通信原理--随机过程【PPT课件】
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通信原理—随机过程5讲(新)
x
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
9
2019/10/19 电 子 技 术 系
误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
5
2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
14
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
0 (t) 0 h( )i (t )d
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
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2019/10/19 电 子 技 术 系
误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
5
2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
14
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
0 (t) 0 h( )i (t )d
数据通信原理第03章随机过程
R (t1,t2)E [(t1)(t1)]
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
整理ppt
与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
整理ppt
17
➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
整理ppt
7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
整理ppt
4
随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
整理ppt
5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
整理ppt
11
➢ 相关函数
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
整理ppt
与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
整理ppt
17
➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
整理ppt
7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
整理ppt
4
随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
整理ppt
5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
整理ppt
11
➢ 相关函数
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
通信原理樊昌信第3章随机过程[1]精品PPT课件
![通信原理樊昌信第3章随机过程[1]精品PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/320822db581b6bd97e19eab0.png)
T
0
T
t
2
2
平稳随机过程 (t)的功率谱密度定义为：
P ( f )
E
Pf (
f)
lim
T
E FT ( T
f )2
22
功率谱密度的计算
维纳-辛钦关系
R( ) P ( f )
P ( )
R( ) e j d
－
R(
)
1
2
P
(
)
e
j
d
P
(
f
)
R( ) e j d
－
R(
)
P
(
f
这与R()的实偶性相对应。
24
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。
[解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平 稳过程，并且求出其相关函数为
R( )
A2 2
cos c
R( ) P ( )
已知 cosc [ ( c ) ( c )]
A2 2
E{cosc (t2
t1 ) cos[c (t2
t1 ) 2 ]}
A2 2
cosc (t2
t1 )
A2 2
2 0
cos[c (t2
t1 )
2 ]
1
2
d
A2 2
cosc (t2
t1) 0
令t2 – t1 = ，得到
R(t1, t2 )
A2 2
cos c
R( )
可见， (t)的数学期望为常数，自相关函数与t 无关，
只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 19
通信原理 随机过程 ppt
误差函数
2 erf x π
互补误差函数
x
0
exp t dt
2
(3.3 - 11)
2 erfc x 1 - erf x π
x
exp t
dt
2
(3.3 - 13)
当x 1时， erfc x
1 x π
e
x2
安庆师范学院物理与电气工程学院
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
如果存在
F1 ( x1; t1 ) P (t1 ) x1
(3.1 1)
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1 x2
(3.3 - 14)
7
3.1 概率分布知识回顾 8正态随机变量
Q函数
f(t)
1 Q x 2π
x
t2 exp dt x 0 2 (3.3 15)
称为Q函数
0x
t
F ( x)
1 2
t2 1 exp 2 dt 1 2 1 Q( x)
方差特性：
D[c] 0, c为常量 D[cX ] c 2 D[ X ] X , Y相互独立 : D[ X Y ] D[ X ] D[Y ]
c. 协方差：C[XY]表示X和Y之间相关性强弱的数字特性
C[ XY ] E[( X a X )(Y aY )]
2 erf x π
互补误差函数
x
0
exp t dt
2
(3.3 - 11)
2 erfc x 1 - erf x π
x
exp t
dt
2
(3.3 - 13)
