[推荐学习]高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式3.2.1

3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
课时过关·能力提升
基础巩固
1不等式x 2>1的解集是( ).
A.{x|x>1}
B.{x|x<1}
C.{x|-1<x<1}
D.{x|x>1,或x<-1}
解析:原不等式即为x 2-1>0,其对应方程x 2-1=0的两根为-1,1,故原不等式的解集为{x|x>1,或x<-1}. 答案:D
2已知集合A={x|x 2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A ∩B=( ). A .[-2,-1]
B .[-1,2)
C .[-1,1]
D .[1,2)
解析:由已知,可得A={x|x ≥3或x ≤-1},则A ∩B={x|-2≤x ≤-1}=[-2,-1].故选A . 答案:A
3函数y =√x (x -1)+√x 的定义域为( ). A.{x|x ≥0}
B.{x|x ≥1}
C.{x|x ≥1}∪{0}
D.{x|0≤x ≤1}
解析:要使函数有意义,自变量x 的取值需满足{x (x -1)≥0,
x ≥0,解得x ≥1或x=0.
答案:C
4若关于x 的不等式m (x-1)>x 2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数m 的值为 . 解析:原不等式即为x 2-(m+1)x+m<0,
其解集为{x|1<x<2},故m=2. 答案:2
5当a>-1时,关于x 的不等式x 2+(a-1)x-a>0的解集是 . 解析:原不等式可化为(x+a )(x-1)>0.
∴方程(x+a )(x-1)=0的两根为-a ,1.
∵a>-1,∴-a<1,∴原不等式的解集为{x|x<-a ,或x>1}.
答案:{x|x<-a ,或x>1}
6不等式2x
2-x
<4的解集为 .
答案:{x|-1<x<2}
7若x=1是关于x 的不等式k 2x 2-6kx+8≥0的解,则k 的取值范围是 .
解析:由x=1是关于x 的不等式k 2x 2-6kx+8≥0的解,把x=1代入不等式得k 2-6k+8≥0,解得k ≥4或k ≤2.
答案:(-∞,2]∪[4,+∞)
8解不等式:0≤x 2-x-2≤4. 解原不等式等价于{x 2-x -2≥0,x 2-x -2≤4.①
②
解①,得x ≤-1或x ≥2; 解②,得-2≤x ≤3.
所以原不等式的解集为{x|x ≤-1,或x ≥2}∩{x|-2≤x ≤3}={x|-2≤x ≤-1,或2≤x ≤3}.
9已知二次函数y=x2+px+q,当y<0时,有−1
2<x<1
3
,解不等式qx2+px+1>0.
解∵不等式x2+px+q<0的解集为{x|-1
2<x<1
3
},
∴方程x2+px+q=0的两根为−1
2和1
3
.
∴p=−(-1
2+1
3
)=1
6
,q=−1
2
×1
3
=−1
6
.
∴不等式qx2+px+1>0即为1
6x2−1
6
x−1<0.
∴所求不等式的解集为{x|-2<x<3}.
能力提升1不等式x2+6x+10<0的解集是().
A.⌀
B.R
C.{x|x>5}
D.{x|x<2}
解析:原不等式对应方程的判别式Δ=62-4×10<0,
故原不等式的解集为⌀.
答案:A
2若集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B⊆A,则a的取值范围是().
A.a≤1
B.1<a≤2
C.a>2
D.a≤2
解析:A={x|x<1,或x>2},B={x|x<a}.
∵B⊆A,∴a≤1.
答案:A
3若设函数f (x )={x 2-4x +6,x ≥0,
x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( ).
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3) 解析:f (1)=1-4+6=3,
则有{x ≥0,x 2-4x +6>3或{x <0,x +6>3,
解得0≤x<1或x>3或-3<x<0, 即-3<x<1或x>3. 答案:A
4若0<t<1,则关于x 的不等式x 2−(t +1
t
)x +1<0的解集是( ).
A .{x |1
t <x <t}B.{x |x >1
t ,或x <t}
C .{x |x <1
t ,或x >t}D.{x |t <x <1
t }
解析:原不等式化为(x-t )(x -1
t
)<0.
∵0<t<1,∴1
t >1>t.
∴t<x <1
t .
∴不等式的解集为{x |t <x <1
t }.
答案:D
5若关于x 的不等式ax 2+bx+2>0的解集是(-12,1
3),则a +b = .
解析:由题意,得a<0,且−12,13
是方程ax 2
+bx+2=0的两根,故有{-12+13=-b
a ,-12
×13
=2a
.
由此解得{a =-12,
b =-2.故a+b=-14.
答案:-14
6若二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:
则关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .
解析:根据表格可以画出二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的图象草图如下图所示.
由图象得不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}. 答案:{x|x<-2,或x>3}
★
7已知关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为{x |-1
3≤x ≤2},求关于x 的不等式cx2−bx +
a <0的解集.
解由ax 2+bx+c ≥0的解集为{x |-1
3≤x ≤2},
知a<0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为−1
3,2,∴{
-1
3
+2=-b
a
,
-1
3
×2=c
a
,
∴{b=-5
3
a,
c=-2
3
a.
∴不等式cx2-bx+a<0可变形为(-2
3
a)x2−(-5
3
a)x+a<0,即2ax2-5ax-3a>0.
又a<0,∴2x2-5x-3<0,故所求不等式的解集为{x|-1
2
<x<3}.
★8解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
解(1)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2,所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程的两个根为x1=2
a
,x2=2.
①当0<a<1时,2
a >2,所以原不等式的解集为{x|x>2
a
,或x<2};
②当a=1时,2
a
=2,所以原不等式的解集为{x|x≠2};
③当a>1时,2
a <2,所以原不等式的解集为{x|x>2,或x<2
a
}.
(3)当a<0时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程的两个根为x1=2
a ,x2=2,则2
a
<2,
所以原不等式的解集为{x|2
a
<x<2}.。