第4章静态场分析
第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
工程电磁场与电磁波名词解释大全
《电磁场与电磁波》名词解释不完全归纳（By Hypo ）第一章 矢量分析1.场：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
2.标量：一个仅用大小就能够完整描述的物理量。
标量场：标量函数所定出的场就称为标量场。
（描述场的物理量是标量）3.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
矢量场：矢量场是由一个向量对应另一个向量的函数。
（描述场的物理量是矢量）4.矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
5.通量：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。
6.拉梅系数：在正交曲线坐标系中，其坐标变量（u1 ,u2,u3）不一定都是长度， 可能是角度量，其矢量微分元，必然有一个修正系数，称为拉梅系数。
7.方向导数：函数在其特定方向上的变化率。
8.梯度：一个大小为标量场函数在某一点的方向导数的最大值，其方向为取得最大值方向导数的方向的矢量，称为场函数在该点的梯度，记作 9.散度：矢量场沿矢线方向上的导数（该点的通量密度称为该点的散度）10.高斯散度定理：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量。
11.环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。
12.旋度： 一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的一个法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
13.斯托克斯定理：一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面边界的曲线积分。
14.拉普拉斯算子：在场论研究中，定义一个标量函数梯度的散度的二阶微分算子，称为拉普拉斯算子。
第二章 电磁学基本理论1.电场：存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。
2.电场强度：单位正试验电荷在电场中某点受到的作用力（电场力），称为该点的电场d grad d n a nφφ=强度。
3.电位差：单位正电荷由P 点移动到A 点，外力所做的功称为A 点和P 点之间的电位差。
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
第4章 静态交通设施
第4章静态交通设施静态交通是指车辆在非行驶状态下的交通形式。
为静态交通使用及服务的所有设施总称为静态交通设施，包括停车场、汽车站、加油站、保养场、修理厂等设施。
本章主要介绍机动车停车场和公共交通汽车站的设计。
4．1 概述静态交通设施规划以服务需求为依据，确定设施的规模并进行总体布局；而就设施的具体设计而言，要以设计车型及其外廓尺寸、最小转弯半径、行驶性能及荷载等为依据，确定设施的细部尺寸及结构强度等。
4．1．1车辆类型及其外廓尺寸车辆的外廓尺寸是静态交通设施设计的基本依据，图4．1以小汽车为例，给出了机动车外廓尺寸图示；表4．1给出了设计车型的划分及相应的外廓尺寸。
4．1．2汽车回转半径静态交通设施必须保证车辆直行、转向、倒退等操作所必需的空间尺寸，其中，影响最大的是车辆的转向操作。
汽车在弯道上行驶时，其前后轮及其前后突出部分的回转轨迹将随着转弯半径的变化而变化。
为保证车辆在弯道上行驶时不致碰撞其他车辆或车库墙、柱等，其弯道宽度应按计算要求进行加宽。
(1)计算方法图4 2为汽车回转半径计算图示．有4．1．3 回转及倒向场地1．通道宽度计算方法通道是连接停车泊位与停车场出人口的场内道路，其宽度取决于车型、停放角度和停发方式，应根据一定设计车型的转弯半径等有关参数，用公式法或几何作图法求出不同停发方式下通道的最小宽度。
根据停发方式的不同，通道宽度计算可分为前进停车、后退发车与后退停车、前进发车两种情况。
(1)前进停车、后退发车2．汽车回转场地汽车在不同形式的场地条件下会采取NN形式的回转操作，如直通、90。
回转、180。
回转等。
相应的回转场地尺寸可采取公式法、几何作图法或两者相结合的方法得到。
图4．5给出了几种常见条件下，汽车回转所要求的场地尺寸。
3．汽车倒向场地汽车在不同形式的场地条件下会采取不同形式的倒向操作，如先后退再前进、先前进再后退等。
相应的倒向场地尺寸可采取公式法、几何作图法或两者相结合的方法得到。
电磁场与电磁波教学大纲-电磁场与电磁波(第3版)-邹澎-清华大学出版社
电磁场与电磁波教学大纲课程名称：电磁场与电磁波课程英文名称：ELECTROMAGNETIC FIELD AND WA VE总学时：84 讲课学时：68 实验学时：16一、本课程的教学目的和基本要求本课程是电子信息工程与通信工程专业的一门专业基础课，主要研究电磁场与电磁波的基本规律、基本概念和一些基本的分析、计算方法，帮助学生学会分析、解决一些实际的工程电磁场与电磁波问题。
