通信原理—随机过程
通信原理—随机过程5讲(新)
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
9
2019/10/19 电 子 技 术 系
误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
5
2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
14
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
0 (t) 0 h( )i (t )d
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
通信原理-随机过程课件
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
通信原理教程3-随机过程
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理第三章随机过程
4、平稳随机过程通过线性系统
4、平稳随机过程通过线性系统
5、窄带随机过程（1）
PX (
f
)
1 4PXL( Nhomakorabeaf
fc ) PXL ( f
fc )
5、窄带随机过程（2）
注意窄带过程为平稳随机过程！
XL (t) Z(t)e j2 fct
Xc t Xˆ s t ?
5、窄带随机过程（3）
试证明
5、窄带随机过程（4）
广义平稳序列，均值为ma，g(t)在一个周 期T内有值，周期平均值为mg。易证这是 一个（非周期）广义平稳的随机过程。
7 循环平稳随机过程
均值 E X t E an E g t nT mamg
n
自相关 Rg Rg t,t
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
均和第一种形式的周期平稳随机信号在一个周期内的平均相等。
1 T
k
Ra
k
g* u g u
kT du
1 T
k
Ra
k
Rg
kT
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
Ra
k
k exp
jk 2
fT
7 循环平稳随机过程
对于基带过程
X t ang t nT ② n
其中α是[0,T]上均匀分布的RV。an序列为
功率谱密度
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
现代通信原理 第3章 随机过程
随机过程ξ (t)的n维概率密度函数
n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1,t2 ,, tn ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) x1 x2 xn
(3-4)
（3）随机过程的二维概率分布函数
随机过程ξ (t)的二维概率分布函数
(3-20)
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
• “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程
的所有可能状态。因此， 使“统计平均”化为“时间平均”，使实
际测量和计算的问题大为简化。
•具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过
(3-17)
为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕 着一水平线起伏。
同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=
常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是 常数。 而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
互协方差与互相关函数
设ξ (t)与η (t)分别表示两个随机过程，则
• 互协方差函数定义为
B t1 , t2 E t1 a t1 t2 a t2
(3-12)
• 互相关函数定义为
R t1 , t2 E t1 t2
0 2
2
0
通信原理第3讲随机过程
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
通信原理 随机过程 ppt
2 erf x π
互补误差函数
x
0
exp t dt
2
(3.3 - 11)
2 erfc x 1 - erf x π
x
exp t
dt
2
(3.3 - 13)
当x 1时， erfc x
1 x π
e
x2
安庆师范学院物理与电气工程学院
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
如果存在
F1 ( x1; t1 ) P (t1 ) x1
(3.1 1)
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1 x2
(3.3 - 14)
7
3.1 概率分布知识回顾 8正态随机变量
Q函数
f(t)
1 Q x 2π
x
t2 exp dt x 0 2 (3.3 15)
称为Q函数
0x
t
F ( x)
1 2
t2 1 exp 2 dt 1 2 1 Q( x)
方差特性：
D[c] 0, c为常量 D[cX ] c 2 D[ X ] X , Y相互独立 : D[ X Y ] D[ X ] D[Y ]
c. 协方差：C[XY]表示X和Y之间相关性强弱的数字特性
C[ XY ] E[( X a X )(Y aY )]
通信原理随机过程总结
通信原理随机过程总结通信原理是指在信息传输过程中所涉及的基本原理和方法。
随机过程则是指在一定条件下，随机事件在时间或空间上的演变规律。
本文将结合通信原理和随机过程的相关概念，探讨通信原理中随机过程的应用和影响。
在通信系统中，随机过程是一个重要的概念。
通信系统中的信号往往受到各种噪声的干扰，这些噪声往往是随机的。
因此，研究随机过程对于理解和分析通信系统的性能具有重要意义。
我们来了解一下随机过程的基本概念。
随机过程是一种随机变量的集合，它描述了一组随机事件在时间上的演变规律。
在通信系统中，随机过程可以用来描述信号的统计特性。
例如，我们可以通过随机过程来描述信号的平均功率、功率谱密度等统计参数，从而分析信号在传输过程中的性能。
在通信系统中，随机过程常常用来描述信道的特性。
信道是信号传输的媒介，而信道的特性往往是随机的。
例如，无线信道中的多径效应导致信号在传输过程中发生衰减和时延扩展，这些衰减和时延扩展往往是随机的。
因此，我们可以通过随机过程来描述信道的衰落模型和时延扩展模型，从而分析信道对信号传输的影响。
随机过程还可以用来描述通信系统中的各种干扰。
通信系统中的干扰往往是随机的，例如，多用户干扰、同频干扰等。
通过建立合适的随机模型，我们可以对这些干扰进行统计分析，从而评估系统的性能。
在通信系统中，随机过程还可以应用于误码性能分析。
误码是指在信号传输过程中由于噪声等因素引起的错误。
通过建立合适的随机模型，我们可以分析误码率的统计特性，从而评估系统的可靠性和性能。
通信原理中的随机过程在理解和分析通信系统的性能方面起着重要的作用。
通过对随机过程的研究，我们可以更好地理解通信系统中信号、信道、干扰等的统计特性，从而设计和优化通信系统，提高系统的可靠性和性能。
通过对通信原理和随机过程的学习，我们可以更好地理解和分析通信系统的性能。
随机过程的应用使得我们能够对信号、信道和干扰等进行统计分析，从而评估和优化系统的性能。
通信原理第3章-随机过程
部Xs(t)是实平稳过程
各态历经性（遍历性）
