数学建模习题集及标准答案

2.优点:中期预报比较准确;缺点:理论上很好，实用性不强;原因:预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3.动态模型:描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分
1.优点:短期预报比较准确;缺点:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：
（1） ，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益
（1，0），不管这时候b的值是多少；（2） ，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1，0）；（3） ，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积 （ 是某特征尺寸），体重 ，于是 。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合 ，可得 =0.57，结果如下图4。
图3图4
第二部分
1.Malthus模型预测的优缺点。
2.阻滞增长模型预测的优缺点。
3.简述动态模型和微分方程建模。
4.判断下列论述是否正确，并作简单讨论。
(1)古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源于自己对古玩价值判断的失误，若预先对价值的判断是正确的，那么交易者肯定不会后悔。
(2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是，经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。
5.若（1）“自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的情况还是得益矩阵2的情况，并让博弈方1知道而不让博弈方2知道；（2）博弈方1在T和B中选择，同时博弈方2在L和R中进行选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。
圆盘总数为
其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，[b]为偶数。
两个方案的比较见下表(表中数字为 / )：
3
5
8
10
14
20
4
2/2
4/4
8/7
10/9
14/13
20/19
7
3/3
6/6
12/11
15/14
21/20
30/29
10
5/5
10/10
20/18
25/23
35/33
50/48
15
7/8
利用数据估计模型中的系数可得 =0.014， =0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量（g）源自7654821162
737
482
1389
652
454
模型
727
469
1226
727
483
1339
675
483
模型
730
465
1100
730
483
1471
607
483
基本上满意。
4.将管道展开如图：
1
2
3
4
5
…
A
235
117.5
78.3
58.75
…
B
333
166.5
111
83.25
…
C
432
216
144
108
86.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为 =[a/2][b/2]
方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1） a，于是m=
图1图2
列数（按图2第1行计数）n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
组别
最大体重（kg）
抓举 （kg）
挺举 （kg）
总成绩（kg）
1
54
132.5
155
287.5
2
59
137.5
170
307.5
3
64
147.5
187.5
335
4
70
162.5
195
357.5
5
76
167.5
200
367.5
6
83
180
212.5
392.5
7
91
187.5
213
402.5
8
99
185
235
（a,b）；（4） ，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益（2，2）。
要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是 。要本博弈的“承诺”，即“分”是可信的，条件是 且 。
注意上面的讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2的几种情况，因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。
14/16
28/28
35/36
49/52
70/76
20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸 之间的关系是 ，所以饲养食物量 。
2.答案：（1）
（2）令
引入松弛变量 可得到如下的标准形式：
（3）解：
（4）解：
3.答案：在上述问题的约束条件中加入松弛变量 ，将原问题化成标准形式如下：
其现成可行基 对应的单纯形表如下：
2
5
0
0
0
0
1
0
1
0
0
4
0
2
0
1
0
12
3
2
0
0
1
18
换基迭代，得
2
0
0
- 5/2
0
-30
1
0
1
0
0
4
0
1
0
1/2
身长（cm）
36.8
31.8
43.8
36.8
32.1
45.1
35.9
32.1
重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围（cm）
24.8
21.3
27.9
24.8
21.6
31.8
22.9
21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
可得 ，若d一定，w趋于0， 趋于 /2；w趋于 d， 趋于0。若管道长度为 ，不考虑两端的影响时布条长度显然为 d /w，若考虑两端影响，则应加上 dw/sin 。对于其它形状管道，只需将 d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
6.解：
第四部分
1.如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定，即图中a、b的数值不确定。讨论本博弈可能有哪些可能的结果？如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a、b应满足什么条件？
2.静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？
3.有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的，，这种论述是否正确？
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
420
9
108
195
235
430
10
〉108
197.5
260
457.5
第一部分
1.按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表：
宿舍
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
A
3
2
2
4
4
3
B
3
3
3
5
5
5
C
4
5
5
6
6
7
总计
10
10
10
15
15
15
2.（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为形状一定时一般有 ，故商品的价格可表为 （ 为大于0的常数）。
0
6
3
0
0
-1
1
6
换基迭代，得
0
0
0
-11/6
-2/3
-34
0
0
1
1/3
-1/3
2
0
1
0
1/2
0
6
1
0
0
-1/3
1/3
2
故最优解为 ，目标函数的最优值为 .
4.证明： ，
，
经检验， 正定，
奇异当且仅当 即 。
若 ，即 时， 正定，
所以若 则 ，即 ，故 正定。
5.解：
，故平稳点为 极小点为 且是全局极小点。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由 可得平衡点 .
在平衡点 处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点 处,因 ,所以
(i) 当 时,平衡点 不稳定;
(ii) 当 时,平衡点 不稳定.
第三部分
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
在第三阶段，如果 ，则乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是(a,b)。逆推回第二阶段，如果 ，则甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为(a,b)。在这种情况下再逆推回第一阶段，那么当 时乙会选择不借，双方得益（1，0），当 时乙肯定会选择借，最后双方得益为（a,b）。在第二阶段如果 ，则甲会选择分，此时双方得益为（2，2）。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择借，因为借的得益2大于不借的得益1，最后双方的得益（2，2）。
（2）单位重量价格 ，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长 的立方成正比，即 ， 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 ， 为比例系数。
2.将下述线性规划问题化为标准形式。
3.用单纯形法求解线性规划问题。
4.检验函数 在 处有 正定，从而 为极小点。证明G为奇异当且仅当 ，从而证明对所有满足 的x，G是正定的。
5.求出函数 的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为全局极小点？
6.应用梯度法于函数 取 迭代求
第三部分
1.答案：（1）是 （2）不是 （3）是
第一部分
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
6.请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略和不完全信息博弈关系的结论。
第四部分
1.参考答案：
括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，所以a表示乙的得益，而b表示甲的得益。
在第三阶段，如果 ，则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择不分，因为分的得益2小于不分的得益4。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择不借，因为借的最终得益0比不借的最终得益1小。
4.描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
5.不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1),是一种差分方程模型。
6.连续形式: 表示某种群 时刻的数量(人口)
离散形式: 表示某种群第 代的数量(人口)