高考数学难点32极限及其运算
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中，函数极限与连续性是一道难题，许多学生常常感到头疼。
然而，只要掌握正确的解题方法和技巧，这类题目不再是难题。
本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法，帮助学生们更好地应对这一考点。
一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。
在解决函数极限难题时，一般可以采取以下步骤：1. 确定x趋于的值：首先，需要明确x的变化趋势，是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。
根据情况，选择使用不同的极限判断方法。
2. 分解式并化简：对于复杂的函数，可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目，找到解题的突破口。
将函数拆解成更简单的形式，有助于快速求解。
3. 利用常用极限公式：高考中涉及到的函数极限问题中，有许多常用的极限公式可以利用。
例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。
当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时，可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式，进一步求解。
5. 利用夹逼定理：夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。
当某一函数趋于极限时，可以找到两个已知函数，一个极限值较小，一个极限值较大，通过这两个函数夹逼待求函数，从而确定其极限。
二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点，解决函数连续性难题可以采取以下方法：1. 确定函数的定义域：首先，需要明确函数的定义域，即x的取值范围。
根据定义域的特点，确定函数在该范围内是否连续。
2. 利用函数连续性的性质：函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。
例如，有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。
3. 分段讨论函数的连续性：对于分段函数，可以将函数分为不同的区间，并分别讨论每个区间上的连续性。
通过分段讨论，可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。
4. 利用介值定理和零点定理：介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。
高考数学中的极限问题解析
高考数学中的极限问题解析高考数学中，极限问题是一个相对来说比较难的题型，但它是数字运算的基础，也是整个数学学科的核心概念之一。
因此，掌握高考数学中的极限问题非常重要。
一、极限的概念极限的概念是指数列或函数随着自变量趋近于某一值时所达到的极限值。
数列和函数都有自变量，当自变量变化时，因变量也会相应地发生变化。
极限的概念就是通过探究因变量的变化规律，来确定自变量趋近于某个值时因变量的取值。
二、极限的性质极限有很多性质，以下主要介绍常用的几个。
1. 唯一性对于某个数列或函数，它的极限只有可能有一个，即不存在多个不同的极限值。
2. 保号性如果极限值为正数，则必然存在一个与其小但大于0的正数；如果极限值为负数，则必然存在一个与其小但小于0的负数；如果极限值为0，则必定存在一个与其小的正数和负数。
3. 夹逼定理如果某个数列或函数，对于一个自变量趋近于某个值的区间，存在两个数列或函数，一个递增且趋近于某个限值，另一个递减且趋近于相同的限值，则该数列或函数的极限就是这个限值。
三、常见的极限计算方法1. 直接代入法这是最简单、最常用的一种求极限的方法。
当自变量趋近于某个数值的时候，可以直接将那个数值代入函数表达式中，看看函数是否有定义且取值有限，如果有，就代表它存在极限。
2. 替换法在求某个函数在某一点的极限时，一般可以用代数式子来替换函数式子，这样就可以直接用代数方式求值了。
这种方法的关键是，被替换的函数式子需要符合极限的定义。
3. 等价无穷小代换法当函数的极限无法直接求得时，可以用等价无穷小代换法来解决。
这种方法的核心是找到一个相对于极限值的无穷小量，以破除在求取某个函数极限时的不定性。
4. some other methods。
还有很多其他的求极限方法，这里就不一一列举了。
四、常见的极限问题类型1. 无穷大类型当函数的自变量趋近于某个数值时，函数取值越来越大，这种情况下就存在无穷大的情况。
即如果自变量增大，函数值也必须无限增大，反之，如果自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0。
高考数学32条秒杀公式
高考数学32条秒杀公式高考数学是每个学生都要面对的挑战之一。
然而，对于很多学生来说，数学可能是最令人头疼的一门科目。
为了帮助学生更好地应对高考数学，本文将介绍32条秒杀公式，希望能帮助学生在高考中取得好成绩。
一、代数部分1. 二元一次方程： ax + by = c解法：找到两个不同系数的方程，通过加减消去其中一个未知数。
2. 因式分解：将多项式分解为不可再分解的乘积形式。
解法：找到公因式，然后使用配方法或特殊公式进行分解。
3. 二次函数的顶点坐标： x = -b/2a解法：利用顶点坐标公式可以轻松求出二次函数的顶点坐标。
4. 二次函数的最大最小值：最大值/最小值 = -D/4a解法：根据最大最小值公式可以求得二次函数的最大最小值。
5. 幂函数的性质： a^x * a^y = a^(x+y)解法：利用幂函数性质进行合并或拆分。
二、函数部分1. 函数的图像与方程：根据给定的函数图像，确定函数方程。
解法：根据图像的性质，确定函数的一些特征，进而得到函数的方程。
2. 函数的复合：(f◦g)(x) = f(g(x))解法：将复合函数的内部函数代入外部函数，并根据题目要求进行计算。
3. 函数的奇偶性判断：f(-x) = f(x) (偶函数)， f(-x) = -f(x) (奇函数)解法：将函数代入判断奇偶性的条件，并比较函数在对称轴两侧的取值情况。
4. 极限的计算：利用极限的性质和公式，求函数在某个点的极限。
解法：根据题目要求，利用极限的性质和公式进行计算。
三、几何部分1. 三角函数的基本关系：sin²x + cos²x = 1, tanx = sinx/cosx解法：根据三角函数的基本关系，进行三角函数的计算和变换。
