教学环节与活动设计1、创设情境（1）提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积的求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？（2）设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体，锥体，台体是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？要是让我们来设计一只圆台形铁皮水桶，你能设计出来吗？引入课题。

【老师展示空间几何体教具和示意图】2、探究多面体的展开图和表面积（1）向学生展示正六棱柱、正五棱锥和正四棱台的实物教具：1教学设计（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。

【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开图】（4）例题分析讲解（P24/例1）3、探究旋转体的展开图和表面积（1）向学生展示圆柱、圆锥和圆台的实物教具：（2）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开图】，并归纳出其表面积的计算公式:222=2S r rl r r lπππ=++圆柱（）2=S r rl r r lπππ=++圆锥（）22'')S r r r l rlπ=+++圆台（（r1为上底半径，r为下底半径，l为母线长）2教学设计（3）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

22'')S r r r l rlπ=+++圆台（222=2S r rl r r lπππ=++圆柱（）2=S r rl r r lπππ=++圆锥（）（4）例题分析讲解（P25/例2）4、巩固深化1、粉碎机的上料斗是正四棱台形(上、下底面是正方形，侧面为全等的等腰梯形)，它的上、下底面边长分别为44cm、8cm，高是20cm，计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.2、要做一个圆台形铁皮桶，上、下底面半径分别为40CM、20 CM，母线与底面的夹角为120°，求计算这只铁桶需要多少CM2铁皮.5、课堂小结（引导学生小结）（1）本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的求解方法。

《柱体、锥体、台体的表面积与体积》导学案

《柱体、锥体、台体的表面积与体积》导学案
问题3：柱体、锥体、台体的体积如何计算？（分别
写出计算公式）
例3：有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
7．8g/3
cm）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六
边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？
问题4：组合体的表面积和体积如何计算？
的学生提示引导考
虑问题的思路。

当堂训练
（10分钟）
1、Rt ABC
∆中，3,4,5
AB BC AC
===，将三
角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为
____________
2、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,
则该棱台的体积为___________
教师让学生将答案
写在作业本上，以测
促学，对部分学生的
答案进行适当评价。

反思小结
（4分钟）
柱体、锥体、台体的表面积与体积学生小结,教师补充
作业延伸
（1分钟）
课本习题1.1A组 1、2、3 课后加强检测的力
度，促进知识的巩固
和提高
教学反思
1.注重知识的积累和储备。

2.集中呈现，做好系统讲解。

板书设计
知识点归纳例1 练习1
例2 练习2
例3
cm
15
cm
15。

2016年秋季学期新人教A版高中必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积导学案

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.知识点二旋转体的表面积思考求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.知识点三体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？答表面积变大了，体积不变.题型一空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)，即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ，则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).反思与感悟 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2. 题型二空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ，所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 反思与感悟求几何体体积的常用方法跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.反思与感悟 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等，故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.解后反思本题首先利用分割的方法，把四棱锥分割为两个全等的三棱锥，然后利用等积转换法，针对三棱锥的几何特点，变换顶点，体积不变，将不容易求体积的三棱锥转化为容易求体积的三棱锥，从而使问题获解.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.解后反思圆柱的侧面展开图为矩形，但一个矩形对应的圆柱并不惟一.应该对以哪个边为母线进行分类讨论.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π答案 A解析设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π 答案 D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π 答案 C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 12解析设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________. 答案 3∶4(或4∶3)解析设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34 答案 D解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34. 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π 答案 A解析设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π.4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 答案 D解析设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48.5.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.18 答案 A解析由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π 答案 A解析设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23 D.1 答案 B解析如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案7解析设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3).11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 答案 32解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。

必修二1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案【学习目标】1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积计算方法。