当x 1时， erfc x
1 x π
e
x2
安庆师范学院物理与电气工程学院
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
如果存在
F1 ( x1; t1 ) P (t1 ) x1
(3.1 1)
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1 x2
(3.3 - 14)
7
3.1 概率分布知识回顾 8正态随机变量
Q函数
f(t)
1 Q x 2π
x
t2 exp dt x 0 2 (3.3 15)
称为Q函数
0x
t
F ( x)
1 2
t2 1 exp 2 dt 1 2 1 Q( x)
方差特性：
D[c] 0, c为常量 D[cX ] c 2 D[ X ] X , Y相互独立 : D[ X Y ] D[ X ] D[Y ]
c. 协方差：C[XY]表示X和Y之间相关性强弱的数字特性
C[ XY ] E[( X a X )(Y aY )]
《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT
主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人， 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象
第3章_随机过程
偶函数
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
2013-8-1
通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
2013-8-1
通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7
第2章 随机过程
2、随机过程的基本特征（属性） 、随机过程的基本特征（属性） （1）随机过程是一个时间函数； ）随机过程是一个时间函数； （2）在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是 ）在给定的任一时刻 全体样本在 时刻的取值 是 一个不含t变化的随机变量 一个不含 变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成 变化的随机变量 依赖时间参数的一族随机变量。
(2.1 - 12) (2.1 - 11)
作 业
思考题（自作）： 思考题（自作）： P61 习 题 ： P61 3-1，3-2 ， 3-2
2.2
平稳随机过程
★ 平稳随机过程的定义 ★ 各态历经性（遍历性） 各态历经性（遍历性） ★ 平稳过程的自相关函数 ★ 平稳过程的功率谱密度
一、平稳随机过程的定义
(2.1 数的关系 ） 协方差函数和（ B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)
若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+τ)。这说 明，相关函数依赖于起始时刻 1及t2与t1之间的时间间隔 即相关 相关函数依赖于起始时刻t 之间的时间间隔τ,即相关 相关函数依赖于起始时刻 函数是t 的函数。 函数是 1和τ的函数。 的函数 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此， 它们又常分别称为自协方差函数 自相关函数 自协方差函数和自相关函数 自协方差函数 自相关函数。
二、随机过程的统计特性
1、一维分布函数 一维分布函数 表示一个随机过程， 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻 1∈T， 其取 表示一个随机过程 在任意给定的时刻t ， 值 ξ(t1)是一个一维随机变量， 把随机变量ξ(t1)小于或等于某一 是一个一维随机变量， 把随机变量 小于或等于某一 是一个一维随机变量 数值x 的概率称为随机过程ξ(t)的一维分布函数 数值 1 的概率称为随机过程 的 一维分布函数，简记为F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ 2、一维概率密度函数 一维概率密度函数 如果一维分布函数F 如果一维分布函数 1(x1, t1)对x1的偏导数存在，则称 1(x1, 对 的偏导数存在，则称f t1)为ξ(t)的一维概率密度函数 为 的一维概率密度函数。即有 ∂F1 ( x1 , t1 ) (2.1 - 1)
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PY X(tt1/1) xy1 1,,Y X(tt2/2) yx22,,....Y X ..(,,ttm /n) yxn m ;
2022/3/22
•若存在
Fx1,x2,..x.n,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y .m .,t1/,t2 /,.t.m /.
x1x2...xny1y2...ym
相关函数 R X(t1,t2)R X(只)与 t2 t1有
关,则称X(t)为宽平稳随机过程。
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联合宽平稳随机过程
•若X(t),Y(t)是宽平稳随机 E X t Y ( t ) R X ( ) Y
其中 t2 t1
则称X(t),Y(t)为联合宽平稳随机过程
2022/3/22
各态历经性(遍历性)
•令x(t)为X(t)的样函数,时间平均值
x(t)lim1
T
x(t)dt
T2T T
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• 若X(t)的数学期望与样函数的时间平均值
相等的概率为1,即 P E X (x (t)) 1
则X(t)为均值遍历过程。
2022/3/22
• 样函数的时间平均自相关函数为
布函数。
• 如果存在
F1(x1,t1) x1
p1(x1,t1)
维概率密度。
则称其为X(t)的一
2022/3/22
2.随机过程的数字特征
(1) 数学期望(统计平均值)
E [X (t)] xp(x,t)dxm X(t)
(2) 方差 D [ X ( t ) ] E { X ( t ) E [ X ( t ) ] } 2 [ x m X ( t ) ] 2 p ( x ,t ) d x 2 X ( t )
2022/3/22
3.3 平稳随机过程
• 如果对于任意n和t1,t2,…,tn以及 有
px1,x2,..xn .,t,1,t2,.tn ..
