11专题十一 数阵图
66666小学奥数专题之数阵图练习题例
小学奥数专题之——————数阵图
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
\
1.10.5.2辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
:
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
2024《11的组成》PPT课件学前班数学
《11的组成》PPT课件学前班数学
•数的概念与11的意义
•11的组成方式探究
•图形化表示11的组成
•互动环节：孩子们动手尝试目
•拓展延伸：11在日常生活中的应用
•总结回顾与作业布置
录
01数的概念与11的
意义
数起源于原始人类的生产生活实践，如计数、测量等需求。
数的起源
数的发展
数与符号
随着人类文明的进步，数逐渐发展成为一个独立的学科，并衍生出多种数学分支。
数的表示经历了从具体事物到抽象符号的演变，使得数学成为一门具有普遍意义的科学。
03
02
01
数的起源与发展
11在数学中的地位
11是一个自然数
在数学中，11是一个基本的自然数，
具有独特的性质和特点。
11的因数与倍数
11的因数只有1和它本身，而它的倍
数则具有一定的规律性和周期性。
11在数学运算中的应用在数学运算中，11经常作为一个特殊的数值出现，如乘法口诀表中的“一一得一”等。
在日常生活中，11经常与时间、日期等相关联，如11点、11月等。
时间与日期
在电话号码和门牌号中，11也经常出现，具有一定的代表性和标识作用。
电话号码与门牌号
在体育比赛中，11号球员往往具有一定的特殊意义；而在一些节日庆祝活动中，11也经常被用作一个吉祥的数字。
体育比赛与节日庆祝此外，还有一些与11相关的事物，如11路公交车、11层高楼等，都体现了11在生活中的广泛应用和重要意义。
其他事物
生活中与11相关的事物
0211的组成方式探
究
使用1个单位和10个单位的物品，如1根小棒和10根小棒，展示它们组合成11根小棒的过程。
实物展示
用数字1和10表示，并解释1+10=11的数学原理。
幼儿园学前班数学《11的组成》PPT课件
教师对幼儿的学习情况进行总结和评价，肯定幼 儿的表现和进步。
鼓励幼儿持续学习与探索
鼓励幼儿在日常生活中继续寻 找与11有关的事物，并尝试用
所学知识进行解释。
提供更多与11相关的游戏和 活动，激发幼儿的学习兴趣
和探索欲望。
引导幼儿将所学知识应用到实 际生活中，如购物时计算总价 等，培养幼儿的数学应用能力
让幼儿模仿教师的动作进行练习，并鼓励他们用自己的方式表示11的组 成。
提供练习题，让幼儿在纸上写出11的组成方式，如填空、连线等。
互动问答与巩固
通过游戏、竞赛等方式，让幼儿在轻松愉快的氛围中 巩固所学知识。
教师提出问题，如“11由哪几个数字组成？”、“用 手指怎么表示11的组成？”等，让幼儿回答并解释答 案。
注意事项
确保比赛过程公平公正， 避免出现争议和纠纷。
评选优胜者与奖励
评选标准
根据幼儿找到的组合方式的数量 、正确率、创意程度等因素进行
综合评选。
奖励方式
对优胜者进行表彰和奖励，可以 颁发证书、小礼品等，以激发幼
儿的学习兴趣和积极性。
鼓励与肯定
对表现不佳的幼儿也要给予鼓励 和肯定，帮助他们找到不足之处
电话号码
很多电话号码中都包含数字11，这 可以帮助幼儿理解数字的组合和排 列。
11图形排列规律ppt课件
图形陈列规律
1
例1、察看如图，并按照图形的变化规律，在〔c〕中填入适当的图形。
2
练习：仔细察看如图，并按照它的变化规律，在“？〞处填上适当的图。
3
？
〔2〕
？
〔4〕
〔6
〕
12
2、察看如图，并按照变化规律在“？〞处填上适宜的图形。
13
3、根据左边的图形关系，画出右边图形的另一半。
14
4.仔细察看下面的三个图形，然后选择一个适宜的图形填在“？〞处。
？ ？
①
②
③
④
15
从所给的6个图形中，选出一个适当的图形，将它的编号填入“？〞处。
？
①
②
③
④
⑤
例2．仔细察看下面图形，按其变化规律在“？〞处填上适宜的图形。 ？
4
练习：仔细察看下面图形，按其变化规律在“？〞处填上适宜的图形。 ？
5
例3.根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半。
6
练习：根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半。
7
例4.仔细察看以下图的三个图形，然后选择一个适宜 的图形填在？处 ？
Baidu Nhomakorabea
六年级下册数学试题-小升初：第十一讲 数字谜与数阵图(解析版)全国通用
第十一讲数字谜与数阵图
1．回顾常用的数字谜的解题技巧。
2．精讲经典数字谜、及数阵数表。
【解题技巧】
（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。
（四）注意结合进位及退位来考虑。
（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。
【例1】★★★（小学数学ABC）
从1
2
，
1
3
，
1
4
，
1
6
，
1
8
中选出四个填入下式的中，使得等式成立.那么A有种
可能的值.
