约当消去法和高斯消去法
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
高斯消去法
例子高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：這個算法的原理是：首先，要將L1以下的等式中的x消除，然後再將L2以下的等式中的y消除。
這樣可使整毎方程組變成一個三角形似的格式。
之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。
在剛才的例子中，我們將和L2相加，就可以將L2中的x消除了。
然後再將L1和L3相加，就可以將L3中的x消除。
我們可以這樣寫：結果就是：現在將− 4L2和L3相加，就可將L3中的y消除：其結果是：這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。
第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。
第一個答案就是：然後就可以將z代入L2中，立即就可得出第二個答案：之後，將z和y代入L1之中，最後一個答案就出來了：就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。
這種算法可以用來解決所有線性方程組。
即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。
例如在第一步化簡後，L2及L3中沒有出現任何y，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。
這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。
每當變數被鎖定，就會出現一個解。
通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。
以下就是使用矩陣來計算的例子：跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：這矩陣叫做「行梯陣式」。
最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。
設A為一個的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。
將一個單位矩陣放在A的右手邊，形成一個的分塊矩陣B = [A,I] 。
經過高斯消去法的計算程序後，矩陣B的左手邊會變成一個單位矩陣I，而逆矩陣A- 1會出現在B的右手邊。
高斯消去法
高斯消去法自然界中有各种各样的消去法，而人们对其运用也不计其数。
如：对物理学上的一些问题，大多用了消去法，也是为了得到正确的答案。
在生活中，人们常常会遇到这样那样的数学问题，这时便可以使用“高斯消去法”，通过简单的计算便可得出正确的答案。
下面就来介绍它的具体做法： 1。
我国科学家采用了高斯消去法。
当年他在研究“零点能”时，很少数学家采用高斯消去法，认为太麻烦，只要找到一个零点能比较小的位置，把它消去，其余大部分应该能被保留。
但事实并非如此，后来经过调查，发现原来只要让这些点连续增加，直到与相邻的点相差无几，那么我们所求的零点能将变为零。
于是，人们通过巧妙地构造，终于成功地将零点能消掉了，得到了正确的结果。
2。
4。
其实在数学上，高斯消去法远不止这两个例子，只要我们善于观察、思考、发现和创新，一定还能想到更好的消去方法。
3。
6。
上帝的方法是：当你在生命线上与一些重要人物紧紧相连时，把它消去，把消失的那段砍掉。
以前那人一直不明白，为什么他的生命线总与别人相连，却永远都断不了，后来，他才恍然大悟，原来上帝把他与一些重要人物的紧密关系消去了，而把另一些无关紧要的人物增添上去。
9。
人类有时会受到一些坏人的欺骗。
比如说，两个强盗绑架了许多小孩子。
其中一个强盗见这些小孩个头矮小，便想出一个绝招。
这天晚上，两个强盗把一根又粗又长的绳子捆在一棵树上，在距离村子很远的地方准备好另外一根绳子。
第二天早上，这个绑架了小孩的强盗假装放绳子，那些小孩便拼命地往家跑，而绳子却从那棵树上下来，勒在他们身上。
这时，他们早已跑得精疲力尽，等醒过神来，一切都结束了。
9。
不知道大家有没有看过《哈利·波特》，书中讲述了主人公哈利和他的三个朋友的故事，他们因为意外互换了身份，进入到了魔法学校霍格沃兹学习，在校期间他们为了解开伏地魔的阴谋，跟着导师邓不利多在魔法世界里探险。
在这个过程中，他们遇到了许多困难，像密室逃脱、身份揭穿、幽灵共舞等等，有的时候，凭他们的智慧和勇气，是完全可以战胜这些困难的。
gaussjordan消元法
高斯-约当消元法（Gauss-Jordan elimination）是线性代数中的一种用于解线性方程组的方法。
它是高斯消元法（Gauss elimination）和约当消元法（Jordan elimination）的结合，通过进行一系列行变换将矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。
1. 高斯-约当消元法的基本思想高斯-约当消元法的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵变换为阶梯形或行最简形，从而求出线性方程组的解。
这些行变换包括交换方程的次序、用一个非零常数乘以一个方程、用一个非零常数乘以一个方程加到另一个方程。
