人教数学八年级下册第18章 平行四边形.docx
【人教版】数学八下：第18章《平行四边形》全章名师说课稿
【人教版】数学八下：第18章《平行四边形》全章名师说课稿一. 教材分析《人教版》数学八下第18章《平行四边形》是学生在学习了三角形、四边形的基础上，进一步研究平行四边形的性质和判定。
本章内容主要包括平行四边形的定义、性质、判定以及平行四边形的应用。
通过本章的学习，使学生能理解和掌握平行四边形的性质和判定方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了三角形、四边形的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对平行四边形的性质和判定方法容易混淆，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 说教学目标1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质和判定方法。
2.能够运用平行四边形的性质和判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 说教学重难点1.平行四边形的性质和判定方法的掌握。
2.平行四边形在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.采用讲授法，讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。
2.利用多媒体演示，直观展示平行四边形的性质和判定过程。
3.运用例题和练习，让学生在实际问题中应用平行四边形的性质和判定方法。
4.小组讨论，培养学生合作学习的能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过复习三角形、四边形的基本知识，引导学生学习平行四边形。
2.讲解平行四边形的定义、性质、判定方法：通过多媒体演示和板书，详细讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。
3.例题讲解：选取典型例题，讲解平行四边形的性质和判定方法在实际问题中的应用。
4.练习巩固：学生自主完成练习题，巩固对平行四边形的性质和判定方法的理解。
5.小组讨论：学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。
6.课堂小结：总结本节课所学内容，强调平行四边形的性质和判定方法。
7.作业布置：布置相关练习题，让学生课后巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.对边平行且相等2.对角相等3.对边相等4.对角线互相平分5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形6.两组对角分别相等的四边形是平行四边形7.对边平行且相等的四边形是平行四边形八. 说教学评价通过课堂讲解、练习完成情况、小组讨论参与度等方面，评价学生对平行四边形的性质和判定方法的掌握程度。
人教版初中数学八年级下册素养课件 第十八章 平行四边形
知识点 平行四边形的判定
如图所示的是一种儿童的游乐设施——儿童荡板.这个荡板上方的 四边形ABCD想设计成平行四边形,在没有其他测量工具的情况下, 小明利用手头的一根足够长的绳子,结合平行四边形的判定方法, 就可以将四边形ABCD设计成平行四边形.
Hale Waihona Puke 知识点 平行四边形的判定(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. (2)一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形. (3)平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理,解题时要注意区 别,以防混淆.
学科素养课件
新课标人教版·数学 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
知识点 平行四边形的定义
形态各异的平面图形不但充满了我们的空间,也美化了我们的生 活环境,其中平行四边形更是司空见惯的平面图形.例如小区的伸 缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都给我们以平行四 边形的形象.
知识点 平行四边形的性质
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直、平分,并且每条对角线平分一组对角,因 此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等,直线平行、垂直及进 行有关的计算.
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直平分,但不一定相等.
知识点 菱形的判定
红丝带是对HIV和艾滋病认识的国际符号,是一种希望的象征,象征疫 苗的研究和治疗感染者的成功,象征HIV感染者生活质量的提高.红丝 带代表着一种支持,支持HIV感染者,支持对未感染者的继续教育,支 持尽全力去寻找有效的治疗方法、疫苗,支持那些因艾滋病失去至 爱亲朋的人.人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别 在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形就是一个菱形.
初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)
18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
人教版初中数学第十八章平行四边形知识点
第十八章平行四边形18.1 平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.18.1.1 平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.AD CD AD BC证明：连接AC，//,//∴∠=∠∠=∠12,34又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA，AD CB AB CD B D∴==∠=∠,,平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.例、如图，□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=21AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．∴AD=61222=+BD AB (cm)．例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和.解：∵△AOB 的周长为25，∴OA+BO+AB=25，又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=2618.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∵点E 在AD 上，点F 在BC 上，∴AE//CF ，又∵AE=CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形.例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（1）△AFD ≌△CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB ．（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线. 矩形性质1：矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.N M F E A B C D例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCED是矩形．证明：在△ABD和△ACE中，，，AB AC AD AE BAD CAE==∠=∠∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形.在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AB=AE，∠=∠+∠=∠+∠=∠，CAD CAB BAD CAB CAE BAE∴△ADC≌△AEB∴CD=BE∴四边形BCED为矩形18.2.2 菱形菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.18.2.3 正方形正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.正方形性质1：正方形的四个角都是直角.正方形性质2：正方形的四条边都相等.正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.例、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ， DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长. ∵四边形ABCD 是菱形， 1AC BD OA OC AC 4cm OB OD 3cm 2∴⊥=====，，，∴AB=5cm ，ABCD S AC BD AB DH ∴=⋅=⋅菱形，4.82AC BDDH cm AB ⋅∴==．例、已知：如图，菱形ABCD 的周长为16 cm ，∠ABC ＝60°，对角线AC 和BD相交于点O ，求AC 和BD 的长.解：∵菱形ABCD 的周长为16cm ，060ABC ∠=∴AB=BC=4cm ，△ABC 是等边三角形，∴AC=4cm ，∵AC ，BD 互相垂直平分，∴OA=2224223OB cm ∴=-=43BD cm ∴=例、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ，求证：EF ＝AP证明：连接PC ，∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，四边形ABCD 是正方形，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF ，∵P 是正方形ABCD 对角线上一点，∴AD=CD ，∠PDA=∠PDC ，在△PAD 和△PCD 中， AD ＝CD ，∠PDA ＝∠PDC ，PD ＝PD ，∴△PAD ≌△PCD ，∴PA=PC ，∴EF=AP ，例、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F. 试说明:DE=DF解：∵AB=AC ，∠B=∠C∵DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC∴∠DEB ≌DFC= 90°∵D 是BC 的中点∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF∴DE=DF.例、如图，ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ， 试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由.解：四边形ABEF 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AE 平分∠BAD ， A B C DE F∴∠BAE=∠FAE，∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴▱ABEF是菱形．。
(完整版)八下第十八章平行四边形 课本电子版
第十八章平行四边形与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗棂……现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
为什么平行四边形形状的物体到处可见呢？这与平行四边形的性质有关。
前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法。
本章我们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们。
18.1 平行四边形平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等（图18.1-1），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？18.1.1 平行四边形的性质由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．下面我们对它进行证明．我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram ）．平行四边形用“Y 表示，如图18.1-2，平行四边形ABCD 记作“ABCD Y ．距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的性质与概念，介绍两条平行线之间的距离． 如图18.1-5，//a b ， //c d ，c ，d 与 a ，b 分别相交于A ，B ，C ，D 四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =．也就是说，两条平行线之间的任何平行线段都相等．上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明． 证明：如图18.1-3，连接AC . //AD BC Q ，//AB CD ， 12∴∠=∠，34∠=∠.又AC 是ABC ∆和CDA ∆的公共边，ABC CDA ∴∆≅∆．AD CB ∴=，AB CD =，B D ∠=∠． 请同学们自己证明BAD DCB ∠=∠．这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等．例1 如图18.1-4，在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ．求证AE CF =．证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，A C ∴∠=∠，AD CB =， 又90AED CFB ∠=∠=o ， ADE CBF ∴∆≅∆． AE CF ∴=．