数学2018年上海高考数学试题
2018年上海高考数学卷及答案
2018年上海卷高考真题数学试卷一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1.行列式的值为 ．2.双曲线的渐近线方程为 ．3.在的二项展开式中，项的系数为 ．（结果用数值表示）4.设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 ．5.已知复数满足（是虚数单位），则 ．6.记等差数列的前项和为，若，，则 ．7.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则．8.在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．9.有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是 ．（结果用最简分数表示）10.设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则．11.已知常数，函数的图像经过点、，若，则 ．12.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 ．二、选择题（每小题5分，共20分）13.A.B.C.D.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）．14.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若，则“”是“”的（ ）．15.A. B. C. D.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）．16.A.B.C.D.设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．（1）（2）设圆锥的母线长为，求圆锥的体积．设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小．18.（1）（2）设常数，函数．若为偶函数，求的值．若，求方程在区间上的解．19.（1）（2）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟）.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族的人均通勤时间的表达式．讨论的单调性，并说明其实际意义．20.（1）（2）（3）设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线：，与轴交于点，与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．用为表示点到点的距离．设，，线段的中点在直线上，求的面积．设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标．若不存在，说明理由．，21.（1）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．（2）（3）设是首项为，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由．设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数．已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．2018年上海卷高考真题数学试卷(详解)一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1.【答案】【解析】行列式的值为 ．3.【答案】【解析】在的二项展开式中，项的系数为 ．（结果用数值表示）二项式展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为．4.【答案】【解析】设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 ．∵常数，函数，的反函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，2.【答案】方法一：方法二：【解析】双曲线的渐近线方程为 ．双曲线的，，焦点在轴上，而双曲线的渐近线方程为．双曲线的渐近线方程为．渐近线：，故答案为：．解得．5.【答案】【解析】已知复数满足（是虚数单位），则 ．由题意得：，∴ ．6.【答案】【解析】记等差数列的前项和为，若，，则 ．，∴ ，．7.【答案】【解析】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则．由题意得：为奇函数，∴ 为奇数，又∵ 在递减，∴ ，故．8.【答案】方法一：方法二：【解析】在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．∵、在轴上，且，而、均在轴上，考虑到坐标轴的对称性，可设点在点的上方，设，则，则，，∴，∵函数的图象为开口向上的抛物线，∴则当时，有．故答案为：．根据题意，设，；∴；∴，或；且，；∴；当时，；∵的最小值为；∴的最小值为，同理求出时，的最小值为．故答案为：．9.【答案】【解析】有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是 ．（结果用最简分数表示）总共有两种情况，10.【答案】【解析】设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则．若，则，，；若，则，，．当时，极限不存在，显然不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，，．综上，．11.【答案】【解析】已知常数，函数的图像经过点、，若，则．由题意得：，∴，∴12.【答案】【解析】已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 ．设、，则、在单位圆上．，，，，，，，为正三角形，为、两点到直线：的距离和．取中点，过点作于点．根据梯形中位线可得．，点在圆上运动，故点到直线的最大距离为，．二、选择题（每小题5分，共20分）13.A.B.C.D.【答案】【解析】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）．C椭圆的焦点坐标在轴，，是椭圆上的动点，由椭圆的定义可知：则到该椭圆的两个焦点的距离之和为．故选．14.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则“”是“”的（ ）．A ，则“”“”，“”“或”，∴“”是“”的充分非必要条件．故选．15.A.B. C. D.【答案】【解析】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）．D根据正六边形的性质，则，满足条件，而，，，，和一样，有，当为底面矩形，有个满足题意，当为底面矩形，有个满足题意，故有，故选：．16.A.B.C.D.【答案】【解析】设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）．B 设处的点为，若逆时针旋转后与原图象重合，则旋转后的图象上的对应点，同时有的对应点，以此类推，则对应的图象可以为一个圆周上的等分的个点．当取值为时，点在图象上，点也在图象上，此时，时，有两个的值与之对应，不符合函数定义．同理，和亦不符合函数定义．故选．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．/（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设圆锥的母线长为，求圆锥的体积．设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小．．．，∴．取的中点，∴等价于求．，∴ ∴ ．18.（1）（2）（1）（2）【答案】设常数，函数．若为偶函数，求的值．若，求方程在区间上的解．．．/（1）（2）【解析】由题意得：，，∴，∴解得．，∴．此时∴，∴在区间的解为：．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟）.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族的人均通勤时间的表达式．讨论的单调性，并说明其实际意义．．，在上单调递减，在上单调递增，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间增加．由题意得：，即，解得．由题意得：，∴，当时，单调递减．当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上所述：，在上单调递减，在上单调递增，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间增加．20.设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线：，与轴交于点，与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．，/（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】用为表示点到点的距离．设，，线段的中点在直线上，求的面积．设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标．若不存在，说明理由．．．存在，．由题意得：为抛物线的焦点，∴．由题意得：，直线的方程为，，∴解得，∴存在，设，∴，∴直线的方程为，∴，，根据,解得：在抛物线上，∴解得，∴．21.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）【解析】给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．设是首项为，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由．设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数．已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．接近，理由见解析．．．由题意得：，∴，或（2）（3）∴，∴数列与接近．由题意得：，则，因此至少有个元素，至多有个元素，当且仅当或时，为个元素．由题意得：，∴，∴，两式相加得：，∴；若，即时，对任意的，均有，不合舍弃．下证明当时，存在满足题意：取，则，因此必为正，符合题意，证毕．/。
2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)
2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x²项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）7
中有
Tr+1=
C7r
xr
，故当
r=2
时，
C72
=
7
2
6
=21
【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 a b n 第 r+1 项为 Tr+1= Cnranrbr 。
3
当|q|<1
时，
lim
n
1
qn 1
qn
q
(舍)
【分析】 Sn
a1 a1qn 1 q
（等比数列前
n
项和公式）
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数
a
>0，函数
f
(x)
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F 是 y 轴上的两个动点，且
| EF |=2，则 AE · BF 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设 E(0，y1)，F(0，y2)，又 A（-1，0），B（2，0），
y1
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．＞1”是“＜1”的（）14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“ａA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，∴“ａ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ＝==．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+）7的二项展开式中，²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+）7中有T r+1=7r rC x ，故当r=2时，27C =762⨯=21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣∣= 。
2018年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析
2018年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4.00分)行列式的值为.2.(4.00分)双曲线－y2＝1的渐近线方程为.3.(4.00分)在(1＋x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).4.(4.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝1og2(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a ＝.5.(4.00分)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位),则|z|＝.6.(4.00分)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3＝0,a6＋a7＝14,则S7＝.7.(5.00分)已知α∈{－2,－1,－,1,2,3},若幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,则α＝.8.(5.00分)在平面直角坐标系中,已知点A(－1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||＝2,则的最小值为.9.(5.00分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.(5.00分)设等比数列{an }的通项公式为an＝q n－1(n∈N*),前n项和为Sn.若＝,则q＝.11.(5.00分)已知常数a＞0,函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p＋q＝36pq,则a＝.12.(5.00分)已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,则＋的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5.00分)设P是椭圆＝1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A.2B.2C.2D.414.(5.00分)已知a∈R,则“a＞1”是“＜1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.(5.00分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1为底面矩形的一边,是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.1616.(5.00分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A. B. C. D.0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14.00分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO＝4,OA、OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(14.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝asin2x＋2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值；(2)若f()＝＋1,求方程f(x)＝1－在区间[－π,π]上的解.19.