2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
2018年大梦杯省初中数学竞赛试题
年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 考试时间 年月日 ∶－∶ 满分分一、选择题（共小题，每小题分，共分）。
每道小题均给出了代号为，，，的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得分）．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） ．3- ．2- ．1-． 【答案】【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴231m m =--，231m m +=-。
∴3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ）11．1．1 【答案】【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2m n n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）（第题图）．25 ．35 ．37 ．47【答案】【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。
则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==。
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
一道“大梦杯”赛题的七种解法
一道“大梦杯”赛题的七种解法赛题既是知识综合应用的集散地，也是一题多解的主战场，探究赛题的解法，有利于培养缜密的数学思维，创新的思维意识和创新精神.下面就向大家一例. 原题：如图1，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC =（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47（2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题）解法1：如图1，连AG ，并延长交BC 于点F ，因为G 为ABC △的重心，且12BD BC =， 所以F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==. 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==.设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =.所以7AC k =，所以4477AE k AC k ==.所以选D.点评：此法精髓在于添加平行线构造相似基本图形---“A ”字型图，其次，巧设参数也是解题的一种重要方法，值得借鉴.解法2：如图2，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点F 作FH ∥AC 交DE 点H,则12=FH AE ,32=CE FH ,设FH=k.则AE=2k,CE=23k,所以AC=27k,所以==k kAC AE 27274，所以选D.点评：此法精髓在于添加平行线构造相似基本图形---“8”字型图. 解法3：如图3，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点G 作GH ∥AC 交FC 点H,则13=GH AC ,31=CF FH ,79373===FC FC DHDC GH EC 设GH=7k.则AC=21k,CE=9k,AE=12k,所以==k k AC AE 211274，所以选D.点评：依据比例的特点，整体设参数是此法的优势.解法4：如图4，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点A 作AH ∥BC 交DE 的延长线于点H,则EC AE DC AH =,12==GF AG DF AH ,设DF=2k.则AH=4k,DC=3k,所以3434==k k EC AE ，所以434+=+AE EC AE , 所以AC AE =74，所以选D.点评：构造两个相似的“8”字型图是一个亮点，其次，熟练运用比例的合比性质是解题的另一个特色.解法5：如图5，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点G 作GH ∥DC 交AC 点H,则32=FC GH ,DC GH EC EH =,12=HC AH ,设GH=2k.则FC=3k,DC=9k,所以 92=EC EH ，设EH=2m ，则EC=9m,HC=7m,所以AH=14m ，AE=12m ，AC=21m ，所以==m m AC AE 211274，所以选D.点评：两次设参数是此法的一个重要特点.解法6：如图6，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点D 作DH ∥AC 交AF 的延长线于点H,则21==FD FC DH AC ,21==FD FC FH AF ,GH AG DH AE =,设FG=k.则AG=2k,AF=3k,FH=6k,所以AE=72DH ，AC=21DH ，所以AC AE =72DH ：21DH =74，所以选D.点评：此法也是双“8”字型相似图形的基本应用，熟练掌握灵活构造基本图形，把陌生转化熟悉求解释学习数学的重要技能之一.解法7：如图7，连AG ，并延长交BC 于点F . 因为 G 为ABC △的重心，且12BD BC =， 所以 F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==. 所以 23FD DC =，21AG GF =.在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得1FD CE AGDC EA GF⋅⋅=.所以 22131CE EA ⋅⋅=，34CE EA =.所以 47AE AC =.所以选D.点评：熟记梅涅劳斯定理的条件和结论，并灵活运用定理是解题的关键.。
2017-2018学年福建省八年级(上)竞赛数学试卷及答案与解析
2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷;一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，62．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．94．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题5分，共40分）;9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为．12．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，6【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选D．2．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．【解答】解：M=（x﹣3）（x﹣7）=x2﹣10x+21，N=（x﹣2）（x﹣8）=x2﹣10x+16，M﹣N=（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）=5，则M＞N．故选：B．3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】尾数特征．【分析】根据31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…得出3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9，进而得出末尾数字．【解答】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2015÷4=503…3，∴3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9=（3+9+7+1）×503+19=10079的末尾数为9．故选：D．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．5．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．【解答】解：∵高BD、CE交于点O，∴∠AEO=∠ADO=90°，图中的全等三角形有：①在△AEC与Rt△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴∠ABO=∠ACO，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CBO=∠BCO，∴OB=OC；②在△ABO与Rt△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，③在△AEO与Rt△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（AAS），④在△BOE与△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；⑤在△BCE与△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有5对．故选C．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC 时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，在△AQP和△AQP′中，，∴△AQP≌△AQP′，∴PQ=QP′∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°，∴BC=AB=4，∴PQ+BQ的最小值是4，故选A．7．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故选：A．