2.能计算简单的组合体的表面积和体积．3.运用联系、类比运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积公式．【知识梳理】1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S 侧) 表面积(S 全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×LS 侧+2S 底S 底·h=S 直截面·h直棱柱 ch S 底·h棱锥棱锥各侧面积之和S 侧+S 底31S 底·h 正棱锥 21ch ′ 棱台棱台各侧面面积之和S 侧+S 上底+S 下底 31h(S 上底+S 下底+下底下底S S )正棱台21 (c+c ′)h ′ 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，L 表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球 S 侧 2πrL πrL π(r 1+r 2)L S 表2πr(L+r) πr(L+r)π(r 1+r 2)L+π(r 21+r 22)4πR 2Vπr 2h(即πLr 2)31πr 2h 31πh(r 21+r 1r 2+r 22) 34πR 3表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。

【分层训练】1.基础训练 P 27 练习题第1、2题2.能力提升(1)一个长方体表面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.(2)如图，三棱柱ABC —A1B 1C 1 中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1 将三棱柱分成体积为 V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

(3)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（） A ．323 B ．283C ．243D ．203(4)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（） A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 3.对接高考(1)如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（） A ．S S S '+=02 B ．S S S '=0 C ．2S 0＝S ＋S ′ D ．S 02＝2S ′S (2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A ．3πB ．33πC ．6πD ． 9π【当堂检测】。

人教版数学高一必修二导学案 1.3空间几何体的表面积与体积

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V= .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V= .特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝25 3.S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1)．旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3 要点二柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】设棱台上底面△A ′B ′C ′的面积为S ′，棱台的高为h . 由题意可知：△A ′B ′C ′≌△DBE .∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S ′. ∴V 台ABC －A ′B ′C ′＝13h ·(S ′＋S ′·4S ′＋4S ′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′， V 柱DBE －A ′B ′C ′＝S ′·h .∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．16 要点三三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4 【思路启迪】先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积．【解析】由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB ＝1，AA 1＝1. V ABCDEF －A1B 1C 1D 1E 1F 1＝4×1＝4. 【答案】 D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算．反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的( ) A.152π倍 B.15π倍C.2π倍 D.22π倍2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A 1－BC 1D 的体积为( )A.23B.13C.14D.123．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805．如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH 所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____ ___．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=23，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．考点巩固-答案1、解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝(3r)2－r2＝22r故S 轴＝r ·22r ＝22r 2，S 轴S 底＝22π.答案：D2、解析：三棱锥A 1－BC 1D 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉4个角得到的，其体积V ＝1×1×1－4×13×12×1×1＝13.答案：B3、解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.答案：C 4、解析：由该几何体的三视图得出原型为： S 四边形A1B 1C 1D 1＝4×2＝8， S 四边形ABCD ＝4×4＝16，四边形ADD 1A 1与四边形BCC 1B 1为全等的梯形，面积均为：(2＋4)×42＝12，四边形ABB 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，其中BB 1＝42＋1＝17，∴面积均为：4×17＝417.∴该几何体的全面积S ＝8＋16＋12×2＋417×2＝48＋817. 