二、本课程的主要教学内容第一章矢量分析1.1 矢量运算1.2 空间矢量1.3 矢量场和标量场1.4 三种常用的正交坐标系1.5 矢量的微分1.6 亥姆霍兹定理1.7 微分算符第二章静电场分析2.1 静电场的基本规律2.2 静电场的边界条件2.3 泊松方程和拉普拉斯方程2.4 唯一性定理2.5 导体系统的电容2.6 静电场的能量与力2.7 恒定电场（恒定电流场）2.8 静电场的应用第三章恒定磁场3.1 恒定磁场的基本规律3.2 恒定磁场的边界条件3.3 矢量磁位3.4 标量磁位3.5 电感3.6 磁场的能量与力3.7 恒定磁场的应用第四章静态场边值问题的解法4.1 电磁场边值问题概述4.2 直角坐标系中的分离变量法4.3 圆柱坐标系中的分离变量法4.4 球坐标中系的分离变量法4.5 镜像法4.6 有限差分法第五章时变电磁场5.1 电磁感应定律5.2 位移电流5.3 麦克斯韦方程5.4 时变场的边界条件5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量5.6 时变电磁场的矢量位和标量位5.7 应用案例第六章平面电磁波6.1 正弦电磁场的复数表示方法6.2 平均坡印廷矢量6.3 理想介质中的均匀平面波6.4 波的极化特性6.5 损耗媒质中的均匀平面波6.6 电磁波在各向异性介质中的传播6.7 平面上的垂直入射6.8 平面上的斜入射6.9 相速度与群速度6.10应用案例第七章导行电磁波7.1 传输线7.2 波导7.3 谐振腔7.4 应用案例第八章电磁波辐射8.1 滞后位8.2 电偶极子天线辐射8.3 磁偶极子天线辐射8.4 天线的辐射特性和基本参数8.5 接收天线8.6 常用的线天线8.7 天线阵8.8 面天线基础8.9 应用案例。
4-静态场的解
S
F dS
S
F ndS
令 F , 由矢量恒等式:
( A) A + A
得:
P8(1-21) (4-2)
F ( ) 2
2
式左 FdV ( )dV
(r ) 2 2
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
第4章 静态场的解
V
dV
2
S
dS n
在 S上φ =0，因而上式右边为零，因而有
结论:
V
dV 0
2
▲因为|▽φ|2=0，所以必有▽φ ▲又因为在S面上φ
由边界条件：Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS q 2 2 2 3 / 2 2 ( x y h )
第4章 静态场的解
4.1 边值问题的分类
◆第一类边值问题：
已知整个边界上的位函数值； 又称为“狄利赫利”边界条件
S f1 ( S )
◆
第二类边值问题： 已知边界上每一点位函数的法向导数， （即电荷的面密度σ或电力线）；
n f2 (S )
S
又称为“诺伊曼”边界条件 同
时知道另一部分边界上每一点的电位法向导数。
其中
2 2 2 1/2 r [ x y ( z h ) ] ; 1
r2 [ x 2 y 2 ( z h) 2 ]1/2
第四章静态场的解析法
1
q' x2 y 2 ( z h)2
)( z 0)
2、建立 2 求解方程。镜像 e 2 电荷 q '' 位于z>0区域中，整 个空间充满媒质2。 q ''位置与q重合。
z R q q '' h
P( x, y, z) 中国地质大学
x
q q '' 2 ( x, y, z ) ( ) 4e 2 R 1 q q '' ( z 0) 4e 2 x2 y 2 ( z h)2 1
r
′′ -q
r′
mq
这就是格林函数的对称性
推导：
原命题：▽2φ(r)=－ρv (r) /ε ;
φ(r) s及∂φ(r)/∂n s
4.3 格林函数法 中国地质大学
格林函数：▽2G(r, r′)=－δ (r-r′)/ε ; G(r, r′) s及∂G(r, r′) /∂n s
令：∫[G (r, r′) ▽2φ (r) －φ (r)▽2G (r, r′)]dV 则：∫[G▽2φ(r)－φ(r)▽2G]dV=∫[-Gρv(r)/ε +φ(r) δ(r-r′)/ε]dV =∫[-Gρv(r)/ε ]dV+∫[φ(r) δ(r-r′)/ε]dV=∫[-Gρv(r)/ε ]dV+φ(r′)/ε 由格林第二恒等式：
▽2G(r, r′)=－δ (r-r′)
φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)/εdv′+∮s[G(r′,r) ∂φ(r′)/∂n′ _ φ(r′) ∂G(r′,r)/∂n′ ]ds′ 由此可见：1、使用格林函数法应注意G与φ(r) 的对应关系。 2、不管使用哪一种，φ(r)的含义不变，三者相等。
静态场分析
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E D E V
() V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0 ——拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 S Jc dS 0
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2A Jc
分解
2 Ax J x 2 Ay J y
Jc 0
2 Az J z
2 A 0 ——矢量拉普拉斯方程
在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场 的性质，引入标量磁位 m来表示磁场强度。即 H m
