【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮配套文档：第8章 第8节 曲线与方程
2015年高考理数真题试卷(山东卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（山东卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·山东）已知集合，，则( )A. (1，3)B. (1，4)C. (2，3)D. (2，4)2.（2015·山东）若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）A. 1-B. 1+C. -1-D. -1+3.（2015·山东）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位4.（2015·山东）已知菱形的边长为，,则=（）A. B. C. D.5.（2015山东）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（）A. B. C. D.6.（2015·山东）已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A. 3B. 2C. -2D. -37.（2015.山东）在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. B. C. D. 28.（2015·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％，％A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%9.（2015·山东）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A. 或B. 或C. 或D. 或10.（2015·山东）设函数,则满足的取值范围是（）A. B. C. [) D. [)二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.(2015·山东）观察下列各式：……照此规律，当n N时，________ .12.（2015·山东）若“”是真命题，则实数m的最小值为________ .13.（2015·山东）执行右边的程序框图，输出的T的值为________ .14.（2015山东）已知函数的定义域和值域都是，则________ .15.（2015·山东）平面直角坐标系中，双曲线C 1:的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为________ . 三.解答题，本大题共6小题，共75分16.（2015·山东）设,求解下列问题：（1）求的单调区间；（2）在锐角△ A B C 中，角∠ A , B , C ,的对边分别为a , b , c ,若= 0 , a = 1 ,求△ A B C 面积的最大值.(1)求的单调区间；(2)在锐角中，角,的对边分别为,若,求面积的最大值.17.（2015·山东）如图，在三棱台中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.18.（2015·山东）设数列的前n项和为.已知..(1)求的通项公式(2)若数列满足，求的前n项和.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前n项和.19.（2015·山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.20.（2015·山东）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别是F 1,F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆:为椭圆上任意一点，过点的直线y=kx=m交椭圆于,两点，射线交椭圆于点.(1)求的值；(1)求面积的最大值答案解析部分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算，一元二次不等式【解析】【解答】=，所以【分析】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力.2.【答案】A【考点】复数的基本概念【解析】【解答】因为，所以，，所以，Z=1-【分析】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】因为,所以要得到函数的图像，只要将函数的图像向右平移个单位.【分析】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.4.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】因为=【分析】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.5.【答案】A【考点】绝对值不等式的解法【解析】【解答】原不等式同解与如下三个不等式解集的并集；（1）(2)(3)解（1）得：,解（2）得：,解（3）得：,所以，原不等式的解集为.故选A.【分析】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.6.【答案】B【考点】简单线性规划，简单线性规划的应用【解析】【解答】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，故选B.【分析】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.7.【答案】C【考点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】直角梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个地面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的几何体，所以该几何体的体积为：V=V圆柱-V圆锥=【分析】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.8.【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：,故选B【分析】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.9.【答案】D【考点】直线的一般式方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系【解析】【解答】有光的反应原理知，反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程：,即：.又应圆与光线相切：,所以，,整理得：,解得：,或，故选D【分析】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.10.【答案】C【考点】指数函数的实际应用，分段函数的应用【解析】【解答】当时，，所以，即符合题意.当时，,若，则，即：，所以适合题意综上，的取值范围是[)，故选C【分析】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.【答案】【考点】组合数公式的推导，进行简单的合情推理【解析】【解答】因为第一个等式右端为：；第二个等式右端为：；第三个等式右端为：·由归纳推理得：第n个等式为：所以答案应填：【分析】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.12.【答案】1【考点】正切函数的值域，命题和命题的取值【解析】【解答】若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题，则没大于或等于函数y=tanx在0,π4的最大值应为函数y=tanx在0,π4为增函数，所以，函数在y=tanx在0,π4的最大值为1，所以，m≥1,即m的最小值为1【分析】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.13.【答案】【考点】定积分，程序框图【解析】【解答】初始条件成立方；运算第一次：成立；预算第二次：不成立；输出的值：，结束【分析】本题考查了循环结构与定积分的计算，意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力，以程序框图为载体，可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考查，此题是一个范例.解题中要注意运算的准确性.14.【答案】-32【考点】指数函数的图像与性质【解析】【解答】若a>1,则fx在-1,0上为增函数，所以a-1+b=-11+b=0次方程无解；若0<a<1，则fx在-1,0为减函数，所以a-1+b=01+b=-1,解得a=12b=-2,所以a+b=-32【分析】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.15.【答案】【考点】抛物线的标准方程，双曲线的标准方程【解析】【解答】设所在的直线方程为，则所在直线方程为，解方程组，得，所以点的坐标为，抛物线的焦点的坐标为：.应为是的垂心，所以，所以，所以，【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.三.解答题，本大题共6小题，共75分16.【答案】（1）函数的单电递增区间是;单调递减区间是（2）【考点】基本不等式，诱导公式一，三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理【解析】【解答】（1）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是;单调递减区间是（2）由得由题意知为锐角，所以有正弦定理：可得：即,当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为【分析】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.17.【答案】（1）证法一：连接DG,CO，设CD∩GF＝O，连接OH在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G为AC的中点可得DF∥GC,DF=GC所以四边形DFCG为平行四边形则0为CD的中点，又H为BC的中点所以OH∥BD又平面平面所以平面．证法二在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF,H为BC的中点可得BH∥EF,BH = EF ,所以四边形BHEE为平行四边形可得BE∥HF;在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH ∥AB又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED因为BD平面ABED所以BD∥平面FGH（2）解：解法一：设AB=2,则CF=1在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点由可得四边形DGCF为平行四边形，DG ∥CFC⊥平面ABC所以DG⊥平面ABC在△ABC中，由AB⊥BC,，G是AC中点，所以.A B = BC. GB⊥GC因此GB,GC,GD两两垂直，以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz所以,,,可得,故=,设是平面的一个法向量，则由得可得平面的一个法向量应为是平面的一个法向量=，所以COS＜,＞所以平面与平面所成的解锐角的大小为解法二作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC所以HM⊥平面ACFD所以∠MNH即为所求的角在△BGC中,MH∥BG，MH二，由可得从而由平面，平面得因此所以所以平面FGH平面ACFD所成角(锐角）的大小为【考点】与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）思路一：连接DG,CD，设CD∩GF＝O，连接OH，先证明OH∥BD，从而由直线平面平行的判定定理得BD∥平面HDF；思路二：先证明平面FGH∥平面ABED，再由平面与平面平行的定义得到BD∥平面HDF。
2015高考数学一轮配套课件：专题八(第八篇)
依题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是(1,0)， 则圆 C 的圆心坐标是(0,1)， 圆心到直线 4x－3y－2＝0 的距离 d ＝|4×402－＋3×－13－2 2|＝1，则 r2＝d2＋|A2B|2＝10，
因此圆 C 的方程是 x2＋(y－1)2＝10. 答案 (2)x2＋(y－1)2＝10
解(1) 若直线的斜率不存在， 则该直线的方程为 x＝－3， 代入圆的方程解得 y＝±4， 故该直线被圆截得的弦长为 8，满足条件； 若直线的斜率存在， 不 即妨kx设－直y＋线3的k－方32程＝为0，y＋32＝k(x＋3)， 因为该直线被圆截得的弦长为 8，
第四页，编辑于星期五：十四点 十一分。
故半弦长为 4.又圆的半径为 5，
· A
·M
2 折痕 B X
(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等 时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．
(2)本题需对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论，易错
点是忽略斜率不存在的情况．
第三页，编辑于星期五：十四点 十一分。
1、(1)若直线过点 P－3，－32且被圆 x2＋y2＝25 截得的弦长是 8， 则该直线的方程为( )． A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3 或 y＝－32 C．x＝－3 D．x＝－3 或 3x＋4y＋15＝0 倒计时
折痕
G(－k,1)，
B
X
从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标
第二页，编辑于星期五：十四点 十一分。
(线段 AG 的中点)为 M－k2，12.
