高中数学人教课标实验A版必修2第二章寻找二面角的平面角的方法

寻找二面角的平面角的方法

二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．

我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．

一、根据平面角的定义找出二面角的平面角

例1 在ο60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：

（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；

（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．

分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出ο60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．

根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．

二、根据三垂线定理找出二面角的平面角

例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成ο30，AC 与棱BD 成ο45，求平面α与平面β的二面角的大小．

分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥

AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE

∠为二面角的平面角．

总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．

（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BD AF ⊥”、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”．

三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角

例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，

β⊥PB 于B 点，如果οn APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角．

分析：⊥⇒⊥⇒⊥⊥⇒⊥CD CD PB PB CD

PA PA βα平面PAB ．

因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为

βα--CD 的平面角，οοn AEB -=∠180（如图2）

． 注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明CD EB ⊥，及AEBP 为平面图形，这样做起来比较麻烦．

例4 已知斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面1AB 与平面1AC 构成的二面角的平面角为ο30，平面1AB 与平面1BC 构成的二面角为ο70．试求

平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．

分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，其三个内角分

别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．

总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．

四、平移平面法

例5 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为1AA 的中点，H 为1CC 上的点，

图1 图2

且211：

：=H C CH ．设正方体的棱长为a ，求平面EH D 1与底面1111D C B A 构成的锐角的正切．

分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面

构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平

移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面

角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角

形和解三角形的计算，就可以解决问题了．

如图，过点E 作11//D A EM 与D D 1相交于M 点，过M 点作11D C MN ⊥，与H D 1相交于N 点．可证平面//EMN 平面1111D C B A ．这样，求平面EH D 1与平面1111D C B A 的二面角的平面角就转化为求平面EH D 1与平面EMN 的二面角的平面角．显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作EN MF ⊥，F 为垂足，连结F D 1，可证EN F D ⊥1．则FM D 1∠为本题要寻找的二面角．

五、找垂面，作垂线

例6 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 为棱AD 的中点，求平面CB C B 11和平面M BC 1所构成的锐二面角的正切．

分析：平面AC 与二面角C BC M --1的一个面C

B 1垂直，与另一个平面1

C MB 相交，过M 点作BC MP ⊥，

垂足为P ，过P 作BC PN ⊥，交1C B 于N 点，连结MN ，

由三垂线定理可证1BC MN ⊥，则MNP ∠为二面角C BC M --1的平面角．

总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作

二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角

的平面角．

再如图，要找βα--a 所构成的二面角的平面角，可找平

面βγ⊥，且b =αγI ，l =βγI ，过b 上任何一点A 作l AB ⊥，垂足为B ，过B 作α⊥BC ，垂足为C ，连结AC ，可证ACB ∠为βα--a 的平面角．

六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角

1．三线合一

例7 如图，空间四边形ABCD 中，3==AD AB ，

4==CD BC ，2=BD ，5=AC ．试求C BD A --二面角的

余弦值．

分析：如图1，AD AB =，CD BC =，则△ABD 和△

BDC 为等腰三角形．过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结

CE ．根据三线合一，且E 为BD 中点，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．

2．全等

例8 如图，已知空间四边形ABCD ，6==BC AB ，

4==DC AD ，8=BD ，6=AC ．试求C BD A --的余弦值．

分析：过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据已知

条件，△AED 和△CED 全等，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二

面角C BD A --的平面角．

3．二面角的棱蜕化成一点

例9 如图，四棱锥BCED A -中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ABC 为正三角形．

（1）若BD EC BC ==时，求面ADE 与面ABC 的夹角；

（2）若BD EC BC 2==时，求面ADE 与面ABC 的夹角．

分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，

但面ADE 与面ABC 与面DC 相交．如果三个平面两两相

交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交

线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC 与DE

互相平行，所以肯定有过A 且平行于DE 的一条交线．

可过A 作DE AM //，平面ADE 与平面ABC 的交线即为AM ．过A 作DE AN ⊥于N ，过A 作BC AF ⊥于F ．可证AM AN ⊥，AM AF ⊥，则NAF ∠