2018年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标

年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试卷参考答案及评分标准
考试时间 年月日 ∶－∶ 满分分
一、选择题（共小题，每小题分，共分）。

每道小题均给出了代号为，，，的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得分）
．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）
．3- ．2- ．1- ． 【答案】
【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则
n
m
=（ ）
．1
1
．1
．1 【答案】
【解答】依题意，点C 坐标为()2m
m ，，点F 的坐标为
()2
m
n n -+
，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得
2
22
()2
m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=
，解得1n
m
=（舍负根）。

∴
1n
m
=。

（第题图）
．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1
2
BD BC =
，
过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AE AC
=（ ）
．25 ．35 ．37 ．47
【答案】
【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且1
2
BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且
2
1
AG GF =，DB BF FC ==。

过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。

则
13CM CF CE CD ==，2
1
AE AG EM GF ==。

设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =。

∴ 7AC k =，
44
77
AE k AC k ==。

另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且1
2
BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且2
1
AG GF =，DB BF FC ==。

∴
23FD DC =，2
1
AG GF =。

在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得
1FD CE AG
DC EA GF
⋅⋅=。

∴ 22131CE EA ⋅
⋅=，3
4
CE EA =。

∴ 4
7
AE AC =。

（第题图）
（第题答题图）
（第题答题图）
．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径为2，则AH =（ ）
．
． ．4
1 【答案】
【解答】如图，连结BO 并延长交O ⊙于点D ，连HC 、CD 、
DA 。

∵ O 为ABC △的外心，
∴ BD 为O ⊙直径，DC BC ⊥，DA AB ⊥。

又H 为ABC △的垂心， ∴ AH BC ⊥，CH AB ⊥。

∴ AH DC ∥，CH DA ∥。

∴ 四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。

∵ 45BAC ∠=︒，ABC △外接圆的半径为2， ∴ 45BDC BAC ∠=∠=︒，4BD =。

∴
AH DC ==
．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） ．对 ．对 ．对 ．对 【答案】
【解答】方程22419151x xy y -+=化为22(2)15115x y y -=-。

依题意，215115A y =-为完全平方数。

由2151150A y =-≥，得2151
15
y ≤。

结合y 为整数，得210y ≤。

故，20y =，1，，9。

当20y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。

当21y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。

当24y =时，21511591A y =-=，不是完全平方数。

当29y =时，2215115164A y =-==。

∴ 方程化为22
9
(2)16
y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即23(6)16y x =⎧⎨-=⎩，或23(6)16y x =-⎧⎨+=⎩ ∴ 364y x =⎧⎨-=⎩，或364y x =⎧⎨-=-⎩，或364y x =-⎧⎨+=⎩，或3
64y x =-⎧⎨+=-⎩。

∴ 103x y =⎧⎨=⎩，或23x y =⎧⎨=⎩，或23x y =-⎧⎨=-⎩，或103x y =-⎧⎨=-⎩。

∴ 满足方程的整数对有(103)，
、(23)，、(23)--，、(103)--，，共对。

（第题图）
二、填空题（共小题，每小题分，共分）
．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。

【答案】 1297
【解答】依题意，设2(1)b c n +=-，则2a c n +=，2(1)a b n +=+，n 为正整数，且1n >。

∴ 2
2
2
2
2()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，可见n 为偶数，且2322
n a b c +++=。

∴ 242n n a +=，222n b +=，242
n n
c -=。

可见，6n ≥，且当n 增大时，222a b c ++的值也随之增大。

又6n =时，30a =，19b =，6c =符合要求。

∴ 222a b c ++的最小值为222301961297++=。

．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

若函数4
y x
=（0x >）
的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。

【答案】 8
【解答】设()D D D x y ，，()E E E x y ，，则4D D E E x y x y ==。

作EF AB ⊥于F ，由E 为AC 中点，得F 为AB 中点，且
11
22
EF BC AD =
=。

∴ 2D E y y =。

结合2E E D D D E x y x y x y ==⋅，得2E D x x =。

∴ OA AF =，222D AB AF OA x ===。

∴ 矩形ABCD 的面积28D D S AB AD x y =⨯==。

（第题图）
（第题答题图）。