Y D
1
G(a,1)C
∴折 即k痕y＝＝所0k在 时x＋， 的ky2直2＝＋线1212；.方k程≠0为时y，－y＝12＝kxk＋x＋k22＋k2，12y.＝12
2015年高考理科数学山东卷-答案
【解析】 ，需将函数 的图象向右平移 个单位，答案选B．
【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【考点】三角函数的图象及其变换．
4.【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ， 可知 ，
，答案选D．
【提示】根据 代入可求．
【考点】向量的运算．
5.【答案】A
【解析】 时， 成立
当 时， 解得 ；
第6题图
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【考点】线性规划的问题．
7.【答案】C
【解析】 ，答案选C．
【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【考点】空间几何体体积的计算．
8.【答案】B
【解析】 ，答案选B．
【提示】由题意 ， ，
当 ， 不成立，综上 ，答案选A．
【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当 ，②当 ，③当 ，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【考点】绝对值符号和分类讨论的思想．
6.【答案】B
【解析】由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时有最大值0，不符合题意；当 ，即 时有最大值 ， ，不满足 ；当 ，即 时在 时有最大值 ， ，不满足 ；当 时，即 时在 ， 时有最大值 ， ，满足 ，答案选B．
（Ⅱ）由 ，可得 ， ，由余弦定理可得： ，且当 时等号成立，从而可求 ，从而得解．
【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式．
17.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接 ， ，设 与 交于点 ．
在三棱台 中， ，则 ，
而 是 的中点， ，则 ，
2015山东高考数学(理)试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)（1） 已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=C（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） （2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数单位，则Z=A （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（C ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（4）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o,则BD CD＝D（A ）- （B ）- （C ） （D ）（5）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是A（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）（6）已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=B（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3（7）在梯形ABCD 中，∠ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为C（A ） （B ） （C ）（D ）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）B（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% （9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（D）（A）或（B或（C）或（D）或（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是（C （A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1, +第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，则z =（） （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+（3）【（A （4）【，则= （A （5）【 （A （6）【（A （7）【ABCD绕（A （8）【其2,)σ，则(P （A （9）【（A （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2[,1]3（B ）[0,1]（C ）2[,)3+∞（D ）[1,)+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=．（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为． （14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos (f x x x x π=-+．（17）【AB 45，求平面（18）【2S （19）【”10（20）【0)b >>的（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【（A （3）【（A 12（4）【60，则= （A D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知BAD ∠2223()()cos120BD CD AD AB AB AB AD AB a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-+=，故选（5）【 （A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞（C ）(1,4)（D ）(1,5)（6）【（A ）3（B ）2（C ）-2（D ）-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，故选B ．（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） （A ）4.56%（B ）13.59%（C ）27.18%（D ）31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线（A 【答案】【解析】30k -=，（10）【（A ）2[3【答案】（11）【010305077C C C C C C ++【答案】14n -【解析】1012121212121211(2222)n n n n n n n C C C C C -------++=++++（12）【】若“[0,],tan x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -2:2(0)C x py p =>的焦点(0,p，则22222pb pa ak pb -==，即225b =，222229c a b +==，32c a ==． （16）【解：．（17）【AB （Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点， ,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=⎨⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =，121cos ,2n n <>==，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n解：13n -++，2n -+++（19）【（本小题满分是一个三位正整数，且”10解：11420(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值． 解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y ++=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =（舍去）， 故21b =，24a =，椭圆C 的方程为221xy +=．（Ⅱ）， 12=，当（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．另解：此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立． 故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需0a ≥； 当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立， 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+，三是凭即可。
15年高考真题——理科数学(山东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B = （ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，060ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）232a 5．不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ） ()1,56．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3-7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%9．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32-或32- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 10．设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ） （A ）[]2 （B ）[]0,1 （C ）[)2+∞ （D ）[)1,+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 。
2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．解答：解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知可求，，根据=（）•=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，故a=2，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．解答：解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣考点：圆的切线方程；直线的斜率．专题：计算题；直线与圆．分析：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．解答：解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．考点：归纳推理；组合及组合数公式．专题：推理和证明．分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．解答：解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．解答：解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解答：解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．解答：解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；（k∈Z）；单调递减区间是：[k，所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH；∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE∥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n）=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X 0 ﹣1 1PEX=0×+（﹣1）×+1×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出解答：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a0时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
山东高考备考 高三数学复习讲座(2015.9))
5、不等式|X-1|-|X-5|<2 的解集是 （A） （- ，4） （B） （- ，1） （C） （1，4） （D） （1，5）
考查：绝对值不等式的解法。 说明：会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax b c ; ax b c ; x a x b c.
