小学五六年级奥数学竞赛计数方法之捆绑法、插空法、插板法
排列组合 插板法 插空法 捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异?（2）所分成的每一组至少分得一个元素?(3) 分成的组别彼此相异?举个很普通的例子来说明?把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36?下面通过几道题目介绍下插板法的应用?e 二次插板法?例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位?所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合插板法插空法捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法一、基础理论：捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。
题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。
插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。
二、真题精析例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：A.1440种B.960种C.720种D.480种【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5)种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。
分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。
所以答案为B.小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。
例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?A.20B.12C.6D.4【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。
【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。
所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。
第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。
奥数讲义计数专题：捆绑与插空
华杯赛计数专题：捆绑与插空例1.A，B，C，D，E，F一共6个小朋友排成一排，其中A，B两个必须相邻，求一共有多少种排列方法？若A，B两个人不能相邻，求一共有多少种排法【答案】240；480【解答】将A、B看成一个整体M，那么M与C、D、E、F排成一排共有种方法，而M中A与B的顺序又有两种确定方法，因此A、B相邻的排列方法一共有120×2=240种；方法1：不考虑A，B是否相邻的问题，所有的排列方法数为种，减去A，B相邻的方法数240，得到A，B不相邻的排列方法数为种.方法2：对于A、B不相邻的问题，可以用乘法原理按如下步骤完成排列：第一步：将C、D、E、F排成一排，共有种方法；第二步：在C、D、E、F形成的5个间隔中，选出两个空位由A、B站入，有种方法。
因此一共有24×20=480种排列方法。
方法总结：（1）捆绑法：如果在排列的题目中要求某些人必须相邻（例如A，B），那么可以先将他们（A，B）捆绑在一起和其他人进行排列，然后再将捆绑在一起的这些人进行排列；（2）插空法：如果在排列的题目中要求某些人不能相邻（例如A，B），那么可以先将其他人进行排列，再将他们插入到其他人形成的空位中进行排列。
例2.3个男生，3个女生排成一排，（1）要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？（2）要求男生不能相邻，女生也不能相邻，求一共有多少种排法？（3）要求3个男生相邻，有多少种排法？【答案】144；72；144.【解答】（1）先将女生排列好，一共有种方法.女生排列好后一共有4个空隙可以排入男生，将3个男生排入4个空隙中一共有种方法.所以3个男生3个女生排成一排，男生不能相邻的排列方法一共有种.（2）3个男生不能相邻，3个女生也不能相邻，那么排列的方式只有两种：“男女男女男女”和“女男女男女男”.每一种方式都有种排列方法，所以3个男生，3个女生排成一排一共有种方法.（3）将3个男生捆绑在一起，有种捆绑方法。
六年级计数重点考查内容————排列组合(排列组合三宝)
本讲重点
1．排列组合的意义与计算方法 2 排列组合三宝：捆绑法 插空法 挡板法 2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法
【例1】(★★☆) 8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家 都 都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔 奋 洁 夏川 杨秀情 增 崔 兆玉、刘丽娜、兰海七个人想站在一块儿合个影， 这个时候争执出现了： ⑴ 雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样 简单公平； ⑵ 夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这 样看起来比较美观； ⑶ 兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己 的脑瓜长的比别人更圆一些； ⑷ 兆玉发言：自己和丽娜站两端， 兆玉发言：自己和丽娜站两端 “我们俩宽度 我们俩宽度 一样，这样比较对称” ⑸ 秀情老师： 秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便 我和阿增不站两端，其余的随便 排，快点，不要磨叽！”
