人教A版(2019)必修第一册2 第2课时3.2函数奇偶性的应用(习题课)学案

第2

课时函数奇偶性的应用(习题课)

考点学习目标核心素养

利用奇偶性求函数的解析式会利用函数的奇偶性求函数的

解析式

数学运算

函数的奇偶性与单调性的综合问题能运用函数的单调性和奇偶性

解决比

较大小、求最值、解不等式等综

合问题

数学运算、逻辑推理

利用奇偶性求函数的解析式

若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．

【解】当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，

因为函数f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)，

所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，

故f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧

x2－2x－1（x＞0），

0（x＝0），

－x2－2x＋1（x＜0）.

1．(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值．

解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.

2．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．

解：当x＜0时，－x

＞0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(x)＝f(－x)，

所以f(x)＝x2＋2x－1，

即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.

利用奇偶性求函数解析式的思路

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． (2)利用已知区间的解析式代入．

(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．

1．设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解：因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①

用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2， 所以f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2，② (①＋②)÷2，得f (x )＝x 2. (①－②)÷2，得g (x )＝2x .

2．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象；

(3)根据图象，写出函数f (x )的单调递减区间及值域． 解：(1)因为函数f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f (x )＝f (－x )．

当x <0时，－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝－x 2－2x .

综上，f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.

(2)函数f (x )的图象如图所示：

(3)由(2)中图像可知，f (x )的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f (x )的值域为(－∞，1]．

函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度一 比较大小问题

设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，

f (－3)的大小关系是( )

A ．f (π)>f (－3)>f (－2)

B ．f (π)>f (－2)>f (－3)

C ．f (π)

D ．f (π)

【解析】 因为函数f (x )为R 上的偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．

又当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，且π>3>2， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 故f (π)>f (－3)>f (－2)． 【答案】 A 角度二 解不等式

已知定义在(－1，1)上的函数f (x )＝x

x 2＋1.

(1)试判断f (x )的奇偶性及在(－1，1)上的单调性； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )＜0. 【解】 (1)因为f (x )＝x

x 2＋1，

所以任取x ∈(－1，1)， 则－x ∈(－1，1)，

所以f (－x )＝－x x 2＋1＝－x

x 2＋1＝－f (x )．

故f (x )＝x

x 2＋1为奇函数．

任取x 1，x 2∈(－1，1)且x 1＜x 2， 所以f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 22＋1－x 1

x 21＋1

＝x 2（x 21＋1）－x 1（x 2

2＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）

＝

（x 2－x 1）（1－x 1x 2）

（x 21＋1）（x 2

2＋1）

. 因为x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0且分母x 21＋1＞0，x 22＋1＞0，

所以f (x 2)＞f (x 1)，

故f (x )＝x

x 2＋1

在(－1，1)上为增函数．

(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )＜0， 得f (t －1)＜－f (2t )＝f (－2t )．