解法；略。
• （3）函数与方程的思想 • 今年的试卷中，更多的体现了函数与方程的思想， • 例如【文科（20），（21）】，【理科（10），（15）， （20），（21）】等都是考查了函数和方程的思想。 • （4）化归与转化的思想 • 化归与转化思想是解决问题的一种基本思想，即把要解决 的问题通过一系列的转化与化归，使其成为已解决的或较 易解决的问题。今年的高考试卷中充分体现了这样的思想 。 例如【文科（9），（10），（20），（21）】，【理 科（7），（10），（20），（21）】
• （5）必然与或然的思想 • 必然和或然的思想是新课改增加的一种新的思想，通过概 率统计的知识模块的教学，使学生掌握事件发生的必然性 和偶然性特点。2015年的高考命题中很多题均体现了这种 思想，例如【文科（6），（16）】，【理科（8），（19 ）】.
• • • • •
（6）各种能力 运算求解能力： 文 （2）,（6），（7）,（8）,（9）、（10）,（13）， （15）, （17）,（20）,（21） 理 （1）,（2）,（4）,（5）,（6）,（7），（14）,（15） ，（16）,（17）,（19）,（20）,（21）；
（A）向左平移 12 个单位 （C）向左平移 3 个单位
（B）向右平移 12 个单位 （D）向右平移 3 个单位
考查：三角函数图象变换和数形结合的数学思想。 说明：了解函数 y A sin(x ) 的物理意义；能画出 y A sin(x ) 的图象，
15年高考真题——理科数学(山东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则AB =（ ）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，060ABC ∠=，则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a -（B ）234a - （C ）234a （D ）232a5．不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ） ()1,56．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3- 7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%9．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32-或32- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 10．设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ） （A ）[]23,1 （B ）[]0,1 （C ）[)23,+∞ （D ）[)1,+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 。
【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮配套文档：第8章 第6节 双曲线
第六节双曲线[考情展望] 1.考查双曲线的定义及标准方程.2.考查双曲线的几何性质(以渐近线的离心率为主).3.多以客观题形式考查，属中低档题目．一、双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c ＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．二、双曲线的标准方程和几何性质巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)．1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)【解析】 双曲线的方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴c ＝62，∴右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.【答案】 C2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【解析】 渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a ＞0，∴a ＝2. 【答案】 C3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对【解析】 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c －a ＝6－4＝2＞1， ∴|PF 2|＝17. 【答案】 B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．【解析】 依题意c －a ＝1，① 又e ＝ca ＝2，即c ＝2a ② 由①②联立，得a ＝1，c ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线C 为x 2－y 23＝1.【答案】 x 2－y 23＝15．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B6．(2013·陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．【解析】x216－y2m＝1中，a＝4，b＝m，∴c＝16＋m.而e＝54，∴16＋m4＝54，∴m＝9.【答案】9考向一[151]双曲线的定义及应用(1)(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14 B.35 C.34 D.45(2)已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)；以点C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．【思路点拨】(1)由双曲线定义，求△PF1F2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|F A|与|FB|间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．【尝试解答】(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34，选C.【答案】 C(2)设F(x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，得|F A|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a表示椭圆的长半轴长)．∴|F A|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋(－5)2＝2，∴|F A|－|FB|＝2＜14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．规律方法1 1.(1)抓住“焦点三角形PF 1F 2”中的数量关系是求解第(1)题的关键.(2)第(2)小题中，点F 的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数.2.利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a ＜|F 1F 2|，(3)焦点所在坐标轴的位置.对点训练 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 设动圆M 的半径为r ， 则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∴22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又a ＝2，c ＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝14，∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)．考向二 [152] 双曲线的标准方程(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【思路点拨】 (1)由已知椭圆的焦点和离心率得a ，b 满足的方程．从而可求出双曲线的方程．(2)先由椭圆方程可得双曲线G 的焦距，再设出双曲线G 的渐近线方程，利用已知条件求解．【尝试解答】(1)由x216＋y29＝1，知c＝16－9＝7，∴焦点F1(－7，0)，F2(7，0)，且离心率e′＝7 4.又双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点．∴a2＋b2＝(7)2＝7，∵双曲线的离心率e＝ca＝7 a，∴7a＝274，则a＝2.从而b2＝c2－a2＝7－22＝3.故所求的双曲线的方程为x24－y23＝1.【答案】x24－y23＝1(2)椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25.又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴|5a|b2＋a2＝3，得a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.规律方法2求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法.(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论.①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0).②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0).对点训练 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)，求双曲线的标准方程．【解】 法一 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4，所以双曲线的方程为x 294－y 24＝1.法二 设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14. 所以双曲线方程为x 29－y 216＝14， 即x 294－y 24＝1. 考向三 [153] 双曲线的几何性质(1)已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±52x C ．y ＝±12xD ．y ＝±6x(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使AP →·PQ→＝0，求此双曲线离心率的取值范围．【思路点拨】 (1)焦点在y 轴上的渐近线方程为y ＝±ab x ，由双曲线的离心率可确定ab 的值．(2)先设p (x ，y )，由AP →·PQ →＝0得到的方程与x 2a 2－y 2b 2＝1联立，消去y 后，再利用双曲线的几何性质x ≥a ，可得到关于a 、b 的一个不等关系式，进一步求得离心率的取值范围．【尝试解答】 (1)设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∵e ＝ca ＝5，c ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±12x ，故选C.【答案】 C(2)设P 点坐标为(x ，y )， 则由AP →·PQ →＝0，得AP ⊥PQ ， ∴P 点在以AQ 为直径的圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22.① 又P 点在双曲线上，得x 2a 2－y 2b 2＝1.