通信中的随机过程
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
通信原理-随机过程课件
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理第3章(樊昌信第七版)
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
通信原理第2章 随机过程
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理第三章随机过程
4、平稳随机过程通过线性系统
4、平稳随机过程通过线性系统
5、窄带随机过程（1）
PX (
f
)
1 4PXL( Nhomakorabeaf
fc ) PXL ( f
fc )
5、窄带随机过程（2）
注意窄带过程为平稳随机过程！
XL (t) Z(t)e j2 fct
Xc t Xˆ s t ?
5、窄带随机过程（3）
试证明
5、窄带随机过程（4）
广义平稳序列，均值为ma，g(t)在一个周 期T内有值，周期平均值为mg。易证这是 一个（非周期）广义平稳的随机过程。
7 循环平稳随机过程
均值 E X t E an E g t nT mamg
n
自相关 Rg Rg t,t
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
均和第一种形式的周期平稳随机信号在一个周期内的平均相等。
1 T
k
Ra
k
g* u g u
kT du
1 T
k
Ra
k
Rg
kT
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
Ra
k
k exp
jk 2
fT
7 循环平稳随机过程
对于基带过程
X t ang t nT ② n
其中α是[0,T]上均匀分布的RV。an序列为
功率谱密度
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
通信原理第3讲随机过程
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
通信原理第3章-随机过程
部Xs(t)是实平稳过程
各态历经性（遍历性）
•令x(t)是X(t)的某一个样本函数，若X(t)的某个数字 特征可以通过x(t)的对应时间平均得，则称该随机 过程的该数字特征具有遍历性。
实偶函数的傅氏变换是实偶函数
3.4 高斯随机过程（正态）
若从随机过程X(t)中任意采n个点，所得n个随 机变量总是服从联合高斯分布，则称X(t)为高 斯随机过程。
1) 对于高斯过程，宽平稳=严平稳：
对于宽平稳高斯过程，两个随机变量之间的协 方差只与时间差有关。将式(3.4.1)左边的 t1,t2,…,tn统一偏移t时，协方差矩阵B不变，即 (3.4.1)右边不变
对于t1和t2时刻的两个随机变量X1=X(t1)， X2=X(t2)： (1) 相关值E[X1X2]一般是t1和t2的二元函数，称为自
相关函数，记为RX(t1,t2)。 (2)自协方差函数：扣除均值后的自相关函数。
(3) 归一化协方差函数(相关系数)：扣除均值，再使 方差归一化为后的自相关函数。
随机过程的多维分布函数
数可能不同，记为t的函数：F(x,t)=P[X(t)≤x] , 称作 随机过程X(t)的一维分布函数。 • 如果对应的概率密度p(x,t)存在，称为X(t)的一维概 率密度。
2.随机过程X(t)的数字特征
对于t时刻的随机变量X=X(t)，有如下数字特征 (1) 数学期望(统计平均值)：E[X] (2) 二阶矩：E[X2] (3) 方差：扣除均值后的二阶矩 就一般随机过程而言，以上数字特征都是t的函数。
通信原理第3章-随机过 程
通信原理 第二章随机过程
P ( ) R( )
P ( ) F [ R( )] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 1 1 离散的 S P ( )d （ ） 2 2 2 2 2
高斯过程
用途：通信信道的噪声，通常可以用高斯过程 来描述 性质: 高斯过程若是宽平稳，则是严平稳 若高斯过程中的随机变量之间互不相关， 则它们也是统计独立的
R(t, t ) E[sin(0t ) sin((0t 0 )]
使用三角公式： sin(a b) sin a cosb cosa sin b
E{sin( 0t )[sin( 0t ) cos0 cos(0t ) cos0 ]}
1 f ( x) e 2
1 x2 2
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
, x
求此时刻的统计平均功率和平均电平(或电流) 解： （1）平均电平=a2=0 （2）平均功率=直流功率+交流功率 a2=0 + σ2=1 所以，平均功率=1
平稳随机过程
平稳随机过程
各态历经性
aa 数学期望： a 数学期望 数学期望： a a 数学期望： 2 2 2 2 2 2 方差： 方差： 方差 方差： 自相关： R ( ) R ( ) 自相关： R ( ) R ( ) 自相关函数 自相关： R ( ) R ( )
பைடு நூலகம்
2
2 2
平稳随机过程
| FT ( ) |
2 T /2 T / 2
T
(t )e
jt
第三章通信原理《随机过程》
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第三章通信原理《随机过程》
•结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关 的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所 选取的时间起点无关。
