2016届高三文科数学试题(10)

2016届高三文科数学试题（10）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列函数中，定义域是R+且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|2．（5分）已知集合A={x|y=log2x，且y∈（0，1）}，B={y∈R||y|≤2}，则∁B A=（）A．[﹣2，0]∪[1，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，1]∪{2} D．∅3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充要条件D．设，为向量，则“|•|=||||”是“∥”的充要条件4．（5分）化简的结果是（）A．c os10°B．c os10°﹣sin10°C．s in10°﹣cos10°D．±（cos10°﹣sin10°）5．（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为（）A．πB．2πC．D．6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜18．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）A．f（）＞f（1）＞f（﹣）B．f（1）＞f（）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（1）＞f（）D．f（）＞f（﹣）＞f（1）10．（5分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}，已知A={2，4，6}，B={1，2，4}，则下列结论不正确的是（）A．1∈A*B B．2∈A*B C．4∉A*B D．A*B=B*A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别是、．求tan（α+β）的值=．13．（5分）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是．（写出所有“融洽集”的序号）14．（5分）设常数a＞0，则（1）函数f（x）=的值域为；（2）若函数f（x）=为奇函数，则a=．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（12分）设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p＜0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．16．（12分）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．17．（14分）如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1百米．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离的平方．18．（14分）已知向量=（e x，lnx+k），=（1，f（x）），∥（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe x f′（x）．（1）求k的值；（2）求F（x）的单调区间及最大值．19．（14分）已知a为正实数，函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．20．（14分）设函数f（x）=lnx+（x﹣a）2﹣，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．（Ⅲ）设x=m为函数f（x）的极小值点，f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且0＜x1＜x2＜m，AB中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．参考答案解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列函数中，定义域是R+且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据函数的单调性加以判断，得到本题结论．解答：解：选项A，y=e﹣x，即，∵，∴在R上单调递减，不符合题意；选项B，y=x，直线斜率k=1＞0，在R上单调递增，定义域为R，不符合题意；选项C，y=lnx，定义域为R+，∵e＞1，∴y=lnx在R+为增函数，符合题意；选项D，y=|x|，定义域为R，当x＞0时，y=x在R+上单调递增，不符合题意；故选C．点评：本题考查了函数的定义域和单调性，本题难度不大，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|y=log2x，且y∈（0，1）}，B={y∈R||y|≤2}，则∁B A=（）A．[﹣2，0]∪[1，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，1]∪{2} D．∅考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，根据全集B求出A的补集即可．解答：解：由A中y=log2x，且y∈（0，1），得到x∈（1，2），即A=（1，2），由B中不等式变形得：﹣2≤y≤2，即B=[﹣2，2]，则∁B A=[﹣2，1]∪{2}，故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充要条件D．设，为向量，则“|•|=||||”是“∥”的充要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用特称命题的真假判断A的正误；全称命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；向量与怎样添加的关系判断D的正误．解答：解：对于A，∀x0∈R，e＞0，所以A不正确；对于B，∀x∈R，2x＞x2，当x=2时，不等式不成立，所以B不正确；对于C，“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件，所以C不正确；对于D，设，为向量，则“|•|=||||”说明两个向量的夹角为0°或180°，所以“|•|=||||”是“∥”的充要条件，所以D正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，特称命题与全称命题的关系，充要条件的判断，基本知识的考查．4．（5分）化简的结果是（）A．c os10°B．c os10°﹣sin10°C．s in10°﹣cos10°D．±（cos10°﹣sin10°）考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由同角三角函数的平方关系与二倍角的正弦公式，可得1﹣sin20°=（cos10°﹣sin10°）2，代入原式并结合cos10°＞sin10°加以计算，即可得到的化简结果．解答：解：∵1=cos210°+sin210°，sin20°=2sin10°cos10°，∴1﹣sin20°=cos210°﹣2sin10°cos10°+sin210°=（cos10°﹣sin10°）2因此，==|cos10°﹣sin10°|，∵cos10°＞sin10°，可得|cos10°﹣sin10°|=cos10°﹣sin10°，∴=cos10°﹣sin10°．故选：B点评：本题化简根式，求化简结果．