p(x1,x2,..xn .,t,1,t2,tn)
则称X(t)为严平稳随即过程(狭义平稳 随即过程)
2022/3/22
返回目录
宽平稳随机过程
•若X(t)的数学期望 EX(t)mx为常数,且自
2022/3/22
两个随机过程的数字特征
• 互相关函数
R X Y ( t 1 ,t 2 ) E [ X ( t 1 ) Y ( t 2 ) ] x y p ( x ,t 1 ,y ,t 2 ) d x d y
• 互协方差函数
C X Y(t1 ,t2)E { [X (t1 ) m X (t1 )][Y (t2) m Y(t2)]} R X Y(t1 ,t2) m X (t1 )m Y(t2)
x(t)x(t)lT i m 2 1 T T Tx(t)x(t)dt
自相关遍历过程
2022/3/22
• 若X(t)的均值和自相关均为遍历的,则X(t)为 宽遍历随机过程。
• 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为1项等,则X(t) 为严遍历过程。
2022/3/22
• 若X(t)是平稳高斯随机过程,且
Px1,x2,..x.n,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y .m .,t1/,t2 /,.t.m /.
则称为X(t)和Y(t)的n+m维联合概率密度
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随机过程的相互独立
• 对于任意整数n,m以及t1,t2,,,,tn,t1 ',t2 ',...,tm '
F(x1, x2,...xn,t1,t2,...,tn; y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
Fx1,x2,...xn,t1,t2,...,tn F(y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
p(x1, x2,...xn,t1,t2,...,tn; y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
px1, x2,...xn,t1,t2,...,tn p(y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
基本概念
1、什么是随机变量？ 2、什么是随机过程？(举例) 3、随机变量与随机过程的关系？
2022/3/22
随机过程的概念
• 样本函数:随机过程的实现(取值) • 样本函数空间:所有实现构成的集合称为随
机过程的样函数空间。 • 随机过程:样函数空间极其统计特性,构成随
机过程。 • 随机过程的表示:
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3. 两随机过程的联合分布函数和数字特征
• [n+m] 维随机向量 X (t1 ),X (t2 ),...X (tn );Y 1 ',Y 2 ',...Y M ' • 的联合分布函数定义为
Fx1,x2,..x.n,,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y.m .,t1/,t2/,.t.m /.
(3) 自相关函数(统计平均,或称集平均)
E [ X ( t 1 ) X ( t 2 ) ] R X ( t 1 ,t 2 ) x 1 x 2 p ( x 1 ,x 2 ,t 1 ,t 2 ) d x 1 d x 2
(4) 自协方差函数 C X ( t 1 ,t 2 ) R X ( t 1 ,t 2 ) m X ( t 1 ) m X ( t 2 ) (5) 归一化协方差函数——相关系数 X(t1,t2)XC(Xt1()t1,Xt2()t2)
E X(0 t); R ()d
• 则X(t)是遍历过程。 • 遍历过程一定是平稳过程,但平稳过程不一
通信原理
随机过程
本章难点
• 随机过程的理解 • 匹配滤波器设计
2022/3/22
3.1 引言
• 通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰 和噪声的波形更是随机的、不可预测的。 我们称其为随机干扰和随机噪声。
• 随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的,但它们具有一定的统计规律性。 返回目录
2022/3/22
X(t), Y(t) 随机过程 x(t), y(t) 样本函数
2022/3/22
3.2 随机过程的统计(概率)特性
• 随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度 描述。
2022/3/22
返回目录
1. 随机过程的分布函数和概率密度
• F 1(x1,t1)P [X (t1)x1]称作随机过程X(t)的一维分
2022/3/22
•若存在
Fx1,x2,..x.n,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y .m .,t1/,t2 /,.t.m /.
x1x2...xny1y2...ym
相关函数 R X(t1,t2)R X(只)与 t2 t1有
关,则称X(t)为宽平稳随机过程。
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联合宽平稳随机过程
•若X(t),Y(t)是宽平稳随机 E X t Y ( t ) R X ( ) Y
其中 t2 t1
则称X(t),Y(t)为联合宽平稳随机过程
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各态历经性(遍历性)
•令x(t)为X(t)的样函数,时间平均值
x(t)lim1
T
x(t)dt
T2T T
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• 若X(t)的数学期望与样函数的时间平均值
相等的概率为1,即 P E X (x (t)) 1
则X(t)为均值遍历过程。
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• 样函数的时间平均自相关函数为
布函数。
• 如果存在
F1(x1,t1) x1
p1(x1,t1)
维概率密度。
则称其为X(t)的一
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2.随机过程的数字特征
(1) 数学期望(统计平均值)
E [X (t)] xp(x,t)dxm X(t)
(2) 方差 D [ X ( t ) ] E { X ( t ) E [ X ( t ) ] } 2 [ x m X ( t ) ] 2 p ( x ,t ) d x 2 X ( t )
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3.3 平稳随机过程
• 如果对于任意n和t1,t2,…,tn以及 有
px1,x2,..xn .,t,1,t2,.tn ..