② 由①，②消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0， 即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a )＝0.当x ＝a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去． 当x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2时，满足题意的P 点存在，需x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2＞a ，化简得a 2＞2b 2， 即3a 2＞2c 2，c a ＜62.又e ＞1，∴离心率e ＝c a ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，62.规律方法3求双曲线的离心率(取值范围)的策略,求双曲线离心率是一个热点问题.若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键.对点训练(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．【解析】设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝3c.又点P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(3－1)c＝2a.∴e＝ca＝23－1＝3＋1.【答案】3＋1思想方法之十九分类讨论思想在判断直线与双曲线交点问题中的妙用研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题，当一元二次方程中含有参数时，通常需要进行分类讨论，注意不要忽视了二次项系数的讨论．————[1个示范例]————[1个对点练]————已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．【解】 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1，与曲线C 有一个交点，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0.(*)(ⅰ)当2－k 2＝0，即k ＝±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0，即k ≠±2时，Δ＝[2(k 2－2k )]2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝16(3－2k )①当Δ＝0，即3－2k ＝0，k ＝32时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点． ②当Δ＞0，即k ＜32，又k ≠±2，故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点．③当Δ＜0，即k ＞32时，方程(*)无解，l 与C 无交点．综上知：当k ＝±2，或k ＝32，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜32，或－2＜k ＜2，或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞32时，l 与C 没有交点．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12能作几条与双曲线x 24－y 2＝1有一个公共点的直线．【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为x ＝2，显然符合题意． (2)当斜率存在时，设斜率为k ， 则直线方程为y －12＝k (x －2)， 联立x 24－y 2＝1得(1－4k 2)x 2＋(16k 2－4k )x －(16k 2－8k ＋5)＝0， ①当1－4k 2≠0时，令Δ＝0，解得k ＝58，一条．②当1－4k2＝0时，此时直线与渐近线平行，符合题意，两条．故共4条．。
2015年山东省高考数学试卷理科答案与解析
2015年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.( 5 分)(2015?山东)已知集合A={x|x2-4x+3 V 0}, B={x|2 V x v 4}，则A A B=( ) A . (1 , 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集.解答：解：集合A={x|x 2- 4x+3 v 0}={x|1 v x v 3}, B={x|2 v x v 4},则 A QB={x|2 v x v 3}= (2, 3).故选：C.点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力.2. ( 5分)(2015?山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位，则z=( )1^1A . 1 - i B. 1+i C. - 1 - i D. - 1+i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.解答：解：'=i,则=i (1 - i) =1+i,_ i可得z=1 - i .故选：A .点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查.|713. ( 5分)(2015?山东)要得到函数y=sin (4x——)的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )A.向左平移I TT单位12B.向右平移TT单位12C.向左平移I TT单位D.向右平移TT单位33考点：函数y=Asin ( w x+ $)的图象变换.专题：三角函数的图像与性质.分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.解答：兀讥:解：因为函数y=sin (4x-=) =sin[4 (x -—)],J _L要得到函数y=sin (4x -卫)的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移巴单位.3 12点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中4.（ 5分）（2015?山东）已知菱形 ABCD 的边长为a , / ABC=60 °则BD*CD =（ ）考点：平面向量数量积的运算. 专题：计算题；平面向量及应用. 分析：_ - -由已知可求^-BC ,根据CD = （BA + BC ） 極=期 +BABC 代入可求解答：解：•.•菱形ABCD 的边长为a , / ABC=60 °故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5. ( 5分)(2015?山东)不等式|x - 1| - |x - 5|v 2的解集是()A . (-a, 4)B . (-a, 1)C . (1 , 4)D . (1, 5)考点：绝对值不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用.分析：运用零点分区间，求出零点为 1, 5,讨论①当x V 1，②当1$韦，③当x >5,分 别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可.解答：解：①当x v 1,不等式即为-x+1+x - 5 V 2，即-4 V 2成立，故x v 1;② 当1夯（W5,不等式即为 x - 1+x - 5 V 2,得x V 4,故1$ V 4;③ 当 x > 5, x - 1 - x+5 V 2，即 4 V 2 不成立，故 x €?. 综上知解集为（-a, 4）. 故选A .点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属 于中档题.6. （ 5分）（2015?山东）已知x , y 满足约束条件* K+y<2 ，若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.x 的系数是易错点.A . -r a 2B .-活C . :; 2—a2 44D .3 a 2••m 2,则二：i=BA ■ BC=a 冶 >Cos60电 仪2， (I I '：')分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 大值. 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1, 1),若z=ax+y 过A 时取得最大值为 4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为 z=2x+y , 即 y= - 2x+z ,平移直线y= - 2x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为4,满足条 件 若z=ax+y 过B 时取得最大值为 4,贝U a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为 z=3x+y , 即 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为-6,不满足条件， 故 a=2, 故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()z 的最7. ( 5 分)(2015?山东)在梯形 ABCD 中，/ ABC=,AD // BC , BC=2AD=2AB=2 ，将考点：棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题：空间位置关系与距离. 分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可. 解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：严兀吃-丄兀小.3 3点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观 图是解题的关键.2& （ 5分）（2015?山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N （ 0, 3 ）,从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3, 6）内的概率为（）（附：若随机变量 胡服从正态分布 N （卩，/）,则P （厂 X M 旷o ） =68.26%, P （厂2 dV M 旷2 0 =95.44%）A . 4.56%B . 13.59%C . 27.18%D . 31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题：计算题；概率与统计.分析： ■由题意 P （- 3V V 3） =68.26% , P （- 6V V 6）=95.44%，可得 P （ 3V V 6）=（ 95.44%2-68.26%）,即可得出结论.解答：解：由题意 P （- 3 V V 3） =68.26% , P （- 6v V 6） =95.44%,所以 P （3V V 6） — （95.44% - 68.26%） =13.59% .2故选：B .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量□和o 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.9. （ 5分）（2015?