2. 三角函数的求值：利用三角函数的周期性质，求解三角函数的特殊值。
解法：根据三角函数的周期性质，求解三角函数在一定区间内的值。
3. 三角函数的和差化积：sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny,cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny解法：根据和差化积公式，将三角函数的和差形式转化为积的形式。
高三函数最难的部分知识点
高三函数最难的部分知识点函数作为高中数学的重要内容，对于高三学生来说，掌握其难点是提高数学成绩的关键。
本文将深入探讨高三数学中函数最难的部分知识点，帮助学生理解和应用这些概念，以便在高考中取得优异成绩。
一、函数的极限与连续性函数的极限是描述函数值随自变量变化而趋向于某一特定值的性质。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果f(x)趋近于某一确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
理解极限的概念需要对“趋近于”和“无限接近”有深刻的认识，这是函数学习中的一个难点。
连续性是函数极限的直接应用。
一个函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的值随着自变量的微小变化而变化，且这种变化是没有跳跃的。
如果一个函数在其定义域内的每一点都连续，我们就称这个函数是连续函数。
不连续的点称为间断点，间断点的分类和处理是学习中的又一难点。
二、导数与微分导数是函数图像变化率的数学表达，它描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的局部性质。
导数的计算涉及到极限的概念，因此理解导数首先要对极限有深刻的理解。
导数的计算规则，如乘积法则、商法则和链式法则，是解决复杂函数求导问题的基础。
微分则是导数的另一种表现形式，它描述了当自变量有一个微小变化时，函数值的近似变化量。
对于函数f(x)，其在x点的微分记作df(x)或f'(x)dx，其中f'(x)是函数在x点的导数。
掌握微分的概念和计算方法，对于理解和应用导数至关重要。
三、函数的极值与最值函数的极值是指在函数图像上局部最大或最小值点的函数值。
寻找函数的极值点通常需要计算函数的一阶导数，并找出导数为零的点，这些点可能是极大值点或极小值点。
然后通过二阶导数测试或其他方法来判断这些点是极大值点还是极小值点。
这个过程涉及到导数的综合运用，是函数学习中的高级知识点。
最值问题则涉及到函数在整个定义域内的最大值和最小值。
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。
在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。
例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。
需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题在高考数学科目中，极限问题是一类相对较难且比较常见的问题。
解决复杂的极限问题要求掌握一些技巧和方法，以便能够快速准确地求解。
本文将介绍一些高考数学技巧，帮助你在考试中迅速解决复杂的极限问题。
一、利用代入法简化问题解决复杂极限问题的第一步是观察并尝试利用代入法简化问题。
对于形如lim (x→a) f(x) 的问题，我们可以尝试将 x 代入 a，然后计算函数值，观察其趋近情况。
如果函数在 a 处的函数值已经知道，那么我们可以直接进行代入计算。
通过代入法，我们可以将极限问题转化为一个求解函数值的问题，从而简化计算。
二、利用极限的性质进行变形在计算复杂的极限问题时，我们可以利用极限的性质进行变形，以便更方便地进行计算。
常见的极限性质包括四则运算、函数的复合、极限的唯一性等。
例如，当我们遇到一个复杂的极限问题时，我们可以利用极限的性质将其进行拆解，然后简化计算。
另外，我们还可以利用一些常用的极限公式，如lim (x→0) sin(x)/x = 1，来简化计算过程。
三、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决一些特殊极限问题的有效方法。
当我们计算复杂的极限问题时，可能会遇到一种形式如lim (x→a) f(x)/g(x) 的问题，其中 f(x) 和 g(x) 在 a 处的函数值都为 0 或者±∞。
利用洛必达法则，我们可以将其转化为求导数的问题，然后通过求导计算极限。
具体而言，我们可以对 f(x) 和 g(x) 分别求导，然后计算导数的极限，从而得到原始函数的极限。
四、利用泰勒展开逼近极限有些复杂的极限问题可以利用泰勒展开来逼近。
泰勒展开是将函数在某一点附近用一个多项式逼近的方法。
通过使用泰勒展开，我们可以将原始函数表示为一个多项式的形式，从而简化计算过程。
然而，利用泰勒展开逼近极限可能会导致一定的误差，因此需要注意取近似时的精度。
总结起来，解决高考数学中的复杂极限问题需要我们掌握一些技巧和方法。
高考数学中的重要极限问题
高考数学中的重要极限问题在高考数学中，极限问题占据了相当大的比重。
极限可以被认为是微积分的基本概念之一，是数学中的重要内容之一。
在高考中，学生需要掌握一些重要的极限问题，以便能够解决高难度的数学题。
首先，最基本的一种极限问题是：$\lim\limits_{x\to c} f(x)=A$。
这里，$c$是一个实数，$f(x)$是一个函数，$A$是一个确定的实数。
这个公式的意思是：当$x$无限接近于$c$时，$f(x)$也无限接近于$A$。
在计算这种类型的极限时，我们可以直接代入$x=c$的值，然后计算$f(x)$的值。
如果$f(x)$在$x=c$处连续，那么这个极限就是$f(c)$的值。
其次，另一种重要的极限问题是：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$。
这里，就像之前一样，$f(x)$是一个函数，$A$是一个确定的实数。
这个公式的意思是：当$x$趋向于正无穷大时，$f(x)$趋向于$A$。
在计算这种类型的极限时，我们先要取$f(x)$的一些近似值，然后让$x$增大到足够大的程度，以求得$f(x)$的极限。
需要注意的是，这种极限值的计算可能会涉及到某些函数的特性，例如函数的单调性、奇偶性等等。
还有一种经典的极限问题是洛必达法则(L'Hospital's rule)。
这个方法是用来解决不定式的极限问题的。
具体来说，当函数的极限值为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$这样的形式时，我们可以用洛必达法则来解决它。