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 静态场的麦克斯韦方程组 – 静态场与时变场的最本质区别： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
H dl l
S
ห้องสมุดไป่ตู้
(
JC
D t
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
一、静态场特性
1. 静态场基本概念
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
4π1R
D1
q 4πR2
aˆR
(整理)电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
第4章 静态场的解
(
x,0)
U0
0
0x a 2
a xa 2
第四章 静 态 场 的 解
图 4-9 无限长槽的电位
第四章 静 态 场 的 解
解：和前题类似， 这是一个二维拉普拉斯方程边值问题， φ=φ(x, y)，
① φ(0, y)=0
② φ(a, y)=0
③ φ(x, ∞)=0
④
(
x,0)
U0
0
0x a 2
a xa 2
点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
2md m2 1
a
解之得
m2 m2
1d 1
b
m1,2 b
b2 a2 a
第四章 静 态 场 的 解
U
1
2
l 2
0
(1nm1
1nm2 )
l 1n b b2 a2 l 1n b b2 a2
2 0 b b2 a2 0
a
C l
0
U 1n b b2 a2
例 4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的 点电荷q的电位。
图 4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
第四章 静 态 场 的 解
解：
当z>0 时，▽2φS=0 当z=0时，φ=0 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0
第四章 静 态 场 的 解
'
1
4
0
q r
q r
r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2, r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2
图 4-8 矩形截面导体槽
第四章 静 态 场 的 解
解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。
静态分析的名词解释
静态分析的名词解释静态分析（Static Analysis），也被称为静态代码分析或静态源代码分析，是一种软件工程中常用的技术和方法。
它通过在不运行代码的情况下对源代码进行分析，以发现潜在的错误、缺陷和安全漏洞。
静态分析的目标是提供一种自动化的方式来检查代码质量，帮助开发者发现和修复潜在的问题，提高软件的可靠性、可维护性和安全性。
1. 静态分析的原理静态分析的基本原理是对源代码进行语义和结构分析，而不需要实际执行代码。
它通过解析源代码，构建抽象语法树（AST），以及对程序流程、变量使用和函数调用等进行分析，以找出可能存在的问题。
在分析过程中，可以使用静态规则、模式匹配、数据流分析和符号执行等技术。
2. 静态分析的应用领域静态分析广泛应用于软件开发和软件安全领域。
在软件开发中，静态分析可以用于代码审查、编码规范检查、代码性能分析、代码风格检查等。
它可以帮助开发者提前发现潜在的问题，避免在运行时出现错误和异常。
在软件安全领域，静态分析可以用于漏洞和安全缺陷的检测，帮助开发者提高软件的安全性，防止被恶意攻击者利用漏洞入侵系统。
3. 静态分析的类型静态分析可以根据分析的粒度和目标进行分类。
常见的静态分析类型包括以下几种：- 代码静态分析：基于源代码的静态分析，对代码进行语法和语义检查，发现潜在的问题。
- 控制流静态分析：分析代码的执行路径和控制流程，找出可能存在的逻辑错误和缺陷。
- 数据流静态分析：分析代码中的数据流，找出可能存在的数据依赖、数据访问和数据变异问题。
- 缺陷静态分析：专注于发现代码中的缺陷和错误，如空指针引用、资源泄露和内存溢出等问题。
- 安全静态分析：用于检测软件中的安全漏洞和潜在的攻击面，如代码注入、跨站脚本攻击等。
4. 静态分析工具为了方便开发者进行静态分析，许多静态分析工具已经被开发出来。
这些工具可以自动化执行静态分析，并提供相应的结果和报告。
常见的静态分析工具有： - Lint工具：用于检查代码风格、编码规范和潜在的问题，如C/C++中的CppCheck、JavaScript中的ESLint等。
静态场分析PPT资料(正式版)
n E1
媒质1 l h
媒质 2
E2 图 8.3 E 的边界条件
即得
E1t E2t
（8-14）
或
n E1 E2 0
（8-15）
这表明，电场强度在不同媒质的分界面两侧的切向分量是
连续的。
与前面章节分析边界条件一样，在交界上作一个扁圆
柱形闭合高斯面，使圆柱面高度 h 趋于零，应用高斯定理 积分形式，可推出在两种媒质交界面上电通量密度 D 满足
梯度的旋度恒等于零，即
0
同时静电场的基本方程
E 0
故可将电场强度表示为
E
（8-9）
为电位函数，通常简称为电位，电位是标量。静电场中
电位的物理意义是：电场力从该点将单位正电荷移至电位
参考点（通常为零电位点）所做的功，也就是单位正电荷
在该点所具有的电位能。场中某点的电位并不是唯一的，