山东）一条光线从点（- 2,- 3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3） -2） 2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A .B .C .-—或-—-—或-———或-—352 3 4 5考点：圆的切线方程；直线的斜率.(yD .专题：计算题；直线与圆.分析：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A'(2, - 3),可设反射光线所在直线的方程 为：y+3=k (x- 2),利用直线与圆相切的性质即可得出.解答：解：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A ' (2,- 3),故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k (x - 2),化为kx - y - 2k - 3=0. 2 2•••反射光线与圆(x+3) + (y - 2)=1相切，I -魂■ 2 ■九■ £ |•••圆心(-3, 2)到直线的距离 d= …〜=1 ,Vk 2H |化为 24k 2+50k+24=0 , k= -里或-丄.3 4故选：D .点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、 对称点，考查了计算能力，属于中档题.考点：分段函数的应用.专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：令f (a ) =t ，则f (t ) =2\讨论t v 1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨 论t 》时，以及a v 1, a 》，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围.解答：解：令f (a ) =t ,则 f (t ) =2t ,当 t v 1 时,3t - 1=2上,由 g (t ) =3t - 1- 2f 的导数为 g' (t ) =3 - 2、n2, 在 t v 1 时，g ' (t )> 0, g (t )在(-©, 1)递增， 即有 g (t ) v g (1) =0, 则方程3t - 1=2七无解; 当t 》时，2f =2f 成立，由f (a )》，即3a - 1》，解得a 》，且a v 1； 或a 》,2》解得a 》)，即为a 》. 综上可得a 的范围是a 》. 3故选C .点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法 是解题的关键.10. ( 5分)(2015?山东)设函数f (x )= 的取值范围是( A .-，1])B . [0, 1]Z<1，则满足 f (f ( a)) =2f (a)的 aD . [1, +©、填空题（本大题共 5小题，每小题5分，共25分） 11. （5分）（2015?山东）观察下列各式:照此规律，当n €N *时,考点：归纳推理；组合及组合数公式. 专题：推理和证明.分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果. 解答：解：因为C |=4°;+C照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幕指数相同,故答案为：4n _1点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键.12. （5分）（2015?山东）若？x€[0, p], tanx 呦”是真命题，则实数 m 的最小值为—考点：命题的真假判断与应用. 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质. 分析：求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围.解答：解：？x €[0, ―-], tanx 呦"是真命题，| 4|可得tanx <1,所以，m 》， 实数m 的最小值为：1. 故答案为：1.、0 +C 1 +C 2 +・・1 '2n- -1 2t;- 1 2n- 12n- 1=4厂； 可得：当n €N *时, C+CC+C=4 ； +C 討42；+C?+c =43；0 2n-l+C 1 2n- 1 +C| 22n-l 2n- 1"4n 124 =2 5•4 C 一一+1 3 15C _4°C +C3 6 =43点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力.13. （ 5分）（2015?山东）执行如图程序框图，输出的考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n , T 的值，当n=3时不满足条件 退出循环，输出T 的值为丄.Pe解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1 , T=1满足条件 n v 3, T=1+ f 】xdx , n=2JI 〕满足条件 n v 3, T=1+ j ]xdx+『]x 2dx=1+—, n=3八〕J o 2打6 不满足条件n v 3,退出循环，输出 T 的值为丄.6故答案为：良6点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查.则a+b =—匚 考点：函数的值域. 专题：函数的性质及应用.分析：对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组, 解答：解：当a > 1时，函数f （x ） =a x +b在定义域上是增函数，n v 3,14. （ 5分）（2015?山东）已知函数f （x ） =a x +b （a >0, a 力）的定义域和值域都是 1, 0],所以0=l+ba - L-bb- - 1，解得b= - 1,丄=0不符合题意舍去;a当O v a v 1时，函数f (x) =a x+b在定义域上是减函数,所以l+b=-综上a+b=--1故答案为；-解得b= - 2, a==2 2点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15. (5分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线( a> 0, b > 0) C i:的渐近线与抛物线C2：x2=2py ( p> 0)交于点O, A , B, 若△ OAB 的垂心为C2的焦点, 则C1的离心率为丄考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出A的坐标，可得^ab，利用△ OAB的垂心为C2的焦点，可得解答: 一 2 24abX(——)=-1，由此可求aC1的离心率.2解：双曲线C1：七a =1 (a> 0, b> 0)的渐近线方程为y= ±x，与抛物线C2: x2=2py联立，可得x=0或* 2 24ab •/ △ OAB的垂心为C2的焦点,2 2娶- /4ab2 2••• 5a =4b ,2 9• 5a =4 (c -a2)e =J=3 32故答案为：上.2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 A 的坐标是关键.三、解答题2 兀16. (12 分)(2015?山东)设 f (x ) =sinxcosx - cos (x+ ). 4(I )求f (x )的单调区间；(n )在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c,若f (丄)=0, a=1，求△ ABC 13面积的最大值.(n )由 f (£) =si nA -—t =0，可得 si nA , cosA ，由余弦定理可得： ，且=sin2x -A 11(n )由 f (三)=sinA -—=0，可得 sinA=「, 由题意知A 为锐角，所以cosA=:;, 2|由余弦定理 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA ,考点： 专题：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理.三角函数的图像与性质；解三角形.(I )由三角函数恒等变换化简解析式可得f (x ) =sin2x -二，由2兀(x )的单调递增区间，由,k C Z 可解得f 当b=c 时等号成立，从而可求严inA 善，从而得解.解答:解：(I )由题意可知，f (x ) 丄sin2x -21+GOS)~1s in2x -21 - sin2s2~由2k 一— _ TE所以f(X )的单调递增区间是[k ,k f4电x 电k 二 2k TT<2k 丁,k 包可解得单调递减区间.k ①可解得: <2x<2k 下由2k 丁电k i •—,,k €Z ； k ①可解得:,k €Z ；,(k€Z );单调递减区间是:[k Ik 」,(k€Z )；可得：1+二bc=b2+c2支be，即be .:，且当b=c时等号成立. 因此丄bcsinA w ' > 二所以△ ABC面积的最大值为—二4点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查.17. （12分）（2015?山东）如图，在三棱台DEF - ABC中，AB=2DE , G, H分别为AC , BC的中点.（I ）求证：BD //平面FGH ;（n ）若CF丄平面ABC , AB丄BC, CF=DE , / BAC=45 ° 求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用.分析：（I ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE // HF，便有BE //平面FGH，再证明DE //平面FGH，从而得到平面BDE // 平面FGH，从而BD //平面FGH ;（n ）连接HE，根据条件能够说明HC, HG , HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明瓦为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为二二（直，益2），根据厂T 8门命HF二n f•____ 即可求出法向量U,设平面FGH与平面ACFD所成的角为0,根据石蒔0cos0=二二：■-即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小. 解答：解：（I ）证明：根据已知条件，BC=2EF , H为BC中点，EF / BC;••• EF // BH，且EF=BH ;•••四边形EFHB为平行四边形；•BE // HF , HF?平面FGH , BE?平面FGH ；•BE // 平面FGH ；同样，因为GH ABC中位线，• GH // AB ；又DE // AB ；•DE // GH ；• DE // 平面FGH , DE A BE=E ；•••平面BDE // 平面FGH , BD?平面BDE ;••• BD // 平面FGH ;(n )连接HE,贝y HE // CF;•/ CF丄平面ABC ;•HE //平面ABC，并且HG丄HC;•HC, HG , HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H (0, 0, 0), G (0, 1, 0), F ( 1, 0, 1) , B (- 1 , 0 , 0); 连接BG,根据已知条件BA=BC , G为AC中点；•BG 丄AC ;又CF丄平面ABC , BG?平面ABC ;•BG 丄CF , AC A CF=C ;•BG丄平面ACFD ;•向量BG= (1, 1, 0)为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为二(壯2),则:f n HF=x+z=0 廿〜-一，取I则：一…—;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为0,则: cos B=|cos n 「1= 了丄：,-,;•平面FGH与平面ACFD所成的角为60°点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义.18. (12分)(2015?