本讲要点回顾
2．排列组合问题常见的集中考题类型： 2 排列组合问题常见的集中考题类型： ⑴特殊位置(元素)，优先考虑； ⑵必须相邻问题： 捆绑法 ——先捆后排：先捆相邻，再排整体 互不相邻问题： 插空法 ——先排后插：先排别人，然后插空 把相同的东西分给不同的人，每人至少一个
人数－1 C苹果－1 ——挡板法：
1
【例4】(★★☆) 7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿 个 完相 集体 讨论 晚 的事 了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人 来去买晚饭 其余人在这儿围着篝火唱歌舞 来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱歌舞、 跳个歌啊什么的。推选三个人去买饭，有几 种选法 种选法？ 答案： 35
【例5】(★★★☆)照相终于结束了，这时候师资组 的其余 的其余几位同事由于等的不耐烦提前买了 事由 等的 耐 提前 些桃子回来，给我们7人扔下20个桃子(假定 桃子一模一样)就走了 每人至少一个 有 桃子一模一样)就走了，每人至少一个，有 多少种分法呢？ 答案： 7132
(完整版)排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
捆绑法、插空法、隔板法
２ ．３名主力的位置确定在一 、 三、 五位 中选择 ， 将 他们 优先安 排 ， 有 种 可能 ； 然后 从其 余 ７名 队员 选 ２名安排在第二 、 四位置 ， 有 种排 法． 因此结果 为 Ａ２ —２ ５ ２种． ３ ．解法 １ ： 甲、 乙二人都入选有 ・ 种； 甲、 乙二人 中仅有 一人入 选有 ・
＝３ ６ 种不 同的选法．
种， 其 中甲或 乙担 任文 娱委 员 的选 法有
解法 ３ ： 从 ５人 中选 ３ 名分别 担任 不 同职 务 的选 法共有
种， 所 以共 有 一 ＝３ ６ 种选法 ．
４ ．如果 用两种颜色 ， 则有 种颜色可 以选择 ， 涂上有 ２种方法． 如果用 ３ 种颜色颜色有 Ｃ ｉ种颜色可 以选择 ， 涂上有 ３ ×２ ×（ ２ ＋１ ） 一１ ８ （ 种） 方法． 所以， 不 同涂 色种 数为 Ｃ ３・ ＋Ｃ ｉ・ １ ８ ＝３ ９ ０ （ 种） 方法． ５ ．由题 意 ＡｎＢ一 ， 设 ＡＵＢ＝Ｃ， 则 Ｃ是 Ｉ的非 空子 集 ， 且 Ｃ中元素不 少于 ２ 个， 对 Ｉ 的任何 一个
２ ， ２ 三 组 ． 不 同 的 分 配 方 案 有 （
＋
专题 突破
） Ａ ￣ ＝ １ ５ ０ 种 ．
有序 与 无序
１ ．直接统计较繁 ， 可从反面人手． 从 ８个顶点 中任取 ４个有 种取 法 ， 而 四点共 面 的情 况有 ６个表
面 和 ６个 对 角 面 ， 因 此 结 果 为 一 １ ２ ＝５ ８ 个．
ｋ （ ２ ≤ ≤５ ） 元子集 Ｃ ， 我们可 以将 ｃ中元 素从小到大排 列． 排 好后 ， 相邻数 据间共有 ｋ 一１个空 档． 在 任意
一
个空档 问插入一 个隔板 ， 隔板 前的元素组成集合 Ａ， 隔板后 的元素组成集合 Ｂ ． 集合对 ｛ Ａ， Ｂ｝ 无重复 ， 所
小学数学思维方法：计数问题(捆绑法,插空法和插板法)
计数问题（捆绑法，插空法和插板法）【知识精要】一、基本概念⎧⎨⎩加法原理：分类用加法乘法原理：分步用乘法⎧⎨⎩排列：与顺序有关组合：与顺序无关 二、基本公式 排列公式：!(1)(2)(1)()!m m n n n A P n n n n m n m ===---+- 组合公式：!(1)(2)(1)()!!(1)(2)21m n m n nn n n n n m C C n m m m m m ----+===---⨯ 三、计数方法 1.“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
2.“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
解题过程是“先排列，再插空”例如．若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？解：题目要求A 和B 两个人必须隔开。
首先将C 、D 、E 三个人排列，有种排法；若排成D C E ，则D 、C 、E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是： ︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A 、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
3. 插板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n 个元素必须互不相异，（2）所分成的每一组至少分得一个元素 ，(3) 分成的组别彼此相异【典型例题】例1．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
排列组合进阶(捆绑法,插空法,隔板法)练习题
小学奥数(第022课)排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)练习题小学奥数(第022课) 排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)的相应练习题，大家可以练一练。
①心算(1)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，其中B与C必须相邻，共有( )多少种排法。
(2)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，如果B与C不能相邻，共有( )多少种排法。
(3)方程 x + y + z = 10 有( )组正整数解。