为了能唯一地确定场中某点的电位的值，必须将场中的某
n H 1 H 2 J S
（8-27）
或写为 H1t H 2t J S 。
若分界面上不存在面电流分布，即 JS =0，则有
n H1 H 2 0
静态场分析
积分形式：
E dl 0
l
H dl 0
l
D dS
S
V
（8-5） （8-6） （8-7）
B dS 0 S
（8-8）
在静态场中电场和磁场是互不依存、相互独立的，静态场是有源
无旋场，是一种保守场。
例 8.1 一平行板电容器如图 8.1 所示，板间均匀分布
电荷，已知板间的电场强度 E
代入通解得：
aU r
8.1.2 稳恒磁场的基本方程及其边界条件
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电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
四、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于
待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上
感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 叠加定理 若 1 和 2 分别满足拉普拉斯方程，则 1 和 2 的线性组合
a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。
证明： 2 2 (a1 b2 ) 2 (a 1 ) 2 (b2 )
a21 b 22
0
2
——拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
3. 恒定磁场的矢量泊松方程 恒定磁场基本方程
l H dl S J c dS B dS 0
S
B H
H Jc B 0
A Jc B H Jc 2 洛仑兹规范 A 0 A ( A) A Jc
已知 1和
所以：2
2 满足拉普拉斯方程 21 22 0
0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
3. 惟一性定理
微分 方程
泊松方程
＝－ /
2
拉普拉斯方程 场域边界条件
2＝0
边 值问 题的 构成
S
H Jc E 0 D V B 0 Jc 0
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程 l E dl 0 D dS V dV
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
拉普拉斯算子 2
直角坐标系
2 2 2 2 2 2 2 x y z
圆柱坐标系
2 2 1 1 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
球坐标系
2 1 1 1 2 2 2 (R ) 2 (sin ) 2 2 R R R R sin R sin 2
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝2
2 1 2 1 s n n
r r 0
初始 条件
lim 自然边界条件 有限值 lim
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 f ( s )
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 f ( s ) n 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性 组合 f1 ( s ) f 2 ( s) n 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程 的解是惟一的。 用反证法可以证明。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
磁位 、磁矢位与电位的比较
电位 (有源或无源） 比较内容 引入位函数依据 E 0 位函数 磁位 m (无源） H 0
H m a m H dl
p
磁矢位A (有源或无源） B 0
位与场的关系 微分方程
(2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域)
E 0
恒定电场(电源外区域)
E 0
E
D 0 D E
E
Jc 0
J E
2 0
q
S
2 0
I
S
待求场域：上半空间
边界： 无限大导体平面 边界条件： 0
q
导体平面
在空间的电位为点电荷q 和镜像 电荷 -q 所产生的电位叠加，即
q 4π 0
1 1 r1 r2
0
z
q
导体平面
r1
r2
p
导体平面边界上：
d
d q
o
r1 r2
x
电位满足边界条件
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
电位： q 4π 0
1 1 2 1/ 2 2 2 2 2 2 1/ 2 x y (z d ) x y (z d )
第4章 静态场分析
2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 J c dS 0
S
Jc E
E 0 J 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场 E ( ) 0 J c E 0