从上面的结论我们可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线上的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线上的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图18.1-6，//a b ，A 是a 上的任意一点，AB b ⊥，B 是垂足，线段AB 的长就是a ，b 之间的距离．上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质． 我们猜想，在平行四边形ABCD 中，OA OC =，OB OD =．与证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法类似，我们也可以通过三练习1．在平行四边形ABCD 中，(1)已知5AB =，3BC =，求它的周长； (2)已知38A ∠=o ，求其余各内角的度数． 2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉后叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段AD 和BC 的长度有什么关系？为什么？ 探究 如图18.1-7，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，并设它们相交于O 点，OA 与OC ，OB 与OD 有什么关系？你能证明你发现的结论吗？两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系和区别？角形全等证明这个猜想．请你结合图18.1-8完成证明． 由此我们又得到平行四边形的一个性质: 平行四边形的对角线互相平分．例2 如图18.1-9，在平行四边形ABCD 中，10AB =，8AD =，AC BC ⊥，求BC ，CD ，AC ，OA 的长，以及平行四边形ABCD 的面积．解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，8BC AD ∴==，10CD AB ==． AC BC ⊥Q ，ABC ∴∆是直角三角形． 根据勾股定理，AC=6=．又OA OC =，132OA AC ∴==，ABCD S BC AC=⋅Y 8648=⨯=．练习1．如图，在平行四边形ABCD 中，10BC =，8AC =，14BD =．AOD ∆的周长是多少？ABC ∆与DBC ∆的周长哪个长？长多少？2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于E ，F ．求证OE OF =．下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．证明：OA OC =Q ，OB OD =，AOD COB ∠=∠，AOD COB ∴∆≅∆． OAD OCB ∴∠=∠． //AD BC ∴．同理得//AB DC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．也就是说，当定理的条件与结论互换之后，所得命题依然成立．可以证明，这些逆定理都成立．这样我们得到平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图18.1-10，在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明．如图18.1-12，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB CD =．求证四边形ABCD 是平行四边形． 证明：连接AC ． //AB CD Q ， 12∴∠=∠．又AB CD =，AC CA =， ABC CDA ∴∆≅． BC DA ∴=．∴四边形ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．例4 如图18.1-13，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题．如图18.1-14，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ．像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．练习1．如图，AB DC EF ==，AD BC =，DE CF =．图中有哪些互相平行的线段？2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求证BE DF =．3．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？ 4．如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A ，C 两点分别作AE BD ⊥，CF BD ⊥，E ，F 为垂足．求证：四边形AFCE 是平行四边形．我们猜想，//DE BC ，12DE BC =．下面我们对它们进行证明． 如图18.1-14，D ，E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点．求证：//DE BC 且12DE BC =．分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE 延长一倍后，可以将证明12DE BC =转化为延长后的线段与BC 相等．又由于E 分别是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？通过上述证明，我们得到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．习题18.1复习巩固1．如果四边形ABCD是平行四边形，6AB=，且AB的长是平行四边形ABCD周长的316，那么BC的长是多少？2．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的1∠是7215'o，那么光线与纸板左上方所成的2∠是多少度？为什么？3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且36AC BD+=，11AB=．求OCD∆的周长．练习1．如图，在ABC∆中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？2．如图，直线12//l l，在1l，2l上分别截取AD，BC，使AD BC=，连接AB，CD．AB 和CD有什么关系？为什么？3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？4． 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且AF CE =．求证：四边形AECF 是平行四边形．5． 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．6． 如图，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形．求证：四边形ABCD 是平行四边形．7． 如图，直线12//l l ，ABC ∆与DBC ∆的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与ABC ∆面积相等的三角形吗? 综合运用8． 如图，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(,0)a ，(,)b c ．求顶点B 的坐标．9． 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ．(1)已知A B ∠=∠，求证AD BC =； (2)已知AD BC =，求证A B ∠=∠．10． 如图，四边形ABCD 是平行四边形，70ABC ∠=o ，BE 平分ABC ∠且交AD 于点E ，//DF BE 且交BC 于点F ．求1∠的大小．11．如图，//A B BA ''，//B C CB ''，//C A AC ''，ABC ∠与B '∠有什么关系？线段AB '与线段AC '呢？为什么？12． 如图，在四边形ABCD 中，12AD =，5DO OB ==，26AC =，90ADB ∠=o ．求BC 的长和四边形ABCD 的面积．13． 如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 拓广探索14． 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O ，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O 处，并使细木条可以绕点O 转动．拨动细木条，使它随意停留在任意位置．观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现．15． 如图，在平行四边形OABC 中，过对角线BD 上一点P 作//EF BC ，//GH AB ．图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？18.2 特殊的平行四边形上节我们研究了平行四边形，下面我们通过平行四边形角、边的特殊化，研究特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形．18.2.1 矩形对于矩形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你自己完成证明），矩形还有以下性质：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等．上节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质．我们先从角开始，如图18.2-1，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle ）．也就是长方形． 矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等（图18.2-2）都有矩形的形象．你还能举出一些例子吗？根据矩形的性质，我们知道，1122BO BD AC==．由此，我们得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究一下如何判定一个平行四边形或四边形是矩形．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．可以发现并证明矩形的另一个判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形．例2 如图18.2-5，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OD =，50OAD ∠=o ．求OAB ∠的度数．解：Q 四边形ABCD 是矩形，12OA OC AC ∴==，12OB OD BD ==．又OA OD =， AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形．90DAB∴∠=o.又50OAD∠=o，o18.2.2菱形菱形也是常见的图形．一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架（图18.2-7）等都有菱形的现象．你还能举出一些例子吗？我们观察平行四边形的一组邻边，如图18.2-6，当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）．对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你完成自己的证明），菱形还有以下性质： 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．如图18.2-8，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分为两对全等的三角形．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．解：Q 花坛ABCD 的形状是菱形，AC BD ∴⊥，12ABO ABC ∠=∠160302=⨯=o o ．在Rt OAB ∆中，12AO AB =120102=⨯=，BO =，∴花坛的两条小路长 220AC AO ==(m)，2BD BO ==34.64≈(m)．花坛的面积4ABCD OAB S S ∆=⨯ 12AC BD =⋅ 346.4=≈2(m )．例3 如图18.2-9，菱形花坛ABCD 的边长为20m ，60ABC ∠=o ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．由菱形的两条对角线的长，你能求出它的面积吗？上面我们研究了菱形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形． 由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆定理．看看它们是否成立．可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 例4如图18.2-10，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且5AB =，4AO =， 3BO =．求证：平行四边形ABCD 是菱形．解：5AB =Q ，4AO =， 3BO =， 222AB AO BO ∴=+．OAB ∴∆是直角三角形，AC BD ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．可以发现并证明菱形的另一个判定定理： 四条边相等的四边形是菱形．18.2.3 正方形例5 求证：正方形的对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．正方形（s quare ）是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角．因此，正方形既是矩形，又是菱形（图18.2-11）．它既有矩形的性质，又有菱形的性质．已知：如图18.2-12，四边形ABCD 是正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ． 求证：ABO ∆，BCO ∆，CDO ∆，DAO ∆是全等的等腰直角三角形．证明： Q 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴=，AC BD ⊥，AO BO =CO DO ==．