8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据三角形外角性质对③进行判断；根据非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选A．二、填空题（每小题5分，共40分）9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=﹣2．【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于x和y的方程组，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy=2×（﹣1）=﹣2．故答案为﹣2．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为45°．【考点】平行线的性质．【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2=∠3，∠1=∠4，故∠1+∠2=∠3+∠4，由此即可得出结论．【解答】解：过点B作BD∥l，∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠4=∠1，∠2=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC，∵∠ABC=45°，∴∠1+∠2=45°．故答案为：45°．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为7．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】根据题意，可以设a2+b2=m，从而可以求得m的值，进而求得a2+b2的值，注意a2+b2的值不小于0．【解答】解：设a2+b2=m，则（m+2）（m﹣2）=45，∴m2﹣4=45，解得，m=7或m=﹣7，∴a2+b2=7或a2+b2=﹣7（舍去），故答案为：712．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为900．【考点】平方差公式．【分析】将（a+15）（a+35）变形为（a+25﹣10）（a+25+10），根据平方差公式得到原式=（a+25）2﹣100，再将（a+25）2=1000整体代入即可求解．【解答】解：（a+15）（a+35）=（a+25﹣10）（a+25+10）=（a+25）2﹣100，∵（a+25）2=1000，∴原式=1000﹣100=900．故答案为：900．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．【考点】整式的混合运算．【分析】设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．【解答】解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b=ab+a﹣ab+b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．故答案为：．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=80°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据角平分线的定义得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，则∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BIC=90°+∠A，然后把∠BIC=130°代入计算可得到∠A的度数．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∵∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣=90°+∠A，∵∠BIC=130°，∴90°+∠A=130°∴∠A=80°．故答案为：80°．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为﹣1．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB==，∴AC=，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出a、b、c之间的数量关系．【解答】解：∵2×18=62，∴3a×3c=（3b）2，∴3a+c=32b，∴a+c=2b18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．【考点】因式分解的应用．【分析】原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016，∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，则原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=×（1+1+4）=3．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】延长AB到F，使BF=BD，连DF，首先证明△ADF≌△ADC，推出AF=AC，由BE是角平分线，推出∠CBE=∠ABC=40°推出∠EBD=∠C，推出BE=EC，推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．【解答】证明：延长AB到F，使BF=BD，连DF，∴∠F=∠BDF，∵∠A：∠B：∠C=3：4：2，∴∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠F=40°，∠F=∠ACB，∵AD是平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC，∴AF=AC，∵BE是角平分线，∴∠CBE=∠ABC=40°∴∠EBD=∠C，∴BE=EC，∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．∴AB+BD=AE+BE．2017年3月1日。
2018九年级数学竞赛试卷(含答案)
九年级数学竞赛试卷考试时间：100分钟 总分：150分姓名： 班级： 得分：一、选择题（每题5分，共50分）1、如果|x-2 |+x-2=O ，那么x 的取值范围是( )．A ．x>2B ．x<2C ．x≥2D ．x≤22、已知n 是整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n-l 其中，能表示“任意奇数”的( )．A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有3、在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是 （ ）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B 或∠C4、如果有理数a 、b 、c 满足关系a<b<0<c ，那么代数式32cab ac bc -的值( )． A ．必为正数 B ．必为负数 C ．可正可负 D ．可能为O 5、已知一次函数y=mx+│m+1│的图像与y 轴交于点（0，3），且y 随x 的增大而减小，则m 的值为（ ）．A ．2B ．-4C ．-2或-4D ．2或-46、设y=ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y 的值等于( )A 、-7B 、-17C 、17D 、不确定7、已知b>a>0，a 2+b 2=4ab ，则ba b a -+等于( )． A ．-21B ． 3C ．2D ．-38、将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )．A ．4B ．5C ．8D ．99、若x 取整数，则使分式1-2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个10、已知1x ，2x ，3x 的平均数为5,1y ,2y ,3y 的平均数为7，则1123x y +，2223x y +，3323x y +的平均数为( )(A)31(B)313 (C)935 (D)17二、填空题（每题8分，共40分）11、已知a 是质数，b 是奇数，且a 2+b=2001，则a+b= ． 12、已知 m ＞0 ，且对任意整数 k ，2018123k m+均为整数，则 m 的最大值为 ． 13、已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值 为 ．14、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有则=15、如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的数与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数－2007将与圆周上的数字_________重合．二、简答题（每题20分，共60分）16、现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年 年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返1.5 万元；方案二：购 买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来 两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 + 1.053 + 1.052 =3.47563125 ）y x yx y x -+=*()()31*191211**－5 －4 －3 －2 －117、一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25 个；若全班同学一起吃，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？18、求证：不存在3个有理数的平方和等于15．九年级答案：一、DAABB BDBBA二、11、1999 12、2/3 13、9 14、163/113 15、2 三、1617、18。