这个方法基本上是求导的思路，它的核心是将原式的分子和分母分别求导，然后再计算得出极限值。
需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有的不定式情况，只有在特定的条件下才能使用。
最后，我们还需要提到柯西极限法则(Cauchy's limit theorem)。
这个定理是用来判定函数是否满足柯西收敛的。
柯西收敛是指，如果我们对于任意给定的$\epsilon>0$，都可以找到一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-L|<\epsilon$，那么序列$a_n$就收敛于$L$。
高考数学中的极限问题复习
高考数学中的极限问题复习高中数学中的极限概念是一项重要的内容，是解决数学问题的基础。
在高考中，极限问题占有很大的比重，要想在高考数学中取得更好的成绩，就必须对极限问题有一定的掌握。
在这篇文章中，我将从极限的定义、极限的计算方法以及极限题目解析等方面对高考数学中的极限问题进行复习。
一、极限的定义极限是指一组数列或函数在趋于某个数或趋于无穷大时的极端表现，是求解数学问题的基本概念。
在数学上，极限的定义可分为数列极限和函数极限两种。
对于数列 $\{a_n\}$，当 $n$ 趋向于无穷大时，如果数列$\{a_n\}$ 的极限存在，记为 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，则称数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $A$。
即极限存在当且仅当 $a_n$ 能够无限接近于 $A$。
对于函数 $f(x)$，当 $x$ 趋向于某个数 $a$ 时，如果函数$f(x)$ 的极限存在，记为 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，则称函数$f(x)$ 当 $x$ 趋于 $a$ 时的极限为 $L$。
即当 $|x - a|$ 越来越小时，$f(x)$ 能够越来越接近于 $L$。
二、极限的计算方法在高考中，极限的计算方法是重中之重，以下是常见的计算方法：（1）常数与常数的和、积、差的极限：对于数列 $\{a_n\}$ 或函数 $f(x)$，若 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim_{n \to \infty}b_n = B$，则：$$\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = A+B$$$$\lim_{n \to \infty}a_n b_n = AB$$$$\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = A-B$$（2）分式的极限：若 $\lim_{n \to \infty} f(x) = A$，$\lim_{n\to \infty} g(x) = B\neq 0$，则：$$\lim_{n \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$（3）复合函数的极限：对于函数 $f(x)$，$g(x)$，若 $\lim_{x \to a}f(x) = A$，$\lim_{x \to A}g(x) = B$，则：$$\lim_{x \to a}g(f(x)) = B$$三、极限题目解析以下是几道高考数学中的典型极限题目解析：（1）已知函数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x - 6}$，求$\lim_{x \to -2}f(x)$。
高考数学复习重点难点归纳
高考数学复习重点难点归纳高考数学复习重点难点归纳数学复习的过程里，学生可以把从前做过的错题集中处理一下，通过改正错误，填补自己的知识漏洞，并将复杂习题的解题思路重新领会，加强对常用解题法的掌握。
下面是小编为大家整理的高考数学复习重点难点，希望对您有所帮助!高考数学复习重点第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。
例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。
立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。
从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。
突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。
新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。
加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。
有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。
高考数学冲刺策略1、拓实基础，强化通性通法。
高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
新高考数学难点知识点
新高考数学难点知识点1.函数：在新高考数学中，函数是一个重要的概念。
难点主要在于对函数的定义和性质的理解，包括函数的定义域、值域、掌握函数图像的画法和性质，如奇偶性、对称性等。
2.极限与连续：极限与连续是微积分的基础。
学生需要理解极限的概念，掌握极限的计算方法，并能应用极限理论解决实际问题。
同时，连续函数及其性质也是需要重点掌握的内容。
3.导数与微分：导数与微分是微积分中最基本的概念之一、学生需要掌握导数的定义与性质，包括导数的几何意义和物理意义，以及各种函数的导数计算法则。
此外，微分的概念及其应用也是需要重点理解和掌握的内容。
4.不等式与不等式组：不等式的理解与运用是数学中常见的难点。
学生需要掌握不等式的基本性质和求解方法，包括一元一次不等式、一元二次不等式以及多元不等式组的求解方法。
同时，需要注意不等式的变形和运算规则。
5.向量与立体几何：向量与立体几何是新高考数学中的重要内容。
学生需要掌握向量的定义、运算法则以及向量的性质，包括向量的共线、垂直等概念。
同时，需要理解和掌握立体几何中的基本概念和定理，如平行线与平面、空间直线与平面的位置关系等。
6.概率与统计：概率与统计是数学中的一门重要的应用学科。
难点主要在于理解概率的概念与性质，包括事件与概率、条件概率、随机变量等。