∴ABO ∆，BCO ∆，CDO ∆，DAO ∆都是等腰直角三角形， 并且ABO BCO ∆≅∆ CDO DAO ≅∆≅∆.练习1．(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (2)如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？2．如图，ABCD 是一块正方形场地．小华和小芳在AB 边上取定了一点E ，测量知， 30m EC =，10m EB =．这块场地的面积和对角线长分别是多少？习题18.2复习巩固1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且12∠=∠．它是一个矩形吗？为什么？2．求证：四个角都相等的四边形的矩形．3．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？4．在Rt ABC∆中，90C∠=o，2AB AC=，求A∠，B∠的度数．5．如图，四边形ABCD是菱形，30ACD∠=o，6BD=．求：（1）BAD∠，ABC∠的度数；（2）AB，AC的长．6．如图，//AE BF，AC平分BAD∠，且交BF于点C，BD平分ABC∠，且交AE 于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．综合应用9．如图，在Rt ABC∆中,90ACB∠=o，CDAB⊥于点D，3ACD BCD∠=∠，E是斜边AB的中点．ECD∠是多少度？为什么？10．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM DN=，//MG AD，//NF AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E．求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形．11．如图，四边形ABCD是菱形，8AC=，6DB=，DH AB⊥于点H．求DH的长．12．(1)如下页图(1)，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是(0,0)，(,0)b，(0,)d．求点C的坐标．(2)如下页图(2)，四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是(,0)c，(0,)d．点A，B在坐标轴上．求A，B两点的坐标．(3)如下页图(3)，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0)，(0,)d．求B，C两点的坐标．7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？8．如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了．纸盒的底面是什么形状？为什么？13． 如图，E，F，M ，N 分别是正方形ABCD 四边上的点，且AE BF=CM DN ==．试判断四边形EFMN 是什么图形，并证明你的结论．14．如图，将等腰三角形纸片ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形．用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线长． 拓广探索15．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，//BF DE ，且交AG 于点F ．求证：AF BFEF -=．16．如图，在ABC ∆中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ．BO 与OD 的长度有什么关系？BC 边上的中线是否一定过点O ？为什么？（提示：分别作BO ，CO 的中点M ，N ，连接ME ，DE ，MN ，ND ．） 17．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学交流一下．实验与探究丰富多彩的正方形我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形．比较一下，哪种图形的性质最多？答案无疑是正方形．正方形的四个角相等、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分．它的对称轴比其他四边形都多，以后我们还会学到，它还是中心对称图形．这些点使正方形得到人们的喜爱和广泛应用．下面是两个有关正方形的小实验，想一想其中的道理：1.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形111A B C O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形111A B C O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14．想一想，这是为什么．2.给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗？（参考图2）说明你的拼法的道理．例如，人们用边长为单位长度的正方形的面积，作为度量其他图形面积的基本单位；人们也常利用正方形美化生活环境，比如，用正方形地砖镶嵌地面，不仅美观大方，而且施工简单易行．正方形还有许多有趣的性质．例如，要用给定长度的篱笆围成一个面积最大的四边形区域，那么应当把这个区域选为正方形．数学活动活动1折纸做60o，30o，15o的角如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60o，30o，15o等大小的角，可以采用以下的方法（如图1）：通过证明可知，这是从矩形得到30o角的好方法，简单而准确．由此，15o，60o，120o，150o等角就很容易得到了．活动2黄金矩形0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（图2）等．(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN．通过观察所得的ABM∠，MBN∠，NBC∠，这三个角有什么关系？你能证明吗？下面我们折叠出一个黄金矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图3的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图4，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图5所示的AD处．第四步，展开纸片，按照所得的D点折出DE，矩形BCDE（图6）就是黄金矩形．你能说明为什么吗？（提示：设MN的长为2．）小结一、本章知识结构图二、思考与回顾本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理；探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线间距离的概念；通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系；根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法：利用图形性质定理和判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理．这些方法在今后的学习中都是很有用的．请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．1．你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？2．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？3．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗？4．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？复习巩固 1．选择题．（1）若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中较小的内角是（ ）． （A ）90o （B ）60o （C ）120o （D ）45o（2）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）． （A ）3:1 （B ）4:1 （C ）5:1 （D ）6:1（3）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则AEB ∠为（ ）． （A ）10o （B ）15o （C ）20o （D ）12.5o2．如图，将平行四边形ABCD 的对角线BD 向两个方向延长，分别至点E 和点F ，且使BE DF =．求证：四边形AECF 是平行四边形．3．矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50o的角．对角线与各边组成的角是多少度？ 4．如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且//DE AC ，//CE BD ．求证：四边形OCED 是菱形．6．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边的中点．四边形EFGH 是什么四边形？为什么？7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//BE DF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接ED ，BF ．求证12∠=∠．8．如图，ABCD 是一个正方形花园，E ，F 是它的两个门，且DECF =．要修建两条路BE 和AF ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？9．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？10．如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗?拓广探索13．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC，90B ∠=o，8cm AB =，24cm AD =，26cm BC =．点P从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使//PQ CD 和PQ CD =，分别需要经过多少时间？为什么？11．用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由．12．如图，过平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点O 作两条相互垂直的直线，分别交AB ，BC ，CD ，DA 于E ，F ，G ，H 四点，连接EF ，FG ，GH ，HE ．试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．14．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠=o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AEF90=．（提示：取AB的中点G，连接EG．）AE EF15．求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．。
人教版八年级数学下册教案第十八章平行四边形.docx
第十八章平行四边形本章内容的重点是平行四边形的定义、性质和判定。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的。
它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承。
三角形中位线定理等的推证，也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用。
另外，平行四边形的有关定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据，所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键。
本章的教学内容联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不太大。
相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，则是本章的教学难点。
因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象。
在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错或多用或少用条件的错误。
教学中要注意用“集合”的思想，结合教科书中的关系图，分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服这一难点的关键。
18.1.1 平行四边形及其性质(一)平行四边形是我们常见的图形，你还能举”来表示．记作“ ABCD”，读作“平行四边形==C=．在）18.1.1 平行四边形及其性质(二)（2）平行四边形的性质：ABCD，观察它还和．如图，的两条线段，则18.1.2平行四边形的判定（一），，．已知：如图，18.1.2 平行四边形的判定（二）如图，18.1.2平行四边形的判定——三角形的中位线（三）18.2.1矩形操作，思考、交流、归ABCDABCD．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、的度数．练习册上的相关习题矩形的判定方法18.2.2菱形18.2.2 菱形（二）（补充）已知：如图18.2.3正方形。
人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形第十八章 平行四边形 单元解读课件(课件)
会用数学眼光观察
能进行简单的几何猜想
逻辑推理 会数学思维分析
能推演出几何证明，归纳出结论
演绎推理 抽象概括
会数学语言表达
运用几何图形的基本性质进行推理证明 逻辑推理
一个图形中介入其他图形后的影响与作 用，图形形成后的拆分
添加辅助线的能力
识图能力
会用数学眼光观察; 会数学思维分析;
移动图形的能力 会数学语言表达.