2018年初中数学联赛试题及答案详解
2018年初中数学联赛试题及答案详解说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角形时，其边长为()A ．．D ． 【答】C.由题设知2(,)2a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则12||BC x x =-==又AD =，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）所以△ABC 的边长BC ==. 2.如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=︒，，则BE =()A B C 1D 1 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45︒，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30︒.设BE =x ，则HF =HE =2x，BH =.因为BF=BH+HF ,所以12x=+，解得1BE x =. 3.设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.若实数a ，b 满足2a b -=，()()22114a b ba-+-=，则55a b -=()A ．46B ．64C ．82D ．128【答】C.由条件()()22114a b ba-+-=得22332240a b a b ab a b ----+-=，即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，由对称性，同样可得()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，所以，由已知可得0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况： 111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185336120183333M M <⨯⇒>= 又111111()()201820192030203120322050M =+++++++11134513202030205083230>⨯+⨯=所以18323011856113451345M <=，故的整数部分为61.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=︒，则B ∠=． 【答】84°.设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.所以∠B =∠FGC =180248=84-⋅8.若实数x y ，满足()3311542x y x y +++=，则x y +的最大值为．【答】3.由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115()()42x y x xy y +-++=令x y k +=，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=>又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以3115423k k xy k+==于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k+=-+=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k+=∆=--⋅≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤⇒<≤ 故x + y 的最大值为3.思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876⨯⨯⨯⨯=18816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876⨯⨯⨯=2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++=．答案：52由已知条件可得222233311[()()],322ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++3()abc abc ab bc ca =+++.所以55552a b c abc ++=第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.满足()2211x x x ++-=的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=()A ．5B ．6C ．7D ．8解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故222112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t an ABF ∠=()A ．12B ．35C D 解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ∆≅∆，所以4BH BA ==由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++四边形得2111144(4)43412222x x =⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅，解得85x =所以1245AF x =-=，3tan 5AF ABF AB ∠==.4.=()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令y =0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由已知得，201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，，由120()()170a b c --=，可得1,2017a b or c ==（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或20182017a =-（2）当a b c =≠时，解得12017a b ==，120182017c =- （3）当a b ≠时，12017c =，此时有：12017a =，120182017b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,c )共有5个. 6.已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()A ．2B ．3C ．4D ．5【答】A.有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，，两式相加得33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=因为2222()()()()[13111121(1)(1)4(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>所以20a b +-=，因此2a b +=.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-==++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以32k <而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等. 当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故2q =. 于是2221qr qr q r =++-故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()110(101)m n --= 又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以()21,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()21,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .9.已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=ABD ∠，则DE =．【答】4.1//2CD F DF DC DE AF DE AF ==延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥， 90.FAB FDB ∠=∠=︒故6AB AF =又，故，所以14.2DE AF ==已知二次函数()()222221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n)的个数为． 解析：16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以222[()](22)144500m n m n ∆=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122)11m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(122.)15m n <++ 又12m +≥，所以25212n +<，故5n ≤. 当n=1时，1m +253≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；当n=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n=3时，1m +257≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=4时，1m +259≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=5时，1m +2511≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有8421116＋＋＋＋＝个第二试(A)一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.