江大算法设计_复习

A 、考试范围
一、基本题（20％）
排序、分治、动态规划、贪心、回溯和分枝限界；渐进性符号及定义，求解递推关系 二、简答解答（30％）：2题 三、算法设计（50％）：分治、动态规划、贪心、回溯，2题，
B 、第二部分例题：
1.考虑在序列 A[1..n]中找最大最小元的问题。

一个分治算法描述如下： 如果n<=2就直接求解；否则，将序列等分成两个子序列A[1..n/2]和 A[n/2+1..n],分别找出这两个子序列的最大最小元素，据此求出A[1..n] 的最大和最小元。

请给出该算法计算时间T(n)的递归方程，并解方程来确
定算法的时间复杂度.假设n=2k
(k 为正整数)
2.简述基数排序的基本思想和算法时间复杂度；
考虑使用基数排序对下列8个数据进行排序，给出排序的中间过程和最终结果 2756，7352，3725，3762，5273，2375，5732，5627
3.快速排序是根据分治策略来设计的，其基本思想是什么？快速排序的最坏及平均情况的时间复杂度是多少？
4.考虑用动态规划法求解矩阵12345M M M M M 的最优运算（即乘法次数最少）的次序， 其中12345:56,:64,:48,:83,:35M M M M M ⨯⨯⨯⨯⨯ （1）设C[i,j]表示1
i i j M M M +按照最优次序运算所需要的元素乘法次数。

请给出C[i,j]递推计算的表达式
（2）根据递推公式填写下表，包括C[i,j]的值及对应的最优计算次序的加括号方式
C 、第三部分例题
1.将正整数n 表示成一系列正整数之和，12k n n n n =+++，
其中12
k n n n ≥≥
≥，1k ≥。

正整数n 的这种表示称为正整数n 的的划分。

正整数n 的的不同的划分个数称为正整数n 的的划分数，记作
()p n 。

试推导出()p n 的求解方法。

2.设n 个不同的整数按由小到大顺序存于[1..]T n 中。

1). 若存在下标i ，1i n <<，[]T i i <,证明：对1j i ≤<，有[]T j j <
2). 若T 中存在下标i ，1i n ≤≤，使得[]T i i =，设计一个有效算法找到这个下标。

要求算法在最坏情况下的计算时间复杂性为(log )O n 3．最长公共子序列（递增、递减、双向子序列） 4．背包问题、二维背包问题
5. 给定平面上n （10n ≤）个点(,)1,2,
i i x y i n =,要求把这些点连成一条折线，使得连
成的折线长度最短。

请用回溯法设计解决此问题的算法，并分析算法的时间复杂性。

使用排列树作为解空间树，用标准的排列树回溯算法。

P 记录结点信息
p.i 原结点序号 p.x 结点横坐标 p.y 结点纵坐标 bestP:记录最有顺序
len:记录从起始点到当前点距离； bestlen :已计算得到的最短距离
backtrack (int t) {
if (t>n) then
记录目前最优; bestP = P; bestlen = len; else
for (int i=t;i<=n;i++) { swap(P[t], P[i]); if i=1 then dist = 0; else
dist = P(t)点与P(t-1)点之间的距离;
len += dist;
if (len<bestlen) backtrack(t+1); len -= dist;
swap(x[t], x[i]); } }
主程序
对P, len 初始化
对bestlen 初始化（∞） backtrack (1); 输出bestP 和bestlen
6、凸包问题（GRAHAM 算法）
算法A
首先，找到所有点中最左边的（y 坐标最小的），如果y 坐标相同，找x 坐标最小的；以这个点为基准求所有点的极角（atan2(y-y0,x-x0)），并 按照极角对这些点排序，前述基准点在最前面，设这些点为P[0]..P[n-1]；建立一个栈，初始时P[0]、P[1]、P[2]进栈，对于 P[3..n-1]的每个点，若栈顶的两个点与它不构成“向左转”的关系，则将栈顶的点出栈，直至没有点需要出栈以后将当前点进栈；所有点处理完之后栈中 保存的点就是凸包了。

如何判断A 、B 、C 构成的关系不是向左转呢？如果b-a 与c-a 的叉乘小于0就不是。

a 与b 的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x 。

算法B （分治方法）
第一步：把给定点集中的点按横坐标大小排序，如下图所示，1p 和n p 必定是凸多边
形的两个顶点。

第二步：在上凸包点集s 1中找到一个距离直线最远点max p ，如下图所示，显然直线
段
1max p p 和max n p p 把点集s 1分成三个集合，有凸包的性质可知，1max n p p p 三点围成的三
角形中的点不可能作为凸包的顶点，所以只需考虑直线1max p p 左边的点集s 11和max n p p 右
边的点集s 12
第三步： 递归求解得到凸多边形的边 第四步： 合并这些边即得所求凸包
利用分治法求解凸包问题，关键步骤是点集按横坐标排序，算法复杂性是(log )n n Θ，故凸包问题的算法复杂性是(log )n n Θ。