（数形结合）
在坐标系中认识平行四边形及特殊的平行四边形
本章难点
学习方法
平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之 间的联系与区别.
内容梳理，绘制结构图或图表（思维导图）
本章核心素养
学习环节 探索发现 提出假设 验证假设 得出结论
理解运用
活动目标
基本技能
核心素养
从实际情况抽象几何模型
数学抽象 直观想象
形
第1课时 平行四边形的概念及边、角的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质 第3课时 平行四边形的判定1 第4课时 平行四边形的判定2 第5课时 三角形的中位线（借助平行四边形研究三角形的性质） 第6课时 矩形的概念及性质
（借助矩形研究直角三角形斜边中线的性质）
第7课时 矩形的判定 第8课时 菱形的概念及性质 第9课时 菱形的判定 第10课时 正方形的概念及性质 第11课时 正方形的判定 第12课时 数学活动 第13~14课时 平行四边形单元复习
正方形,主要考查正方形的性质与判定,经常与其他特殊四边形的性质和判 定等知识综合在一起考查,多以选择题、证明题的形式出现,有时也会出现 在阅读理解题中.
本章知识结构
一组对边 平行
梯形
一个角是直角
一组邻边相等
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形
第十八章
第1课时 平行四边形的性质1
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-13-
14.( 无锡中考 )如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求 证:∠ABF=∠CDE. 解:在▱ABCD中,AD=BC,∠A=∠C. ∵E,F分别是边BC,AD的中点, ∴AF=CE,
11.( 十堰中考 )如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则 △OCD的周长为 14 .
第十八章
第1课时 平行四边形的性质1
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-11-
【变式拓展】在平行四边形ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC= 2 5 ,则平行四边形 ABCD的周长等于 12或20 .
D.50°
第十八章
知识点1 知识点2
第1课时 平行四边形的性质1
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-8-
知识点３
知识点４
平行线间的距离 7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中与△ABC面积相等的三 角形共有 3 个,分别是 △BCD,△ABD,△ADC .
第十八章
第1课时 平行四边形的性质1
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-12-
12.如图,在▱ABCD中,∠B=50°,依据尺规作图的痕迹,则∠DAE=
80° .
13.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是边CD上的一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点 F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④ PF=PC.其中正确的 ①②③④ .( 填识点４
人教版八年级下册数学第18章1811平行四边形的性质教学设计.docx
18. 1. 1平行四边形的性质第2课时教学目标：知识与技能1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质。
2.能用平行四边形的对角线互相平分的性质，进行有关的论证和计算。
能力与过程3.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题。
培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力。
情感态度4・经历“实验一猜想一验证一证明”的探索过程，体验发现的乐趣；培养学生严谨的学风和务实的态度。
重点、难点5.重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。
6.难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明问题。
难点突破问题：1、教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法.如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,若AC与BD互相平分，则有0A=0C, 0B=0D・2、学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质.可以按边、角、对角线进行总结.通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力.教学设计：一、情景引入：1、复习回顾，导入新课：上节课我么一起认识了生活中的平行四边形，学习了它的边、角的性质。
回忆一下，它的边、角有怎么样的性质？K --------- R E2、故事引入：一位饱经苍桑的老人，经过一辈子&厶二^ 的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块近似平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：y3、有一个老人，临终前把一块肥沃的平行四边形的土地分给他的四个儿子，如图同学们看看这样分，老人四个儿子所得土地面积一样大小吗？（学生讨论，让 学生充分发表意见，教师不表态）。
师：同学们积极的发表的自己的看法和思考的过程，做得很好。
那些同学的看 法是正确的呢？我们通过本课的学习，同学们再来判定。
二、互动新授：【探究】：请学生在纸上画一个的oABCD 并连接对角线AC 、BD,设它们交于点0.线 段0A 与0C, 0B 与0D 有什么关系？先猜猜他们具有怎样的数量关系。
人教版八年级数学下册18章平行四边形(2).docx
初中数学试卷桑水出品广东墨江中学2015—2016学年第二学期单元质量检测八年级数学·17章·平行四边形（2）八（）班号姓名成绩一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列命题中，真命题的个数是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形.②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A.3个B.2个C.1个D.0个2、如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2第2题图3、有下列四个命题，其中正确的个数为( )①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形；③两条对角线互相垂直的四边形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.A.4B.3C.2D.14、下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形6.如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线AC等于（）A.20B.15C.10D.57.如图所示，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为（ ） A.16B.17C.18D.198.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为10 cm ，宽为8 cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．10 cm 2B ．20 cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 210.如图是一张矩形纸片ABCD ，AD =10 cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6 cm ，则CD =（ ）A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm 二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)12.在四边形ABCD 中，已知90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ．13.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可）14.在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)15.如图，矩形ABCD 的对角线AC =10，BC =8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．16.如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB =45°,BD =2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面CDA B第15题内，若点B 的落点记为B ′,则DB ′的长为 .17．若□ABCD 的周长是30，AC ，BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大，则AB ＝ . 18．如图所示，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 . 三、解答题（共46分）19.（5分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠D ，AB =3 ，BC =6 ,求四边形ABCD 的周长．20.（5分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F. 求证：OE =OF .21.（5分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，且BF DE =． 求证：AE CF =．22、（7分）如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与 DB 交于点M ．（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．23.（8分）（2015·河北中考）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证.（1）在方框中填空，以补全已知和求证； 第23题图已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＝AD ， AB ＝_________.求证：四边形ABCD 是________四边形. 求证：四边形ABCD 是________四边形.ABCD O EF第20题图（2）按嘉淇的想法写出证明； 证明：（3）用文字叙述所证命题的逆命题为____________________________________.24.（8分）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB ，EA ，延长BE 交边AD 于点F ． （1）求证：△ADE ≌△BCE ；（2）求∠AFB 的度数．25、（8分）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，BD ＝AC .（1）求证：AD ＝BC ；（2）若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分.广东墨江中学2015—2016学年第二学期单元质量检测 八年级数学·17章·平行四边形（参考答案）（2）一、 选择题1、B2、C3、D4、C5、C6、D7、B8、C9、A 10、A 二、填空题11、AB ∥CD 或AD =BC 或∠A +∠D =180o 或∠B +∠C =180o (答案不唯一) 12、AB =BC 或BC =CD 或CD =DA 或DA =AB(答案不唯一) 13、90BAD ∠=o（或AD AB ⊥或AC BD =等）14、∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD (答案不唯一，写出一种即可)第25题图15、28 16、9 18、25° 三、解答题19.解：∵ AB ∥CD ，∴ ∠B +∠C =180o .又∵ ∠B =∠D ，∴ ∠C +∠D =180o , ∴ AD ∥BC , ∴ 四边形ABCD 是平行四边形 , ∴ CD =AB =3 ，AD =BC =6 ， ∴ 四边形ABCD 的周长=2×6+2×3=18 .20.证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，OA =OC ， ∴ ∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ， ∴ △AOE ≌△COF ，故OE =OF .21.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AD BC AD BC =，∥． ∴ ADE FBC =∠∠.在ADE △和CBF △中，AD BC ADE FBC DE BF ===，∠∠，， ∴ ADE CBF △≌△，∴ AE CF =.22.（1）证明：在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC =DB ，BC =CB ，∴ △ABC ≌△DCB ． （2）解：BN =CN ．证明如下：∵ CN ∥BD ，BN ∥AC ，∴ 四边形BMCN 是平行四边形． 