浙江省五校2012届高三第二次联考试题-数学(理)(word版)

2012届浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上． 2．每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C k n p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 213V =1122()h s s s s ++球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上．下底面积, h 表示棱台 V =43πR 3的高 其中R 表示球的半径第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集RU=,集合15{|||}22M x x =-≤,{|14}P x x =-≤≤,则()U C M P 等于（A ）{|42}x x -≤≤- （B ）{|13}x x -≤≤（C ）{|34}x x ≤≤ （D ）{|34}x x <≤2．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为侧视（D ）（C ）（B ）（A ）3．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（A ）(,0][1,)-∞+∞ （B ）(1,0)- （C ）[1,0]- （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 4．已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有（A ）αγ⊥且//m β （B ）αγ⊥且l m ⊥ （C ）//m β且l m ⊥ （D ）//αβ且αγ⊥5．设实数,x y 满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值和最小值之和等于（A ）12 （B ）16 （C ）8 （D ）14 6．若(,)2παπ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（A ）118（B ）118-（C ）1718（D ）1718-7． 过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点2F 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,A B ．若2F A AB =，则双曲线的渐近线方程为 （A ）30x y ±= （B ）30x y±=/ （C ）230x y±=（D ）320x y±=/8．设1AB =,若2CA CB =,则CA CB ⋅的最大值为 （A ）13（B ）2/ （C ）8529+（D ）/ 39．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（A ）84 （B ）168/ （C ）76 （D ）152/输出S 结束i ＝i ＋1S ＝S －i 2S ＝S ＋i 2i 是奇数?否是i<5?i ＝1，S ＝0开始是否（第12题） 10．将函数sin (02)yx x π=≤≤的图象绕坐标原点逆时针方向旋转(02)θθπ≤<角，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则满足条件的角θ的范围是（A ）[0,]4π（B ）35[0,][,]444πππ⋃/（C ）357[0,][,][,2)4444πππππ⋃⋃ （D ）7[0,][,2)44πππ⋃/第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．复数1i 2ia +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i z a =+的模为 ．12．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 值为 ．13．在25(1)(1)x x x ++-的展开式中,含3x 的项的系数是 .14．平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(2,1)A 且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为(2)2(1)0x y --+-=，化简后得20x y -=．则在空间直角坐标系中，平面经过点(2,1,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =-的平面（点法式）方程化简后的结果为 ．15．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线与抛物线交于,A B两点，3AB =，且AB 终点的纵坐标为12，则p的值为 ．CBDAE（第20题）16．甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜）．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为23和13，记需要比赛的场次为ξ，则E ξ＝ ．17．三棱锥O ABC-中，,O A O B O C ,两两垂直且相等，点P ，Q 分别是B C 和O A 上的动点，且满足1233BC BP BC≤≤，1233OA OQ OA≤≤，则P Q 和O B 所成角余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c /，已知,,a b c 成等比数列，且3sin sin 4A C =．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x=-+的值域．19．（本题满分14分） 设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,48a S ==，数列{}n b 满足24log n n b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）是否存在m N *∈，使得12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分） 如图，D C 垂直平面ABC ，90B AC ∠=，12AC BC kCD==，点E在BD 上，且3BEED =． （Ⅰ）求证：AEBC⊥；（Ⅱ）若二面角B AE C--的大小为120 ，求k 的值．y-2xBAO T（第21题）21．