• 在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机 过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关 函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳 随机过程。
• 显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。
• 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为 平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定 是广义平稳的，简称平稳。
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第三章通信原理《随机过程》
• 下面我们来看一道例题，来判断一个随机过程 是否是平稳随机过程？
•例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波， •其相位值是随机的，即 •式中： 与 为常数， 在 内均匀分布随 •机变量，试证明其为广义平稳过程。
•是二维概率密度函数。
• 协方差函数、 相关函数体现了随机过程
的二维统计特性。
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第三章通信原理《随机过程》
(3) 协方差函数与 相关函数的关系：
若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相 关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数 与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程 内部联系的效果是相同的。本书将采用相关函数。
一维分布函数：
一维概率密度函数：
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第三章通信原理《随机过程》
•一般情况下： 一维分布函数： 一维概率密度函数：
和
即是 的函数，又是时间 的函数。很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程
在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，
通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
通信工程第3章 随机过程
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
根据输入过程的平稳性，有 E[ i (t1 ) i (t1 )] Ri ( )
于是
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
4
3.3 高斯随机过程
3.3.3 高斯随机过程的一维统计特性
高斯过程的一维概率密度函数
( x a) 2 1 f ( x) exp 2 2 2
图2.5.1 一维概率密度函数
5
3.3 高斯随机过程
3.3.3 高斯随机过程的一维统计特性
高斯过程的一维概率密度函数
j
d h( )e
j
d Ri ( )e
'
2
j '
d '
P0 ( f ) H ( f ) H ( f ) Pi ( f ) H ( f ) Pi ( f )
结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘 以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()
1) f(x)对称于直线 x＝a，即f(a + x)=f(a - x)； 2) f(x)在(-∞，a)上单调增，在( a，+∞)上 单调降，在a点处取最大值； 3)
f ( x)dx 1 且
a
f ( x)dx f ( x)dx 1/ 2 ；
a
4) a 表示分布中心，σ 表示集中程度； 当 a＝0，σ2＝1时，标准高斯分布。
误差互补函数定义及性质
通信过程中的随机过程
同理，可求得
6.某通信网可以支持三种类别的业务。一个业务为第1类业务的概率是0.3，为第2类业务的概率为0.2，为第3类业务的概率是0.5.对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.1；对于第2类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.15；对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.2。试求该通信网中任何一个业务发生阻塞的概率。
解 的自相关函数为
因此， 的功率谱密度为
3.设联合平稳的两个随机过程 和 的互功率谱密度为
试求其相关函数。
解相关函数为
4.设 为离散时间随机过程，且是独立同分布的随机变量序列，其均值为零，方差为 ，试求 。
解离散时间随机过程 的自相关函数为
因此，功率谱密度为
5.设 ，其中 为离散时间白噪声过程，是独立同分布的随机变量序列，试求 。
由于事件 的概率为 ，事件 的概率为 ，所以
也即事件 和 不互相独立。
4.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ，试分别求信道输出0和1的概率.
解信道的错误概率为 意味着 ，因此 。由全概率公式知
同理
5.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ,试求在输出是1的条件下输入是1的概率，以及输出是0的条件下输入是1的概率.