山东)设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知29=3“+3.(I )求｛a n｝的通项公式；(n )若数列｛b n｝，满足a n b n=log3a n，求｛b n｝的前n项和T n.考点：数列的求和. 专题：等差数列与等比数列.分析：(I )利用2S n=3 +3，可求得a1=3;当n> 1 时，2S n-1=3 +3,两式相减2a n=2S nn — 1-2S n - 1,可求得a n =3 ，从而可得｛a n ｝的通项公式；(n )依题意，a n b n =log 3a n ，可得 b 仁-，当 n > 1 时，b n =31 n ?log 33n 1= (n - 1) X 31 ■3-n,于是可求得 T 仁 b 仁一;当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ ••+bn—+(1X 3-1+2 xf 2+・・+ (n - 1)3 3X 31-n ),利用错位相减法可求得｛b n ｝的前n 项和T n .解答：解：(I )因为 2S n =3n +3，所以 2a 仁31+3=6，故 a 1=3,当 n > 1 时，2S n -1=3n -1+3,此时，2a n =2S n - 2S n -1=3n - 3n -1=2 X” 1，即 a n =3n 「1 ,f3, n=l所以a n =,.n>l.(n )因为 a n b n =log 3a n ,所以 b 1=73当 n > 1 时，b n =31-n ?log 33n -1= (n - 1) X 31 -n , 所以T 1=b 1 =3当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ --+b n = + (1X 3-1+2 X -2+・・+ (n - 1) X 31-n ),3所以 3T n =1+ (1X 30+2 X 3-1+3 X _2+・・+ ( n - 1) X 32-n ),两式相减得：2口=匸+ (30+3-1+3-2+ ••+32-n - (n - 1) X 31-n )二+「''33 1-3一1点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查错位相减法”求和,考查分析、运算能力，属于中档题.19. （12分）（2015?山东）若n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数 字大于百位数字，则称 n 为 三位递增数”（如137, 359, 567等）.在某次数学趣味活动中， 每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的 三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不 能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分. （I ）写出所有个位数字是 5的三位递增数”；（n ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计.综上可得 T n =13 12-1) X 31-n )所以T n =匚12 号广2n=1时也适合,分析：(I)根据三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的三位递增数”；(n)随机变量X的取值为：0,- 1, 1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望. 解答：解：(I)根据定义个位数字是5的三位递增数”有：125, 135, 145, 235, 245, 345;(n )由题意知，全部三位递增数”的个数为凉二84 ,y随机变量X的取值为：0，- 1,1,当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即于A , B两点，射线PO交椭圆E于点Q.⑴求|斗的值；(ii)求厶ABQ面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程.:;点评: 当X= - 1时，首先选择5,由于不能被10整除，因此不能选择数字必；5，然后从2,以从1, 3, 5, 7中选择两个数字和5进行组合，即当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选个数字和5进行组合，即个数字，再从1, 3, 7,则P (X=0 )=_丄r3 3 023;第二种方案：首先选9中选择1个数字，最后把5,然后从2,2, 4, 6, 8,可4, 6,4, 6,8中选择28中选择1亠，P (X=1 )14c 扛42，-1111114一一.本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,关键.EX=0 *+(-1)-+1求出对应的概率是解决本题的20.( 13分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:—七=1 (a> b > 0)的离心率为「左、右焦点分别是F1, F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆(I )求椭圆C的方程；C 上.x2-L 2 y14b2P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E3个数字进行组合，即42(X= - 1)(n)设椭圆E:专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I ）运用椭圆的离心率公式和 a , b , c 的关系，计算即可得到 b ,进而得到椭圆 C 的方程；圆C , E 的方程，化简整理，即可得到所求值;（ii ）设A （x i , y i ） , B （ x 2 , y 2）,将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定 理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0 ,可得t 的范围，结合二次函数的最值,又 △ ABQ 的面积为3S ,即可得到所求的最大值.解答：解：（I ）由题意可知，2a=4,可得a=2,又一 =■', a 2- c 2=b 2,a 2可得b=1，即有椭圆C 的方程为丁 +y 2=i ；厂+162_=1 ,即丄_4所以十2 ,即J|=2;(ii )设 A (x 1 , y 1), B2 2 2(1+4k ) x +8kmx+4m由直线y=kx+m 与y 轴交于（0, m ）,则厶AOB 的面积为S 」|m|?|x 1 — x 2|于|m|?=2将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2 — 4=0 , 由△为可得m 2w +4k 2 ,② :.::-，在（o , 1］递增，即有t=1取得最大值,）由（I ）知椭圆E 的方程为(i )设 P (x o , y o ),由题意可知,K0 Q (—瓜0, — ?y 0),由于—— 4+y o 2=1,贝U 有 X 1+x 2= —l+4k 2 ,x 1x 2= l+4k 2 ，所以 |x 1 — x 2|=- ID 2l+4k 2（n ）求得椭圆E 的方程, (i )设 P (x o , y o ), 辭入,求得Q 的坐标，分别代入椭+y 02) =1,(x 2 , y 2),将直线 —16=0,由△ > 0 , y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得可得 m 2v 4+16k 2 ,①l+4k 2由①②可得0 v t W,则S=2 =t ，则 S=2 ),m 2l+4k 2即有SU 「，即m 2=l+4k 2,取得最大值2_ 由(i )知，△ ABQ 的面积为3S ,即△ ABQ 面积的最大值为 6点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同 时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题.21. (14 分)(2015?山东)设函数 f (x ) =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , (I )讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(n )若？x > 0, f (x )为成立，求a 的取值范围. 与△分类讨论可得：(1 )当a=0时，此时f'( x )> 0，即可得出函数的单调性与极值 的情况. ⑺当a > 0时，△ =a ( 9a -8).①当时，△乜，②当「V 时，"0, 即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当a v 0时，△> 0•即可得出函数的单调性与极值的情况. 可判断出.f fx) =4-Sax - a _ x+1令 g (x ) =2ax 2+ax - a+1.(1) 当a=0时，g (x ) =1,此时f'(x ) > 0,函数f (x )在(-1, +m)上单调递 增，无极值点. (2) 当 a > 0 时，△ =a 2- 8a (1 - a ) =a (9a - 8). ①当时，△切，g (x )为，f ' (x ) ◎函数f (x )在(-1, + m)上单调J递增，无极值点.专题：创新题型；导数的综合应用.(1)函数 f (x ) =ln (x+1) +a (x 2 - x ),其中 a €R , x € ( — 1,+ m)x+12.令 g (x ) =2ax +ax - a+1 .M a(II )由(I )可知：(1 )当0它，可得函数f ( x )在(0 , + m)上单调性，即(2) 当丄v a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (乂)在(0, 可判断出.(3) 当1v a 时，由 即可判断出； (4) 当a v 0时，设 出解答：解：(I )函数f (x )+ m)上单调性，即g ( 0 )v 0，可得X 2> 0,利用x € ( 0, x 2)时函数f (x )单调性, h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +m),研究其单调性，即可判断 =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , x € (- 1, + m)□+ax - a+1 x+1考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题. 9■: -=2△ > 0,设方程2ax +ax - a+1=0的两个实数根分别为-丄，砂>_丄「4由 g (- 1)> 0,可得—1< X 1< -丄.4•••当 X € (- 1, X 1)时，g ( X )> 0, f ' ( X )> 0,函数 f ( X )单调递增; 当 x € (X 1, x 2)时，g (x )< 0, f (x ) < 0,函数 f (x )单调递减； 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) > 0, f ' (x )> 0,函数 f (x )单调递增. 因此函数f (x )有两个极值点.(3) 当 a < 0 时，△> 0.由 g (- 1) =1 > 0,可得-1 < X 1V - 丄.4•••当 x € (- 1, X 2)时，g ( x )> 0, f (x )> 0,函数 f ( x )单调递增; 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) < 0, f ' (x )< 0,函数 f (X )单调递减. 