÷ = ÷ =A
【解】考虑五个分数的分母2，3，4，6，8.
因为2×6=3×4，所以1111
2634
⨯=⨯，由此得到
1 2÷
1
4
=
1
3
÷
1
6
=2；
1
2
÷
1
3
=
1
4
÷
1
6
=
3
2
；
1 6÷
1
4
=
1
3
÷
1
2
=
2
3
；
1
6
÷
1
3
=
1
4
÷
1
2
=
1
2
.
同理，由3×8=4×6得到
1 3÷
1
4
=
1
6
÷
1
8
=
4
3
；
1
3
÷
1
6
=
1
4
÷
1
8
=2；
1 8÷
1
4
=
1
6
÷
1
3
=
1
2
；
1
8
÷
1
6
=
1
4
÷
1
3
=
3
4
.
所以，A有6种可能值，分别是2，1
2
，
3
2
，
2
3
，
4
3
，
3
4
.
有人把数字谜问题叫做思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决.
教学目标
专题回顾
【例2】★★★请在下式中填入+和×，使等式成立（不要求每两个数之间都填入符号，但不能填+和×以外的符号）：
第十一周：数阵1
1 2 3 3 3
4
练习 在下面各图的每个方格中都填入一个数字， 使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都 有1、2、3、4。
1
3 4 2
2
4 3 1
3
1 2 4
4
2 1 3
1 3 4
4 2 1
2 4 3
3 1 2
2
3
1
4
数独游戏
•http://www.jigsawdoku.com/
例6： 把1-9这九个数填入下图中的各圆圈内，使每 个角到中心的三个数的和相等，并且使两个长方形 四个顶点上的数的和也都相等。
•完美数独
例2： 如图。有五个圆，使它们相交后分成九个区 域。现在两个区域已分别填入6、10，请在另外七 个区域里分别填进2、3、4、5、7、8、9七个数字 ，使每个圆内数的和都等于15。
Biblioteka Baidu10 6
例3： 把1-7这七个数分别填入右图各圆圈内，使在 一条直线上的三个数的和相等。
a
b c
e
d
f
g
练习： 1、将1-9这九个数字分别填入下图的圆圈中， 使每条线上三个数的和都是18。
2、将1、4、7、10、13、16、19、22、25这九 个数字分别填入下图的圆圈中，使每条线上三个 数的和都相等。
例4： 将1-10这十个自然数分别填入下图中的十个圆圈 内，使五边形每条边上的三个数之和都相等，并 使和最小与和最大。
66666小学奥数专题之数阵图练习题例
66666小学奥数专题之数阵图练习题例
小学奥数专题之——————数阵图
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
11 数阵图之谜
【课前挑战】
巧填五连环
小朋友们你知道奥运五环象征什么吗？今天，我们来做一个“填数五连环”的游戏，图上的五个圆环组成了9个区域，9个区域分别要填上从19的任意数字，要求数字不能重复使用。其中3
这个区域分别要填从到的任意数字，要求数字不能重复使用其中个
把4、5、6、7、8这5个数分别填入图中的圆圈内，使两条直线上的
三个数之和都等于18。
把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的都等
和都等于15。把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数都等
之和都等于15。
把1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的相等共有多少种法
的和相等。一共有多少种方法？把1、2、3、4、5、7这6个数分别填入图中的圆圈内，使每个大圆上个数的和都等
的4个数的和都等于13。
把1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图的6个圆圈中，使得三角每数都等
形每条边上的3个数的和都等于10。把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每条直线上每的数的都
和每个圆周上的三个数的和都是120。
三年级-数阵图
在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都相等。
7ຫໍສະໝຸດ Baidu
5
1
4
推理专题-数阵图
突破口：公共部分
把1、3、5、7、9、11、13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个数的和都等于21。
把1、2、3、4、5、6这6个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于16。
由图中三个圆圈内两两相交形成七个部分，分别填上1~7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15。
专题11 数数图形(原卷)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题11 数数图形
专题简析：
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
专题简析：
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
【典例分析01】数出下面图中有多少条线段。
分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A 点出发的不同线段有3条：AB 、AC 、AD ；从B 点出发的不同线段有2条：BC 、BD ；从C 点出发的不同线段有1条：CD 。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
【典例分析02】数一数下图中有多少个锐角。 D C B A 知识精讲
典例分析