(14.00分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 20.(16.00分)设常数t ＞2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F(2,0),直线l ：x ＝t,曲线Γ：y 2＝8x(0≤x ≤t,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B.P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3,|FQ|＝2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积； (3)设t ＝8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点E 在Γ上？若存在,求点P 的坐标；若不存在,说明理由.21.(18.00分)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *,都有|b n －a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为的等比数列,b n ＝a n ＋1＋1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近,且在b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4.00分)行列式的值为18 .【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解：行列式＝4×5－2×1＝18.故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4.00分)双曲线－y2＝1的渐近线方程为±.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解：∵双曲线的a＝2,b＝1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4.00分)在(1＋x)7的二项展开式中,x2项的系数为21 (结果用数值表示).【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式(1＋x)7展开式的通项公式为＝•x r,Tr＋1令r＝2,得展开式中x2的系数为＝21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝1og(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a2＝7 .【分析】由反函数的性质得函数f(x)＝1og2(x＋a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解：∵常数a∈R,函数f(x)＝1og2(x＋a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)＝1og2(x＋a)的图象经过点(1,3),∴log2(1＋a)＝3,解得a＝7.故答案为：7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4.00分)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位),则|z|＝ 5 .【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由(1＋i)z＝1－7i,得,则|z|＝.故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4.00分)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3＝0,a6＋a7＝14,则S7＝14 .【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1＝－4,d＝2,由此能求出S7.【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn,a3＝0,a6＋a7＝14,∴, 解得a1＝－4,d＝2,∴S7＝7a1＋＝－28＋42＝14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5.00分)已知α∈{－2,－1,－,1,2,3},若幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,则α＝－1 .【分析】由幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,得到a是奇数,且a＜0,由此能求出a的值.【解答】解：∵α∈{－2,－1,－,1,2,3},幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,∴a是奇数,且a＜0,∴a＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5.00分)在平面直角坐标系中,已知点A(－1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||＝2,则的最小值为－3 .【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a－b|＝2,即a＝b＋2,或b＝a＋2,并可求得,将a＝b＋2带入上式即可求出的最小值,同理将b＝a＋2带入,也可求出的最小值.【解答】解：根据题意,设E(0,a),F(0,b)；∴；∴a＝b＋2,或b＝a＋2；且；∴；当a＝b＋2时,；∵b2＋2b－2的最小值为；∴的最小值为－3,同理求出b＝a＋2时,的最小值为－3.故答案为：－3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5.00分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可. 【解答】解：编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2；2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为：＝10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5,3,1或5,2,2两个,所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝,故答案为：.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5.00分)设等比数列{an }的通项公式为an＝q n－1(n∈N*),前n项和为Sn.若＝,则q＝ 3 .【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解：等比数列{an }的通项公式为a＝q n－1(n∈N*),可得a1＝1,因为＝,所以数列的公比不是1,,an＋1＝q n.可得＝＝＝＝,可得q＝3.故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5.00分)已知常数a＞0,函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p＋q＝36pq,则a＝ 6 .【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解：函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).则：,整理得：＝1,解得：2p＋q＝a2pq,由于：2p＋q＝36pq,所以：a2＝36,由于a＞0,故：a＝6.故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5.00分)已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,则＋的最大值为＋.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),＝(x1,y1),＝(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB＝1,＋的几何意义为点A,B两点到直线x＋y－1＝0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),＝(x1,y1),＝(x2,y2),由x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,可得A,B两点在圆x2＋y2＝1上,且•＝1×1×cos∠AOB＝,即有∠AOB＝60°,即三角形OAB为等边三角形,AB＝1,＋的几何意义为点A,B两点到直线x＋y－1＝0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x＋y＝1平行,可设AB：x＋y＋t＝0,(t＞0),由圆心O到直线AB的距离d＝,可得2＝1,解得t＝,即有两平行线的距离为＝,即＋的最大值为＋,故答案为：＋.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5.00分)设P是椭圆＝1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A.2B.2C.2D.4【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解：椭圆＝1的焦点坐标在x轴,a＝,P是椭圆＝1上的动点,由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝2.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5.00分)已知a∈R,则“a＞1”是“＜1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”,“”⇒“a＞1或a＜0”,由此能求出结果.【解答】解：a∈R,则“a＞1”⇒“”,“”⇒“a＞1或a＜0”,∴“a＞1”是“”的充分非必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5.00分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1为底面矩形的一边,是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质,则D1－A1ABB1,D1－A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×6＝12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12＋2＋2＝16故选：D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5.00分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A. B. C. D.0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)＝,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x＝0或者x＝1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x＝,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14.00分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO＝4,OA、OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V＝＝＝.(2)∵PO＝4,OA,OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),＝(1,1,－4),＝(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ＝＝＝.∴θ＝arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝asin2x＋2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值；(2)若f()＝＋1,求方程f(x)＝1－在区间[－π,π]上的解.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)∵f(x)＝asin2x＋2cos2x,∴f(－x)＝－asin2x＋2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),∴－asin2x＋2cos2x＝asin2x＋2cos2x,∴2asin2x＝0,∴a＝0；(2)∵f()＝＋1,∴asin＋2cos2()＝a＋1＝＋1,∴a＝,∴f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1,∵f(x)＝1－,∴2sin(2x＋)＋1＝1－,∴sin(2x＋)＝－,∴2x＋＝－＋2kπ,或2x＋＝π＋2kπ,k∈Z,∴x＝－π＋kπ,或x＝π＋kπ,k∈Z,∵x∈[－π,π],∴x＝或x＝或x＝－或x＝－【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14.00分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 【分析】(1)由题意知求出f(x)＞40时x的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解；(1)由题意知,当30＜x＜100时,f(x)＝2x＋－90＞40,即x2－65x＋900＞0,解得x＜20或x＞45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x≤30时,g(x)＝30•x%＋40(1－x%)＝40－；当30＜x＜100时,g(x)＝(2x＋－90)•x%＋40(1－x%)＝－x＋58；∴g(x)＝；当0＜x＜32.5时,g(x)单调递减；当32.5＜x＜100时,g(x)单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16.00分)设常数t＞2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l：x＝t,曲线Γ：y2＝8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t＝3,|FQ|＝2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积；(3)设t＝8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上？若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由.【分析】(1)方法一：设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义,即可求得|BF|；(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积；(3)设P及E点坐标,根据直线kPF •kFQ＝－1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据＋＝,求得E点坐标,则()2＝8(＋6),即可求得P点坐标. 