答案：C5、解析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于三角形AGF 所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，∴AF ＝AG ＝12a ，∴S △AGF ＝12×12a ×12a ＝18a 2，又AH ＝12a ，∴锯掉一角的体积为V ＝13×12a ×18a 2＝148a 3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的148.答案：1486、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连接VD ，则 VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 7、解析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD .如图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形．在△VBC 中，BC 边上的高 h 1＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝4 2.在△VAB 中，AB 边上的高 h 2＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.8、解：如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题． 3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力． [目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点．【自主学习】1．球的体积公式是V 球 = (R 为球的半径)． 2．球的表面积公式是S 球 = (R 为球的半径)．特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆．【考点突破】要点一球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数即V =43πR 3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S =4πR 2. 典型例题1、(1)已知球的直径为6cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【思路启迪】利用条件确定半径R 代入相关公式可求．【解】 (1)∵直径为6cm ，∴半径R ＝3cm ， ∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4， ∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为__ ___．要点二球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA 与球心O 作截面PAE ，交侧面PBC 于PE .∵△ABC 为正三角形，易知AE 既是△ABC 底边BC 上的高，又是BC 边上的中线．作正三棱锥的高PD ，则PD 过球心O ，且D 是正△ABC 的中心， ∵AB ＝26，∴DE ＝13AE ＝13·32AB ＝ 2.∴PE ＝12＋(2)2＝ 3.∴S 全＝S 侧＋S 底＝3·12·26·3＋34(26)2＝92＋63，即棱锥的全面积为92＋6 3.以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r . 则V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝13r ·S 全＝13h ·S △ABC ，∴r ＝S △ABC ·hS 全＝34·(26)2·192＋63＝6－2，∴S 球＝4πr 2＝4π(6－2)2. 方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4:3B ．3:1C ．3:2D ．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫8＋4π3m 3 B.⎝⎛⎭⎫8＋2π3m 3 C.⎝⎛⎭⎫4＋4π3m 3 D.⎝⎛⎭⎫4＋2π3m 3 4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、解析：设原来球的半径为r ，变化后的球半径为r ′， ∴4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r . ∴V ′V ＝43πr ′343πr 3＝(2r )3r3＝2 2. 答案：B2、解析：作轴截面如图，则PO ＝2OD ，∠CPB ＝30°，CB ＝33PC ＝3r ，PB ＝ 23r ，圆锥侧面积S 1＝6πr 2，球的面积S 2＝4πr 2，S 1:S 2＝3:2. 答案：C3、解析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋2π3＝8＋2π3(m 3)．答案：B4、解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示．故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：12π5、解析：设两圆锥高分别为h 1，h 2，(设h 2<h 1)球半径为R ，圆锥底面半径为r ，如图，S 1S 2＝2R ，AO 1＝r ，且∠S 1AS 2＝90°，AO 1⊥S 2S 1，∴AO 21＝S 1O 1·S 2O 1，即r 2＝h 1h 2，又∵πr 2＝3164πR 2，∴r ＝32R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1h 2＝34R 2h 1＋h 2＝2R∴h 1，h 2分别为32R ，12R ，∴h 2h 1＝13.答案：136、解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ，图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3，又h ＝2r所以V 圆锥:V 球:V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h :⎝⎛⎭⎫43πr 3: (πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3:⎝⎛⎭⎫43πr 3: (2πr 3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x .如图所示，∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 8、解：如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3π2R 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝3π2R 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝11π2R 2＋3π2R 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2. 章末小结【知识框架】。