分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）
【典例分析03】数一数下图中共有多少个三角形。
分析与解答：图中AD 边上的每一条线段与顶点O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD 上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。
数阵图
？
横行、竖行三个数之和都等于10。
？
2
7
1
Fra Baidu bibliotek
5
6
4
3
1 7
4 2 6
3 5
6 1 7 3 4
5 2
三年级数学思维训练：第11讲有趣的数阵图
三年级数学思维训练：第11讲有趣的数阵图
第 1 讲找规律填图
第 1 讲找规律填图能力检测
第 2 讲加减法巧算
第 2 讲加减法巧算能力检测
第 2 讲加减法巧算能力检测
第 3 讲高斯求和
第 3 讲高斯求和能力检测
第 4 讲找规律填数
第 4 讲找规律填数能力检测
第 5 讲简单推理
第 5 讲简单推理能力检测
第 6 讲植树中的学问
第 6 讲植树中的学问能力检测
第 7 讲学会倒着想
第 8 讲简单周期
第 8 讲简单周期能力检测
第 9 讲填运算符号
第 9 讲填运算符号能力检测
第 10 讲神奇的一笔画
第 10 讲神奇的一笔画能力检测
第 11 讲有趣的数阵图
传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。
如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，那么图①就转变成了数字图（图②）。研究这幅数字图你会发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。
像上面的图②这样，把一些数按照定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。
数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。
2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。
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投注号码:11 01 02 03 06 07 01 02 03 06 08 01 02 03 08 10 01 02 05 06 08 01 02 06 07 08 01 03 04 06 09 01 03 04 07 08 01 03 04 07 09 01 03 05 06 08 01 03 05 07 08 01 03 05 07 09 01 04 05 06 09 01 04 05 07 09 01 04 05 08 09 01 04 06 08 09 01 05 07 08 10 01 06 07 08 09 01 06 07 08 10
01 07 08 09 10
02 03 04 06 09 02 03 04 06 10 02 03 04 07 09 02 03 04 07 10 02 03 04 08 09 02 03 05 07 10 02 03 06 07 10 02 03 06 08 10 02 03 07 09 10 02 04 05 08 10 02 04 08 09 10 02 05 06 07 10
02 05 06 08 10
03 04 05 08 10 03 04 05 09 10 03 05 06 09 10 03 05 07 08 10 03 06 07 08 10 03 06 07 09 10
03 06 08 09 10
04 05 08 09 10 04 06 07 08 10 04 06 08 09 10
04 07 08 09 10
05 06 07 08 10 05 06 07 09 10
小学数学数阵图
例5 (★★★★★)
请将数字1、2、3、4、5、6、7填在下图，使得每个圆 圈上的三个数字之和与每条直线上的三个数之和相等。
1,2,3,4,5,6,7
3 5
7 1 a4
6
2
解题过程 56+a是5的倍数
边和X5=数字和X2+a 边和X5=28X2+a 边和X5=56+a a=4，边和=12
1,2,3,4,5,6,7
知识点睛
1、口诀：数边和，看重叠， 列个等式推一推
2、边和X次数=数字和+重叠 数x(次数-1)
2020/12/9
例2 (★★★)
将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内， 使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
6
1
3
4
5
2
例3 (将★1★～★8这) 八个数分别填入下图的○中， 使两个大圆上的五个数之和都等于21。
2020/12/9
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四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲 数阵图与数字谜 竞赛篇(解析版)全国通用
第十一讲数阵图与数字谜
编写说明
在四年级秋季第九、十讲和春季第三讲我们对数阵图进行了讲解，在寒假第6、7讲对数字谜进行了讲解. 本讲我们将针对这两部分知识进一步巩固和提高. 此部分内容我们在一步步分析时比较占用时间，所以本讲的例题量设置较少！同时教师也可用来缓解前几讲习题的压力！
你还记得吗
【复习1】请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个
数的和都相等.应怎样填？
分析：关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先
在各圆圈内填上字母，如右下图.设每条直线上的数字和为k.