此外，需要掌握统计的基本概念和统计方法，如数据的收集整理、描述性统计、参数估计与假设检验等。
除了上述的难点知识点，还有其他一些相对较难的内容，如三角函数与解三角形、数列与数项等。
对于学生来说，通过多做习题、归纳总结，加强对难点知识点的理解和掌握，是提高数学成绩的有效方法。
高三数学难的知识点有哪些
高三数学难的知识点有哪些高中数学作为一门重要的学科，其知识点众多且难度较大。
在高三阶段，学生们需要系统地学习和掌握各个数学知识点，以应对高考的挑战。
本文将从几个方面介绍高三数学中较为难的知识点。
一、三角函数和三角恒等变换在高三数学中，三角函数是一个相对复杂的概念。
学生们需要掌握正弦、余弦和正切等基本概念，并能够在不同的题目中灵活运用。
此外，三角恒等变换也是高三数学的难点之一。
学生们需要熟悉各类三角恒等式，并能够准确地运用它们解决各类问题。
二、导数与微分导数与微分是高中数学中的重要概念，也是高三数学的难点之一。
学生们需要理解导数的概念、性质和计算方法，并能够在各类函数中求导。
此外，微分的应用也是一个难点，学生们需要将微分知识应用于真实问题的解决中，如曲线的切线方程和极值问题等。
三、数列与数列极限数列是高中数学中的重要内容，也是高三数学的难点之一。
学生们需要掌握数列的概念、性质和求和公式，并能够运用数列求解各类问题。
另外，数列极限也是一个难点，学生们需要理解数列极限的概念，并能够运用极限的方法解决数列极限相关的问题。
四、立体几何与空间向量立体几何和空间向量也是高三数学中较为难的知识点。
学生们需要掌握立体几何的基本概念、性质和定理，并能够在立体几何问题中进行证明和计算。
此外，空间向量的概念和运算也需要学生们深入理解和掌握，以解决空间向量相关的几何问题。
五、概率与统计概率与统计是高三数学中的一项重要内容，也是一项相对较难的知识点。
学生们需要理解概率的概念、性质和计算方法，并能够在各类概率问题中进行分析和推理。
此外，统计的概念和统计方法也需要学生们熟练掌握，以解决各类统计问题。
总的来说，高三数学中的难点包括三角函数与三角恒等变换、导数与微分、数列与数列极限、立体几何与空间向量以及概率与统计等知识点。
学生们需要通过大量的练习和实践，不断加深对这些知识点的理解和掌握，以应对高考中的数学考题。
同时，老师们也应该针对这些难点进行针对性的教学和辅导，帮助学生们克服难点，取得更好的学习效果。
高考数学难的知识点
高考数学难的知识点高考数学是每位学生所面临的挑战之一，其中有一些知识点被广大学生认为是难点。
这些知识点要求学生熟练掌握相关的公式和解题技巧。
在本文中，将详细探讨一些高考数学中被认为比较难的知识点。
一、三角函数的性质和应用三角函数是高考数学中的重要内容，其中涉及到很多性质和应用。
例如，三角函数的周期性和奇偶性是需要掌握的基础知识。
学生在使用三角函数进行计算时，要熟练运用三角函数的性质，灵活地运用诸如和差化积、倍角公式等等。
同时，学生还要学会将三角函数应用到实际问题中，如解决航海、天文、工程等方面的实际问题。
二、平面向量和空间向量的应用平面向量和空间向量是高考数学中的重点内容之一。
学生需要掌握平面向量和空间向量的定义、性质和运算。
此外，学生还需要学会应用向量解决几何和物理问题。
例如，利用向量解决三角形的性质问题、通过向量计算求解平面几何问题等等。
此类问题在高考中出现的频率较高，对学生的综合运用和推理能力提出了较高的要求。
三、导数和微分的应用导数和微分是高考数学的基础知识之一，也是理工科学习的基础。
学生需要掌握导数和微分的定义、性质和应用。
在应用上，学生需要学会通过导数求函数的单调性、极值、拐点等，也需要学会用微分解决物理、经济等实际问题。
此外，学生还需要学会用导数求函数的图像、曲线的切线和法线等问题。
这些都是高考数学中较难的部分，需要学生进行大量的练习和思考。
四、数列和数列的极限数列和数列表示数字排列的规律，它们是数学中一类重要的数学对象。
学生需要掌握数列和数列的定义、性质、运算和求和公式等。
同时，学生还需要学会利用数列的极限来解决极限、函数图像、数学归纳法等问题。
这需要学生具备较强的分析和计算能力，同时也需要较强的抽象思维和推理能力。
五、概率与统计概率与统计涉及到对事件发生的可能性和数据的分析，是数学中非常实用的一部分。
学生需要掌握概率与统计的基本概念、性质和计算方法。
在应用上，学生需要学会利用概率与统计解决生活中的实际问题，如掷骰子、抽样调查、数据分析等。
高考数学如何应对复杂的极限和连续性问题
高考数学如何应对复杂的极限和连续性问题随着高考的临近，许多学生开始为数学复习而烦恼。
尤其是在面对复杂的极限和连续性问题时，很多学生容易感到迷茫和困惑。
本文将介绍一些处理这类问题的有效方法，帮助学生在高考中高效解决极限和连续性问题。
一、理解极限的概念极限是数学中的重要概念，掌握好极限的含义和性质对于解决极限问题至关重要。
首先，学生需要理解极限的定义：当自变量趋于某个值时，函数的值的变化趋势。
其次，熟悉常见的极限性质，例如当自变量趋于无穷大时的极限、复合函数的极限等。
通过理解极限的概念和性质，学生能够更加准确地理解和解决复杂的极限问题。
二、掌握常见的极限计算方法在高考中，经常会涉及到一些常见的极限计算方法，例如利用有理化、夹逼定理、洛必达法则等。
学生应该熟悉并灵活运用这些方法，能够根据具体问题选择合适的方法来求解。
在进行极限计算时，需注意运算的顺序和细节，避免出现计算上的错误。
三、加强对连续性的理解连续性是数学中的另一个重要概念，与极限问题密切相关。
学生需要理解函数连续性的定义和条件，并能够判断给定函数在某一点的连续性。
在解决复杂的连续性问题时，可以运用辅助线、数列趋势等方法来辅助分析。
通过加强对连续性的理解，可以更好地应对相关的数学题目。
四、多进行习题训练提高解决复杂极限和连续性问题的能力需要进行大量的习题训练。
在解题过程中，学生可以尝试使用不同的方法和思路，比较不同方法的优缺点。
并且及时总结解题经验，找到解决问题的规律和技巧。
通过反复练习，不断提升解决复杂数学问题的能力。
五、思维开阔，积极思考面对复杂的极限和连续性问题，学生应该保持积极的思维态度，并且具备一定的数学思维能力。
在解决问题时，可以运用归纳法、逆向思维等方法来开阔思路。
同时，要注重培养自己的逻辑思维和分析问题的能力，善于总结并归纳规律。
通过思维的开阔和积极思考，可以更好地应对复杂的极限和连续性问题。
在高考数学中，极限和连续性是相对难度较大的内容，需要付出更多的努力和时间去理解和掌握。
如何轻松解决高考数学中的极限运算题
如何轻松解决高考数学中的极限运算题高考数学中对于很多考生来说，最令人头疼的题目莫过于极限运算。
极限运算题通常考察的是学生的数学思维能力和逻辑推理能力，因此其难度相对较高。
但是，只要我们在平时的复习和做题中注意一些细节，便能够轻松解决高考数学中的极限运算题。
一、了解基本概念在解决极限运算题之前，我们需要先了解一些基本概念。