因为a 是方程210110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①类似可得211011100.c c a ac -+-=② ①－②得)((1210)a c a c -+-=因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=︒=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以(111101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=⨯+≤⨯=⋅⋅=当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.683612=105EF OE OF ⋅=-=-此时，212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结因为1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以12DE EG =故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥==C ,E ,G 三点共线时等号成立2CE DE +故的最小值为三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数．解：记()33222m n m n S m n +-=+，则()2222332222()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-⎛⎫===+-- ⎪+++⎝⎭+,,(,?,,1).mnm n p q p q p q m n==+因为为正整数，故可令为正整数，且 于是222233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①所以2n mn n m n m n=-++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②3223222³(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以³m n m n =由对称性，同理可得，故34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()11195555a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求()111a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则()111111555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪+-+-+----⎝⎭⎝⎭22323[312()36()](936)6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得272xy z = 所以()111272xy a b c a b c z⎛⎫++++== ⎪⎝⎭.二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE．145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=︒解（）由题意知，所以,AC DCDCA ECB BC EC∠=∠=，所以ADC BEC ∆∆∽，故45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥（2）设AE x =，因为30ACE ∠=，可得,2,AC CE x DE DC ====因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ∆∆∽，故可得12APE DPC S S ∆∆=又22,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S x S S S x ∆∆∆∆∆∆+==+=，于是可得2(2DPC S x ∆=，21)EPC S x ∆=所以DPC EPC S DP PE S ∆∆===三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ． ( ,.) 2x m n m n =解设与的最大公约数为大于的素数91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能 88999799.x =于是可得或。
2018年福建省数学奥校初三上期期末测试题(含解答)
福建省数学奥林匹克学校2018～2019学年第一学期初三年段数学竞赛试题第二试考试日期：2018年12月28日下午2:00～4:00；考试时间：120分钟；满分：100分 考生注意：请将所有答案填写在答卷纸上，否则不计分 一、选择题:（每小题4分，共计40分）： 1、已知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标是（ ） Ａ、（3，2） Ｂ、（－2，3） Ｃ、（－3，2） Ｄ、（3，－2）2、已知Rt △ABC 中∠C=900，AB=10 cm ， AC=5 cm ，则以C 为圆心，4 cm为半径的圆与AB 的关系为（ ）Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相交 Ｄ、不能确定３、如图1，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，∠P=700，则∠C 等于（ ）A 、700B 、550C 、1100D 、14004、已知一次函数k kx y -=，y 随x 的减少而减少，则该函数的图象经过 ( )A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第一、三、四象限D 、第二、三、四象限５、如图，PAB 是⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，若PC=CO ，PA=4，AB=5，则⊙O 的半径为（ ）A 、6B 、23C 、32D 、96、如图：OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A 、2.5米B 、2米C 、1.5米D 、1米 7、抛物线222+-=x x y 的顶点坐标是（ ）Ａ、（2，0） Ｂ、（1，1） Ｃ、（－1，1） Ｄ、（1，2） 8、若Ａ（a ，6）、Ｂ（2，a ）、Ｃ（0，2）三点共线，则a 的值为（ ） A 、4或－2 B 、4或－1 C 、－4或1 D 、－4或29、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=900，AO 的延长线交BC 于D 点，AC=4，CD=1，则⊙O 的半径为（ ）A 、1.25B 、0.8C 、0.75D 、1.210、如图，⊙O 1和⊙O 2内切于P ，⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心O 1交⊙O 1于C 、D ，若AC ：CD ：DB=3：4：2，则⊙O 1和⊙O 2的直径之比为（ ） A 、2：7 B 、2：5 C 、1：4 D 、1：3 二、填空题：（每小题4分，共计40分）1、若直线y=－x ＋m 与直线y=2x ＋n 的交点关于x 轴对称的点的坐标是（1，2），则mn= ；2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于点E ，则CD= ；3、HJ 牌小汽车的油箱可装汽油30升，原来装有汽油10升，现在再加汽油x 升，如果每升汽油3元，油箱内的汽油总价y （元）与x （升）之间的函数式为： ； 4、如图，P 是反比例函数xky的图象上一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积是6，则这个反比例函数解析式是 ；5、已知AB 是半圆O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切半圆于C 点， 若2⌒ BC =⌒ AC ，则∠P 的度数为 ；6、已知抛物线y=x 2＋bx ＋c 的对称轴为x=2，当x 时，y 随x 的增大而减小。
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案.docx
2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019 年 3 月 17 日9∶00－11∶00满分 150 分一、（共 5 小，每小 7 分，共 35 分）。
每道小均出了代号 A ，B， C，D 的四个，其中有且只有一个是正确的。
将正确的代号填入后的括号里，不填、多填或填都得0 分）1．若一次函数y x 2 与反比例函数y 4的像交于 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) 两点，xx1 x2y1 y2的（）A ．8B．6C．6D．8【答案】Dy x2【解答】由4，得x22x40⋯⋯⋯⋯⋯①。
yx依意，x1， x2是方程①的两根，于是 x1x22 ， x1 x2 4 。
∴x1 x2y1 y24416416x1 x2x1x2x1 x28。
x1x242．如，△ABCO 的内接三角形， D BC 中点， EOA 中点，ABC40 ，BCA80，OED 的大小（）A ．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】如， OC 。
（第 2 ）由 ABC40 ，BCA80 ，得BAC60。
∵ D BC 中点，∴OD BC ，DOC 1。
BOCBAC 602∴OCD 30， OD 1OC 。
2又 E OA 中点，∴OE 1OA OD 。