由（1）知，∠MBC =∠MCB ，∴ BM =CM ， ∴ 四边形BMCN 是菱形．∴ BN =CN .23.分析:（1）根据命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知CD AB =，四边形ABCD 是平行四边形.（2）连接BD ，根据已知条件，利用SSS 判定ABD CDB △△≌，可得BDC DBA ∠=∠，所以CD AB //.同理，由CBD ADB ∠=∠，得CB AD //，从而问题得证.（3）命题的条件是两组对边分别相等的四边形，结论是平行四边形，故其逆命题是把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论. 解：（1）CD 平行 （2）证明：连接BD . 在△ABD 和△CDB 中， ∵ AB =CD ，AD ＝CB ，BD ＝DB ，∴ △ABD ≌△CDB .∴ ∠1=∠2,∠3=∠4. ∴ AB ∥CD ，AD ∥CB .∴ 四边形ABCD 是平行四边形. （3）平行四边形的对边相等.24.（1）证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，第23题答图∴ ∠ADC =∠BCD =90o ，AD =BC ．∵ △CDE 是等边三角形，∴ ∠CDE =∠DCE =60o ，DE =CE ． ∵ ∠ADC =∠BCD =90o ，∠CDE =∠DCE =60o ， ∴ ∠ADE =∠BCE =30o ．∵ AD =BC ，∠ADE =∠BCE ，DE =CE ， ∴ △ADE ≌△BCE ．（2）解：∵ △ADE ≌△BCE ，∴ AE =BE ，∴ ∠BAE =∠ABE ． ∵ ∠BAE +∠DAE =90o ，∠ABE +∠AFB =90o ， ∴ ∠DAE =∠AFB ．∵ AD =CD =DE ，∴ ∠DAE =∠DEA ． ∵ ∠ADE =30o ，∴ ∠DAE =75o ， ∴ ∠AFB =75o ．25.解：（1）如图，过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M .∵ AB ∥CD ，∴ 四边形ABMC 为平行四边形， ∴ AC ＝BM ＝BD ，∠BDC ＝∠M ＝∠ACD .在△ACD 和△BDC 中，{AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴ △ACD ≌△BDC ， ∴ AD ＝BC .（2）连接EH ，HF ，FG ，GE .∵ E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点， ∴ HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ， ∴ 四边形HFGE 为平行四边形. 由（1）知，AD ＝BC ，∴ HE ＝EG ，∴ 四边形HFGE 为菱形，∴ EF 与GH 互相垂直平分.第25题答图。
人教八年级数学下册《第18章 平行四边形》.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧《第18章平行四边形》一、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（）A．B．C．D．2．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 3．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分4．①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．3个D．4个5．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则点A到对角线BD的距离为（）A．B．2 C．D．6．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形7．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：28．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）A． cm B．4cm C． cm D． cm9．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD．现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．3组B．4组C．5组D．6组10．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B 向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）11．如图，AB=DC．（1）当AB DC时，四边形ABCD是平行四边形；（2）当AD BC时，四边形ABCD是平行四边形．12．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是．15．在平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A= ，∠D= ．16．如图，▱ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB与CD间的距离为．17．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，第19-26每题7分，第27题8分，共64分）19．如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE=25°，求∠C、∠B的度数．20．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．21．已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是，试证明：这个多边形是菱形．22．在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE．23．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．24．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．25．如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．试说明：MD=MN．26．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG=C′G；（2）求△BDG的面积．27．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第18章平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（）A．B．C．D．【考点】平行四边形的性质．【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确．【解答】解：A正确；∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2；B、D正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，∴∠1=∠2；C不正确；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．2．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD【考点】平行四边形的判定．【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；B、AB=CD，AD=BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确；C、∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．3．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分【考点】菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线的性质（对角线互相平分且相等），菱形的对角线性质（对角线互相垂直平分）可解．【解答】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．故选：D．【点评】此题主要考查矩形、菱形的对角线的性质．熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．4．①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．3个D．4个【考点】命题与定理；平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定方法分别进行判断．【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，所以①错误；对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以②正确；在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形不一定为平行四边形，所以③错误；一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．5．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则点A到对角线BD的距离为（）A．B．2 C．D．【考点】矩形的性质．【分析】本题只要根据矩形的性质，利用面积法来求解．【解答】解：因为BC=4，故AD=4，AB=3，则S△DBC=×3×4=6，又因为BD==5，S△ABD=×5AE，故×5AE=6，AE=．故选A．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．6．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】矩形的性质；菱形的判定．【分析】由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形．【解答】解：由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵矩形的对角线相等，∴AC=BD，∴EH=HG，∴平行四边形EFGH是菱形．故选C．【点评】本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．7．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：2【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行四边形的性质和已知条件进行求解．【解答】解：∵平行四边形∴∠CDE=∠DEA∵DE是∠ADC的平分线∴∠CDE=∠ADE∴∠DEA=∠ADE∴AE=AD=4∵F是AB的中点∴AF=AB=3∴EF=AE﹣AF=1，BE=AB﹣AE=2∴AE：EF：BE=4：1：2．故选A．【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用以及角的等量代换、线段之间的关系解题．8．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）A． cm B．4cm C． cm D． cm【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理求出CE，即可得出AC的长．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC，∵DE=2cm，∴BC=4cm，∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．∴△BDG≌△CEF，∴BG=CF=1，∴EC=，∴AC=2cm．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单．9．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD．现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．3组B．4组C．5组D．6组【考点】平行四边形的判定．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到∠B=∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，故选A．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．10．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B 向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【解答】解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）11．如图，AB=DC．（1）当AB ∥DC时，四边形ABCD是平行四边形；（2）当AD = BC时，四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【分析】（1）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行填空；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行填空．【解答】解：（1）当AB=DC，且AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形；（2）当当AB=DC，且AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形．