【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B(t,2t),则|BF|＝＝t＋2,∴|BF|＝t＋2；方法二：由题意可知：设B(t,2t),由抛物线的性质可知：|BF|＝t＋＝t＋2,∴|BF|＝t＋2；(2)F(2,0),|FQ|＝2,t＝3,则|FA|＝1,∴|AQ|＝,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF＝＝－,则直线PF方程：y＝－(x－2),联立,整理得：3x2－20x＋12＝0,解得：x＝,x＝6(舍去),∴△AQP的面积S＝××＝；(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF ＝＝,kFQ＝,直线QF 方程为y ＝(x －2),∴y Q ＝(8－2)＝,Q(8,),根据＋＝,则E(＋6,),∴()2＝8(＋6),解得：y 2＝,∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点E 在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18.00分)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *,都有|b n －a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为的等比数列,b n ＝a n ＋1＋1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近,且在b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断；(2)由新定义可得a n －1≤b n ≤a n ＋1,求得b i ,i ＝1,2,3,4的范围,即可得到所求个数； (3)运用等差数列的通项公式可得a n ,讨论公差d ＞0,d ＝0,－2＜d ＜0,d ≤－2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围. 【解答】解：(1)数列{b n }与{a n }接近. 理由：{a n }是首项为1,公比为的等比数列,可得a n ＝,b n ＝a n ＋1＋1＝＋1,则|b n －a n |＝|＋1－|＝1－＜1,n ∈N *,可得数列{b n }与{a n }接近；(2){b n }是一个与{a n }接近的数列, 可得a n －1≤b n ≤a n ＋1,数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8, 可得b 1∈[0,2],b 2∈[1,3],b 3∈[3,5],b 4∈[7,9],可能b 1与b 2相等,b 2与b 3相等,但b 1与b 3不相等,b 4与b 3不相等, 集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4}, M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近, 可得a n ＝a 1＋(n －1)d,①若d ＞0,取b n ＝a n ,可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中有200个正数,符合题意； ②若d ＝0,取b n ＝a 1－,则|b n －a n |＝|a 1－－a 1|＝＜1,n ∈N *,可得b n ＋1－b n ＝－＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中有200个正数,符合题意； ③若－2＜d ＜0,可令b 2n －1＝a 2n －1－1,b 2n ＝a 2n ＋1, 则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中恰有100个正数,符合题意； ④若d ≤－2,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近, 即为a n －1≤b n ≤a n ＋1,a n ＋1－1≤b n ＋1≤a n ＋1＋1, 可得b n ＋1－b n ≤a n ＋1＋1－(a n －1)＝2＋d ≤0,b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中无正数,不符合题意. 综上可得,d 的范围是(－2,＋∞). 【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海高考数学真题及答案2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1.（4分）（2018•上海）行列式的值为18.考点】二阶行列式的定义。
分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可。
解答】解：行列式为：故答案为：18.点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查。
2.（4分）（2018•上海）双曲线的方程为x^2/4-y^2/1=1，渐近线方程为y=±2x。
考点】双曲线的性质。
分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程。
解答】解：由双曲线方程得：又由双曲线的性质可知，a=2，b=1，焦点在x轴上。
因此，渐近线方程为y=±2x。
点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想。
3.（4分）（2018•上海）在（1+x）^7的二项展开式中，x^2项的系数为21.考点】二项式定理。
分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x^2的系数。
解答】解：二项式（1+x）^7展开式的通项公式为：T(r+1)=C(7,r)x^r因此，x^2的系数为C(7,2)=21.故答案为：21.点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题。
4.（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f(x)=log2(x+a)。
若f(x)的反函数的图象经过点（3，1），则a=7.考点】反函数。
分析】由反函数的性质得函数f(x)=log2(x+a)的图象经过点（1，3），由此能求出a。
解答】解：由题意可得，f(x)的反函数的图象经过点（3，1）。
因此，函数f(x)=log2(x+a)的图象经过点（1，3）。
由此可得：log2(1+a)=3解得a=7.故答案为：7.点评】本题考查了反函数的性质，需要注意对数函数的定义域和值域，以及反函数和原函数的图象关系。
5.（4分）（2018•上海）已知向量a=(2，1，-1)，b=(1，-1，2)，则a×b的模长为√14.考点】向量的叉乘。
2018年上海高考数学真题和答案
-----2018 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.的值为18分）（4 2018? 上海）行列式．1．（：二阶行列式的定义．OM 【考点】：矩阵和变换．：综合法；5R 【专题】11 ：计算题；49直接利用行列式的定义，计算求解即可．【分析】解：行列式【解答】．2×1=18 =4×5﹣．18故答案为：本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．【点评】2．±的渐近线方程为上海）双曲线﹣y=12．（4 分）（2018?【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上的渐近线方程为y= 而双曲线±∴双曲线的渐近线方程为y=±±y=故答案为：【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐....----------近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想72项的系数为）的二项展开式中，x3．（4 分）（2018? 上海）在（1+x 21 （结果用数值表示）．【考点】DA ：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O ：定义法；5P ：二项式定理．2利用二项式展开式的通项公式求得展开式中【分析】的系数．x7展开式的通项公式为解：二项式（1+x ）【解答】r =T，?x r+12的系数为，得展开式中x 令r=2=21 ．．故答案为：21【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4 分）（2018? 上海）设常数a ∈R，函数f （x）=1og （x+a ）．若f（x）的2反函数的图象经过点（3，1），则a= 7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O ：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og（x+a ）的图象经过点（1，3），2由此能求出 a ．【解答】解：∵常数 a ∈R，函数f（x）=1og （x+a ）．2f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og （x+a ）的图象经过点（1，3），2....----------∴log （1+a ）=3 ，2解得a=7 ．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4 分）（2018? 上海）已知复数z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则|z|=5．【考点】A8 ：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，．则|z|=故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4 分）（2018? 上海）记等差数列{a }的前n 项和为S ，若a =0，a +a =14，763nn则S= 14 ．7【考点】85：等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；54 ：等差数列与等比数列．....----------【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a =﹣4，d=2 ，由此能求出1S．7【解答】解：∵等差数列{a } 的前n 项和为S ，a =0 ，a +a =14 ，7n3n6∴，解得a =﹣4，d=2 ，1∴S=7a +=﹣28+42=14 ．17故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5 分）（2018? 上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数fα 1 ．α= ﹣0x）=x为奇函数，且在（，+∞）上递减，则（4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【考点】51 ：函数的性质及应：方程思想；4O ：定义法；11 【专题】：计算题；34用．α是奇数， a ，+∞）上递减，得到）=x 为奇函数，且在（0【分析】由幂函数f（x且a ＜0，由此能求出 a 的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，α∞）上递减，+ 0，=x 幂函数f（x）为奇函数，且在（∴a 是奇数，且 a ＜0，∴a= ﹣1．故答案为：﹣1．....----------【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5 分）（2018? 上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F 是y 轴上的两个动点，且||=2 ，则的最小值为﹣3．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a ），F（0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2 ，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a ），F（0，b ）；∴；∴a=b+2 ，或b=a+2 ；且；；∴当a=b+2；时，2的最小值为﹣2 ∵；b +2b的最小值为﹣3，同理求出∴b=a+2时，．3的最小值为﹣故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5 分）（2018? 上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、 1 克砝....----------码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．9 克的事件总数，然后求出三个砝码的总质量为【分析】求出所有事件的总数，求解概率即可．5 克、3克、1 克砝码各一个，2解：编号互不相同的五个砝码，其中【解答】克砝码两个，从中随机选取三个， 3 个数中含有 1 个2；2 个2，没有2，3 种情况，=10 ，所有的事件总数为：9 克的事件只有：5，3，1 或5，2，2 两个，这三个砝码的总质量为所以：这三个砝码的总质量为9 克的概率是：= ，．故答案为：【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．*n1﹣的通项公式为分）（2018? 上海）设等比数列{a } ．（10 5 ），前∈Nn a =q （n n．q=3，则项和为n S ．若=n【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．....----------n1﹣a解：等比数列{a } 的通项公式为【解答】，），可得 a =1 =q （n∈N* n1，1因为=，所以数列的公比不是n．=q ，a n+1可得====，可得q=3 ．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5 分）（2018? 上海）已知常数a ＞0，函数f（x）=的图象经过点Pp+q=36pq，则a=，）．若26．（p ，），Q （q【考点】3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【解答】解：函数 f （x）=的图象经过点P（p ，），Q（q，）．则：，整理得：=1 ，2p+q =a pq 解得：2，....----------p+q =36pq ，由于：22，=36所以：a，0由于a ＞故：a=6 ．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．2222，=1 +y y 满足：x+y =1，x、12．（5 分）（2018? 上海）已知实数xx、y 、22112121xx+y y =，则+的最大值为+．2211【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设 A （x ，y ），B（x，y ），=（x，y），=（x，y ），由圆的方22122111OAB程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离d 与d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．21【解答】解：设 A （x，y ），B（x ，y ），2121=（x ，y ），=（x，y ），11222222由x+y =1，x +y =1 ，xx+y y =，2121212122可得 A ，B 两点在圆x+y =1 上，且? =1 ×1×cos ∠AOB=，即有∠AOB=60°，....----------即三角形OAB 为等边三角形，AB=1 ，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0 的距离 d 与 d 之和，21显然 A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1 平行，可设AB ：x+y+t=0 ，（t ＞0），d= AB 的距离由圆心O 到直线，可得2=1 ，解得t=，即有两平行线的距离为，=的最大值为+，+即故答案为：．+【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有 4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5 分）（2018? 上海）设P 是椭圆=1 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）D．4A．2B．2C ．2【考点】K4：椭圆的性质．....----------【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1 的焦点坐标在x 轴，a=，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为．2a=2故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5 分）（2018? 上海）已知a ∈R，则“a ＞1”是“＜）”的（1A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C ．