②1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字4，5不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种。
③有3名男生，4名女生排成一列，要求3名男生必须挨在一起，共有多少种排法。
④晚会有6个歌唱节目，3个小品节目，要求不能连续演出小品节目，那么共有多少种安排方法。
⑤男子乒乓球国家队张继科、马龙、许昕三人进行一次训练，刘教练拿出320个乒乓球分给三人，如果每人至少分100个乒乓球，那么共有多少种分法。
①心算(1)答案：12解析：捆绑法，把B和C当做一个整体，所以是A(3，3)×A(2，2)=6×2=12(种)(2)答案：12解析：插空法，A，D的排列A(2，2)，然后在A，D的3个空插入B和C，是A(3，2)。
所以答案是A(2，2)×A(3，2)=12(种)。
或者用4人总排列数A(4，4)减去BC相邻的排列数，24-12=12(种)。
(3)答案：36解析：隔板法，可以看成10个1，有9个空，隔2个板，所以是C(9，2)=36(种)②答案：72解析：根据题意，4与5不相邻，所以用插空法1，2，3共四个空。
答案是A(3，3)×A(4，2)=72(种)。
③答案：720解析：捆绑法A(5，5)×A(3，3)=720(种)。
④答案：151200解析：根据题意，不能连续演出小品节目，即不相邻，所以用插空法。
先排6个歌唱节目是A(6，6)，然后6个歌唱节目共7个空，插入3个小品节目(小品也是有顺序的)。
小学六年级奥数 计数方法之捆绑法、插空法、插板法
Ann n! n(n 1)(n 2) 2 1
(2)组合数公式：
Cnm
Anm Amm
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 2 1
(3)组合C nm n
②
C
0 n
C
1 n
C
2 n
Cnn
1
【例3】(★★★) 核桃组的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究：天天、向向、 汤汤三位帅哥强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见 摄像师小段拿着一根绳子笑着就走过来了说：我能很快解决你 们这样一共有几种排队方式的问题。
【例4】 (★★★) 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书， 全部竖起排成一排，如果要求童话书排在一起，漫画书排在一起 有多少种排法？
【例2】(★★★) 4月5日早上核桃组刚到桃园仙谷，组长美美和她八个小伙伴都很 兴奋，想站在一块儿合个影，请分别求出以下情况有多少种不同 的站法？ (1)天天固执的认为站成一排并且自己必须站在正 中间，因为自己长的比别人帅一些。 (2)向向发言：站成一排并且自己和汤汤站两端， “我们俩宽度一样，这样比较对称”。 (3)小熊老师：“我和天天不站两端，其余的随便 排，快点，不要磨叽。”
2n
【例1】(★★) 4月4日晚上饼干组刚到桃园仙谷，大家都很兴奋，璐璐、关关、 兔兔、小雷、峰峰、阳阳、成成，媛媛八个人想站在一块儿合个 影，请分别解出以下情况的不同方法数。 ⑴组长兔兔觉得： 8个人随便站成一排，她认为这 样简单公平。 ⑵副组长关关认为： 8个人可以站成三排，前2中3后3， 这样看起来比较美观。
【例5】 (★★★) 饼干组的一行8人同样在照相，但排队过程中一个小插曲影响了 照相的进度，兔兔与关关、小新起了一点小矛盾, 3人带着情绪强 烈要求：互不相邻，这样有几种排队的方式？
排列组合插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合的方法捆绑法
排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?我们可以腹胀化归思想。
插板法必须严格满足三个条件：①所要分的元素必须完全相同②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有()种不同方法.（标准的是非空，那么非空如果处理？）4.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?e二次插板法例8：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?C63例4、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。
小学奥数捆绑法
2、解题步骤 ①先捆绑，看成一组 ②再松绑，组内排序 ③分步完成，步步相乘
Thank you!
A 3 =3×2×1=6 3
例题1：圣诞party，一共有四个节目，一个舞蹈，一个歌曲，两个小品， 彩排时要求两个小品顺序相邻，一共有多少种情况？点题---捆绑
1、先捆绑，看成一组
小品 歌曲 舞蹈
A 3 =3×2×1=6 3
2、再松绑，组内排序 《新东方》《老师好》
A2
2 =2×1=2
《老师好》《新东方》
捆绑法
说课
教学内容：计数模块中排列组合部分的捆绑法 教学对象：五年级已经初步学习过排列组合具有一定基础的学生 教学目标： 1、帮助学生理解什么是捆绑法 2、明确捆绑法的使用条件，会使用简单的捆绑法解题
圣诞节又要来临了
圣诞老人礼物多多
每个孩子一个礼物 下面我们去圣诞老人的一场
圣诞晚会吧
引入：圣诞老人有3个礼物，要分给3组家庭，礼物如下，有多少种不同的 方法？
练习题
1、现有7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的
排法共有多少种？
2、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三 个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少 种不同的排法？
总结：
1、相邻问题---捆绑法
某些元素要求必须相邻时，可以先 将这些元素作为一个元素，与其他 元素排列后，再考虑这些相邻元素 的内部排列的这种排列方法.