根据题意可得：2a＋28=3k 由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,
经过尝试可知:a为1、4或7.
若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9. 得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.
若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8. 得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.
若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7. 得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.
【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个
圆圈上的三个数之和都相等.
分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个
圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.
因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由
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专题十一数阵图
第一讲三阶幻方
【母题详解】把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数的和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：
9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
解：经试验，有下面八种不同填法：
图11-1-1
上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
金钥匙：
一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方，相等的和我们称为幻和。通过观察可以发现，在三阶幻方中，幻和正好是中间数的3倍。
【举一反三】
变式一：用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
【解】给出的九个数形成一个等差数列， 1～9也是一个等差数列。对照1～9排成的三阶幻方，不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见图11-1-2）。
图11-1-2
变式二：在下面的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图11-1-3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
图11-1-3
【解】为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图11-1-4。
图11-1-4
36÷3=12，所以C=12
从第二行可求出D=36-12-6=18
从对角线中可求出E=36-12-5=19
从第一列可求出A=36-6-19=11
从第一行可求出B=36-5-11=20
从第二列可求出F=36-20-12=4
从第三列可求出G=36-5-18=13
得到三阶幻方如下：
图11-1-5
变式三：将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。
因为幻和为45，所以中心数为45÷3=15，因为是9个连续的自然数，则这9数是11、12、13、14、15、16、17、18、19。这些数正好比1-9这9个数分别大10，因此我们可以借助1-9的填数方法排出三阶幻方。
图11-1-7
【高分密码】
解决三阶幻方时，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。
第二讲复杂的数阵问题
【母题详解】把20以内的质数分别填入图11-2-1的○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析：由图11-2-2看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13，因此2和3只能填在两端，其他的填写时注意对应就可以了。
解：
图11-2-2
金钥匙：
解决复杂的数阵问题时，要分析数阵的特点，抓住题目中填写的要求，找出突破口，然后再解决问题。
【举一反三】
变式一：在图11-2-3的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
图11-2-3
【解】因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到图11-2-4的填法。
图11-2-4
变式二：将3-10这八个自然数分别填入图11-2-5中正方体的八个顶点上
的○中，使正方体每个面四个顶点上○中的数的和相等。
图11-2-5
【解】从图11-2-5上可以看出，这8个数正好分布在上、下两个面的顶点上，因为每个面上四个顶点上的数字之和相等，所以每个面上4个数的和是（3+10）×8÷2÷4=26。
由于每个面上四个顶点上的数字之和等于26，所以与10在一个面上的另外三个顶点数之和应等于16。在3-9中，三个数之和等于10的有三组：16＝3＋4＋9
＝4＋5＋7
＝3＋5＋8，
将这三组数填入10所在的三个面上，而6没有出现，所以6应该填在与10没有共同面的顶点上。经过尝试可得到图11-2-6的填法。
图11-2-6
变式三：从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。如图11-2-7：