极限是函数的重要性质，通俗地说就是当自变量无限趋近某一个值时，函数值也无限趋近于某一个值。
一个函数的极限可以分为左极限和右极限，分别表示自变量趋近于某个值时从左侧和右侧趋近的情况。
使用极限运算时需要注意的是，不同类型的极限有不同的求解方法。
常见的极限类型包括常数极限、无穷大极限、零点极限、复合函数极限等等。
在日常学习中，我们应该通过练习题目加深自己对不同类型极限的了解，以便在实际考试中迅速找到合适的解法。
二、掌握运算方法在解决极限运算题时，我们需要掌握一些基本的运算方法。
首先，我们需要熟悉极限的四则运算法则。
在四则运算中，我们可以对极限中的分子、分母进行因式分解，消去公因式等方法，以便更好地求出极限。
其次，我们也需要注意在使用不同的运算法则时需要特别谨慎。
例如使用复合函数极限时，我们需要先确定函数的极限是否存在，并且需要注意嵌套的函数之间的关系。
此外，在使用极限换元法时也需要学会选择合适的变量代替原变量，避免造成混淆和错误。
三、注重思维方式无论是何种类型的极限运算题目，思维方式都是解决问题的关键。
在解决极限运算题时，我们需要动脑筋、善于发散思维，寻找不同的解法，以便更好地找到最简便的方法。
有的题目需要使用级数展开等复杂的方法，而有的则可以通过化简、整理等简单方法迅速得出答案。
同时，在进行思考时需要在纸上进行草稿，尤其是在处理一些复杂的式子时。
这样可以帮助我们更好地理清思路，避免遗漏细节以及混乱的算式步骤。
当我们对问题的思考清晰明了时，解决问题也就更加容易和轻松。
四、多做练习最后，要想真正掌握高考数学中的极限运算题目，我们需要大量的练习。
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题高考数学中，复杂的极限与连续性问题常常让学生感到头疼。
在解题过程中，掌握一些快速计算的技巧可以帮助学生更高效地解决这些难题。
本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助学生在高考中迅速解答复杂的极限与连续性问题。
1. 利用极限的性质进行计算在计算复杂的极限问题时，可以利用极限的性质进行简化。
例如，对于形如lim(x→a) [f(x) + g(x)]的极限，可以将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)，然后分别计算这两个极限。
同样地，对于形如lim(x→a) [f(x) - g(x)]、lim(x→a) [f(x) * g(x)]、lim(x→a) [f(x) / g(x)]等复杂的极限，也可以借助极限的性质进行简化计算。
2. 使用洛必达法则洛必达法则是解决复杂极限问题的重要工具之一。
当极限形式为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则来快速计算。
具体操作是对极限中的分子和分母分别求导，然后重新计算得到一个新的极限，重复这个过程直到得到一个确定的值或无穷大。
需要注意的是，在使用洛必达法则时，必须保证导数存在。
3. 利用连续性的特性简化计算连续性是复杂极限问题的另一个关键点。
在计算极限时，可以利用函数的连续性来简化问题。
例如，对于形如lim(x→a) f(g(x))的极限，如果函数f在g(x)的极限点处连续，那么可以通过直接将g(x)的极限代入f(x)中进行计算。
类似地，如果在极限点a附近，函数f与g(x)等值（或等价），则可以用f(x)来代替g(x)，简化极限的计算步骤。
4. 利用数学公式和恒等式简化问题在解决复杂的极限问题时，可以运用数学公式和恒等式来简化计算过程。
例如，对于形如lim(x→∞) [f(x)]^n的极限，可以应用函数的幂函数极限公式lim(x→∞) x^n = ∞或lim(x→∞) a^n = a^n（其中a为常数），从而简化问题。
数学高考函数的极限
数学高考函数的极限函数的极限在数学高考中是一个重要的考点。
它是研究函数变化趋势的有效方法，广泛应用于微积分、数学分析等领域。
本文将介绍函数的极限的概念、性质以及计算方法，并通过实例进行解析，帮助读者深入理解这一概念。
1. 概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化情况。
设函数为f(x)，x趋近于a时，若随着x的不断接近于a，f(x)的取值趋近于某个确定的常数L，即当x无限接近于a时，f(x)的极限为L。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中lim表示极限，(x→a)表示x趋近于a，f(x)表示函数f在x处的取值，L表示极限值。
2. 性质函数极限具有以下性质：（1）唯一性：函数的极限值是唯一的，即当x趋近于a时，函数只有一个极限值。
（2）局部性：函数的极限与x的局部取值有关，与整体取值无关。
即函数极限的计算只需关注x趋近于a时的情况，不受其他点的影响。
（3）逼近性：函数的极限可以用于逼近某个特定的值。
当函数在某点附近的取值接近于某个值时，可以利用极限来计算该函数在该点处的取值。
（4）趋势性：函数极限可以用于判断函数的趋势。
当函数的极限为正无穷大或负无穷大时，可以得出函数增大或减小的结论。
3. 计算方法常用的函数极限计算方法主要包括以下几种：（1）代入法：将x的值代入函数中，计算得到函数在该点的取值。
（2）分式分解法：将函数进行分式分解，利用已知函数的极限性质进行计算。
（3）洛必达法则：对于函数极限计算困难的情况，可以利用洛必达法则进行简化。
洛必达法则是一个求极限的有效工具，可简化复杂的计算过程。
（4）级数展开法：对于一些特定的函数形式，可以通过级数展开的方法来计算函数的极限。
4. 实例分析为了更好地理解函数极限的概念和计算方法，下面通过几个实例进行具体分析。
实例1：计算函数极限lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解析：将x的值代入函数中，得到函数在x=1处的取值。
高三数学最难的知识点
高三数学最难的知识点数学作为一门学科，对于许多学生来说往往是一座难以攀登的高山，而在高三阶段，数学知识的深入难度更是令人望而生畏。
在高三数学中，存在着一些被广大学生认为是最难的知识点。
下面我们将详细探讨这些知识点，了解其具体内容及解题方法。
一、极限与连续性极限与连续性作为高中数学的重要内容，在高三学习中也是最具挑战性的知识点之一。
首先，极限的概念较为抽象，涉及到数列极限和函数极限等多个方面。
对于学生来说，理解极限的定义以及极限的性质都需要相当的时间和精力。
其次，连续性的学习和应用也是颇具难度的。
通过理论和实例深入研究连续函数的性质与图像，需要一定的数学功底和逻辑思维能力。