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”? “”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解： a ∈R，则“a＞1”? “”，“”? “a＞1 或a ＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．....----------【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15 ．（5 分）（2018? 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱1）柱的顶点为顶点、以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（1A．4 B．8C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D﹣A ABB ，D﹣A AFF 满足题意，而111111C ，E，C ，D，E，和D 一样，有2×6=12 ，111当A ACC 为底面矩形，有 2 个满足题意，11当A AEE 为底面矩形，有 2 个满足题意，11故有12+2+2=16故选：D．....----------【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5 分）（2018? 上海）设D 是含数1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，）的可能取值只能是（（1f）0A．．D．B．C【考点】3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．直接利用定义函数的应用求出结果．【分析】12 个点为一组，每次绕原点逆时解：由题意得到：问题相当于圆上由【解答】个单位后与下一个点会重合．针旋转，0 1f （）=时，此时得到的圆心角，我们可以通过代入和赋值的方法当，0，然而此时x=0 或者x=1 时，都有 2 个y 与之对应，而我们知道，为x 只能对应一个y，因此只有当x=，函数的定义就是要求一个，此时旋转．，因此答案就选：B此时满足一个x 只会对应一个y．故选：B【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．....----------三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17．（14 分）（2018? 上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O ，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4 ，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°M，为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．....----------（2）∵PO=4 ，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB=90°，的中点，AB M 为线段轴，为z x 轴，OB 为y 轴，OP ∴以O 为原点，OA 为建立空间直角坐标系，），，0（2，0，0），B（0，2AP（0，0，4），00，），），O（0，0M（1，1，），，﹣（1，14=），0，02，=（，θOB 设异面直线PM 与所成的角为．=θ则cos ==．=arccos∴θ．arccos OB 所成的角的为PM ∴异面直线与【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．18．（=asin2x+2cos ）x（fR∈a 上海）设常数2018? 分）（14 ，函数x....----------（1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；（2）若 f （）=+1 ，求方程f（x）=1 ﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求2x，x）=asin2x+2cos 出．【解答】解：（1）∵ f （2，﹣asin2x+2cos x∴f（﹣x）=（x）为偶函数，∵f），x）=f（∴f（﹣x22x=asin2x+2cos x，∴﹣asin2x+2cos∴2asin2x=0 ，a=0 ；∴（2）∵f（）= +1 ，2（+2cos ）=a+1=∴asin+1 ，a=∴，2 x=）= sin2x+2cos ∴f（xsin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1 ，∵f（x）=1 ﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴2x+ =﹣+2k π，或2x+ =π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，....----------∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14 分）（2018? 上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x）的表达式；讨论g （x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f （x）＞40 时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x）的解析式，判断g （x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100 时，f（x）=2x+﹣90＞40，....----------2，＞0x﹣65x+900 即，＞45＜20 或x解得x）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；，100 ∴x∈（45时，≤30 x 2）当0＜（g （x）=30?x%+40（1﹣x%）=40 ﹣；当30＜x＜100 时，g （x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58 ；∴g （x）=；当0＜x＜32.5 时，g （x）单调递减；当32.5 ＜x＜100 时，g （x）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5% 的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5% 时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16 分）（2018? 上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F2、轴交于点A ）．l 与x 00 =8x（≤x≤t，y≥：x=t 0（2，），直线l：，曲线Γy与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设t=3 ，|FQ|=2 ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；....----------（3）设t=8 ，是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF| ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF| ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面。
2018年上海市高考数学试题有答案
2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
2018年上海市高考数学试卷（含解析版）
1 2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z 满足（1+i ）z=1﹣7i （i 是虚数单位），则，则||z |=．6．（4分）记等差数列分）记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且上的两个动点，且|||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列分）设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1（n ∈N *），前n 项和为Sn ．若=，则q=．11．（5分）已知常数a ＞0，函数f （x ）=的图象经过点P （p ，），Q （q ，）．若2p +q =36pq ，则a=．12．（5分）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）设P 是椭圆=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（和为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．414．（5分）已知a ∈R ，则“a ＞1”是“＜1”的（的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 16．（5分）设D 是含数1的有限实数集，f （x ）是定义在D 上的函数，若f （x ）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（能取值只能是（ ）A ．B ．C ．D ．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；上的解．（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间在区间[[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．并说明其实际意义．20．（16分）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点． （1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列分）给定无穷数列{{a n}，若无穷数列，都有||b n，若无穷数列{{b n}满足：对任意n∈N*，都有，则称{{b n}与{a n}“接近”．﹣a n|≤1，则称，判断数列{{b n}）设{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列（1）设是否与{{a n}接近，并说明理由；是否与（2）设数列是一个与{{a n}接近）设数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；满足：{{b n}与{a n}接近，的等差数列，若存在数列{{b n}满足：（3）已知）已知{{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）行列式的值为的值为 18 ．【考点】OM ：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；49：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为的渐近线方程为 ±．【考点】KC ：双曲线的性质． 【专题】11：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，双曲线的几何意义，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为项的系数为 21 （结果用数值表示）．【考点】DA ：二项式定理．【专题】38：对应思想；4O ：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数． 【解答】解：二项式（1+x ）7展开式的通项公式为 T r +1=•x r，令r=2，得展开式中x 2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R ：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O ：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】由反函数的性质得函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3），由此能求出a ．【解答】解：∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）． f （x ）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3）， ∴log 2（1+a ）=3， 解得a=7． 故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查函数的性质等基础知识，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z 满足（1+i ）z=1﹣7i （i 是虚数单位），则，则||z |= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i ）z=1﹣7i ， 得，则|z |=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列分）记等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，利用等差数列通项公式列出方程组，求出求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【解答】解：∵等差数列解：∵等差数列{{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14， ∴，解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+=﹣28+42=14． 故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】4U ：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值． 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查幂函数的性质等基础知识，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且上的两个动点，且|||=2，则的最小值为的最小值为 ﹣3 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用． 【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出，从而得出||a ﹣b |=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得，将a=b +2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴；∴a=b +2，或b=a +2； 且；∴；当a=b +2时，；∵b 2+2b ﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】求出所有事件的总数，求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，克的事件总数，然后然后求解概率即可． 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列分）设等比数列{{a n }的通项公式为a n =q n ﹣1（n ∈N *），前n 项和为S n ．若=，则q= 3 ．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列解：等比数列{{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p +q=a 2pq ， 由于：2p +q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为的最大值为 + ．【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式． 