2（第 2 答）合ABC 40，知EOD AOC COD 2 40 60 140 ，1OED 1(180EOD )1(180140 )20。
223．已知二次函数 f ( x)2x2ax b ，若 f (a) f (b1) ，其中 a b 1 ，则 f(1) f (2) 的值为（）A ．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知a b 1a。
于是， 3a2b 2 。
24所以， f (1) f (2)(2a b)(82a b)3a2b102108 。
4．如图，在四边形ABCD中，AB BC ， BCD 120，CD DA ，且 BC 6 ， CD 3 ，则四边形 ABCD 外接圆的面积为（）A ．7B．21C．63D．84【答案】B【解答】如图，设 BC 、 AD 的延长线交于点 P 。
大梦杯数学竞赛试题及答案
大梦杯数学竞赛试题及答案【试题一】题目：已知函数 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)，求函数的极值。
【答案】首先，我们对函数 \(f(x)\) 求导得到 \(f'(x) = 6x - 2\)。
令导数等于零，解得 \(x = \frac{1}{3}\)。
将 \(x = \frac{1}{3}\) 代入原函数，得到 \(f(\frac{1}{3}) = \frac{8}{3}\)。
由于导数在 \(x < \frac{1}{3}\) 时为负，在 \(x > \frac{1}{3}\) 时为正，所以\(x = \frac{1}{3}\) 处函数取得极小值，极小值为\(\frac{8}{3}\)。
【试题二】题目：解方程 \(2x^2 - 5x + 3 = 0\)。
【答案】这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它。
求根公式为\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
在这个方程中，\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 3\)。
计算判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\)。
因为判别式大于零，所以有两个实根。
代入求根公式得到 \(x = \frac{5 \pm1}{4}\)，即 \(x_1 = 2\) 和 \(x_2 = \frac{3}{2}\)。
【试题三】题目：证明：对于任意正整数 \(n\)，\(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2\)。
【答案】我们使用数学归纳法来证明这个等式。
首先验证 \(n = 1\) 时等式成立，左边是 \(1^3 = 1\)，右边是 \(\left(\frac{1(1 +1)}{2}\right)^2 = 1\)，等式成立。
福建省初中数学竞赛试卷
福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。
（）2. 平行线的性质是同位角相等。
（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。
（）4. 一次函数的图像是一条直线。
（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。
2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。
3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。
4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。
5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。
2. 简述平行线的性质。
3. 什么是二次方程？请举例说明。
4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
大梦杯福建初中数学竞赛试题参考答案及评分标
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准(解析版)
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得21nm=+（舍负根）。
∴ 21nm=+。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2018八年级数学竞赛试题(含答案)
八年级数学竞赛试卷考试时间：100分钟 总分：150分姓名： 班级： 得分：一、选择题（每题5分，共50分）1、下列各式成立的是（ ）A ．a-b+c=a-（b+c ）B ．a+b-c=a-（b-c ）C ．a-b-c=a-（b+c ）D ．a-b+c-d=（a+c ）-（b-d ）2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图6），当y ＜0时，x 的取值范围是（（A ）x ＞0（B ）x ＜0 （C ）x ＜1 （D ）x ＞1 3、在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100100°角对应相等的角是 （ ）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B 或∠C4、某校八（2）班的全体同学喜欢的球类运动用图7所示的扇形统计图来表示，下面说法正确的是（ ）A 、从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数；B 、从图中可以直接看出全班的总人数；C 、从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况；D 、从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系5、已知一次函数y=mx+│m+1│的图像与y 轴交于点（0，3），且y 随x 的增大而减小，则m 的值为（ ）．A ．2B ．-4C ．-2或-4D ．2或-46、设y=ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y 的值等于( )A 、-7B 、-17C 、17D 、不确定7、已知b>a>0，a 2+b 2=4ab ，则ba b a -+等于( )． A ．-21B ． 3C ．2D ．-38、将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )．A ．4B ．5C ．8D ．99、若x 取整数，则使分式1-2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个10、已知1x ，2x ，3x 的平均数为5,1y ,2y ,3y 的平均数为7，则1123x y +，2223x y +，3323x y +的平均数为( )(A)31 (B)313 (C)935 (D)17二、填空题（每题8分，共40分）11、点O 为线段 A B 上一点， ∠AOC = 10︒ ， ∠COD = 50︒ ，则 ∠BOD = 或A O B12、已知 m ＞0 ，且对任意整数 k ，2018123k m+均为整数，则 m 的最大值为 ． 13、已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值 为 ．14、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有则=15、如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的数与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数－2007将与圆周上的数字_________重合．二、简答题（每题20分，共60分） 16、现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年 年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返1.5 万元；方案二：购 买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来 两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 + 1.053 + 1.052 =3.47563125 ）y x yx y x -+=*()()31*191211**017、一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25 个；若全班同学一起吃，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？18、如图所示，有一张长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，然后把它们剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值．八年级答案：一、C CADB BDBBA二、11、120度或者140度12、2/3 13、9 14、163/113 15、2 三、1617、18、。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
20172018学年福建省八年级(上)竞赛数学试卷及与解析
