2021届高三入学调研试卷 文科数学(一) 解析

2021届高三入学调研试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，集合{|1}B x x =≥，则A B =（ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】B【解析】∵[0,2]A =，[1,)B =+∞，∴[1,2]A B =．2．若复数5i1iz -=-，则1z -=（ ） A ．22 B ．8C ．10D ．1【答案】A 【解析】∵5i (5i)(1i)64i32i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+，则122i z -=+， 因此，2212222z -=+=．3．已知0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】∵0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，∴100.51()2111()()1222a =<<==，22log 0.3log 10b =<=， 1222121211log 0.30.5log 0.3021log 0.3211()()0.30.312210.3(121)c --⨯==>====，∴b a c <<．4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人C ．108人D ．115人【答案】C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有1007327-=人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10040027x=，解得108x =人． 5．函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，222()(0)4122x x x xx x f x x -⋅==≠--， 22(()222)()2x x x xx x f f x x --=----==--， 所以函数()f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项B ；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号当1x =时，211212(1)0413f =-⨯=>，故排除选项D ；当12x =时，212()122()(1)2214f f ⨯==<-，故排除选项C ， 所以本题正确答案为A ． 6．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】当0x >时，|ln |30x -=，∴ln 3x =±，∴3x e =或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，22430x x ---=，∴22430x x ++=， ∵20>，164230Δ=-⨯⨯<，所以方程没有实数根， 综合得函数()3y f x =-的零点个数是2．7．在ABC △中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和2FD FA +=0，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G ，因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点， 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为2FD FA +=0，所以:1:2AF FD =，因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =， 又因为EG BG =，所以14AE EB =，故14AE EB =． 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A ．35B ．20C ．18D ．9【答案】C【解析】模拟算法：开始：输入3n =，2x =，1v =，312i =-=，0i ≥成立；1224v =⨯+=，211i =-=，0i ≥成立； 4219v =⨯+=，110i =-=，0i ≥成立；92018v =⨯+=，011i =-=-，0i ≥不成立，输出18v =．9．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【解析】如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =，所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E EC ⊥，则1A E AD ∥，190A EC ∠=︒， ∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =，13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===，∴1π3CA E ∠=． 10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．23+C ．2D ．21+【答案】B 【解析】双曲线22221x ya b-=，(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -， 直线l 的方程为()3y x c =+，令0x =，则3y c =，即()0,3A c ， 因为A 平分线段1F B ，根据中点坐标公式可得(),23B c c ，代入双曲线方程，可得2222121c ca b-=， 由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得2743e =±，由1e >，解得23e =+．11．已知函数π()2sin()(0)6f x x ωω=->，0x ，1x ，2[0,π]x ∈，对[0,π]x ∀∈，都有01()()()f x f x f x ≤≤，满足2()0f x =的实数x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数0x 有且只有1个；②满足题目条件的实数1x 有且只有1个；③()f x 在π(0,)9上单调递增；④ω的取值范围是1319[,)66，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④【答案】D【解析】0>ω，[0,π]x ∈，故πππ[π]666x ωω-∈--，， 设π6x t ω-=，作sin y t =的图象如图，在[0,π]上满足2()0f x =的实数2x 有且只有3个，即函数sin y t =在ππ[,π]66ω--上有且只有3个零点，由图象可知π2ππ3π6ω≤-<，131966ω≤<，结论④正确；由图象知，sin y t =在ππ[,π]66ω--上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误；当π(0,)9x ∈时，ππππ(,)6696x ωω-∈--， 由131966ω≤<知2πππ5ππ02796272t ω<≤=-<<，所以sin y t =在πππ()696ω--，上递增， 则()f x 在π(0,)9上单调递增，结论③正确．12．已知长方体1111 ABCD A B C D -内接于半球O ，且底面ABCD 落在半球的底面上，底面1111D C B A 的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为3，AB BC =，则该长方体体积的最大值为（ ） A ．123B ．6C ．48D ．72【答案】A【解析】设长方体1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则长方体的底面外接圆直径为22r a =，所以，2r =． 由勾股定理得2223h r +=，即22()92a h +=，得22182a h =-，其中03h <<， 所以，长方体1111ABCD A B C D -的体积为()223182218V a h hh hh ==-=-+，其中03h <<，设()3218f h h h =-+，其中03h <<，则()2618f h h '=-+，令()0f h '=，得3h =，当03h <<时，()0f h '>，()f h 在(0,3)上单调递增； 当33h <<时，()0f h '<，()f h 在(3,3)上单调递减， 所以，函数()V f h =在3h =处取得极大值，亦即最大值，则()max 3123V f==，因此，该长方体的体积的最大值为123．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____． 【答案】16【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=． 14．若x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为_____．【答案】6【解析】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x =-+⎧⎨=⎩，得(2,2)A ，故z 的最小值为6．15．已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_______． 【答案】[2,1]e + 【解析】∵1()f x a x '=+，∴1(0)1f a'==，∴1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数， 又∵()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=， ∴021x e ≤-≤-，∴21x e ≤≤+，即[2,1]e +．16．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，()b a b <，原点O 为AD 的中点， 抛物线()220y ax a =>经过C ，F 两点，则ba=_______．【答案】12【解析】因为D 是抛物线()220y ax p =>的焦点，所以(,0)2a D ，因为正方形DEFG 的边长为b ，所以(,)2a Fb b +，因为F 在抛物线上，所以22()2a b a b =+，即2220b ab a --=，所以22()10b b aa --=，解得12ba=12 因为0a b <<，所以12ba=+三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ，E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率． 