柱体锥体台体的体积(导学案)

柱体、锥体、台体的体积（导学案）一、学习目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法（1）经历几何体的（祖暅(gèng，)原理，感知几何体的形状。

（2）理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

二、学习重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算难点：台体体积公式的推导三：合作探究1. 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，)原理，教材P30）2. 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？3. 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？你能结合三棱柱与三棱锥进行论证吗？如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？如图：4.讨论：台体的上底面积S／，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？→如何计算台体的体积？6. 给出台体的体积公式：''1()3V S S S S h =++台（S ，'S 分别上、下底面积，h 为高） → ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台（r 、R 分别为圆台上底、下底半径）比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？课堂作业：1. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .2.如图，所示三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两相互垂直，又三条侧棱的长分别为3,3,4,则此三棱锥的体积是：，此三棱锥的全面积为3.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域..A B C P O F E D B C4．一堆铁制六角螺帽，共重, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度cm3）讨论：六角螺帽的几何结构特征？→如何求其体积？→利用哪些数量关系求个数？5.将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.。

《1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积》教学案2

《1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积》教学案2 (一)教学目标1．知识与技能(1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式).(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.(3)培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.(二)教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.(三)教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.(1)探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.(2)已知棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，22223()22aSD SB BD a a=-=-=∴211332224SBCS BC SD a a a=⋅=⨯=V.∴四面体S–ABC的表面积223434S a a=⨯=.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：(肯定)棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱 = 2πr (r + 1)S圆锥 = πr (r + 1)S圆台 = π(r12 + r2 + r1l + rl )(2)讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系(3)例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积22151520 1.5[()1515]()2222Sππ=⨯+⨯+⨯-⨯≈1000(cm2) = 0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？师：打出投影片(教材图1.3.3和图1.3—4)生1：圆柱的底面积为2rπ，侧面面积为2rlπ，因此，圆柱的表面积：2222()S r rl r r lπππ=+=+生2：圆锥的底面积为2rπ，侧面积为rlπ，因此，圆锥的表面积：2()S r rl r r lπππ=+=+师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=1(22)()2r r l r r lπππ''+=+所以它的表面积为122()S r r r l rlπ'=+++现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)r = 0r = 1随堂练习1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)形，上面是圆柱(尺寸如图，单位：mm)形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多少千克(结果精确到0.01kg)答案：1．233aππm；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则12222(1)(2)11()()(3)22c l Qd l Q c d a ⎧⎪⋅=⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由(1)得1Q c l =，由(2)得2Q d l =，代入(3)得22212()()22Q Qa l l+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴22122la Q Q =+.∴S 侧 =221242al Q Q =+.例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm . 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为23mm . 设底面边长为a ，则323a =，∴a = 4.∴正三棱柱的表面积为S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×14232⨯⨯ 2483=+(mm 2).例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01cm )【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知，BC =10cm ，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.∴AC =2210(8)27.05π+≈(cm ). 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm .【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm 和440mm ，高是200mm . 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，图4—3—2需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.∴S正棱台侧 = 11()()22c c h n a a h''''+⋅=+⋅= 514(44080)269 2.8102⨯⨯+⨯≈⨯(mm2)答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.。

高中数学《柱体、锥体、台体的表面积与体积》导学案

第一章空间几何体1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、学习目标1、通过对柱、锥、台体的研究，了解柱、锥、台的表面积和体积的求法．2、能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积和体积，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．【重点、难点】重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．难点：台体的表面积和体积公式的推导．二、学习过程【知识链接】:（使用说明：先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

教师质疑答辩，排难解惑)问题1：棱柱、棱锥、棱台的表面积1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？3．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？问题2：圆柱、圆锥、圆台的表面积1．圆柱OO′及其侧面展开图如图，若r＝2，l＝3，则其一个底面积为多少？侧面积呢？表面积呢？2．圆锥SO及其侧面展开图如图，若r＝2，l＝5，则其底面积为多少？侧面积与表面积呢？3．圆台OO′及其侧面展开图如图，，若r＝2，r′＝1，l＝3，则其上、下底面积分别为多少？侧面积与表面积呢？4．圆柱、圆锥、圆台的表面积如何计算？问题3：柱体、锥体与台体的体积公式如何表示？1．柱体：2．锥体：3．台体：【典型例题】例1：如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．．【变式拓展1】：如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．．例2：三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C －A1B1C1的体积之比．【变式拓展2】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．，例3：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．【变式拓展3】：从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．三、学习总结1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．四、随堂检测1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( ) A．6,22 B．3,22 C．6,11 D．3,112．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )A．72 B．42π C．67π D．72π3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的底面半径等于( )A.1B.2C.错误!未找到引用源。