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且•=1×1×cos ∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y=1平行， 可设AB ：x +y +t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，以及圆的方程和运用，以及圆的方程和运用，考查点考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）设P 是椭圆=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（和为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x 轴，a=，P 是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，椭圆的定义的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考是基本知识的考查．14．（5分）已知a ∈R ，则“a ＞1”是“＜1”的（的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】“a ＞1”⇒“”，“”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a ∈R ，则“a ＞1”⇒“”，“”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A．4B．8C．12D．16【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5O：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）能取值只能是（A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a ∈R ，函数f （x ）=asin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （）=+1，求方程f （x ）=1﹣在区间在区间[[﹣π，π]上的解．【考点】GP ：两角和与差的三角函数；GS ：二倍角的三角函数． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R ：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵f （x ）=asin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）=﹣asin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ），∴﹣asin2x +2cos 2x=asin2x +2cos 2x ， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f （）=+1，∴asin +2cos 2（）=a +1=+1，∴a=，∴f （x ）=sin2x +2cos 2x=sin2x +cos2x +1=2sin （2x +）+1，∵f （x ）=1﹣， ∴2sin （2x +）+1=1﹣，∴sin （2x +）=﹣，∴2x +=﹣+2kπ，或2x +=π+2kπ，k ∈Z ，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k ∈Z ，∵x ∈[﹣π，π]， ∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B ：分段函数的应用．【专题】12：应用题；33：函数思想；4C ：分类法；51：函数的性质及应用． 【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时， f （x ）=2x +﹣90＞40，即x 2﹣65x +900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x ＜100时， g （x ）=（2x +﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x +58；∴g （x ）=；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、也考查了分类讨论与分析问题、解决解决问题的能力．20．（16分）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点． （1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN ：直线与抛物线的综合．【专题】35：转化思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得||BF |；方法二：根据抛物线的定义，即可求得方法二：根据抛物线的定义，即可求得||BF |；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线k PF •k FQ =﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据+=，求得E 点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B （t ，2t ），则|BF |==t +2， ∴|BF |=t +2；方法二：由题意可知：设B （t ，2t ）， 由抛物线的性质可知：由抛物线的性质可知：||BF |=t +=t +2，∴，∴||BF |=t +2；（2）F （2，0），|FQ |=2，t=3，则，则||FA |=1，∴|AQ |=，∴Q （3，），设OQ 的中点D ，D （，）， k QF ==﹣，则直线PF 方程：y=﹣（x ﹣2），联立，整理得：3x 2﹣20x +12=0， 解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP 的面积S=××=； （3）存在，设P （，y ），E （，m ），则k PF ==，k FQ =，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列分）给定无穷数列{{a n}，若无穷数列，若无穷数列{{b n}满足：对任意n∈N *，都有，都有||b n﹣a n|≤1，则称，则称{{b n}与{a n}“接近”．（1）设）设{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列，判断数列{{b n}是否与是否与{{a n}接近，并说明理由；（2）设数列）设数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知）已知{{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列的等差数列，若存在数列{{b n}满足：满足：{{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列）数列{{b n}与{a n}接近．理由：理由：{{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N *，可得数列可得数列{{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与是一个与{{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列数列{{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列的等差数列，若存在数列{{b n}满足：满足：{{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则，则||b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N *，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意；④若d ≤﹣2，若存在数列，若存在数列{{b n }满足：满足：{{b n }与{a n }接近，即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n +1﹣1≤b n +1≤a n +1+1，可得b n +1﹣b n ≤a n +1+1﹣（a n ﹣1）=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
2018上海高考数学真题与答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式°】=4X 5-2X1=18.2 5故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线匚-y2=1的渐近线方程为.【考点】KC双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.2 °【解答】解：•双曲线］「—1的a=2, b=1，焦点在x轴上2 2 ,而双曲线-^7；- -1的渐近线方程为y=±—芷a2 b3 a2双曲线/二1的渐近线方程为y=±y X■ £故答案为：y=± —【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式（1+x） 4 5 6展开式的通项公式为T r+1='〔？乂,令r=2，得展开式中x2的系数为c2=21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4 分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R反函数.【专题】11 :计算题；33 :函数思想；40:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,••• Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.4（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则|z| =5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,则|Z|= • 4 ■-故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S,若a3=0, a e+a7=14, 贝U S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；54 :等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=- 4, d=2,由此能求出S7. 【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3=0, a e+a7=14,If ai+2d=0a 严d二14L 1 1解得a1= - 4, d=2,3=7屛i=- 28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 7且a v0,由此能求出a的值.【解答】解:：a { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},7（5 分）（2018?上海）已知a€ ｛- 2,- 1,-二，y , 1, 2 , 3｝，若幕函数f （x）=X a为奇函数，且在（0, +X）上递减，则a= - 1 .【考点】4U:幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；4O:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由幕函数f （x）=x a为奇函数，且在（0, +7 上递减，得到a是奇数，幕函数f (x) =x"为奇函数，且在(0, +x)上递减，二a是奇数，且a v0,--a=— 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点A (- 1, 0)、B( 2, 0),i ■】耳 * ■E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2,贝U 的最小值为-3 .【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 :向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a-b| =2, 即卩a=b+2，或并可求得- • •，将a=b+2带入上式即可求出2'- - 1F的最小值,b=a+2,同理将b=a+2带入，也可求出的最小值.【解答】解：根据题意，设E (0, a), F (0, b);I-:;••• a=b+2,或b=a+2；且厂门・..「—，:；-.-..；当a=b+2时，…丨，—I | ：；v b2+2b - 2的最小值为二：;；•••垃•甬的最小值为-3，同理求出b=a+2时，瓦•祈的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.【考点】CB古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 :综合法；51 :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2; 2个2,没有2, 3种情况，所有的事件总数为：C ；=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3，1或5, 2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：吕士，10 5故答案为：丄.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q nr （n € N*），前n 项和为S n .若'II —，则q= 3 .nr w a n-+l 2【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 : 点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可.【解答】解：等比数列｛a n｝的通项公式为a =q n一1（n€ N*），可得a1=1，H因为： ------ -- ，所以数列的公比不是1,n-^^a n+l 戈；-,a n+i =q n . 口1-Q1 n1-q2网+2卩典+2口亦a 2pq解得：2^q =a i 2pq ， 由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36， 由于a >0, 故：a=6.可得1 ■ l-q inn ----- L g (1_Q)Q=H IT严8 L-<1 =1 a a-1 2 可得q=3. 故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用， 等比数列求和以及等比数列的 简单性质的应用，是基本知识的考查.11. （5分）（2018?上海）已知常数a >0,函数f （x ）= ”2s fax£）, Q （q ，卡）•若 2p+q =36pq ，则 a= 6 .【考点】3A :函数的图象与图象的变换.的图象经过点P （p ，【专题】 35 :转化思想；51 :函数的性质及应用. 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值.的图象经过点P （p ，—），Q （q ，丄）.【分析】2p +ap 2 Q +aq故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12. (5 分)(2018?上海)已知实数 x i 、X 2、y i 、y 2满足：x i 2+y i 2=1, X 22+y 22=1, x i X 2+y i y 2丄，贝U ： |一'的最大值为.】+.「；.【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式. 