因此函数f ( X )有一个极值点. 综上所述：当a < 0时，函数f ( x )有一个极值点；当a 0时，函数f (x )有两个极值点.X 1 , X 2, x 1<X 2.(II )由 (I )可知: (1)当 ，函数f ( 乂)在(0 , +8)上单调递增.X 1+X 2=函数f (x )无极值点;0<a=0,,+8)时，f (X )> 0，符合题意.(2)当卫<a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (x )在(0,9又 f (0) =0,• x € (0, +8)时，f (X )> 0，符合题意.(3) 当 1< a 时，由 g (0)< 0,可得 X 2>0,• x € (0, X 2)时，函数f (x )单调递减. 又 f (0) =0,• x € (0, X 2)时，f (x )< 0,不符合题意，舍去；(4) 当 a < 0 时，设 h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +8), h ' (x ) =_— > 0.x+1• h (x )在(0, + 8)上单调递增.因此 x € (0, + 8)时，h (x )> h ( 0) =0，即 In (x+1) < x ,22可得：f (X ) < x+a (X - X ) =ax + (1 - a ) x ，当 x > 一二时， dax 2+ (1 - a ) x < 0,此时f (x )< 0,不合题意，舍去.点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.••• f (0): • x € (0, + 8)上单调递增.。
2015年山东省高考数学试卷(理科)及答案
2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行如图程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f （a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X0﹣11PEX=0×+（﹣1）×+1×=．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a ＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得m2＜1+4k2，②由①②可得0＜t＜1，则S=2在（0，1）递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．。
[VIP专享]2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
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） A． 向左平移 单位
3．（5 分）（2015•山东）要得到函数 y=sin（4x﹣ ）的图象，只需将选：A． 点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
=i，则 =i（1﹣i）=1+i，
解答：解：
分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
专题：数系的扩充和复数．
考点：复数代数形式的乘除运算． 菁优网版权所有
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2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析-副本
2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）=i=i3．（5分）（2015•山东）要地到函数y=sin（4x﹣）地图象，只需将函数y=sin4x地图象向左平移向右平移单位向左平移向右平移单位﹣﹣地图象向右平移4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD地边长为a，∠ABC=60°，则=（）﹣a a2a2由已知可求，，根据==（==6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y地最大值为4，则7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将B几何体地体积为：．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件地长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内地概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ=（（9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y 2﹣或﹣或﹣或﹣或﹣=1或﹣．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）地a [，[．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．=4+C=4+C+C+C+C+CC+C+C+C=412．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m地最小值为1．]13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出地T地值为．地值为T=1+xdxT=1+xdx+x dx=1+，地值为故答案为：14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）地定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．，解地=0解地a+b=15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）地渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB地垂心为C2地焦点，则C1地离心率为．地坐标，可地，利用×）：﹣±x±，，则=×（﹣=．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）地单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C地对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积地最大值．，由，，（=0时等号成立，从而可求bcsinA﹣sin2x﹣≤2k≤，≤2k≤，[k，[k（=0，cosA=1+bcbcsinA面积地最大值为17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC地中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成地角（锐角）地大小．为平面即可求出法向量，设平面即可求出平面为平面，则：，则：|=18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}地前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}地通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}地前n项和T n．，当===，；=+﹣﹣﹣19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n地个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有地“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，地分规则如下：若抽取地“三位递增数”地三个数字之积不能被5整除，参加者地0分，若能被5整除，但不能被10整除，地﹣1分，若能被10整除，地1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5地“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲地分X地分布列和数学期望EX．地个数为，个进行组合，即；；；第二种方案：首先选==，=，×+××=20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）地离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径地圆与以F2为圆心以1为半径地圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C地方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P地直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||地值；（ii）求△ABQ面积地最大值．|=地方程为+y地方程为+||=，由于，即（||m||m|，设S=2S=2在（，即，21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点地个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a地取值范围．．当aa时，可地函数）当时，a时，=11a时，函数a0a）当＞＞。
2015届高三数学(理,山东版)一轮课件：第11章 第4节 数学归纳法及其应用
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1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，
第一步检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检 验n＝3.
【答案】 C
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数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 ___n_＝__k_＋__1__时命题成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正 整数 n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
2．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋…－n1 ＝2n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数) 时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 【解析】 k为偶数，则k＋2为偶数，故选B. 【答案】 B
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应用数学归纳法证明时应注意的问题 (1)第一步验证 n＝n0 时，n0 不一定为 1，要根据题目要求选 择合适的起始值． (2)由 n＝k 时命题成立，证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中， 一定要归纳假设，否则就不是数学归纳法． (3)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
2015届高三数学(理,山东版)一轮课件：第8章 第7节 抛物线
∴抛物线方程为 x2＝－8y，
∴m2＝16，∴m＝±4.