高中数学第一章空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案数学教案

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。

2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。

3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。

（四）合作探究面积探究: 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

高中数学第一章空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积特别提醒棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点三柱体、锥体与台体的体积公式1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)3．斜三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长．(×)类型一柱体、锥体、台体的侧面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积解如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. 反思与感悟空间几何体的表面积的求法技巧： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积答案 C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积解如图所示，设圆台的上底面周长为c cm ，由于扇环的圆心角是180°，则c ＝π·SA ＝2π×10，解得SA ＝20 cm. 同理可得SB ＝40 cm. 所以AB ＝SB －SA ＝20 cm.所以S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．类型二柱体、锥体、台体的体积例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11 D.232考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 C解析由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为12×2×1＝1，高为3的三棱锥形成的，V 三棱锥＝13×1×3＝1，所以V ＝4×3－1＝11.反思与感悟 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．考点柱体、锥体、台体的体积题点台体的体积答案73π3解析设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π. ∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π. ∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.类型三几何体体积的求法命题角度1 等体积变换法例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由1111A D EF F A D E V V =－－三棱三棱锥锥，∵11A D E S ∆＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ， ∴11F A D E V －三棱锥＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴11A D EF V －三棱锥＝112a 3.引申探究例3中条件改为点F 为CC 1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积解因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△FED 1.因为三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－FED 1的高相等，所以111122A EBFD A EFB F EBA V V V ==－－－四棱三棱三棱锥锥锥.又因为1EBA S ∆＝12EA 1·AB ＝14a 2，所以1F EBA V －三棱锥＝112a 3，所以1112A EBFD F EBA V V =－－四棱三棱锥锥＝16a 3.反思与感悟四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．跟踪训练3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵11A ABD A A BD V V =－－三棱三棱锥锥，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a . 命题角度2 割补法求体积例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解如图，连接EB ，EC ，AC .V 四棱锥E －ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB ＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC ＝12×12V 四棱锥E －ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20.反思与感悟割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求．跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积答案 A解析设圆柱底面半径、母线长分别为r ，l ，由题意知l ＝2πr ，S 侧＝l 2＝4π2r 2.S 表＝S 侧＋2πr 2＝4π2r 2＋2πr 2＝2πr 2(2π＋1)， S 表S 侧＝2πr 2(2π＋1)4π2r 2＝1＋2π2π. 2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.128π3 B.64π3 C ．64π D ．1282π考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 B解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ， ∴S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π，解得r ＝4.∴l ＝42，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4， ∴圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13π×42×4＝64π3.3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )A ．9 3B ．92＋934C ．12 2D ．12 3考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案 D解析由侧视图可知三棱锥的高为22，底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a ，由32a ＝3，解得a ＝2 3. 所以侧棱长为(22)2＋22＝23，所以正三棱锥是正四面体，所以该三棱锥的表面积为4×34×(23)2＝12 3. 4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______．考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案 216π解析设圆台上底与下底的半径分别为r ，R ，由勾股定理可得R －r ＝132－122＝5. ∵r ∶R ＝3∶8， ∴r ＝3，R ＝8.S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(3＋8)×13＝143π，则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 16解析 11A DED E DD A V V －－三棱三棱锥锥＝13×12×1×1×1＝16.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 4．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．一、选择题1．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96 考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案 B解析设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96， ∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64.2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．2π B ．3π C ．4π D ．8π 考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案 A解析设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8 考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案 C解析圆台的轴截面如图所示，设母线长为l ，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π，∴l ＝4.4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433πB.36πC.12πD.33π考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 B解析由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝36π. 5．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 C解析 ∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝13V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.6．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×(3)2＋12＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．372 B．360 C．292 D．280考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.8．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A．6 3 cm B．6 cmC．2318 cm D．3312 cm考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 B解析设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知13πr2×3r＝π22×6，得r＝23，∴水面的高度是3×23＝6(cm)．二、填空题9．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________．考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案 9 3解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 10．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案33π 解析圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.11．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题答案7解析设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r＝7.12．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 96＋6π解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V —ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此侧面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 四、探究与拓展14．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截下一个三棱锥C －A 1DD 1，求三棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ，所以1111ABCD A B C D V －长方体＝1111ADD A BCC B V －长方体＝Sh .而三棱锥C －A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C －A 1DD 1的体积为11C A DD V －锥三棱＝13×12S ×h ＝16Sh ，余下部分体积为Sh －16Sh ＝56Sh .所以三棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，圆柱的高为h ，由图，得x 1＝3－h3，即h ＝3－3x .(2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)，当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值32π.∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积取得最大值32π.。

高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积柱体锥体台体球体的表面积与体积导学案

柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积
教学目标：会求柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积。

