第一.二..三章习题

（5） f ( z ) 在 D 内解析 题设 f ( z ) u iv 在 D 内解析， 有
u v u v , x y y x
f ( z ) u iv 在 D 内解析得 u v u v x y y x
（1 ）
又
（2）
由（1） （2）得
x y 2x
2 2
a a2 b2
1 a b
2 2

2a a2 b2
1 a 为直线 2
5. 试证 arg z 在原点与负实轴上不连续。 证明（1）arg z 在原点未定义，故不连续。
（2）在负实轴上取一点 P ( x , 0) ( x 0) 当 z 在上半平面上时, z P , lim (arg z )
(2) Re(i z ) 3

4

直线 y 3
(3) arg( z i )
以( 0 , i ) 为起始点
的 y x 1 的射线( x 0 )
1 4. 函数 把下列 z 平面上的曲线映 z 射成 平面上怎样的曲线?
(1) y x
(2)
( x 1) 2 y 2 1
若 b 0, 则a 0，可得同样结论 .
v u a b 0 x x 若 a 0, b 0, 则有 a u b v 0 y y
v u a b 0 x x 由C R方程有 a v b u 0 x x
2:如果函数f ( z ) u iv是z的解析函数， 2 2 2 证明:( | f ( z ) |) ( | f ( z ) |) | f '( z ) | x y
2. 如果f ( z ) u iv是z的解析函数， 2 2 2 ' 证明： [ f ( z) ] [ f ( z) ] f ( zz1 z 2 z 3
z 3 z1 2 z 2 z1 z 2 z 3 (1) 得 ( 2) z 2 z1 2 z 3 z1 z 2 z1 z 3 z1 2
z 2 z1 z 3 z1 ，
(1)
( 2)
同理 z1 z 2 z 2 z 3
4 ln 5 iarctg ( ) 2ki 3 4 ln 5 i ( arctg ) 2ki 3 (k 0 , 1, 2 , ...) 4 所以主值为 ln 5 i ( arctg ) 3
4. 求 e
1i

2
和 3i 的值
解答 (1) e
1i

2
e.e
i

2
e cos( ) i sin( ) ie 2 2
(2) 3i eiLn 3
而 所以
3i ei ln 32 ki ei ln 32 k e 2 k ei ln 3 e 2 k (cos ln 3 i sin ln 3)
2u 2u 解 : 2. 2 2 0, f (t ) c arctan t d . x y
6. 指出下列函数 f ( z ) 的解析性区域，并求 出其导数: (1) ( z 1) 5 (2) z 3 2iz
解答 (1) ( z 1)5
f ( z ) 5( z 1) 4 , f ( z ) 在复平面内处处解析。
u xy 2 , v x 2 y
u v v 2 u y , 2 xy , 2 xy , x2 x y x y
满足
u v u v , x y y x
即 y2 x2
2 xy 2 xy y x , x 0
或 y 0 x 0, y 0 即只在 z 0 处可导，在复平面上处处不 解析。
1 z (cos nt i sin nt ) n (cos nt i sin nt ) z
n
1
cos nt i sin nt cos nt i sin nt 2 cos nt
z 2 z1 z1 z3 3. 如果复数 z1 , z2 , z3 满足等式 z3 z1 z 2 z3
第一章
1．求下列复数的三角表示,指数表示,模和幅角主值
(1).(1 3i )
n 2
(cos4 i sin 4 ) (2). (cos3 i sin 3 ) 3
2．如果 z e it ，证明： z n
1 zn
2 cos nt 。
证明 由于 z e it 故可得 z cos t i sin t
这几个式子表明
z1 , z 2 , z 3 构成一个正三角形。
4. 指出下列各题中点 z 的轨迹或所在 范围，并做图： (1) z 2i 1；(2) Re(i z ) 3； (3) arg( z i ) 4

解答 (1) z 2i 1 在复平面上以 ( 0 ,2 ) 为圆心，以 1 半径的圆及圆外部区 域。
y 0
当 z 在下半平面上时， z P, lim (arg z )
y 0
arg z 在 P ( x ,0) ( x 0) 处不连续
由 x 0 的任意性知，arg z 在原点与负实轴上 不连续。
第二章
1:如果函数f ( z )在区域D内解析， 试证明： i f ( z )在D内也是解析的。
Ln3 ln 3 iarg(3) 2k ln 3 2ki
5.下列函数何处可导？何处解析？ （1） f ( z ) xy 2 ix 2 y （2） f ( z ) sin xchy i cos xshy 解答 （1） f ( z ) xy 2 ix 2 y
证明 z2 z1 z3 z1 z2 z3 并说明这些等 式的几何意义。
证明
z 2 z1 z1 z3 由 z3 z1 z 2 z3
z2 z3 z2 z1 ( z2 z1 ) ( z1 z3 ) ( z z ) ( z z ) 3 1 2 3 z2 z3 z2 z1
（2） f ( x) sin xchy i cos shy u sin xchy , v cos xshy
u u cos xchy , sin xshy , x y v v sin xshy , cos xchy x y u v u v , 即 x y y x
证明
f ( z ) u2 v 2 ,
1 1 2 u 2 2 f ( z ) ( u v ) 2u x 2 x 1 1 2 v 2 2 ( u v ) 2v 2 x

u v v 2 2 x 2 2 x u v u v u
f (z) y
解答 设 z 平面上为 z x iy , 平面上 点为 a bi
(1) y x
1 a bi i 2 2 2 2 2y x y x y 2x x yi 1
1 a 2x 1 b 2y
1 x 2a 1 y 2b
(2)
z 3 2iz
f ( z ) 3 z 2 2i , f ( z ) 在复平面内处处解析。
7. f ( z ) u iv 在区域D内解析，并满足下列 条件之一， 即f ( z )是常数. (1) f ( z ) 在D内是一常数
(2)au bv c, 其中a, b, c为不全为零的实常数； (3) f ( z )在D内恒为实数（或虚数） ； (4) arg f ( z )在D内是常值函数； (5) g ( z ) u iv也是D内解析函数。
1 1 x y 2a 2b
a b 为直线
(2) ( x 1) 2 y 2 1
a b x x y y
2 2
设 z x yi
x2 y2 x 2 2x 1 y 2 1 a b
2 2
1

x2 y2
2 2
x ( x y )a
证： （ 1 ） 由习题知， f ' ( z ) 0从而f ' ( z ) 0在D 内处处成立， 再由例3知在D内为一常数.
v v (2) 若a 0, 则 b 0, 故 b b 0 x y
u u v v 由C R方程知 0 x y x y 故f ( z )为一常数.
u v v 2 2 y 2 2 y u v u v u u
v v u 2 2 x 2 2 x u v u v
经整理有
2 u 2 v 2 2 2 ' ( f (z) ) ( f ( z) ) ( ) ( ) f ( z) x y x x
(1) (2)
u (1) a ( 2) b. 得 (a b ) 0 x 2 2 v (1) b ( 2) a. 得 ( a b ) 0 x
2 2
u 0 x v 0 x
u u v v 再由C R方程， 知 0 x y x y 从而f ( z )为一常数.
3.求 Ln(i) , Ln(3 4i) 和它们的主值。
解答 Ln(i ) ln i i arg( i ) i (2k ) 0 i 2ki
2 1 (2k )i (k 0 , 1 , 2...) 2
所以主值为： i
2 Ln(3 4i ) ln 3 4i iArg (3 4i )
u u v v 0 x y x y
所以 所以
u c1 , v c2 f ( z ) c1 ic2
第三章
1.沿指定曲线的正向计算下列各积分：