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
第4章 静态场分析
静态场的工程应用 一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理
四、镜像法
五、分离变量法 六、复变函数法
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
静态场的工程应用
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
B A
——恒定磁场是无散有旋场。
A J c
2
——矢量泊松方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
A J c
2
分解
2 Ax J x 2 Ay J y 2 Az J z
Jc 0
2
A 0 ——矢量拉普拉斯方程
V D B 0, 0, 0 t t t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁 场的特例。 – 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。 – 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 – 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
U r ln R2 R1
ˆr a
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
例2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他 条件同“例1”，求: (1)内外导体间的电位 R2 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。 R1 解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认 为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的 边界条件一致，利用对偶原理，可以立即 得到 (2)单位长度同轴线漏电流密度 R U R2 U 为 2 ln 2 1 ln U R2 R2 r r J c E2 ar ln ln R2 R1 R1 r ln R1 则漏电流为 U U 2 U ˆr E2 ˆr E1 a a R2 R2 I S J c dS R2 r ln r ln ln R1 R1 R1
qm B dS
S
2 0
2m 0
(4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然 (5)应用 • 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， • 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
思考
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。 ② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀 空间中媒质特性与待求场域中一致。 ③ 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原 边界处的边界条件不变。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
D dS
J c dS
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析 静电场(无源区域)
E 0
D 0
D E
q D dS
S
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
B H
位与源的关系
E a E dl
p
A dl B dS
l S
B A
2
m 0
2
A J
2
dV V 4π r
I m 4π
0 JdV A V 4 r
1 (r ) 0 积分 A ln r B r r r
R2
R1
由边界条件
U A ln R1 B
0 Aln R2 B
U A R ln 1 R2
U B ln R2 R ln 1 R2
R2 U 则： R ln r ln 2 R1
E
E
下述两个场能进行磁电比拟吗？
恒定磁场与恒定电流场的比拟 由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条 件相同，所以可以磁电比拟。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 R1 和 R2 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为U ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 静态场的麦克斯韦方程组
– 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电 场和磁场是彼此独立存在的。
l H dl S J c dS l E dl 0 S D dS V V dV S B dS 0 J c dS 0