自学探究（一）
一：阅读教材第23～27页，完成下列任务
1.思考填出下列表格：
底面积：
= 侧面积：
: 底面积：
= 侧面积：
：上底面积：
下底面积：
侧面积：
：
2. 完成课本27页练习1 ， 28页习题1.3 A 组2， 36页6、10，
3. 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )
A ．1:1
B ．1:6
C ．1:7
D ．1:8
4.一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)
5.完成 28页习题1.3 A 组 1，3，4
6.一个几何体的三视图如图所示,求它的表面积.
7. 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.
自学探究（二）
阅读教材第27～28页，完成下列任务
1.球的半径为R,体积V=__________,表面积S=__________
2.完成 28页练习1，2 29页B 组1
3.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.
4.已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.
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人教新课标版数学高一A版必修2导学案 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(第1课时)

第1课时柱体、锥体、台体的表面积1．了解柱体、锥体、台体侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并了解柱体、锥体和台体表面积之间的关系．3．初步掌握面积在实际生活中的应用．1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__________，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的________，如图a所示；圆柱的侧面展开图是____，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图b所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝____，表面积S表＝________.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小．常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．【做一做1】圆柱OO′的底面半径r＝2 cm，母线l＝3 cm，则圆柱OO′的表面积等于______cm2.2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个______拼成的，则侧面积为各个三角形面积的__，如图a所示；圆锥的侧面展开图是____，扇形的半径是圆锥的____，扇形的弧长等于圆锥的________，如图b所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝____，表面积S表＝________.【做一做2】圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于()A．15 B．15π C．24π D．30π3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个____拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的__，如图a所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图b所示．(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积S侧＝________，表面积S表＝____________.圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系：【做一做3】圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于() A．72 B．42π C．67π D．72π答案：1．(1)平行四边形底面周长矩形(2)2πrl2πr(r＋l)【做一做1】20π2．(1)三角形和扇形母线底面周长(2)πrlπr(l＋r)【做一做2】B3．(1)梯形和(2)π(r＋r′)lπ(r2＋r′2＋rl＋r′l)【做一做3】C面积公式对比剖析：如下表所示．题型一：求几何体的表面积【例1】如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)反思：求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本的柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．题型二：与三视图有关的面积计算【例2】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A．72 B．66 C．60 D．30反思：已知三视图求面积的步骤：(1)根据三视图明确几何体的结构特征；(2)明确三视图中各数据所反映的几何体的特征；(3)代入相应的面积公式．题型三：实际应用问题【例3】粉碎机的下料斗是正四棱台形(两个底面均是正方形，侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形)，如图所示，它的两个底面边长分别是80 mm和440 mm，侧棱是300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少？反思：解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积，其次将实物转化为空间图形，最后转化到平面图形上进行处理，这是常用的方法．答案：【例1】解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．【例2】 A【例3】解：如图所示，设四边形ABCD 是该下料斗的一个侧面，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则AE ＝AD 2－DE 2.由题意，CD ＝440 mm ，AB ＝80 mm ，AD ＝BC ＝300 mm ，故DE ＝440－802＝180(mm)．∴AE ＝AD 2－DE 2＝3002－1802＝240(mm)．∴S 梯形ABCD ＝12×(440＋80)×240＝62 400(mm 2)．故四棱台的侧面积为62 400×4＝249 600(mm 2)． ∴制造这个下料斗所需铁板面积为249 600 mm 2.1．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π2．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，表面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝____cm.3．一个几何体的三视图如图所示，若图中圆半径为1，等腰三角形腰长为3，则该几何体的表面积为__________．4．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S-ABCD ，如图所示，求它的表面积．5．牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体，尺寸如图所示，请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)答案：1．B 2.3 3.5π4．解：∵四棱锥S -ABCD 的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形，设E 为AB 的中点，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×2＝，S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝25＝1)．5．解：m ，则其侧面积为S 1＝π×52(m 2)．下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8＝9π (m 2)．所以搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S ＝S 1＋S 2＝π×529π≈50.03(m 2)，即至少需要约50.03 m 2的篷布．。