因此，高三学生往往会认为极限与连续性是数学中最难以掌握的知识点之一。
二、向量与矩阵向量与矩阵是高三数学中的另一个难点，也是在高考中出现频率较高的考点之一。
向量的定义、向量的运算及其性质等内容都需要深入理解和掌握。
此外，向量的几何表示也需要对平面和空间的空间几何有较好的把握。
另外，矩阵的运算、行列式及其性质等也是需要花费大量时间去理解和记忆的内容。
因此，向量与矩阵是高三数学中被普遍认为比较困难的知识点之一。
三、微分与导数微分与导数是高三数学中的重点和难点内容。
微分的定义、导数的计算和性质等需要学生熟练掌握。
此外，导数的应用也是学生较难理解和运用的部分。
导数的应用题通常需要将实际问题转化为数学模型，并进行适当的求导和解析。
这需要学生有较强的数学建模能力和逻辑思维能力。
因此，微分与导数是高三数学中普遍认为较难的知识点之一。
四、概率与统计概率与统计作为高三数学的重要内容，对于很多学生来说也是难以理解和应用的知识点。
在概率中，事件的概念、概率的计算、条件概率等内容都需要学生进行大量的练习和思考，才能够熟练掌握。
在统计中，频率分布表的构建、样本调查与统计量的计算等也需要学生具备一定的数据分析和运算能力。
因此，概率与统计是高三数学中的难点之一。
高中数学难点集锦31-41(绝对的全面)
难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式；(2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：214.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a ∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ), 21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a pp b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=-- (2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0, 又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b . ●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的. 2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3)lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )A.23B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( )A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x xx处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x xx(1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x xx(1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续. 答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim)(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x xx (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )= lim-→x x x--11=21111lim )11(lim00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想. 技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导. 解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n)′=(xx x n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+(2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xyx ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆.2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x+y =0 B.x －y =0或25x+y =0C.x +y =0或25x－y =0D.x －y =0或25x－y =0二、填空题3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________. 三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s1.4 m 时，梯子上端下滑的速度. 8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案：B2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B:y =－25x.答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12①对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21(25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t29251t-,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n-1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++难点35 导数的应用问题利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a ,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.●难点磁场(★★★★★)已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式；(2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问：是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在 (－1，0)内是增函数.