2021-2021 学年福建省八年级〔上〕竞赛数学试卷一、〔每小 5 分，共 40 分〕1．以下四数据中，不能够作直角三角形的三的是〔〕A．7，24，25B．6，8， 10C． 9， 12，15D．3，4，62．M=〔 x 3〕〔x 7〕， N=〔x 2〕〔x 8〕，M与N的关系〔〕A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能够确定3．察以低等式： 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187⋯，解答以下：3+32 +33+⋯+32021的末位数字是〔〕A．1B．3C．7D．94．假设数 x、y、z 足〔 x z〕24〔x y〕〔y z〕=0，以下式子必然成立的是〔〕A．x+y+z=0 B．x+y 2z=0 C．y+z 2x=0 D．z+x 2y=05．△ ABC中，AB=AC，高 BD、CE交于点 O，接 AO，中全等三角形的数〔〕A．3B．4C．5D．66．如，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°， AB=8，AD均分∠ BAC，点 PQ分是 AB、AD上的点， PQ+BQ的最小是〔〕A．4B．5C．6D．77．点 P〔3， 5〕关于 y 称的点的坐〔A．〔3，5〕B．〔5，3〕 C．〔 3，5〕〕D．〔3，5〕8．以下四个命中，真命有〔〕①两条直被第三条直所截，内角相等．②若是∠ 1 和∠ 2 是角，那么∠ 1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④若是 x2＞0，那么 x＞ 0．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空〔每小 5 分，共 40 分〕9．假设 2a3x b y+5与 5a2﹣4y b2x是同， xy=．10．如，直 l ∥ m，将含有 45°角的三角板 ABC的直角点 C 放在直 m上，∠ 1+∠2 的度数．11．若是〔 a2 +b2+2〕〔 a2 +b22〕 =45， a2 +b2的．12．〔 a+25〕2=1000，〔 a+15〕〔a+35〕的．13．算〔 1〕〔〕〔1〕〔〕的果是．14．如，在△ ABC中， I 是三内角均分的交点，∠BIC=130°，∠ A=．15．如架中，上等的13 根条来加固架，假设AP1=P1P2=P2P3 =⋯=P13P14=P14A，∠A 的度数是．16．如， AB=AC，数上点 C 所表示的数．三、解答题〔每题10 分，共 40 分〕17．： 3a =2，3b=6，3c=18，试确定 a、 b、 c 之间的数量关系．18． a=2021x+2021，b=2021x+2021，c=2021x+2021．求 a2+b2 +c2﹣ ab﹣bc﹣ca 的值．19．如图，△ ABC是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC边上一动点，由 A 向 C运动〔与 A、C 不重合〕，Q是 CB延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB延长线方向运动〔 Q 不与 B 重合〕，过 P 作 PE⊥ AB于 E，连接 PQ交 AB于 D．（1〕当∠ BQD=30°时，求 AP的长；（2〕当运动过程中线段 ED的长可否发生变化？若是不变，求出线段 ED的长；若是变化请说明原由．20．△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=3：4：2，AD、BE是角均分线．求证： AB+BD=AE+BE．2021-2021 学年福建省八年级〔上〕竞赛数学试卷参照答案与试题解析一、〔每小 5 分，共 40 分〕1．以下四数据中，不能够作直角三角形的三的是〔〕A．7，24，25 B．6，8， 10C． 9， 12，15 D．3， 4， 6【考点】勾股数．【解析】依照勾股定理的逆定理：若是三角形有两的平方和等于第三的平方，那么个三角形是直角三角形．若是没有种关系，个就不是直角三角形．【解答】解： A、72+242=252，吻合勾股定理的逆定理，故能作直角三角形的三；B、62+82=102，吻合勾股定理的逆定理，故能作直角三角形的三；C、92+122=152，吻合勾股定理的逆定理，故能作直角三角形的三；D、32+42≠62，不吻合勾股定理的逆定理，故不能够作直角三角形的三．故 D．N的关系〔〕2． M=〔 x 3〕〔x 7〕， N=〔x 2〕〔x 8〕，M与A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能够确定【考点】多式乘多式．【解析】依照多式乘多式的运算法行算，比即可获取答案．【解答】解： M=〔 x 3〕〔 x 7〕=x210x+21，N=〔x 2〕〔x 8〕=x210x+16，M N=〔x210x+21〕〔 x210x+16〕 =5，M＞N．故：B．3．察以低等式： 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187⋯，解答以下：3+32 +33+⋯+32021的末位数字是〔〕A．1B．3C．7D．9【考点】尾数特点．【解析】依照 31=3，32=9，33=27，34 =81，35=243，36=729，37=2187⋯得出 3+32+33 +34⋯ +32021的末位数字相当于： 3+7+9+1+⋯ +3+7+9，而得出尾端数字．【解答】解：∵ 31=3，32=9， 33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187⋯∴尾端数，每 4 个一循，∵2021÷ 4=503⋯3，∴3+32+33 +34⋯ +32021的末位数字相当于： 3+7+9+1+⋯+3+7+9=〔3+9+7+1〕× 503+19=10079的尾端数 9．故： D．4．假设数 x、y、z 足〔 x z〕24〔x y〕〔y z〕=0，以下式子必然成立的是〔〕A．x+y+z=0 B．x+y 2z=0 C．y+z 2x=0 D．z+x 2y=0【考点】完好平方公式．【解析】第一将原式形，可得x2 +z2+2xz 4xy+4xz+4y24yz=0，可得〔 x+z 2y〕2=0，得解．【解答】解：∵〔 x z〕24〔x y〕〔y z〕=0，∴x2 +z2 2xz 4xy+4xz+4y2 4yz=0，∴x2+z2+2xz 4xy+4y24yz=0，∴〔 x+z〕2 4y〔x+z〕 +4y2=0，∴〔 x+z2y〕2=0，∴z+x 2y=0．故： D．5．△ ABC中，AB=AC，高 BD、CE交于点 O，接 AO，中全等三角形的数〔〕A．3B．4C．5D．6【考点】等腰三角形的性；全等三角形的判断．【解析】依照等腰三角形的性以及全等三角形的判断和性定理解答．【解答】解：∵高 BD、 CE交于点 O，∴∠ AEO=∠ADO=90°，图中的全等三角形有：①在△ AEC与 Rt△ ADB中，，∴△ AEC≌△ ADB〔 AAS〕，∴∠ ABO=∠ACO，∵AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∴∠ CBO=∠BCO，∴OB=OC；②在△ ABO与 Rt△ ACO中，，∴△ ABO≌△ ACO〔 SSS〕，∴∠ BAO=∠CAO，③在△ AEO与 Rt△ ADO中，，∴△ AEO≌△ ADO〔 AAS〕，④在△ BOE与△ COD中，，∴△ BOE≌△ COD〔 AAS〕；⑤在△ BCE与△ CBD中，∴△ BCE≌△ CBD〔 AAS〕．共有 5 对．应选 C．6．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°， AB=8，AD均分∠ BAC，点 PQ分别是 AB、AD边上的动点，那么 PQ+BQ的最小值是〔〕A．4B．5C．6D．7【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30 度角的直角三角形．【解析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时 Q与 D重合， P′与 C 重合，最小值为 BC的长．【解答】解：如图，作点P 关于直线 AD的对称点 P′，连接 QP′，在△ AQP和△ AQP′中，，∴△ AQP≌△ AQP′，∴PQ=QP′∴欲求 PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当 BP′⊥ AC时，BQ+QP′的值最小，此时 Q与 D 重合，P′与 C 重合，最小值为 BC的长．在 Rt△ ABC中，∵∠ C=90°， AB=8，∠BAC=30°，∴ BC= AB=4，∴PQ+BQ的最小值是 4，应选 A．7．点 P〔3，﹣ 5〕关于 y 轴对称的点的坐标为〔〕A．〔﹣3，﹣5〕B．〔5，3〕 C．〔﹣ 3，5〕D．〔3，5〕【考点】关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标．【解析】依照关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接获取答案．【解答】解：点 P〔 3，﹣ 5〕关于 y 轴对称的点的坐标为〔﹣ 3，﹣ 5〕，应选： A．8．以下四个命题中，真命题有〔〕①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②若是∠ 1 和∠ 2 是对顶角，那么∠ 1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④若是 x2＞0，那么 x＞ 0．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】命题与定理．【解析】依照平行线的性质对①进行判断；依照对顶角的性质对②进行判断；依照三角形外角性质对③进行判断；依照非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；若是∠ 1 和∠ 2 是对顶角，那么∠ 1=∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；若是 x2＞ 0，那么 x≠0，所以④错误．应选 A．二、填空题〔每题 5 分，共 40 分〕9．假设 2a3x b y+5与 5a2﹣4y b2x是同类项，那么 xy=﹣2．【考点】同类项．【解析】依照同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于 x 和 y 的方程组，求得 x 和 y 的值，进而求得代数式的值．【解答】解：依照题意得：，解得：，那么 xy=2×〔﹣ 1〕=﹣2．故答案为﹣ 2．10．如图，直线 l ∥ m，将含有 45°角的三角板 ABC的直角极点 C 放在直线 m上，那么∠ 1+∠2 的度数为 45° ．【考点】平行线的性质．【解析】第一过点 B 作 BD∥l ，由直线 l ∥m，可得 BD∥l ∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠ 2=∠3，∠ 1=∠4，故∠ 1+∠2=∠3+∠ 4，由此即可得出结论．