（本题满分15分） 设点P 为圆2212C x y +=：上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．动点M 满足2M Q PQ =（其中P ，Q 不重合）．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的方程； （Ⅱ）过直线2x =-上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B．若直线AB 与（Ⅰ）中的曲线2C 交于,C D 两点，求AB CD的取值范围．22．（本题满分15分） 设函数()(,)b f x ax a b R x=+∈，若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a 表示b ； （Ⅱ）设()ln ()g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x恒成立，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）对任意的[0,)2πθ∈，证明：(1sin )(1sin )g g θθ-≤+．CAOB N GMH P'PQ数学（理科）答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBADABAC二、填空题：11．5； 12．10； 13．－5； 14．230x y z --+=；15．354±； 16．10727； 17．16[,]3317．方法一：考虑几种极端情况；方法二：过点O 作PQ 的平行线O P '，则点P ，Q 的运动相当于点P '在如图所示的四边形MNGH 上运动.显然，H O B ∠最大，NO B ∠最小.以OB ，OA 和OC 为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，O （0,0,0），设点B （3,0,0）则点H 为（1，－2，2），点N （2，－1，1），可得.三、解答题：18．解:（Ⅰ）因为a 、b 、c 成等比数列，则2b a c=.由正弦定理得2sin sin sin BA C=.又3sin sin 4A C =，所以23sin 4B =.因为sinB ＞0，则3sin 2B =. ……………………4′因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π或23π.又2b a c=，则b a ≤或b c≤，即b 不是△ABC 的最大边，故3B =π. ……………………3′（Ⅱ）因为3B=π，则()s i n ()s i ns i nc o s c o ss i n s i n333f x x x x xx πππ=-+=-+33sin cos 3sin()226x x x π=-=-. ……………………4′[0,)x π∈，则5666x πππ-≤-<，所以1sin()[,1]62x π-∈-.故函数()f x 的值域是3[,3]2-. ……………………3′19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则有211181228a q q a a q ⎧⋅=⇒=⎨+=⎩或12q =-（舍）.CDFEBA则12832a q==，16132()22n n n a --=⋅=，6224log 4log 2424nn n b a n -===-+. 即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为16132()22n nn a --=⋅=，424n b n =-+. ……………………6′（Ⅱ）12(244)(204)4(6)(5)(164)(4)m m m b b m m m m b m m ++⋅----==--，令4(3,)t m t t Z =-≤∈,所以124(6)(5)4(2)(1)24(3)(4)m m m b b m m t t t b m tt ++⋅--++===++-,如果12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项,设为第0m 项，则有024(3)4(6)t m t++=-，那么23t t++为小于等于5的整数，所以{2,1,1,2}t ∈--. ……………………4′ 当1t =或2t =时,236t t++=,不合题意; 当1t =-或2t =-时,230t t++=,符合题意.所以,当1t =-或2t =-时,即5m =或6m =时,12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项. …………………8′20．解：（Ⅰ）过E 点作EF BC⊥与点F ，连AF ，于是//EFD C所以E F A B C ⊥平面，又B CA B C ⊂平面，所以EFBC⊥；又90B AC ∠=，12AC BC =，所以30A B F ∠=，所以32A B B C=，34BE BF BD BC ==，34BF BC=，所以32B F A B A BB C==，所以BAF ∆与BC A ∆相似，所以90B F A ∠=，即AFBC⊥；又AF EF F⋂=，于是B CA E F⊥平面，又A EA E F⊂平面，所以BCAE⊥. …………………6′（2）解法一（空间向量法）如右图，以F 为原点，FA 为x 轴，FC 为y 轴，FE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则3(,0,0)2A ，3(0,,0)2B -，1(0,,0)2C ，3(0,0,)4E k，于是33(,0,)24AE k=-，31(,,0)22AC =-，33(,,0)22AB =--，设平面ABE 的法向量为1111(,,)n x y z =，1200AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，于是11113302233024x y x z k ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令11z =，得1131,22x y kk==-，得131(,,1)22n kk=-.