●案例探究［例1］已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目.知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f ′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.技巧与方法：考查函数f (x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x =±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.解：(1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c∵x =±1是函数f (x )的极值点，∴x =±1是方程f ′(x )=0,即3ax 2+2bx +c =0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-13032ac ab①②又f (1)=－1,∴a +b +c =－1, ③由①②③解得a =23,0,21==c b , (2)f (x )=21x 3－23x , ∴f ′(x )=23x 2－23=23(x －1)(x +1)当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1. ［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则∵BD =40,AC =50－x ,∴BC =222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有： y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ 设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.●锦囊妙计1.f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x ).2.求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y =x 3,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.3.可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y =|x |,在x =0处不可导，但它是最小值点.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim0'→=－1,则f (0)( )A.可能不是f (x )的极值B.一定是f (x )的极值C.一定是f (x )的极小值D.等于02.(★★★★)设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1C.n n)221(+-D.1)2(4++n n n 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.4.(★★★★)在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.三、解答题5.(★★★★★)设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.6.(★★★★)设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由.7.(★★★★)已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a .8.(★★★★)设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=142+-x ax .(1)求f (α)·f (β)的值；。
高三数学特别难的知识点
高三数学特别难的知识点高三数学对于许多学生来说是一个挑战，其中有一些知识点尤为困难。
下面我将介绍一些所谓的“高三数学特别难的知识点”，以及一些应对策略。
1. 高等数学的微分和积分微积分是高等数学的重要组成部分，其中微分和积分是核心概念。
微分和积分的难点在于掌握其定义、性质和运算规则。
解决这个难点的关键是理论与实践相结合，多做习题和实际应用。
此外，还可以寻找一些优秀的辅导资料或参加相关的培训班来加强自己的学习。
2. 平面向量的运算与应用平面向量的运算与应用涉及到向量的加减、数量积和向量积等概念。
学生在理解这些概念时可能会感到困惑。
为了更好地掌握平面向量的运算与应用，建议学生进行大量的练习，尤其是结合实际问题进行练习，以加深对概念的理解和记忆。
3. 空间解析几何空间解析几何是高中数学中的难点之一，其中常见的难题包括直线与平面的位置关系、点与直线、直线与直线的关系等。
为了克服这个难点，学生需要加强对空间几何概念的理解，并进行大量的几何图形练习。
同时，也可以通过使用几何软件进行模拟和实践，加深对空间几何的认识。
4. 排列组合与概率排列组合与概率是高考数学中的一大难题，涉及到一系列的公式和计算方法。
对于这个难点，学生可以通过掌握相关的公式和技巧来解决。
同时，加强实际问题的练习和应用，培养自己分析和解决问题的能力。
5. 数列与数列极限数列与数列极限是高三数学中的难题，其中包括等差数列、等比数列和数列极限的概念与性质。
为了克服这个难点，学生需要多做数列题目，了解各种数列的性质和计算方法。
同时，关注数列极限的理论与实践的结合，加深对数列极限的理解和应用。
总的来说，高三数学的特别难点是需要专项的理解和练习的。
学生可以通过建立数学思维的方法，结合理论与实践，多做习题和模拟题，以提高对难点知识的理解和运用能力。
同时，寻找适合自己的学习资料和参加数学培训班也能够帮助学生更好地应对这些困难。
持之以恒地学习和实践，相信高三数学的难点将不再是难题。
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n 项和 Sn 等有紧密的联 n 项和 Sn 再求极限，本
题考查学生的综合能力 .属★★★★★级题目 .
知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系
.
错解分析：本题难点是第 (2) 中由 (1)中的关系式猜想通项及 n=1 与 n=2 时的式子不统一
性.