着重考查了同角三角函数的关系、二倍角的三角函数公式和三角函数值比较大小等知识，属于基础题．5．（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为（）A．πB．2πC．D．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简可得y═2sin（2x﹣）+，从而可由正弦函数的周期公式即可解得．解答：解：∵y=sin2x+2sin2x=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+∴T==π故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．解答：解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C点评：本题考查还是零点的判断，属基础题．7．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈R，则（）A．f（）＞f（1）＞f（﹣）B．f（1）＞f（）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（1）＞f（）D．f（）＞f（﹣）＞f（1）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）=x2﹣cosx得，f（x）为偶函数且在（0，）上是增函数，利用函数单调性及奇偶性的性质得出结论．解答：解：∵f′（x）=2x+sinx，∴当x∈（0，）时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数f（x）=x2﹣cosx在（0，）上是增函数，又函数f（x）=x2﹣cosx，在R上是偶函数，故f（﹣）=f（），∵＞1＞，∴f（）＞f（1）＞f（﹣）故选A．点评：考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法，关键是转化到同一单调区间上，利用单调性比较大小，属基础题．10．（5分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}，已知A={2，4，6}，B={1，2，4}，则下列结论不正确的是（）A．1∈A*B B．2∈A*B C．4∉A*B D．A*B=B*A考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；集合．分析：由定义得出两个集合A={2，4，6}，B={1，2，4}中不在A*B中的元素，再结合四个选项即可得出正确答案解答：解：由定义“对于集合M，定义函数f M（x）=”若A={2，4，6}，B={1，2，4}，则当x=2，4，6时f A（x）=﹣1，x=1时，f A（x）=1；当x=1，2，4时f B（x）=﹣1，当x=6时，f B（x）=1又由定义集合M*N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}，知f M（x）与f N（x）值必一为﹣1，一为1，由上列举知，x=2，4时f A（x）•f B（x）=1，故2，4∉A*B考查四个选项，B选项不正确故选B点评：本题考查对新定义的理解及元素与集合关系的，此类题正确理解定义是解答的关键，考查了分析与理解的能力二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别是、．求tan（α+β）的值=﹣3．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用cosα=，cosβ=，α、β均为锐角，可求得sinα与sinβ的值，继而可得tanα=7，tanβ=，利用两角和的正切即可求得答案．解答：解：∵cosα=，cosβ=，α、β均为锐角，∴sinα==，sinβ==，∴tanα=7，tanβ=，∴tan（α+β）===﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数间的关系式及两角和的正切，属于中档题．13．（5分）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是①③．（写出所有“融洽集”的序号）考点：集合的含义．专题：压轴题；新定义；对应思想．分析：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．解答：解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取，满足要求，∴③符合要求；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，∴④不符合要求；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．14．（5分）设常数a＞0，则（1）函数f（x）=的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；（2）若函数f（x）=为奇函数，则a=1．考点：函数奇偶性的性质；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：本题（1）先将函数式变形为部分分式，再利用分式不为0的特征得到函数的值域；（2）利用函数奇偶性的定义，得到关于x的恒等式，研究恒等式，得到本题结论．解答：解：（1）∵a＞0，∴函数f（x）==≠1，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．（2）∵函数f（x）=为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴，∴2（a2﹣1）2x=0，∴a2=1，∵常数a＞0，∴a=1．故答案为：（1）（﹣∞，1）∪（1，+∞）；（2）1．点评：本题考查了函数的值域和函数奇偶性的应用，本题难度不大，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（12分）设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p＜0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解不等式x2﹣x﹣2＞0得集合A，再解不等式可得集合B，从而可得A∩B，再解不等式2x+p＜0得集合C，由α是β的充分条件得A∩B⊆C，由集合间的包含关系可得p的取值范围解答：解：依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），，于是可解得A∩B=（2，3]．设集合C={x|2x+p＜0}，则．由于α是β的充分条件，所以A∩B⊆C．则须满足．所以，实数p的取值范围是（﹣∞，﹣6）．点评：本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算16．（12分）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．考点：三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=•==A（）=Asin（2x+）．因为A＞0，由题意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．因为x∈[0，]，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．17．（14分）如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1百米．