3、分步完成，步步相乘
6×2=12（种）
例题2：Party结束后，圣诞老人要和三组家庭一起拍照，每组家庭成员必 须相邻，有多少种情况？
A8 8
1、先捆绑，看成一组
A4 =4×3×2×1=24 4
计数综合2 捆绑法 插空法 插板法
排列组合进阶（一）知识点精讲“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
不相邻问题插空法，可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
相同元素分组问题用插板法，且要求每一组均“非空”，也就是每组至少有一个。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须相同（2）所分成的每一组至少分得一个元素（3）分成的组别彼此相异课堂例题与练习捆绑法部分：1．4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？2．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？3．有ABCDE共5个人并排站在一起,如果AB必须相邻,并B在A的右边,那么不同的排法有多少种4．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？5．一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？6．将甲乙丙丁四名大学毕业生分到3个不同车间实习，每个车间至少分到一名，且甲乙两人不能分到同一个车间，则不同的分法种数为？插空法：7．7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法？8．学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张.8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？9．一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？10．把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？11．在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？12．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？13．3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14．路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？15．一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。
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大海传功
2.排列与组合的主要公式：
(1)排列数公式：
大海传功
A n(n 1)(n m 1)
n
1.什么是排列组合？
(1)排列：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照
一定的顺序排成一列
(2)组合：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，不计
A n n n n
!(1)(2)21 n
n
(2)组合数公式：
A n(n 1)(n m
1)
C
m n
n A m m m
(1)21
m
(3)组合数性质：
较顺序组成一组①C m C n m
②C0C1C2C n 2n
n n n n
【例1】(★★)
4月4日晚上饼干组刚到桃园仙谷，大家都很兴奋，璐璐、关关、
兔兔、小雷、峰峰、阳阳、成成，媛媛八个人想站在一块儿合个
，。
⑴组长兔兔觉得：
8个人随便站成一排，她认为这样简单公平。
⑵副组长关关认为：
8个人可以站成三排，前2中3后3，
这样看起来比较美观。
【例2】(★★★)
4月5日早上核桃组刚到桃园仙谷，组长美美和她八个小伙伴都很
兴奋，想站在一块儿合个影，请分别求出以下情况有多少种不同
的站法？
(1)天天固执的认为站成一排并且自己必须站在正
中间，因为自己长的比别人帅一些。
(2)向向发言：站成一排并且自己和汤汤站两端，
“我们俩宽度一样，这样比较对称”。
(3)小熊老师：“我和天天不站两端，其余的随便
排，快点，不要磨叽。
”
1
【例3】(★★★)
核桃组的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究：天天、向向、
汤汤三位帅哥强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见
们这样一共有几种排队方式的问题。
【例4】(★★★)
书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，
全部竖起排成一排，如果要求童话书排在一起，漫画书排在一起
有多少种排法？
【例5】(★★★)
饼干组的一行8人同样在照相，但排队过程中一个小插曲影响了
照相的进度，兔兔与关关、小新起了一点小矛盾, 3人带着情绪强
烈要求：互不相邻，这样有几种排队的方式？【例6】(★★★★)
8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，
有几种坐法？
2
【例7】(★★★)
，，
加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第
二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，
分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场
半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次。
问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【例8】(★★★★)
如图，有5×3个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，
问总共可以组成多少个三角形？
【例9】( ★★★)
(1)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同
的吃法？
的吃法？
，，，
(3)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃三粒，共有多少种不同
的吃法？【例10】( ★★★★)
10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。
请问一共有多少种不同的放法？
3
大海点睛
一、本讲重点知识回顾
必会方法：
⑴优先排序法
⑵捆绑法，插空法
⑶隔板法
二、本讲经典例题
例3，例5，例6，例9，例10
4。