解由条件概率的定义知道
，
因此
其中
是 上的均匀分布，所以
13.已知某二维随机向量 的联合概率密度函数有如下形式：
试确定上式中常数 的取值，并求条件概率密度函数 和 。
解由概率密度函数在全空间的积分为1知
因此 ，为了得到条件概率密度函数的表达式，先求边界概率密度函数，即
现代通信原理 第3章 随机过程
随机过程ξ (t)的n维概率密度函数
n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1,t2 ,, tn ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) x1 x2 xn
(3-4)
（3）随机过程的二维概率分布函数
随机过程ξ (t)的二维概率分布函数
(3-20)
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
• “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程
的所有可能状态。因此， 使“统计平均”化为“时间平均”，使实
际测量和计算的问题大为简化。
•具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过
(3-17)
为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕 着一水平线起伏。
同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=
常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是 常数。 而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
互协方差与互相关函数
设ξ (t)与η (t)分别表示两个随机过程，则
• 互协方差函数定义为
B t1 , t2 E t1 a t1 t2 a t2
(3-12)
• 互相关函数定义为
R t1 , t2 E t1 t2
0 2
2
0
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ALPHA-STABLE 分布概述
高斯分布是一类被广泛应用的分布，也称正态分布。
对于一维随机变量X，若其概率密度函数为：
p x=
2πσexp−
x−μ2
,σ>0
则称其分布为高斯分布或正态分布，记为X~N(μ,σ2)，其中μ和σ2为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。
当μ= 0, σ2= 1时，X 的分布为标准正态分布。
正态分布最早由棣莫佛于1730 年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812 年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809 年在研究误差理论时也导出了它。
高斯分布的函数图像是一条位于x 轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线（高斯曲线）。
高斯分布是一种理想的分布，有很好的性质，在数据分析领域占有重要地位。
在传统的滤波理论方法中，对噪声的分布主要假设为高斯型。
根据中心极限定理，这个假设是合理的，而且这个假设为信号处理带来了极大的方便。
例如，信号处理模型存在简易的封闭表达式，而且这些表达式通常都是线性的；而高斯变量的线性组合也是高斯的。
又如，在通信系统中，接收机的设计通常假定信道中的加性噪声是高斯白噪声。
这是因为在高斯白噪声假设下，容易得到信号处理问题的解析解，并且能够简化接收机的结构。
另外，高斯分布密度函数值仅需要均值和方差两个统计量就足以表达。
因此基于高斯假设的各种滤波理论、方法得到了充分发展。
然而，高斯分布的缺点也逐渐显现出来。
因为高斯分布只用到了一阶和二阶统计量，而对于更高阶的统计量则无法利用。
如在独立分量分析（ICA，independentcomponent analysis）中，要求数据的分布必须是非高斯的，因为ICA中用到了二阶以上的统计量。
在现实世界中，许多信号和噪声源都不是高斯的，它们都具有某种冲击特性。
比如音频信号、水下声纳采集信号、雷达和卫星通信中的接受噪声、大气的放电现象、海洋动物和冰裂引起的海洋音频噪声、远程电话的转换以及一些金融时间序列等等，都表现出比高斯噪声显著得多的冲击性。
即这些噪声的某些瞬间值会远远超过其均值。
高斯分布的方差是有限的，事实上，我们有许多具有无限方差的非高斯分布的例子。
ALPHA-STABLE 分布就是一种具有无限方差的非高斯分布，因此所有的依赖于二阶统计量的传统的信号处理方法都处理不了ALPHA-STABLE 分布的数据，继续采用原始的方法，将得到不可靠的甚至是错误的结论。
ALPHA-STABLE分布没有一个确定的概率密度函数和分布函数，只有特征函数是可以解析表示的。
然而ALPHA-STABLE 分布可以更好地描述实际应用中所遇到的具有显著脉冲特性的随机信号和噪声。
ALPHA-STABLE 分布的一个重要特性就是该分布的ALPHA阶及以上的各阶统计量均是无穷大。
根据Levy 的广义中心极限定理，ALPHA-STABLE 分布是唯一的一类构成独立同分布随机变量之和的极限分布，它比高斯分布有更广泛的适用性。
ALPHA-STABLE 分布具有所有稳定分布的特性，它是高斯分布的一般化。
ALPHA-STABLE 分布是一大类具有广泛代表性的随机分布模型，除了少数特例外，它的概率密度函数没有统一的封闭表达式，但ALPHA-STABLE 分布的特征函数存在统一的形式：φz=exp{jδz−γzα[1+jβsign(z)w(z,α)]}
其中：
w z,α=tan
απ
2
α≠1 2
π
log zα=1
sign z=1 z>0 0 z=0−1 z<0
并且：
−∞<δ<∞，γ>0，0<α≤2，−1≤β≤1。
特别的：在此处键入公式。
高斯分布：α=2并且β=0。
此时γ=σ2
2
;
柯西分布：α=1并且β=0；
皮尔森分布：α=1/2并且β=−1。
定义0<α≤2的ALPHA-STABLE分布为非高斯ALPHA-STABLE分布以区别
于α= 2的高斯分布，两者的主要区别是非高斯ALPHA-STABLE 分布概率密度比高斯分布概率密度有更厚的拖尾。
ALPHA-STABLE分布的性质：
1）、根据广义中心极限定理，如果独立同分布的随机变量和的极限存在，
那么这个和的极限是一个稳定分布。
2）、稳定性（stability）：独立同分布的ALPHA-STABLE 分布变量的线性
组合仍然是ALPHA-STABLE 分布的。
3）、方差无穷性
4）、尾概率渐进性。