【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）910． 【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为1121420025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14160089625⨯=． （2）这200名学生成绩的平均分为6411214641009080706091.3200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关． （3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，D 组3人编号为A ，B ，C ，E 组2人编号为a ，b ，则任取2人的基本事件为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个， 其中事件“至少1位学生来自D 级别为F 含有的基本事件有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9个， ∴()910P F =．18．（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =． （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1n b n =-；（2）()222nn S n =-+．【解析】（1）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且124116a a a =⎧⎨⋅=⎩，∴2q =，即12n n a -=，又∵2log n n b a =，∴1n b n =-．（2）由（1）可知()112n n n a b n -⋅=-⋅，则0121021222(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅① 1232021222(1)2nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②得()()()231222222121222212nn nn n n S n n n ---=++++--⋅=--⋅=---，∴()222nn S n =-+．19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，AB BC ⊥，1AA AB BC ===22CD =，点M 是1AB 的中点．（1）证明：//CM 平面11ADD A ； （2）求点C 到平面1ADA 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【解析】（1）取1AA 的中点为E ，连接ME ，DE ， ∵点M 是1AB 的中点，∴11ME A B ∥，1112ME A B =， ∵CD AB ∥，12CD AB =，11AB A B ∥，11AB A B =，∴CD ME ∥，CD ME =，即四边形CDEM 为平行四边形，∴CD DE ∥，∵CM ⊄平面11ADD A ，DE ⊂平面11ADD A ，∴CM ∥平面11ADD A ．（2）设点C 到平面1ADA 的距离为h ，连接AC ，1DA ，1A C ，1A D ， ∵1A A ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥， ∴1111121223323A ACD ACD V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，22215AD =+=， ∴115252ADA S =⨯⨯=△， ∵11C ADA A ACD V V --=，∴12533h ⨯⨯=，解得25h =．20．（12分）已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1π3AFO ∠=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N ．证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点． 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）在1AF O Rt △中，OA b =，11OF c ==，2211AF OA OF a =+=，∵1π3AFO ∠=，1π6OAF ∠=，∴1122a AF OF ===，∴223b a c -=因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，∵1211k k k =-，∴1212k k k k =+121212123333y y y y ----=+∴代入(1,2)i i y kx m i =+=，化简得221212(2)(1)(3)()2330k k x x k m x x m m -+-++-+=， 化简得((283333k m m =-，∵3m ≠833(3)k m =-，∴833km =直线83:3k MN y kx =++MN 过定点83(3)． 21．（12分）2()(2)ln ln (0)f x ax a x a a x=-+-->，2()(2)ln g x x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设不等式()21()(2)(0)2m g x x m x m -≥-+->对任意的1[,]x e e∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(0,3]． 【解析】（1）0x >，0a >，222222(2)2(1)(2)()a ax a x x ax f x a x x x x+-++--'=-+==，由()0f x '=，得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21>a ，由0()f x '<，得21x a <<；()0f x '>，得01x <<或2x a >，所以若02a <<，()f x 在(0,1)，2(,)a+∞递增；在2(1,)a 上递减；②若2a =，222(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在定义域(0,)+∞上递增； ③若2a >，则21a <，由0()f x '<，得21x a<<；()0f x '>，得20x a <<或1x >，所以若2a >，()f x 在2(0,)a和(1,)+∞上递增，在2(,1)a递减．（2）原不等式等价于221(2)ln (2)02m x x x x m x --+--≥， 记()221(2)ln (2)2m h x x x x x m x -=-+--， ()(2ln )(1)h x x m x '=+-，1()x e e≤≤，令()0h x '=，得1x =或2(0)m x e m -=>． ①当2m ≥时，12m ee --≤（舍去），所以1x =．当1(,1)x e∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以min 1()(1)(3)02h x h m ==--≥恒成立， 故3m ≤，此时m 的取值范围是23m ≤≤； ②当02m <<时，121m ee--<<，当21(,)mx e e-∈时，()0h x '>；当2(,1)mx e -∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以1min{(1),()}0h h e ≥，即83213e m e m -⎧≤⎪-⎨⎪≤⎩，解得3m ≤，可得此时m 的取值范围是02m <<，综合①②可知03m <≤，所以实数m 的取值范围是(0,3]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=． （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．【答案】（1）2(1)2(1)y x +=+；（2）22115()()2416x y ++-=． 【解析】（1）由21y t =-，得12y t +=，则221212()12y x t +=-=-， 整理得2(1)2(1)y x +=+，故曲线C 的普通方程为2(1)2(1)y x +=+．（2）由(2sin cos )m ρθθ-=，得2y x m -=，联立2(1)2(1)2y x y x m+=+⎧⎨-=⎩，得22210y y m -+-=，∵l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，∴44(21)0Δm =--=，解得1m =， ∵l 的方程为21y x -=，∴l 与坐标轴交点为1(0,)2与(1,0)-，不妨假设1(0,)2A ，则(1,0)B -，线段AB 的中点为11(,)24-，AB ∴==AB为直径的圆的半径4r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为22115()()2416x y ++-=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a =--． （1）当2a =时，求()1f x ≤的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()3f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）[1,2][1,0]-；（2）[0,3]．【解析】（1）当2a =时，()1f x ≤可化为2121x --≤， 即12121x -≤--≤，1213x ≤-≤，∴1213x ≤-≤或3211x -≤-≤-，解得12x ≤≤或10x -≤≤， ∴()1f x ≤的解集为[1,2][1,0]-．（2）()3f x ≤可化为213x a --≤，即3213a x a -≤-≤+， ∵21y x =-在[1,1]x ∈-上的最大值为3，最小值为0，∴3033a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得03a ≤≤，故a 的取值范围为[0,3]．维权声明。