【解答】解：过点B 作 BD∥l ，∵直线 l ∥ m，∴BD∥l ∥m，∴∠ 4=∠ 1，∠ 2=∠3，∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠ 4=∠ABC，∵∠ ABC=45°，∴∠ 1+∠ 2=45°．故答案为： 45°．22222211．若是〔 a +b +2〕〔 a +b ﹣ 2〕 =45，那么 a +b 的值为7．【解析】依照题意，能够设 a2+b2=m，进而能够求得 m的值，进而求得 a2+b2的值，注意 a2+b2的值不小于 0．【解答】解：设 a2+b2=m，那么〔 m+2〕〔m﹣ 2〕 =45，2∴ m﹣4=45，解得， m=7或 m=﹣ 7，∴a2 +b2=7 或 a2+b2=﹣7〔舍去〕，故答案为： 712．〔 a+25〕2=1000，那么〔 a+15〕〔a+35〕的值为900．【解析】将〔 a+15〕〔a+35〕变形为〔 a+25﹣10〕〔 a+25+10〕，依照平方差公式获取原式=（a+25〕2﹣100，再将〔 a+25〕2 =1000整体代入即可求解．【解答】解：〔 a+15〕〔a+35〕=〔a+25﹣10〕〔a+25+10〕=〔a+25〕2﹣100，2∵〔 a+25〕 =1000，∴原式 =1000﹣ 100=900．13．计算〔 1﹣〕〔〕﹣〔1﹣﹣〕〔〕的结果是．【考点】整式的混杂运算．【解析】设 a=1﹣﹣﹣﹣，b=+ + +，尔后依照整式的乘法与加减混杂运算进行计算即可得解．【解答】解：设 a=1﹣﹣﹣﹣，b=+ + +，那么原式 =a〔b+〕﹣〔a﹣〕? b=ab+ a﹣ab+ b=〔a+b〕，∵a+b=1+ + + + =1，∴原式= ．故答案：．14．如，在△ ABC中， I 是三内角均分的交点，∠BIC=130°，∠ A= 80°．【考点】三角形内角和定理．【解析】先依照角均分的定获取∠IBC= ∠ ABC，∠ ICB=∠ACB，再依照三角形内角和定理得∠ BIC+∠IBC+∠ ICB=180°，∠ BIC=180° 〔∠ ABC+∠ACB〕，由于∠ ABC+∠ACB=180° ∠ A，所以∠ BIC=90°+ ∠ A，尔后把∠ BIC=130°代入算可获取∠ A 的度数．【解答】解：∵ BI 、CI 分均分∠ ABC、∠ ACB，∴∠ IBC= ∠ABC，∠ ICB= ∠ACB，∵∠ BIC+∠IBC+∠ ICB=180°，∴∠ BIC=180° 〔∠ IBC+∠ ICB〕=180° 〔∠ ABC+∠ACB〕，∵∠ A+∠ ABC+∠ACB=180°，∴∠ ABC+∠ACB=180° ∠ A，∴∠ BIC=180° =90°+∠A，∵∠ BIC=130°，∴90°+ ∠A=130°∴∠ A=80°．故答案： 80°．15．如架中，上等的13 根条来加固架，假设AP1=P1P2=P2P3 =⋯=P13P14=P14A，∠A 的度数是12°．【考点】等腰三角形的性．【解析】∠ A=x，依照等等角的性以及三角形的一个外角等于与它不相的两个内角的和求出∠ AP7P8，∠ AP8P7，再依照三角形的内角和定理列式行算即可得解．【解答】解：∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=⋯=P13P14=P14A，∴∠ A=∠ AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠ P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，⋯，∠P7 P6P8 =∠ P8P9P7=7x，∴∠AP7 P8=7x，∠ AP8 P7=7x，在△ AP7 P8中，∠ A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即 x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠ A=12°．故答案： 12°．16．如， AB=AC，数上点 C 所表示的数1．【考点】勾股定理；数与数．【解析】依照勾股定理列式求出AB的，即 AC的，再依照数上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得， AB==，∴AC= ，∵点 A 表示的数是﹣ 1，∴点 C表示的数是﹣1．故答案为：﹣ 1．三、解答题〔每题10 分，共 40 分〕17．： 3a =2，3b=6，3c=18，试确定 a、 b、 c 之间的数量关系．【考点】幂的乘方与积的乘方．【解析】依照同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出a、b、c 之间的数量关系．【解答】解：∵ 2×18=62，∴3a×3c=〔3b〕2，∴3a+c=32b，∴a+c=2b18． a=2021x+2021，b=2021x+2021，c=2021x+2021．求 a2+b2 +c2﹣ ab﹣bc﹣ca 的值．【考点】因式分解的应用．【解析】原式变形后，利用完好平方公式配方后，将等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵ a=2021x+2021， b=2021x+2021，c=2021x+2021，∴a﹣ b=﹣1，b﹣c=﹣ 1， a﹣ c=﹣2，那么原式 = 〔2a2+2b2 +2c2﹣2ab﹣ 2bc﹣2ac〕= [ 〔 a﹣ b〕2 +〔b﹣c〕2+〔 a﹣ c〕2 ]=×〔1+1+4〕=3．19．如图，△ ABC是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC边上一动点，由 A 向 C运动〔与 A、C 不重合〕，Q是 CB延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB延长线方向运动〔 Q 不与 B 重合〕，过 P 作 PE⊥ AB于 E，连接 PQ交 AB于 D．（1〕当∠ BQD=30°时，求 AP的长；（2〕当运动过程中线段 ED的长可否发生变化？若是不变，求出线段 ED的长；若是变化请说明原由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判断与性质；含30 度角的直角三角形．【解析】〔1〕由△ ABC是边长为 6 的等边三角形，可知∠ ACB=60°，再由∠ BQD=30°可知∠QPC=90°，设 AP=x，那么 PC=6﹣x，QB=x，在 Rt△QCP中，∠ BQD=30°， PC= QC，即 6﹣x=〔6+x〕，求出x的值即可；（2〕作 QF⊥AB，交直线 AB于点 F，连接 QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再依照全等三角形的判判定理得出△ APE≌△ BQF，再由 AE=BF，PE=QF且 PE∥QF，可知四边形 PEQF是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ ABC 的边长为 6 可得出 DE=3，故当点 P、Q运动时，线段 DE的长度不会改变．【解答】解：〔 1〕∵△ ABC是边长为 6 的等边三角形，∴∠ ACB=60°，∵∠ BQD=30°，∴∠ QPC=90°，设 AP=x，那么 PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在 Rt △QCP中，∠ BQD=30°，∴PC= QC，即 6﹣x= 〔6+x〕，解得 x=2，∴AP=2；（2〕当点 P、Q同时运动且速度相同时，线段 DE的长度不会改变．原由以下：作 QF⊥ AB，交直线 AB于点 F，连接 QE， PF，又∵ PE⊥ AB于 E，∴∠ DFQ=∠AEP=90°，∵点 P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ ABC是等边三角形，在△ APE和△ BQF中，∵∠ AEP=∠BFQ=90°，∴∠ APE=∠BQF，，∴△ APE≌△ BQF〔 AAS〕，∴AE=BF，PE=QF且 PE∥QF，∴四边形 PEQF是平行四边形，∴DE= EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴ DE= AB，又∵等边△ ABC的边长为 6，∴DE=3，∴点 P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．20．△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=3：4：2，AD、BE是角均分线．求证： AB+BD=AE+BE．【考点】全等三角形的判断与性质．【解析】延长 AB到 F，使 BF=BD，连 DF，第一证明△ ADF≌△ ADC，推出 AF=AC，由BE是角均分线，推出∠CBE= ∠ABC=40°推出∠EBD=∠C，推出 BE=EC，推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．【解答】证明：延长 AB到 F，使 BF=BD，连 DF，∴∠ F=∠ BDF，∵∠ A：∠ B：∠ C=3： 4： 2，∴∠ F=40°，∠ F=∠ACB，∵AD是均分线，∴∠ BAD=∠CAD，在△ ADF和△ ADC中，，∴△ ADF≌△ ADC，∴AF=AC，∵BE是角均分线，∴∠CBE= ∠ABC=40°∴∠ EBD=∠C，∴BE=EC，∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．∴AB+BD=AE+BE．2021年 3月1日1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，必然谦虚。
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2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ A ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【解答】依题意，21616(31)0m m D =++=，∴2310m m ++=，∴231m m =--，231m m +=-。
∴3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、。