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离的平方．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（1）利用周角定义求出∠DCE度数，再由CD与CE的长，利用三角形面积公式求出三角形CDE面积即可；（2）连接AB，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AC的长，在直角三角形BCE中，求出∠CBE度数，利用正弦定理求出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．解答：解：（1）在△CDE中，∠DCE=360°﹣90°﹣15°﹣105°=150°，∴S△CDE=CD•CE•sin150°=×1×1×=（平方百米）；（2）连接AB，根据题意知，在Rt△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=1×tan60°=（百米），在△BCE中，∠CBE=180°﹣∠BCE﹣∠CEB=180°﹣105°﹣45°=30°，由正弦定理=得：BC===（百米），∵cos15°=cos（60°﹣45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=，在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，则AB2=3+2﹣2××=2﹣（百米）．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（e x，lnx+k），=（1，f（x）），∥（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe x f′（x）．（1）求k的值；（2）求F（x）的单调区间及最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由向量共线的坐标运算得到函数f（x）的解析式，求导后由在x=1时的导数值等于0得到k的值；（2）对F（x）=xe x f′（x）求导，由导函数的符号得到F（x）的单调区间，可得函数的最大值．解答：解：（1）∵=（e x，lnx+k），=（1，f（x）），∥，则e x f（x）=lnx+k，∴f（x）=，∴f′（x）=，由已知f′（1）=0，∴k=1．（2）F（x）=1﹣xlnx﹣x．∴F′（x）=﹣lnx﹣2．由F′（x）=﹣lnx﹣2≥0，解得：0＜x≤．由F′（x）=﹣lnx﹣2≤0，解得x≥．∴F（x）的增区间为（0，]，减区间为[，+∞），∴x=时，F（x）取得最大值1+．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了向量共性的坐标表示，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是2015届高考试卷中的压轴题．19．（14分）已知a为正实数，函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的表达式，并求导数，解不等式，求出增区间和减区间，从而得到极小值；（2）求出导数，求出极值点，讨论a的范围：0＜a＜2，a=2，a＞2求出单调区间和极值，从而判断f（x）的图象与x轴的交点个数．解答：解：（1）当a=1时，函数，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1），（2，+∞）内单调递增，在（1，2）内单调递减．故f（x）的极小值为f（2）=﹣1．（2）令f′（x）=0，即，有，①若0＜a＜2，则．∴当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，极大值，∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；②若a=2，则f′（x）=6（x﹣1）2≥0∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；③当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为，∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；综上所述，若a＞0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点．点评：本题考查函数的导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查函数的零点个数与极值的关系，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．20．（14分）设函数f（x）=lnx+（x﹣a）2﹣，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．（Ⅲ）设x=m为函数f（x）的极小值点，f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且0＜x1＜x2＜m，AB中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）在区间上，若函数f（x）单调递增，则不等式2x2﹣2ax+1≥0，即恒成立，由基本不等式即可得到实数a的取值范围；（Ⅱ）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x2﹣2ax+1，对a进行讨论：a≤0或a＞0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；（Ⅲ）由已知得两式相减，然后写出f′（x0）的表达式，即用x1，x2表示f′（x0），再令t=∈（0，1），研究φ（t）=﹣lnt（0＜t ＜1）的性质，从而证明f′（x0）的正负．解答：解：（Ⅰ）依题意得，函数f（x）在上单调递增，则在区间上不等式2x2﹣2ax+1≥0恒成立．又因为x＞0，所以．所以，所以实数a的取值范围是．（Ⅱ），令h（x）=2x2﹣2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f′（x）＞0，此时，函数f（x）没有极值点；②当a＞0时，（ⅰ）当△≤0，即时，在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，这时f′（x）≥0，此时，函数f（x）没有极值点；（ⅱ）当△＞0，即时，易知，当时，h（x）＜0，这时f′（x）＜0；当或时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0；所以，当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点．综上，当时，函数f（x）没有极值点；当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点．（Ⅲ）将A、B两点代入到f（x）中，可得将两式相减，得：…①由，得…②得①代入②，得=，令t=∈（0，1）且φ（t）=﹣lnt（0＜t＜1），∴φ′（t）=﹣，∴φ（t）在（0，1）上递减，∴φ（t）＞φ（1）=0，∵x1＜x2，∴f′（x0）＜0．点评：本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令t=的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求。