故答案是：∥；=．【点评】本题考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．12．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为2cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE=1cm，根据勾股定理可求出DE的长，菱形的面积=底边×高，从而可求出解．【解答】解：∵E是AB的中点，∴AE=1cm，∵DE丄AB，∴DE==cm．∴菱形的面积为：2×=2cm2．故答案为：2．【点评】本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 3 厘米．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是8 ．【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD=2，∴四边形CODE是菱形，∴DE=CEOC=OD=2，∴四边形CODE的周长=2×4=8；故答案为：8．【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质；证明四边形是菱形是解决问题的关键．15．在平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A= 120°，∠D= 60°．【考点】平行四边形的性质．【专题】常规题型．【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，易得∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，解方程组即可求得．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．故答案为：120°，60°．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角相等．解题的关键是数形结合思想的应用．16．如图，▱ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB与CD间的距离为10 ．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形的面积=AE×BC=CD×AF，即可求出AD与BC之间的距离．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．由题意得，S四边形ABCD=AE×BC=CD×AF，∴24×5=12×AF，∴AF=10，即AB与CD间的距离为10．故答案是：10．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式．17．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是（）n﹣1．【考点】菱形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM=，∴AC=，同理可得AE=AC=（）2，AG=AE=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，故答案为（）n﹣1．【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．三、解答题（本大题共9小题，第19-26每题7分，第27题8分，共64分）19．如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE=25°，求∠C、∠B的度数．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得∠C和∠B的度数．【解答】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE=25°，∴∠BAD=50°．∴在平行四边形ABCD中：∠C=∠BAD=50°，∠B=180°﹣∠C=130°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．20．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得BF=BE．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF=BE．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形的四条边都相等．21．已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是AE=AF ，试证明：这个多边形是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．【解答】解：条件AE=AF（或AD平分∠BAC，等）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为：AE=AF．【点评】此题主要考查了菱形的判定，正确区分菱形与平行四边形的区别，是解决问题的关键．22．在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°又∵BE⊥AG，DF⊥AG∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠2=∠3，∠1=∠4又∵AD=AB∴△ADF≌△BAE．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的证明，正确证明∠2=∠3，∠1=∠4是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG=BG，GE=BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE=GF，即证结论．【解答】证明：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，AC⊥BD∵EF⊥AC，∴EF∥BD，又ED∥FB，∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，∵E为AD的中点，∴AE=ED，∴AE=BF，又AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，即AB与EF互相平分．【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．24．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质．【分析】（1）首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．（2）连接OE，通过证四边形BOEC是平行四边形，得OE=BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形ODEC的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，又∵BC⊥CD，∴OE∥BC（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8∴S四边形OCED=OE•CD=×8×6=24．【点评】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．25．如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．试说明：MD=MN．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，将△BMN以∠DMN的角平分线为轴翻折至△PDM的位置，即取AD的中点P，连接PM．从而△MPD≌△NBM，故DM=MN．【解答】解：取AD的中点P，连接PM，∵M为AB的中点，且四边形ABCD是正方形，∴AB=AD；∴AM=AP=BM=PD；∴∠AMP=∠APM=45°；∴∠DPM=135°；而BN平分∠CBE，∴∠NBE=45°；∴∠MBN=135°；∵MN⊥MD，∴∠ADM+∠AMD=∠NMB+∠AMD=90°，∴∠ADM=∠NMB，即∠MDP=∠NMB．在△MPD与△NBM中，∴△MPD≌△NBM（ASA），∴DM=MN．【点评】此题把正方形和全等三角形的知识结合起来，主要利用正方形的性质，全等三角形的性质与判定来解题．26．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG=C′G；（2）求△BDG的面积．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据翻折的性质可得∠CBD=∠DBG，根据两直线平行，内错角相等可得∠BDG=∠CBD，然后求出∠DBG=∠BDG，根据等角对等边可得BG=DG，再根据矩形的对边相等和翻折的性质可得AD=BC=BC′，然后分别表示出AG、C′G即可得证；（2）设BG=DG=x，表示出AG，在Rt△ABG中，利用勾股定理列出方程求解得到DG，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】（1）证明：由翻折的性质得，∠CBD=∠DBG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BDG=∠CBD，∴∠DBG=∠BDG，∴BG=DG，又∵BC′是BC经过翻折得到，∴AD=BC=BC′，∵AG=AD﹣DG，C′G=BC′﹣BG，∴AG=C′G；（2）解：设BG=DG=x，则AG=8﹣x，在Rt△ABG中，AB2+AG2=BG2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，所以，△BDG的面积=××6=．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键，（2）利用勾股定理列出方程是解题的关键．27．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【考点】矩形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．。
人教版八年级下册----第十八章--平行四边形
源-于-网-络-收-集B人教版八年级下册 第十八章 平行四边形一、 平行四边形 1、 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、性质 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
如图1 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC,AB ∥DC; AD=BC,AB=DC;∠ BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ 1OA=OC,OB=OD. 3、判定：⑴定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
如图2∵AD ∥BC,AB ∥DC ∴四边形ABCD 是平行四边形⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图2∵AD=BC,AB=DC ∴四边形ABCD 是平行四边形⑶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 图2 如图2∵AD=BC, AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形⑷两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图2∵∠ BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD 是平行四边形源-于-网-络-收-集⑸对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图3∵OA=OC,OB=OD.∴四边形ABCD 是平行四边形 图3 4、三角形的中位线⑴定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
⑵定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
如图4∵AD=DB,AE=EC ∴DE ∥BC,DE=21BC 5、两平行线间的距离图4两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。
∵a ∥b,AB ⊥a,CD ⊥a ∴AB=CD两平行线间的距离都是相等的。
1、 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、 性质 ⑴矩形具有平行四边形的所有性质。
⑵矩形的四个角都是直角。
如图5∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°图5⑶矩形的对角线相等。
如图6∵四边形ABCD 是矩形源-于-网-络-收AA C∴AC=BD. 图6推论 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
八年级数学人教版下册第18章平行四边形18.2.2菱形(第2课时图文详解)
菱形的两组对边平行
质
菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相平分
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
八年级数学下册第18章平行四边形
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
D
AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形. A
O
C
B 结论：菱形判定方法3 四条边都相等的四边形是菱形.