•令x(t)是X(t)的某一个样本函数，若X(t)的某个数字 特征可以通过x(t)的对应时间平均得，则称该随机 过程的该数字特征具有遍历性。
实偶函数的傅氏变换是实偶函数
3.4 高斯随机过程（正态）
若从随机过程X(t)中任意采n个点，所得n个随 机变量总是服从联合高斯分布，则称X(t)为高 斯随机过程。
1) 对于高斯过程，宽平稳=严平稳：
对于宽平稳高斯过程，两个随机变量之间的协 方差只与时间差有关。将式(3.4.1)左边的 t1,t2,…,tn统一偏移t时，协方差矩阵B不变，即 (3.4.1)右边不变
对于t1和t2时刻的两个随机变量X1=X(t1)， X2=X(t2)： (1) 相关值E[X1X2]一般是t1和t2的二元函数，称为自
相关函数，记为RX(t1,t2)。 (2)自协方差函数：扣除均值后的自相关函数。
(3) 归一化协方差函数(相关系数)：扣除均值，再使 方差归一化为后的自相关函数。
随机过程的多维分布函数
数可能不同，记为t的函数：F(x,t)=P[X(t)≤x] , 称作 随机过程X(t)的一维分布函数。 • 如果对应的概率密度p(x,t)存在，称为X(t)的一维概 率密度。
2.随机过程X(t)的数字特征
对于t时刻的随机变量X=X(t)，有如下数字特征 (1) 数学期望(统计平均值)：E[X] (2) 二阶矩：E[X2] (3) 方差：扣除均值后的二阶矩 就一般随机过程而言，以上数字特征都是t的函数。
通信原理第3章-随机过 程
通信原理—随机过程
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn ) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
12
第3章 随机过程
性质：
该定义表明，严平稳随机过程的统计特性不随时间 的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 （广义）平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有 着很大的实际意义。
14
第3章 随机过程
3.2.2 各态历经性
互相关函数
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
11
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(x,
t)dx
[a(t
)] 2
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
9
第3章 随机过程
相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
通信原理第2章
X(t)的自相关函数为
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
E[ A cos(wct1 ) A cos(wct2 )]
A E{cos wc (t 2 t1 ) cos[wc (t 2 t1 ) 2 ]} 2
A2 A2 cos wc (t2 t1 ) 2 2
（2）R(∞)=E2[X(t)]
（3）|R(τ)|≤R(0)
(X(t)的直流功率)
(R(τ)的上界)
三、各态历经性
假设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，它的时间 均值和时间相关函数分别为
a x(t ) lim
T
1 T /2 T / 2 x(t )dt T 1 T /2 T / 2 x(t ) x(t )dt T
解
(1) 先考察X(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
a(t ) E[ X (t )] A cos(wc t )
0 2
1 d 2
A 2
2
0
(cos wct cos sin wct sin )d
2 2 A [cos wct (cosd sin wct sin )d ] 0(常数） 0 0 2
且有
a
p( x)dx
a
1 p( x)dx 2
3） a表示分布中心，σ表示集中程度，p(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称p(x)为标准正态分 布的密度函数。 4）正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分， 即
F ( x) p ( X C )
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平稳随机过程
随机信号分析
基本概念
统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
均值
E[ (t)] x1 f1(x1)dx1 a
自相关函数
R(t1,t2 ) E (t1) (t1 )
x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2 R( )
R (t1, t2 ) E (t1)(t2 )
正弦波加窄带 高斯噪声
B(t1, t2 ) R(t1, t2 ) a(t1)a(t2 )
小结
现代通信原理
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数字特征
随机信号分析 相关函数
基本概念
统计特性和 数字特征 平稳随机过程
(t )
(t) a (t) (t )
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平 稳性的随机信号成为平稳随机过程
观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察 时刻的影响
严格平稳：全部统计特性平稳 广义平稳：部分统计特性平稳
均值平稳 自相关平稳
a(t) E[ (t)] E[ (t t)] a0 R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) R( )， t2 t1
(t) a (t )
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
t
t
(t ) 过程是慢变化，(t ) 过程是快变化，它们大致有相
同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 (t)
来说，相关性强；对于 (t) 来说，相关性强弱
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高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
随机过程的基本概念
随机过程ξ(t)具有两个基本特征：
ξ(t)是时间t的函数；
在某一观察时刻t1，样本的取值ξ(t1)是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族
随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关 联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
协方差函数
同一随机过程,不同时间间关系——自协方差函数
B(t1,t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
数字特征
【例】
已知X和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方 差分别为2和6，试求 Z (t) X cos w1t Y sin w1t 的均值、方差和自相关函数。