原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像经过C F 、两点，则nm=（ B ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像经过C F 、两点得222()2mam m n a n ì=ïïíï+=-ïî，消去a 得2220n mn m --=。
∴2210n n m m骣-?=琪桫，解得21n m =+（舍负根）。
∴21n m =+。
03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线DG 交AC 于点E ，则AEAC=A ．25B ．35C ．37D ．47（ D ）ME GFB DEGFB【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵G 为ABC △的重心且12BD BC =，∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==。
过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==。
设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，4477AE k AC k ==。
另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵G 为ABC △的重心且12BD BC =，∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，21AG GF =。
在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴47AE AC =。
（第03题答题图2）（第03题答题图1）（第03题图） （第02题图）04．如图，H O 、分别为ABC △的垂心和外心，45BAC??，若ABC △的外接圆半径为2，则AH =A．．．4 D1 （ B ）【解答】D ，连∵O 为ABC △的外心，∴BD 为O ⊙直径，DC BC ^，DA AB ^。
又∵H 为ABC △的垂心，∴AH BC ^，CH AB ^，∴AH DC ∥，CH DA ∥， ∴四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。
∵45BAC ?，ABC △外接圆的半径为2， ∴45BDC BAC ??，4BD =，∴AH DC == 05．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ C ）A ．0对B ．2对C ．4对D ．6对【解答】方程22419151x xy y -+=化为22(2)15115x y y A -=-=。
依题意，A 为完全平方数。
由2151150A y =-≥得215115y ≤。
结合y 为整数得210y ≤，故20149y =，，，。
当20y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。
当21y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。
当24y =时，21511591A y =-=，不是完全平方数。
当29y =时，2215115164A y =-==。
∴方程化为229(2)16y x y ìíï-=î，即23(6)16y x ì=í-=î或23(6)16y x ì=-í+=î ∴364y x ì=í-=î或364y x ì=í-=-î或364y x ì=-í+=î或364y x ì=-í+=-î。
∴103x y ì=í=î或23x y ì=í=î或23x y ì=-í=-î或103x y ì=-í=-î。
∴满足方程的整数对有(103)(23)(23)(103)----，、，、，、，共4对。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）06．已知正整数a b c 、、满足a b c >>且b c a c a b +++、、是三个连续正整数的平方，则222a b c ++ 的最小值为 1297 。
【解答】依题意，设2(1)b c n +=-，则2a c n +=，2(1)a b n +=+，其中n 为正整数且1n >。
∴22222()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，∴n 为偶数且2322n a b c +++=。
∴222424222n n n n n a b c ++-===，，。
∴6n ≥且当n 增大时222a b c ++的值也随之增大。
又6n =时，30196a b c ===，，符合要求。
∴222a b c ++的最小值为222301961297++=。
07．如图，在矩形ABCD 中，E 为对角线AC 的中点，A B 、在x 轴上。
若函数()40y x x=>的图像经过D E 、两点，则矩形ABCD 的面积为 8 。
【解答】设()()D D E E D x y E x y ，、，，则4D D E E x y x y ==。
作EF AB ^于F ，由E 为AC 中点得F 为AB 中点且1122EF BC AD ==，∴2D E y y =。
结合2E E D D D E x y x y x y ==?得2E D x x =，∴OA AF =，222D AB AF OA x ===。
∴矩形ABCD 的面积28D D S AB AD x y =?=。
08．如图，正ABC D 的边长为8，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD D 的内切圆，2O ⊙为CDB D 中边DB上的旁切圆。
若1O ⊙的半径都是r ，则r = 3 。
ABO 1O 2C DF AB O 1O 2CD EH G MN【解答】如图，设1切的三边CD 、依次于点， 边DB 切2O ⊙于点F ，CD CB 、的延长线切2O ⊙于点M N 、。
∵12O O ⊙、⊙的半径都是r ，ABC D 为正三角形，以及切线长性质定理， ∴3AG AE r ==，83CH CG r ==-，3BF BN ==，38CM CN ==+。
∴343(8)(83)3EF HM CM CH r r ==-=+--= ∴433833AB AE EF FB r =++=++=838=，∴3r = 09．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 1346 。
其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
【解答】设x a m =+，其中a 为整数，01m ≤＜。
则[][][][][][][][]232()3()623x x x a m a m a m a m m ++=+++++=++。
（第08题答题图）（第08题图）（第07题答题图）（第07题图）（第10题答题图）∵当103m ≤＜时，[][]23000m m +=+=；当1132m ≤＜时，[][]23011m m +=+=；当1223m ≤＜时，[][]23112m m +=+=；当213m ≤＜时，[][]23123m m +=+=。
∴对任意实数x ，[][][]23x x x ++的值具有形式：6616263k k k k +++，，，，k 为整数。
∵201863362=?，[][][]232018x x x ++=，∴336x m =+，其中1223m ≤＜。
∴[][][]44(336)43364134421346x m m =+=?=+=。
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其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。
图论可以追溯到数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。
图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。
请回答下列问题：把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外没有公共部分）。
若构成这n 个凸多边形的顶点中恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。
若围成这n 个凸多边形的线段中恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 9 。
【解答】设这n 个凸多边形中有3k 个三角形，4k 个四边形，5k 个五边形，…，m k 个边形。
则这n 个凸多边形的内角和为：345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m 窗+?窗+?窗++?窗。
另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360°。
矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180°。
在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90°。
∴这n 个凸多边形的内角和为63608180490窗+窗+窗。
∴345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m ?窗+?窗+?窗++?窗 63608180490=窗+窗+窗。
即34523(2)22m k k k m k ++++-=。
……… ①再考虑这n 个凸多边形的边数。
∵每个凸m 边形有m 条边，∴这n 个凸多边形的边数和为345345m k k k mk ++++。
另一方面，由条件知：在矩形内部18条边的每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。
而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。
∴这n 个凸多边形的边数和为1821248?=，∴34534548m k k k mk ++++=。
…② 由①②消去3k 得452(3)9m k k m k +++-=，∴49k ≤。