p(x1,x2,..xn .,t,1,t2,tn)
则称X(t)为严平稳随即过程(狭义平稳 随即过程)
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宽平稳随机过程
•若X(t)的数学期望 EX(t)mx为常数,且自
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两个随机过程的数字特征
• 互相关函数
R X Y ( t 1 ,t 2 ) E [ X ( t 1 ) Y ( t 2 ) ] x y p ( x ,t 1 ,y ,t 2 ) d x d y
• 互协方差函数
C X Y(t1 ,t2)E { [X (t1 ) m X (t1 )][Y (t2) m Y(t2)]} R X Y(t1 ,t2) m X (t1 )m Y(t2)
x(t)x(t)lT i m 2 1 T T Tx(t)x(t)dt
自相关遍历过程
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• 若X(t)的均值和自相关均为遍历的,则X(t)为 宽遍历随机过程。
• 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为1项等,则X(t) 为严遍历过程。
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• 若X(t)是平稳高斯随机过程,且
Px1,x2,..x.n,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y .m .,t1/,t2 /,.t.m /.
则称为X(t)和Y(t)的n+m维联合概率密度
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随机过程的相互独立
• 对于任意整数n,m以及t1,t2,,,,tn,t1 ',t2 ',...,tm '
F(x1, x2,...xn,t1,t2,...,tn; y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
Fx1,x2,...xn,t1,t2,...,tn F(y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
p(x1, x2,...xn,t1,t2,...,tn; y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
px1, x2,...xn,t1,t2,...,tn p(y1, y2,..., ym,t1',t2' ,...,tm' )
基本概念
1、什么是随机变量？ 2、什么是随机过程？(举例) 3、随机变量与随机过程的关系？
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随机过程的概念
• 样本函数:随机过程的实现(取值) • 样本函数空间:所有实现构成的集合称为随
机过程的样函数空间。 • 随机过程:样函数空间极其统计特性,构成随
机过程。 • 随机过程的表示:
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3. 两随机过程的联合分布函数和数字特征
• [n+m] 维随机向量 X (t1 ),X (t2 ),...X (tn );Y 1 ',Y 2 ',...Y M ' • 的联合分布函数定义为
Fx1,x2,..x.n,,t1,t2,.t.n;.y1,y2,.y.m .,t1/,t2/,.t.m /.
(3) 自相关函数(统计平均,或称集平均)
E [ X ( t 1 ) X ( t 2 ) ] R X ( t 1 ,t 2 ) x 1 x 2 p ( x 1 ,x 2 ,t 1 ,t 2 ) d x 1 d x 2
(4) 自协方差函数 C X ( t 1 ,t 2 ) R X ( t 1 ,t 2 ) m X ( t 1 ) m X ( t 2 ) (5) 归一化协方差函数——相关系数 X(t1,t2)XC(Xt1()t1,Xt2()t2)
E X(0 t); R ()d
• 则X(t)是遍历过程。 • 遍历过程一定是平稳过程,但平稳过程不一
通信原理
随机过程
本章难点
• 随机过程的理解 • 匹配滤波器设计
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3.1 引言
• 通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰 和噪声的波形更是随机的、不可预测的。 我们称其为随机干扰和随机噪声。
• 随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的,但它们具有一定的统计规律性。 返回目录
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X(t), Y(t) 随机过程 x(t), y(t) 样本函数
2022/3/22
3.2 随机过程的统计(概率)特性
• 随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度 描述。
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1. 随机过程的分布函数和概率密度
• F 1(x1,t1)P [X (t1)x1]称作随机过程X(t)的一维分