【专题】35 :转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), 0A = (x i , y i ), 0& = (X 2, y 2),由圆的方程即有/ AOB=60,即三角形OAB 为等边三角形,到直线x+y - i=0的距离d i 与d 2之和，显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=i 平行, 可设 AB ： x+y+t=0, (t > 0),和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=i , I 蛊］+ ¥厂11 + II 七+ y厂11的几何意义为点A , B 两点到直线x+y -仁0的距离d i与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (X i , y i ), B (X 2, y 2),'-■= (X i , y i ), L..j = (X 2, y 2),由 x i 2+y i 2=i ,2 2X 22+y 22=i , x i x 2+y i y 2〒,可得A , B 两点在圆x 2+y 2=i 上,1七4坯11近B 两点由圆心O 到直线AB 的距离且-?>=i x i x cos /AB=1,的几何意义为点A ,故答案为：一 7+ :;.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点 与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. （5分）（2018?上海）设P 是椭圆 44 =1上的动点，贝u P 到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（）A. 2 :?B. 2 二C. 2 仃D. 4. ■: 【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a,接利用椭圆的定义，转 化求解即可.2 2|【解答】解：椭圆％+^厂=1的焦点坐标在x 轴，a 卫，5 J2 2P 是椭圆1 I - =1上的动点，由椭圆的定义可知：贝U P 到该椭圆的两个焦点的5 3 距离之和为2a=2.・. 故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用，是基本知识的考 查.即有两平行线的距离为1：=：：＞V2 2I| +1 Jtg+yg-l |~?2雹的最大值为:■:+ ■；,14. （5 分）（2018?上海）已知a€ R,贝1”是“<1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.土”？“a1 或a v 0”a故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识, 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；50 :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1 - A1ABB，D1- A1AFF满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12,当A1ACC为底面矩形，有2个满足题意，当A i AEE为底面矩形，有2个满足题意,【分析】aT? “a1 或a v0”,由此能求出结果.解：a€ R,贝U “a 1”？“厂Ia“a 1 "是a故有12+2+2=16故选：D.Di Ci【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. (5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集，f (x)是定义在D上的函数，若f (x)的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A. . ；B.二C. —D. 0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想；51 :函数的性质及应用；56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转丄个单位后与下一个点会重合.6我们可以通过代入和赋值的方法当f (1) = ^ —，0时，此时得到的圆心角为—,，0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数5 6的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=L，此时旋转一，此时2 &满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO=4,OA、OB是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，如图•求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角；L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF: 棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)v圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4, I 圆锥的体积V二〕一…■- L •- ■'1I3~.(2)v PO=4, OA, OB 是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，•••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0),M (1,1, 0), O (0, 0, 0),PH= (1,1,—4), 0B= (0, 2, 0),设异面直线PM与OB所成的角为9,os .6•••异面直线PM与0B所成的角的为【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.18. (14分)(2018?上海)设常数a€ R,函数f (x) =asin2>+2coSx.(1)若f (x)为偶函数，求a的值；(2)若f (弓T =胚+1，求方程f (x) =1-厲在区间［-n, n上的解.【考点】GP两角和与差的三角函数；GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)： f (x) =asin2x+2cos2x,• f ( —x) =—asin2x+2cos2x,= pJ*o5 |2|n p| OB1届・26则cos9二9 =arccarccos6••• f (x )为偶函数， ••• f (- x ) =f (x ),•••- asin2x+2coEx=asin2x^2cos 2x , • 2as in 2x=0, • a=0; (2)T f () = ：-+1 ,4• asi 』^+2cos 2 (工)=a+仁岛+1 ,2 4 • a=：,• f (x ) =_ _;sin2X +2CO E X = ；sin2x+cos2x+ 仁2sin (2x^—) +1,&T f (x ) =1 -^2,19. （14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从 居住地到工作地的平均用时•某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤.分析显示：当S 中x% （0v x v 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时 间为而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题:（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤• sin (2x+丄)=-厶―” 2+2k n 或 2x+一=■6 -• 2x+—=65兀 …x=- 24n +k n 或x= 或x= 244 n+2kn k€ Z,n +k n, k € Z ,或x=-或x=- 112E24【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题. f (x )? 0<x<30. .（单位：分钟），+1=1-血, • 2sin (时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性, 并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题；33 :函数思想；4C :分类法；51 :函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意知求出f (x )> 40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义. 【解答】解；(1)由题意知，当30V X V 100时,即 x 2- 65x+900>0, 解得x v 20或x >45,•I x €( 45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2) 当 0v x < 30 时，g (x ) =30?x%+40 (1 - x%) =40 - 当 30V x v 100 时,40——也10当0v x v 32.5时，g (x )单调递减; 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决 问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t > 2 .在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0),直线I : x=t ,曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). l 与x 轴交于点A 、与r 交于f (x ) =2x+ 1800 -90>40,g (x ) = (2x+二-2-90)碎心 1-x%0)=-r 13 10x+58 ；点B. P、Q 分别是曲线r与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t=3, |FQ=2,线段0Q的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8 ,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在r上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想；4R:转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF| ；(2)根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得0D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得厶AQP的面积；(3)设P及E点坐标，根据直线k PF?k Fc=- 1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据习+冠=75,求得E点坐标，贝则(彎尸)2=8 (「+6)，即可求得P 4y 8点坐标.【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B (t，2 :■:t)，则|BF制(1 边严+3t=t+2,••• | BF| =t+2；方法二：由题意可知：设 B (t, 2 :■:t),由抛物线的性质可知：| BF =t甘=t+2,「. |BF=t+2;(2) F (2, 0), |FQ=2, t=3，则|FA=1,，二Q (3,血)，设OQ 的中点D,D (),k QF=~VI,则直线PF方程：y=-體(x-2),联立,整理得：3x2- 20x+12=0,• △ AQP 的面积 x^：；x根据「+円；'，则E （k+6,•存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ 使得点E 在r 上，且P （2,毁5）.5 5【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计 算能力，属于中档题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛a n ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n€ N *，都有|b n — a n | < 1,则称｛b n ｝与®｝接近”（1）设｛a n ｝是首项为1,公比为寺的等比数列，b n =&+1+1, n € N *，判断数列｛b n ｝解得:,x=6 （舍去），（3）存在，设P （罟，y ），2E (凹—，m )，贝U k pF =yT-2，k FQ 」——8y直线QF 方程为y= 1才/ ~sT(x — 2), ••• y o=■ - ■ ~~8y~,Q( 8, ),)2=8 ( ——+6），解得：y 2丄■是否与｛&｝接近，并说明理由；(2)设数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, a3=4, a4=8, ｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，记集合M=｛x| x=b i，i=1，2，3，4｝，求M中元素的个数m；(3)已知｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，且在b2 - b i，b3 - b2，…，b20i - b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义接近”即可判断；(2)由新定义可得a n - K b n< a n+1，求得b i，i=1，2，3, 4的范围，即可得到所求个数；(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d >0, d=0,- 2v d v 0, d< -2,结合新定义接近”推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：(1)数列｛b n｝与｛刘接近.理由：計匕数列，可得a n=则| b n - a n| =| v 1, n € N ,可得数列｛b n｝与｛a n｝接近；(2)｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，可得a n - 1 w b n w a n+1,数列｛a n｝的前四项为：a1=1, a2=2, a3=4, a4=8,可得b1€ [0, 2] , b2€[ 1 , 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近, 可得a n=a1+ (n - 1) d,①若 d >0,取b n=a n，可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d>0,则b2 - b1, b3 - b2,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0,取b n=a i -—，则|b n- a n|=|a i-丄-a i| —v 1, n€ N*,n n n可得b n+1 - bn^ —> 0 ,n n+1则b2 —b i, b3 —b2,…，b20i —b2oo中有200个正数，符合题意；③若—2v d v 0，可令b2n-1=a2n- 1 —1，b2n=a2n+1 ,则b2n —b2n- 1 =a2n+1 —( a2n- 1 —1) =2+d > 0，则b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< —2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，即为a n — 1 w b n w a n+1，a n+1 — 1 W b n+1 w a n+1+1，可得b n+1 —b n w a n+1+1—(a n —1) =2+d w 0，b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2，+x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+）7的二项展开式中，²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+）7中有T r+1=7r rC x ，故当r=2时，27C =762⨯=21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣∣= 。
2018上海高考数学试卷含答案