八年级数学下册第18章平行四边形
例1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
AB=5,AO=4,BO=3.求证： □ABCD是菱形.
证明：
D
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴
求证：四边形OCED是菱形.
A
D
O
E
B
C
八年级数学下册第18章平行四边形
1.本节课你学到了哪些知识？在学习知识的过程中， 你体会或者应用到了哪些思想方法？ 2. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？ 判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形. 3.本节课你还存在什么疑惑吗？
2
AB
=
AO2 + BO2.
∴△OAB是直角三角形,
AC⊥
BD.
A
O
C
∴ □ABCD是菱形.
B
八年级数学下册第18章平行四边形
例2. 已知：如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC
的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
人教版八年级数学下第十八章平行四边形18
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解：∵直线 l1∥l2. ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 的底边 AB 上的高相等， ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 这 3 个三角形同底，等高， ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 这些三角形的面积相等． 即 S1＝S2＝S3.
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12．(2018·无锡)如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的 中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
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证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C.
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知识点 1：平行四边形的定义及对边相等的性质
1．如图，在平行四边形 ABCD 中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边
形共有
(B )
A．12 个
B．9 个
C．7 个
D．5 个
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∵点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，
1
1
∴AF＝2AD，CE＝2BC，∴AF＝CE.
AF＝CE，
在△ABF 和△CDE 中，∠A＝∠C， AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴∠ABF＝∠CDE.
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(人教版)八年级数学下册 第十八章 平行四边形
第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质(1)理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象．生：平行四边形．师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等．师：你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结)(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“▱”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC(性质)．2．探究．师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．如图，已知：▱ABCD.求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析：作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.由上面的证明可知：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.由此得到：平行四边形的性质1平行四边形的对边相等．平行四边形的性质2平行四边形的对角相等．二、新课教授【例】教材第42页例1师：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为()A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是()A．对角相等B．对角互补C．邻角互补D．内角和是360°【答案】B3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有()A．4个B．6个C．8个D．9个【答案】D四、课堂小结1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程．第2课时平行四边形的性质(2)理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．重点平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用．难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．复习提问：(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：(2)平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质(内角和是360°)；②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．探究：请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗？你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；(2)平行四边形的对角线互相平分．二、新课教授【例1】已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD 分别相交于点E，F.求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形的对应边相等)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)．∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.引申：若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交(图②和图③)，例1的结论是否成立？说明你的理由．解略．【例2】教材第44页例2三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________．分析：平行四边形的邻角互补．【答案】75°105°2．平行四边形的周长等于56 cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________．分析：平行四边形的对边相等．【答案】21 cm3．▱ABCD的周长为60 cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8 cm，则AB，BC的长分别是________．分析：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．【答案】19 cm，11 cm4．▱ABCD的周长为50 cm，AB＝15 cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________．分析：平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积．【答案】75 cm2四、课堂小结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．性质：(1)边的性质：对边平行且相等；(2)角的性质：对角相等，邻角互补；(3)对角线的性质：对角线互相平分．课堂中，我通过让学生说一说、找一找等多种活动，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学真正就在我们身边．18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定(1)使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法．重点平行四边形的判定方法及应用．难点平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．一、复习导入1．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？(学生口答，教师板书)2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．(即用“如果……那么……”的形式) 根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢？除了定义，还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理：平行四边形的判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法2两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法3对角线互相平分的四边形是平行四边形．下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．二、新课教授【例1】教材第46页例3【例2】已知：如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF.求证：∠1＝∠2.证明：在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2.三、巩固练习1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相垂直且相等D．对角线互相平分【答案】D2．已知：如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：EO＝OF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴DE∥BF.又DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∴EO＝OF.四、课堂小结1．平行四边形的三个判定定理．2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题．在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．第2课时平行四边形的判定(2)理解并掌握平行四边形的判定定理．重点理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用．难点理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法．一、复习导入1．平行四边形的定义是什么？2．平行四边形具有哪些性质？3．平行四边形是如何判定的？教师板书，并画出一个平行四边形，如图．(帮助理解)学生活动：踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理．二、讲授新课师：通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？下面我们就来证明这个结论是否正确．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．三、例题讲解【例1】教材第47页例4【例2】已知：如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD.∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形．【例3】已知：如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．四、巩固练习1．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．()(5)对角线相等的四边形是平行四边形．()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO ＝BO；(6)AB＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．【答案】略五、课堂小结平行四边形性质判定⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等角——两组对角分别相等对角线——两条对角线互相平分经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题．第3课时 平行四边形的判定(3)1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．重点掌握并运用三角形中位线的性质解决问题． 难点三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法)一、复习导入创设情境：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？(答案如图)图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 二、讲授新课师：在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，像DE 这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE ∥BC ，DE ＝12BC.下面我们对它进行证明．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．求证：DE ∥BC ，且DE ＝12BC.分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE 延长一倍后，可以将证明DE ＝12BC 转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．证明：如图，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF. ∵AE ＝EC ，DE ＝EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形， ∴CF 綊DA. ∴CF 綊BD∴四边形DBCF 是平行四边形，∴DF 綊BC.又DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC.通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 三、例题讲解【例】已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接AC ，在△DAC 中， ∵AH ＝HD ，CG ＝GD ，∴HG ∥AC ，HG ＝12AC(三角形中位线的性质)．