技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律
31 ,且数列 { an+1－
1
an} 是公比为
1 的等
5 100
10
2
比数列，数列 {lg( an+1－ 1 an} 是公差为－ 1 的等差数列 . 2
(1)求数列 { an} 的通项公式；
(2)Sn=a1+a2+… +an(n≥ 1),求 lim Sn. n
f (x) 6.(★★★★ )设 f(x)是 x 的三次多项式， 已知 lim
难点 32 极限及其运算
极限的概念及其渗透的思想， 在数学中占有重要的地位， 它是人们研究许多问题的工具 .
旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一
.本节内容主要是指导考生
深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题
.
●难点磁场
a n 2n 1
(★★★★
)求 lim n
1),
1b 1b
1 (1 b)n
0 b 1时 , lim bn 0, lim ( 1 ) n 0, lim Sn 1.
n
n 1b
n
●锦囊妙计
1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限
.
学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限
.
2.运算法则中各个极限都应存在 .都可推广到任意有限个极限的情况， 不能推广到无限个 .
b (1 b) n ]
1 (1 b) n 1
(1 b b)2an 2
b2b
b
( )[
an 3
1b 1b
(1 b) n 1 ]
( 1 b b) 2 an 3
b b2 b3 (1 b) n 1 ,
b b2 (1 b) n 1
由此猜想 an
( 1
b )n b
1 a1
b b2 b3
bn 1
(1 b) n 1
b 把 a1 (1 b) 2 代入上式得
b2 b (1 b) n 1
b b2
bn
an
(1 b) n 1
b bn 1 (1 b)(1 b) n 1 ( b 1)
n 2n
1
(b
1)
1
b bn 1
(3)Sn
1 ban
(1 b) n
1
b (1
b)(1
b) n 1
1 1 (1 b)n
b(b
bn 1 ) (
1
)n 1(b
)
n
的值是
()
A.0
B.1
二、填空题
C.0 或 1
D. 不存在
3.(★★★★ ) lim ( x x x n
x ) =_________.
4.(★★★★ )若 lim ( a 2n2 n 1 nb) =1, 则 ab 的值是 _________. n
三、解答题
5.(★★★★★
3 )在数列 { an} 中， 已知 a1= ,a2=
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★ )an 是 (1+ x)n 展开式中含 x2 的项的系数， 则 lim ( 1 1 n a1 a2
1 ) 等于 ( )
an
A.2
B.0
C.1
D. － 1
2.(★★★★ )若三数 a,1,c 成等差数列且
a2,1,c2 又成等比数列，则
a
lim
n
(a2
c c2
n 项和，求
lim
n
Sn 的值 . Sn 1
8.(★★★★★ )已知数列 { an} 是公差为 d 的等差数列， d≠ 0 且 a1=0,bn=2 an (n∈ N* ),Sn 是
在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限
.
3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：
( 1) n
lim
n
n
0, lim an n
0(| a | 1)
lim
n
a0 x k b0 x l
a1x k 1 b1 xl 1
a0 ,当 k l时
b0
ak 0,当 k l 时
b1
不存在 ,当 k l 时
n 2 a x 2a 的值 .(a 为非零常数 ).
f ( x)
f (x)
lim
=1,试求 lim
n 4a x 4a
n x 3a
7.(★★★★ )已知数列 { an},{ bn} 都是由正数组成的等比数列，公式分别为
p、 q,其中 p＞
q,且 p≠ 1,q≠ 1,设 cn=an+bn,Sn 为数列 { cn } 的前
.
1
解： (1)an=Sn－ Sn－1=－ b(an－ an －1)－ (1
b)n
1
b
(1
b)n
1
=－ b(an－ an－1 )+ (1
b) n
(n≥ 2)
解得 an=
b an 1
1b
b (1 b) n 1 (n≥ 2)
1
b
(2)
a1
S1
1 ba1
1
, b
a1
(1 b) 2
an
bb
1
[ b1
b an 2
2n
an 1 .
●案例探究
［例 1］已知 lim (
2
x
x
1 － ax－ b)=0,确定 a 与 b 的值 .
x
命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，
既有章可循，有法可依 .因而本题重点考查考生的这种能力 .也就是本知识的系统掌握能力 .
属★★★★★级题目 .
知识依托： 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理， 这是求极限中带无理号的式子
常用的一种方法 .
错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错
.
技巧与方法：有理化处理 .
解： lim ( x 2
x1
ax
b)
(x2 lim
x 1)
(ax
b) 2
x
x
x 2 x 1 ax b
(1 a2 )x 2 (1 2ab)x (1 b2 )
lim
x
x2 x 1 ax b
要使上式极限存在，则 当 1－a2=0 时，
1－ a2=0,
上式 lim (1 2ab) x (1 b2 ) lim
x
x2 x 1 ax b x
由已知得 (1 2ab) 0 1a
1 b2
(1 2ab)
2
x
11Байду номын сангаас
b
x2
1
a
x
x
1 a2 0
a1
∴
(1 2ab)
0
解得 b
1
1a
2
(1 2ab) 1a
［例 2］设数列
a1,a2 ,…,an,…的前
n 项的和
Sn 和 an 的关系是
Sn=1 － ban－ (1
1 b)n
,其中
b 是与 n 无关的常数，且 b≠－ 1. (1)求 an 和 an －1 的关系式； (2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式；
(3)当 0＜ b＜1 时，求极限 lim Sn. n
命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前 系 .有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前