【答案】 C
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4．双曲线x32－1p62y2＝1 的左焦点在抛物线 y2＝2px 的准线上，
则 p 的值为________．
【解析】 双曲线的左焦点坐标为－
3＋1p62 ，0，抛物线
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一、抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相
等的点的轨迹叫做抛物线．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝
y2＝
x2＝
x2＝
方程 2px(p>0) －2px(p>0) 2py(p>0) －2py(p>0)
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(2)由 y2＝2x，得 p＝1，焦点 F12，0. 又|AB|＝2152，知 AB 的斜率存在(否则|AB|＝2)． 设直线 AB 的方程为 y＝kx－12(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将 y＝kx－12代入 y2＝2x，得 k2x2－(k2＋2)x＋k42＝0.(*) ∴x1＋x2＝1＋k22，
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抓
住
挖
２
掘
个
１
基
大
础
技
知
法
识
第七节 抛物线
点
掌 握 ３ 个 核 心 考 向
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第八节 曲线与方程[考情展望] 1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.考查利用直接法、定义法、代入法求轨迹方程.3.考查结合平面向量知识确定动点轨迹，并研究轨迹的有关性质．一、曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求动点轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标．2．写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}．3．用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0，并化简．4．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．三、曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1、C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1(x ，y )＝0F 2(x ，y )＝0的实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线【解析】 由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0或x －3＝1，∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4表示一条射线和一条直线．【答案】 D2．方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)的曲线形状是( )【解析】 由xy ＜0知，曲线在第二、四象限，故选C.【答案】 C3．若M 、N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN→＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 ∵PM →·PN→＝0， ∴PM ⊥PN ，∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．【答案】 A4．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 【解析】 由已知：|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．【答案】 D考向一 [157] 直接法求轨迹方程在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x ＝2的距离的3倍之和记为d .当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和．求点P 的轨迹C .【思路点拨】 设点p (x ，y )，根据已知条件列出点p 满足的方程，再讨论点p 的轨迹．【尝试解答】 设点P 的坐标为(x ，y )，则d ＝4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|.由题设，d ＝18＋x ，即4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|＝18＋x .①当x ＞2时，由①得(x －3)2＋y 2＝6－12x ，②化简得x 236＋y 227＝1.当x ≤2时， 由①得(x －3)2＋y 2＝3＋x ，③化简得y 2＝12x .故点P 的轨迹C 是由椭圆C 1：x 236＋y 227＝1在直线x ＝2的右侧部分与抛物线C 2：y 2＝12x 在直线x ＝2的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线，参见图．规律方法1 1.如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x ，y 的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法.2.求动点轨迹时应注意它的完备性.化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).对点训练 已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，图8－8－1且满足AC →·BC→＝0，设P 为弦AB 的中点，求点P 的轨迹方程． 【解】 连接CP 、OP ，由AC →·BC→＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |.由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9.设点p (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简，得到x 2－x ＋y 2＝4.考向二 [158] 定义法求轨迹方程图8－8－2如图8－8－2，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条动切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．【思路点拨】 设抛物线的焦点为F ，由抛物线定义和圆的切线性质，可得|AF |＋|BF |＝8，从而点F 的轨迹是椭圆，又当点F 与点A 、B 在一条直线上时，不合题意，故应除去两点．【尝试解答】 过点A 、B 、O 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′、B ′、O ′.∵|AO |＝|BO |，∴|AA ′|＋|BB ′|＝2|OO ′|＝8，设抛物线的焦点为F ，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝8，又|AB |＝4，∴点F 的轨迹在以点A 、B 为焦点的椭圆上，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则a 2＝42＝16，b 2＝42－22＝12，∴抛物线焦点的轨迹方程为x 216＋y 212＝1(x ≠±4)．规律方法2 1.解答本题时，易忽视点(－4,0)和(4,0)不合要求，致使答案错误．2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．对点训练 如图8－8－3所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，图8－8－3分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．【解】 (1)根据题意，知|P A |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点 轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .考向三 [159] 代入法(相关点法)求轨迹方程图8－8－4(2012·辽宁高考)如图8－8－4，动圆C1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．(2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【思路点拨】 (1)设出点A 的坐标，利用对称性表示S 矩形ABCD ，并确定矩形ABCD 面积取得最大值的条件，进而求出t 值．(2)点M 受点A 的变化制约，根据点A 满足的方程求出点M 的轨迹方程．【尝试解答】 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|，由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19(x 20－92)2＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，∴当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6.(2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，又曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 1上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．规律方法3 1.(1)本题的轨迹方程中，要求x ＜－3，y ＜0，求解时要结合几何性质和几何直观细心发掘.(2)求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程.2.相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P (x ，y )随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x ′、y ′表示成x 、y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，求出动点P 的轨迹方程.对点训练 已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 、Q 是双曲线上不同的两个关于x 轴的对称点．求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．【解】 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，∵A 1(－2，0)，A 2(2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋2＝y 1x 1＋2， ①y x －2＝－y 1x 1－2， ②②÷①整理得xx 1＝2，∴x ≠0，x 1＝2x ，将x 1＝2x 代入①得y 1＝2y x， ∵点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1，∴2x 2－2y 2x 2＝1，∴x 22＋y 2＝1，故轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．思想方法之二十一 分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的巧用 判断含参数的方程(二次)是哪种曲线类型时，往往需要进行分类讨论，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数的符号；二是二次项系数的大小，然后根据各种情况进行讨论．————[1个示范例]————[1个对点练]————(2011·湖北高考改编)平面内与两定点A1(－a,0)，A 2(a,0)(a ＞0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．【解】 设动点为M ，其坐标为(x ，y )，当x ≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )，又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m ＜－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1＜m ＜0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m ＞0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．已知向量OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)，动点M 到定直线y ＝1的距离等于d ，并且满足OM →·AM →＝k (CM →·BM→－d 2)，其中O 为坐标原点，k 为参数．求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型．【解】 (1)设M (x ，y )，则由OA→＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)，且O 为坐标原点，得A (2,0)，B (2,1)，C (0,1)．∴OM→＝(x ，y )，AM →＝(x －2，y )， CM→＝(x ，y －1)， BM→＝(x －2，y －1)，d ＝|y －1|. OM →·AM →＝k (CM →·BM →－d 2)，代入并整理得(1－k )x 2＋2(k －1)x ＋y 2＝0为所求轨迹方程．当k ＝1时，所求轨迹方程为y ＝0，是一条直线．若k ＝0时，所求方程为x 2－2x ＋y 2＝0，则为圆．当k ≠1时，(x －1)2＋y 21－k ＝1， 若0＜k ＜1或k ＜0时，则为椭圆；若k ＞1时，则为双曲线．。