x
2
f1
(
x,
t
)dx
a(t
)2
方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程
在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
D(X ) E(X 2 ) E2 (X )
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数字特征
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
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现代通信原理
数字特征
分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随 机过程的统计特性
在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和 概率密度函数，
用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计 特性，更简单直观。
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数字特征
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
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现代通信原理
随机过程的基本概念
确定性过程
其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述
随机过程
其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描 述。
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
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现代通信原理
数学期望（均值）
E[ (t1)] x1 f1(x1, t1)dx1
均值和方差是对 随机变量求积分 或求和
a(t) E[ (t)] x f1(x,t)dx
方差
均值和方差是时
间的函数
D (t) E (t) a(t)2 E 2(t) a(t)2
x1 a(t1) x2 a(t2 ) f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
不同随机过程,不同时间间关系——互协方差函数
B (t1, t2 ) E (t1) a (t1) (t2 ) a (t2 )
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数字特征
随机信号分析
相关概念
xy
E[ X
E( X )]E[Y E(Y )] D( X )D(Y )
xy 0
X和Y不相关
xy 1
X和Y线性相关
独立概念
F (x, y) FX (x) FY ( y) f (x, y) fX (x) fY ( y)
E[ XY ] E[ X ]E[Y ] D[ XY ] D[ X ]D[Y ] E[aX bY ] aE[ X ] bE[Y ] D[aX bY ] a2D[ X ] b2D[Y ]
R(t1,t1 ) R( )
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现代通信原理
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平稳随机过程
随机信号分析
基本概念
统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
设有一个二阶矩随机过程 (t) ，它的均值为常数，
自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
随机过程的基本概念
随机过程的定义：设 Sk (k 1, 2, ) 是随机试验。每一次试
验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作
，
所有xi可(t)能出现的结果的总体
x1(t), x2 (t),, xn (t)
就构成一随机过程，记作 (t) 。
简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
随机过程
随机过程的基本概念 统计特性和数字特征 平稳随机过程 高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声
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任意非零值
fn (x1, x2,, xn;t1 h,t2 h,,tn h)
则称 (t) 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
一维概率密度函数
f1(x1, t1) f1(x1)
二维概率密度函数
f2 (x1, x2;t1, t2 ) f2 (x1, x2; )
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t2 t1
几个基本概念
随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可 变；
样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是 固定的；
样本随机变量：t固定时，随机信号的状态;
样本值：确定的数值，t与s均固定
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
现代通信原理
一维分布函数：
F1(x1, t1) P[ (t1) x1]
一维概率密度函数：
F1(x1, t1) x1
f1(x1, t1)
二维分布函数：
随机过程的 统计特性用 分布函数、 概率密度函 数或数字特 征来描述。
F1(x1, x2;t1, t2 ) P (t1) x1, (t2 ) x2
随机(s过, t )程
确定样本函数集合
(si ,t)
i 1,2,...
随机(s过, t )程
随机变量集合 (s,ti ) i 1,2,...
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统计特性
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程Fra bibliotek相关函数
同一随机过程,不同时间间关系——自相关函数
R(t1,t2 ) E (t1) (t2 )
x1x2 f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
不同随机过程,不同时间间关系——互相关函数
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R[Z (t1), Z (t2 )] E[( X cos w1t1 Y sin w1t1)( X cos w1t2 Y sin w1t2 )] E( X 2 )[cos w1t1 cos w1t2 sin w1t1 sin w1t2 ] E[ XY ](cos w1t1 sin w1t2 cos w1t2 sin w1t1) E( X 2 ) cos(w1(t2 t1)) E[ X ]E[Y ]sin(w1(t2 t1)) 10 cos(w1(t2 t1)) 4sin(w1(t2 t1))