同理EF ∥AC ，EF ＝12AC.∴HG ∥EF ，且HG ＝EF.∴四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 四、巩固练习1．如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N.如果测得MN ＝20 m ，那么A ，B 两点的距离是________m ，理由是________________________．【答案】40 MN 是△ABC 的中位线2．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点．(1)若EF ＝5 cm ，则AB ＝________cm ；若BC ＝9 cm ，则DE ＝________cm ； (2)中线AF 与中位线DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想． 【答案】(1)10 4.5 (2)AF 与DE 互相平分，证明略 五、课堂小结三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的． 18.2 特殊的平行四边形18．2.1 矩形 第1课时 矩 形(1)掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．重点矩形的性质． 难点矩形的性质的灵活应用．一、复习导入1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动的过程，如图)2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形的定义．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象．探究：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质： 矩形的性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形的性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，由性质2有AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC＝12BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、新课教授【例1】教材第53页例1【例2】已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4) cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x ＋4)2，解得x＝6，即AD＝6 cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8 cm.三、巩固练习1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15 cm，较短边的长为()A．12 cm B．10 cmC．7.5 cm D．5 cm【答案】C2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数．【答案】∠A＝60°，∠B＝30°四、课堂小结1．掌握矩形的定义及性质．2．会用矩形的性质求相关的角的度数．本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．第2课时矩形(2)通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题．重点矩形的判定．难点矩形的判定定理及性质的综合应用．一、复习提问，引入新课师：什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．师：矩形有哪些性质？生：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．师：矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法．二、提出疑问，引导探索师：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？生：可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形．师：对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件(有一个角是直角)，观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？生：“边”没有特性，“对角线”是相等的．师：我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？请把这个判定用命题的形式写出来．生：对角线相等的平行四边形是矩形．师：这个命题是否正确？(分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程) 证明过程由学生板书完成．师(归纳板书)：定理：对角线相等的平行四边形是矩形．师：对角线相等的四边形是矩形吗？生：不一定是矩形．师：画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形(先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形)．师生讨论，归纳矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．定理：对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．(除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．)三、例题讲解【例1】教材第54页例2【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F.求证：四边形AECF是矩形．证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC.∵AE∥BF，AB∥EF.∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF，又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形．四、课堂练习已知：O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH为矩形．【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD.∵AC，BD互相平分于O，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴四边形EFGH 是平行四边形且HF ＝EG ， ∴四边形EFGH 为矩形． 五、课堂小结⎭⎪⎬⎪⎫一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形有三个角是直角的四边形是矩形本节课在引入时，我先提出一个实际生活问题，激发学生的求知欲望，再引导学生逆向思考问题，从而让学生提出“对角线相等的平行四边形是矩形”这一结论，最后通过逻辑推理证明命题的正确性，为以后学习其他特殊的四边形的判定打下了基础． 18.2.2 菱 形第1课时 菱 形(1)1．探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算． 2．能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质．重点菱形的概念及性质． 难点菱形性质的灵活应用．一、创设情境，导入新课 活动：(四人一个小组)将一张硬纸片对折后再对折，然后剪成一个三角形，打开观察并讨论． 师：这是一个什么样的图形？为什么？(学生独立操作，教师演示) 生：是平行四边形，因为它的对角线是互相平分的．师：再观察一下，这个平行四边形的邻边之间有什么关系？为什么？ 生：是相等的，因为它们是重合的．师(板书)：菱形的定义：我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(强调菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等)二、探索研究，归纳性质活动：菱形具有什么性质呢？你能发现吗？1．折叠：上下对折，左右对折，你有什么发现？ 2．旋转．结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教师对知识做适当梳理，板书菱形的性质． 菱形的性质1：菱形的四条边都相等．菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴．师：这些性质我们是通过折叠、旋转观察得到的．如何用逻辑推理的方法证明它呢？已知：如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于O. 求证：AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD 和∠BCD. 证明：∵AB ＝AD ，BO ＝OD ，∴AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD(等腰三角形三线合一)． 同理：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC. 三、继续探索，深化提高师：菱形的对角线将菱形分成几个三角形？它们都是什么三角形？有什么关系？ 生：是四个全等的直角三角形．师：如果已知菱形的对角线的长度，能求出一个三角形的面积吗？ 生：可以求出．师：进而就可以求出菱形的面积．试说明菱形的面积等于它的两条对角线线长的积的一半．已知：在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点．求证：在菱形ABCD 中，S 四边形ABCD ＝12AC ×BD.证明：在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AC ×OB ＋12AC ×OD ＝12AC ×(OB ＋OD) ＝12AC ×BD. 即菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．师：菱形是特殊的平行四边形，所以它的面积公式有两个． 菱形的面积＝底×高；菱形的面积＝12ab(a ，b 是两条对角线的长度)．四、例题讲解【例1】菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长度分别为4 cm ，3 cm ，求菱形ABCD 的面积和周长．分析：用勾股定理可求得边长，进而求得周长．解：如图，由题可知AO ＝2，BO ＝32，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝52，∴菱形ABCD 的周长。
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初中数学试卷
马鸣风萧萧
第18章 平行四边形
（满分100分，考试时间90分钟）
八（ ）班 号 姓名 成绩
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1、已知□ABCD 的周长为32，AB=4.则BC= ———————————————（ ） A 、4 B 、8 C 、12 D 、24
2. □ABCD 中，∠A 比∠B 大40°，则∠C 的度数为————————————（ ） A 、60° B 、70° C 、100° D 、110°
3、菱形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是———————————（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相垂直
4、①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有一组对边平行且相等④对角线相等。
以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有——————————（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个
5、顺次连结对角线相等．．．．．的四边形各边中点所得的四边形必定是——————（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形
6、□ABCD 中，对角线AC=6，BD=10，则AB 边取值范围是—————————（ ） A 、4 ﹤AB ﹤16 B 、 2﹤AB ﹤8 C 、4﹤AB ﹤10 D 、2﹤AB ﹤6
7、在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为—————————————（ ） A 、5cm B 、15cm C 、20cm D 、25cm
8、如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果∠BFA ＝30°，那么∠CEF 等于————————————————————————————（ ） A 、20° B 、30° C 、45° D 、60°
第8题 第9题
9、如图，正方形ABCD 的边长为8 cm ，M 是对角线BD 上一动点，点E 在AD ，且AE ＝2 cm.，则AM+EM 的最小值为—————————————————————— （ ）
A 、4cm
B 、6cm
C 、8cm
D 、10cm
10、矩形、菱形、正方形都具有的性质是———————————————（ ） A 、对角线互相平分 B 、对角线相等
C 、对角线互相垂直
D 、对角线平分对角如图， 二、填空题：（每小题3分，共30分）
11、平行四边形ABCD 中，∠A=50°，则∠B=__ _ 。
12、□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 长为__ _ 。
13、□ABCD 两邻边长分别为6和12，两长边之间的距离为4，则两短边的距离为 。
14、三角形的三条中位线长是3cm ，4cm ，5cm ，则这个三角形的周长为 cm 。
15、若菱形边长是2，两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为 。
16、直角三角形中两直角边为3和4，斜边的中线 17、若正方形的对角线长为2，则面积为 。
18、如图，1l ∥2l ，点A 、D 在直线1l 上，点B 、C 在直线2l 上，△ABC 面积与△DBC 为1S 和1S ，则1S
2S （填>，<，＝）
19、如图□O ABC ，点O, A, B 的坐标分别是（0，0），（3，0）（4，2），则C 点坐标是 20，正方形ABCD 中作等边△BCE ，则∠EAD ＝
三、解答题
（共40分）： 21、（6分）如图：在□ABCD 中，AB=10，
AD=6，AC⊥BC， 求对角线AC 、BD 的长。
22、（6分）如图：点E 在BC 上，点F 在AD 上，且BE ＝DF
求证：四边形AECF 是平行四边形。
23、（6分）如图：□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O 。
△ABC 为等边三角形，且AB ＝4，
求□ABCD 面积。
24、（6分）如图：□ABCD 中，AE 平分∠BA D 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F 求证：四边形ABEF 是菱形
25、．（7分）如图，正方形OMNP 的顶点O 与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是1求证：重合部分的面积总是4
1
．
26、（8分）：如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F. （1）求证：EO ＝FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？写出你的结论并证明。
_5
_4 _3 _2 _1
_ F _ N
_ M _ E
_ O
_ C
_ B
_ A。