2018上海一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 ．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 (结果用数值表示)．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ ．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z |＝ ．6．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ ．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ ．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 ．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ ． 11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ ． 12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 214．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．1616．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A ． 3B ．32C ．33D ．0三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．18．设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．2018上海答案解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 18 ． 【解答】行列式＝4×5－2×1＝18．故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 【解答】因双曲线x 24－y 2＝1的a ＝2，b ＝1，焦点在x 轴上，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，故双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，故答案为：y ＝±12x 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 21 (结果用数值表示)．【解答】解：二项式(1＋x )7展开式的通项公式为T r ＋1＝•x r ，令r ＝2，得展开式中x 2的系数为＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ 7 ．【解答】因常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，故函数f (x )＝1og 2(x ＋a )的图象经过点(1，3)，故log 2(1＋a )＝3，解得a ＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z|＝ 5 ．【解答】由(1＋i)z ＝1－7i ，得z ＝－3－4i ，则|z |＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．(4分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ 14 ．【解答】因等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝0，a 6＋a 7＝14，故， 解得a 1＝－4，d ＝2，故S 7＝7a 1＋21d ＝－28＋42＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 ．【解答】因α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减， 故a 是奇数，且a ＜0，故a ＝－1．故答案为：－1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 －3 ．【解答】解：根据题意，设E (0，a )，F (0，b )；故|EF →|＝|a －b |＝2；故a ＝b ＋2，或b ＝a ＋2；且AE→＝(1，a )，BF →＝(－2，b )；故AE →·BF →＝－2＋ab ；当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)b ＝b 2＋2b －2；因b 2＋2b －2的最小值为－3；故AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF→的最小值为－3．故答案为：－3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：＝10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝15，故答案为：15． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ 3 ． 【解答】等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N*)，可得a 1＝1，因为1lim +∞→n n n a S ＝12，所以数列的公比不是1，S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＋1＝q n ．可得＝＝＝1q －1＝12，可得q ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ 6 ． 【解答】因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ，则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16①， f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6②，①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．【解答】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，由x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，可得A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，且OA →·OB →＝1×1×cos ∠AOB ＝12，即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的几何意义为点A ，B 两点到直线x ＋y －1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x ＋y ＝1平行，可设AB ：x ＋y ＋t ＝0(t ＞0)，由圆心O 到直线AB 的距离d ＝22t ，可得22-12t ＝1，解得t ＝62，即有两平行线的距离为22(1＋62)＝12(2＋3)，即22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为2＋3，故答案为：2＋3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 2【解答】椭圆x 25＋y 23＝1的焦点坐标在x 轴，a ＝5，P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝25．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“1a ＜1”，“1a ＜1”⇒“a ＞1或a ＜0”，故“a ＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．16【解答】根据正六边形的性质，则D 1－A 1ABB 1，D 1－A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4＝8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选：D ．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A ． 3 B ．32 C ．33 D ．0【解答】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)＝3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x ＝0或者x ＝1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x ＝32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【解答】(1)因圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，故圆锥的体积V ＝13×π×r 2×h ＝13×π×22×23＝833π． (2)因PO ＝4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，故以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0，0，4)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，M (1，1，0)，O (0，0，0)，PM →＝(1，1，－4)，OB →＝(0，2，0)，设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则cos θ＝＝26．故θ＝arccos 26．故异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 26．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．(14分)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解． 【解答】(1)因f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ，故f (－x )＝－a sin2x ＋2cos 2x ，因f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，故－a sin2x ＋2cos 2x ＝a sin2x ＋2cos 2x ，故2a sin2x ＝0，故a ＝0；(2)因f (π4)＝3＋1，故a sin π2＋2cos 2(π4)＝a ＋1＝3＋1，故a ＝3，故f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，因f (x )＝1－2，故2sin(2x ＋π6)＋1＝1－2，故sin(2x ＋π6)＝－22，故2x ＋π6＝－π4＋2k π，或2x ＋π6＝5π4＋2k π，k ∈Z ，故x ＝－524π＋k π，或x ＝1324π＋k π，k ∈Z ，因x ∈[－π，π]，故x ＝1324π或x ＝1924π或x ＝－524π或x ＝－1124π． 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解答】(1)由题意知，当30＜x ＜100时，f (x )＝2x ＋－90＞40，即x 2－65x ＋900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，故x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x ≤30时，g (x )＝30•x %＋40(1－x %)＝40－x 10；当30＜x ＜100时，g (x )＝(2x ＋－90)•x %＋40(1－x %)＝－x ＋58；故g (x )＝；当0＜x ＜32．5时，g (x )单调递减；当32．5＜x ＜100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32．5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】(1)方法一：由题意可知：设B (t ，22t )，则|BF |＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； 方法二：由题意可知：设B (t ，22t )，由抛物线的性质可知：|BF |＝t ＋p 2＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； (2)F (2，0)，|FQ |＝2，t ＝3，则|F A |＝1，故|AQ |＝3，故Q (3，3)，设OQ 的中点D ，D (32，22)， k QF ＝－3，则直线PF 方程：y ＝－3(x －2)，代入联立y 2＝8x ，整理得：3x 2－20x ＋12＝0，解得：x ＝23，x ＝6(舍去)，故△AQ P 的面积S ＝12×3×73＝736； (3)存在，设P (18y 2，y )，E (18m 2，m )，则k PF ＝16-82y y ，k FQ ＝y y 8-162，直线QF 方程为y ＝y y 8-162(x －2)，故y Q ＝y y 43-482，Q (8，y y 43-482)，根据FP →＋FQ →＝FE →，则E (18y 2＋6，y y 4482+)，故(yy 4482+)2＝8(18y 2＋6)，解得：y 2＝165，故存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P (25，455)．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【解答】(1)数列{b n }与{a n }接近．理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，可得a n ＝12n －1，b n ＝a n ＋1＋1＝12n ＋1，则|b n －a n |＝|12n ＋1－12n －1|＝1－12n ＜1，n ∈N *，可得数列{b n }与{a n }接近； (2){b n }是一个与{a n }接近的数列，可得a n －1≤b n ≤a n ＋1，数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等，集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，可得a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①若d ＞0，取b n ＝a n ，可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；②若d ＝0，取b n ＝a 1－1n ，则|b n －a n |＝|a 1－1n －a 1|＝1n ＜1，n ∈N *，可得b n ＋1－b n ＝1n －1n ＋1＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；③若－2＜d ＜0，可令b 2n －1＝a 2n －1－1，b 2n ＝a 2n ＋1，则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤－2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n－1≤b n≤a n＋1，a n＋1－1≤b n＋1≤a n＋＋1，可得b n＋1－b n≤a n＋1＋1－(a n－1)＝2＋d≤0，b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符1合题意．综上可得，d的范围是(－2，＋∞)．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
2018上海高考数学真题及答案解析