设平面ACE 的法向量为2222(,,)n x y z =,120AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，于是22223102233024x y x z k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令21z =，得2233,22x y kk==，得133(,,1)22n k k=.121222||1|cos120|||||3111n n n n kk⋅==⋅+⋅+,解得：2133k +=. ……………………8′解法二：（综合几何法） 过F 作FG AE⊥于G 点，连GC,GB ，由AE BC⊥，可得A EB C G⊥平面，所以,A EC G A E B G⊥⊥，所以BG C ∠为B-AE-C 的平面角，设AC=1,则33,24AF EF k==,所以23234G Fk =+，于是221334kG B k+=+,22334kG Ck+=+，于是由222cos1202BG C G BCBG C G+-=⋅，得到2133k +=.…………………8′21．解：（Ⅰ）设点(,)M x y ,由2M Q PQ ⋅=，得(,2)P x y ，由于点P 在2212C x y +=：上，则2222x y +=，即M 的轨迹方程为2212xy +=.…………………4′（Ⅱ）设点(2,)T t -，1122(,),(,)A x y B x y ''''，则AT ，BT 的方程为：112x x y y ''+=，222x x y y ''+=，又点(2,)T t - 在AT 、BT 上，则有：1122x ty ''-+=①，2222x ty ''-+=②，由①、②知AB 的方程为：22x ty-+=. …………3′设点1122(,),(,)C x y D x y ，则圆心O 到AB 的距离224dt=+，222224||224t A B r dt +=-=+；又由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=，于是12248t y y t +=+，12248y y t -=+，于是2221222428||1||48tt t C D y y t +⋅+=+-=+于是2222||(8)2||(4)4AB t t C D t t ++=++， …………………3′设24t s+=，则4s ≥，于是3233||6326321||AB s s CD sss+-==+-，设11,(0]4m m s =∈，，于是3||1632||AB m mC D =+-，设3()1632f m m m=+-，2'()696f m m=-，令'()0f m =，得41=m .得)(m f 在]41,0(上单调递增，故]2,1()(∈m f .即||||A B C D 的范围为(1,2] …………………5′22．解：（Ⅰ）2()b f x a x'=-，依题意有：2(1)11b f a a b b a x'=-=-=⇒=-； …………2′（Ⅱ）1()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x-=-=-+≤-恒成立.（ⅰ）()1g x ≤-恒成立即max ()1g x ≤-.方法一：()1g x ≤-恒成立，则(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥.当1a ≥时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x ag x x x xxa---+--+--'===⇒==-+110,x a=-+≤2(0)0x g '≥，则(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；即()1g x ≤-恒成立，实数a的取值范围为1a ≥； ……………6′方法二：2222111(1)(1)()a ax x a ax a x g x a xxxx--++--+--'=-+==，①当0a=时，21()x g x x-'=，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1g x g ==，不符题意；②当0a≠时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x ag x x x xxa---+--+--'===⇒==-+，（1）若0a <，110a-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1211g x g a a ==-<-⇒>，矛盾，不符题意；（2）若0a >， 若102a <≤，111a-+>，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意； 若112a <<，1011a <-+<，1(0,1)x a∈-+，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；（11(1)ln(1)10g aa-+=-+->矛盾；）若1a ≥，110a-+≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意； 综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a的取值范围为1a ≥； ……………6′（ⅱ）由（ⅰ）知，()1g x ≤-恒成立，实数a的取值范围为1a ≥.方法一：令sin [0,1)t θ=∈，考虑函数11()(1)(1)ln(1)(1)[ln(1)(1)]11a a P t g t g t t a t t a t t t --=+--=+-+------+- 222221111211()22(1)[]11(1)(1)1(1)(1)a a P t a a a ttt t tt t --'=--++=-+-++-+--+-，下证明()0P t '≥，即证：2222112(1)[]01(1)(1)a a tt t -+-+≥-+-，即证明222211(1)[]01(1)(1)ta a tt t +-+-≥-+-，由2111t≥-，即证22211(1)[]0(1)(1)ta a t t +-+-≥+-，又10a -≥，只需证222110(1)(1)tt t +-+≥+-，即证222421(1)(1)3(3)tt tt t t t +≥+-⇐-≤⇐-≤，显然成立. 即()p t 在[0,1)t ∈单调递增，min ()(0)0p t p ==，则()0p t ≥，得(1)(1)g t g t +≥-成立，则对任意的[0,)2πθ∈，(1sin )(1sin )g g θθ-≤+成立．……………7′方法二：考虑函数11()(1sin )(1sin )ln(1sin )(1sin )[ln(1sin )(1sin )]1sin 1sin a a h g g a a θθθθθθθθθ--=+--=+-+------+- 1sin 11ln 2sin 1sin 1sin 1sin a a a θθθθθ+--=--+-+-1sin 11ln2sin (1)()1sin 1sin 1sin a a θθθθθ+=-+-+--+21sin 2ln 2sin (1)()1sin 1sin a a θθθθ+=-+---。