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为=•x r，Tr+1令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．（x+a）．若f（x）的4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．（x+a）的图象经过点（1，3），由【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2此能求出a．（x+a）．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2f（x）的反函数的图象经过点（3，1），（x+a）的图象经过点（1，3），∴函数f（x）=1og2（1+a）=3，∴log2解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{an }的通项公式为an=q n﹣1（n∈N*），前n项和为Sn．若=，则q= 3 ．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{an }的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，an+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P （p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x 1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E 1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B． C． D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPF •kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF ==，kFQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{an }，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn ﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．（1）设{an }是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；（2）设数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得an ﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{bn }与{an}接近．理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列，可得an =，bn=an+1+1=+1，则|bn ﹣an|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{bn }与{an}接近；（2）{bn }是一个与{an}接近的数列，可得an ﹣1≤bn≤an+1，数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，可得an =a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取bn =an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取bn =a1﹣，则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得bn+1﹣bn=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n ﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{bn }满足：{bn}与{an}接近，即为an ﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1，可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0，b 2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海)行列式的值为18．【考点】OM:二阶行列式的定义．【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为:18．【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）(2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC:双曲线的性质．【专题】11 :计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O:定义法;5P :二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式(1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2,得展开式中x2的系数为=21．故答案为:21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x)=1og2（x+a）．若f（x)的反函数的图象经过点（3,1)，则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a)的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R,函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点(3，1)，∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点(1，3）,∴log2（1+a）=3,解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．5．(4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i)z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8:复数的模．【专题】38 :对应思想;4A ：数学模型法；5N :数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则｜z｜=．故答案为:5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法,是基础题．6．(4分）（2018•上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题;34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列｛a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈｛﹣2,﹣1,﹣,1，2，3},若幂函数f(x）=xα为奇函数，且在（0，+∞)上递减,则α=﹣1．【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 :方程思想；4O：定义法；51 :函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数,且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1,，1，2，3｝，幂函数f（x)=xα为奇函数，且在（0，+∞)上递减，∴a是奇数,且a＜0,∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．8．(5分）（2018•上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1，0）、B（2，0），E、F 是y轴上的两个动点，且|｜=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 :计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E(0,a），F（0，b），从而得出｜a﹣b|=2,即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0,a），F（0，b）；∴;∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式．9．（5分)(2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想;49 :综合法;5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2,没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3,1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是:=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分)（2018•上海）设等比数列｛a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N＊)，前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 :点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列｛a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1,因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0,函数f（x)=的图象经过点P（p,），Q（q,）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想;51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则:，整理得：=1,解得:2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．(5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A(x1,y1），B（x2，y2),=（x1，y1)，=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B(x2,y2）,=（x1,y1)，=（x2，y2）,由x12+y12=1,x22+y22=1，x1x2+y1y2=,可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形，AB=1,+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0,（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。
2018年上海高考数学试卷
2018年上海数学高考试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. （2018上海）行列式4125的值为_________.【答案】18【解析】451218⨯-⨯= 【考点】矩阵 【难易】★★★2. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________.【答案】12y x =± 【解析】b y x a=±【考点】双曲线性质 【难易】★★★3. （2018上海）在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 【答案】21【解析】72527(1)121x C x +==【考点】二项式定理 【难易】★★★4. （2018上海）设常数a R ∈，函数()2()log x a f x +=，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________. 【答案】7【解析】由题可知反函数过(1,3)，代入()2()log x a f x +=得(1)23log a +=，解得7a =【考点】反函数定义 【难易】★★★5. （2018上海）已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________. 【答案】5【解析】设z a bi =+，(1)()()17i a bi a b a b i i ++=-++=-17a b a b -=⎧⎨+=-⎩ 解得34a b =-⎧⎨=-⎩【考点】复数运算性质 【难易】★★★6. （2018上海）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________. 【答案】14【解析】由30a =，6714a a +=得3414d d +=，2d =，432a a d =+=，74714S a == 【考点】数列的基本性质 【难易】★★★7. （2018上海）已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_________.【答案】1-【解析】由幂函数性质可知1x =-时满足条件 【考点】幂函数的基本性质 【难易】★★★8. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF •u u u r u u u r 的最小值为_________.【答案】3-【解析】设(0,)E m ，(0,2)F m -，(1,)AF m =u u u r ,(2,2)BF m =--u u u r, 2222(1)3AE BF m m m •=-+-=--u u u r u u u r【考点】向量，二次函数 【难易】★★★9. （2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
【数学】2018年上海高考数学真题及答案
【关键字】数学2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1=•xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是根底题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是根底题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是根底题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，﹣b n=﹣＞0，可得b n+1则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，+1b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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数学2018年上海高考数学试题
数学
考试时间：____分钟
题型填空题单选题简答题总分
得分
填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）
1.填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）行列式的值为____。
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
10.
11.
12.
单选题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）
13.选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
A. A
B. B
C. C
D. D
14.
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15.
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
16.
A. A
B. B
C. C
D. D
简答题（综合题）（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
）
17.解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤.
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%（0<x的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义。
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
答案
填空题
1.
18
2.
3.
21
4.
7
5.
5
6.
28
7.
-1
8.
-3
9.
10.
3
11.
36
12.
单选题
13. C 14. A 15. D 16. B 简答题
17.
18.
19.
20.
21.。