2. 高斯-约当消元法的具体步骤高斯-约当消元法的具体步骤可以分为以下几步：（1）将线性方程组的系数矩阵和增广矩阵写出来；（2）通过行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形；（3）通过回代求解得到线性方程组的解。
3. 高斯-约当消元法的优点与高斯消元法相比，高斯-约当消元法的优点在于它不仅可以解决系数矩阵为方阵的情况，还可以解决系数矩阵不为方阵的情况。
高斯-约当消元法适用范围更广。
另外，高斯-约当消元法在计算机求解线性方程组时也具有较高的效率，因此在实际应用中被广泛采用。
4. 高斯-约当消元法的应用高斯-约当消元法广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域。
在工程领域，高斯-约当消元法常用于解决结构分析、电路分析、传热传质问题等方面。
在物理学领域，高斯-约当消元法常用于解决运动学、动力学、静电学、磁场学等问题。
在计算机科学领域，高斯-约当消元法常用于解决图形学、计算机图形学、模式识别、人工智能等问题。
5. 总结高斯-约当消元法是一种高效、准确的线性方程组求解方法，它的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。
在实际应用中，高斯-约当消元法被广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域，并展现出了较高的效率和准确性。
值得指出的是，高斯-约当消元法具有较强的通用性，并不仅限于方阵的情况，因此在实际应用中更加灵活和实用。
线性方程组的8种解法专题讲解
线性方程组的8种解法专题讲解线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组可以帮助我们求出方程组的解，从而解决实际问题。
本文将介绍线性方程组的8种常见解法。
1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法。
该方法通过将方程组转化为阶梯型矩阵，然后进行回代求解，得到方程组的解。
这一方法适用于任意维度的线性方程组。
2. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
该方法将方程组转化为阶梯型矩阵，并通过变换矩阵的方式使得主元为1，然后进行回代求解，得到方程组的解。
高斯消元法适用于任意维度的线性方程组。
3. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是对高斯消元法的改进。
该方法在高斯消元法的基础上，通过变换矩阵的方式使得主元为0，然后进行回代求解，得到方程组的解。
高斯-约当消元法适用于任意维度的线性方程组。
4. 矩阵分解法矩阵分解法是一种将线性方程组转化为矩阵分解形式，从而求解线性方程组的方法。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等。
这些方法可以有效地降低求解线性方程组的计算复杂度。
5. 特征值分解法特征值分解法是一种将线性方程组转化为特征值和特征向量的形式，从而求解线性方程组的方法。
通过求解方程组的特征值和特征向量，可以得到方程组的解。
特征值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。
6. 奇异值分解法奇异值分解法是一种将线性方程组转化为奇异值分解形式，从而求解线性方程组的方法。
通过奇异值分解，可以得到方程组的解。
奇异值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。
7. 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近方程组的解来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
迭代法的优点是可以适应各种规模的线性方程组。
8. 数值求解法数值求解法是一种通过数值计算的方式来求解线性方程组的方法。
常见的数值求解法有牛顿法、梯度下降法等。
数值求解法可以处理复杂的线性方程组。
以上是线性方程组的8种常见解法。
计算方法-李桂成-期末复习要点
数值分析复习要点引论1数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）, 包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现, 包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点, 又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2误差的概念2.1误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差, 称为模型误差测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差, 称为舍入误差.2.2 误差的度量..(1).(2).(3).绝对误差与绝对误差限相对误差与相对误差限有效数字2.3误差的传播和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法方程求根1 二分法用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值 , 其主要思想是: 将含有根x* 的隔离区间二分通过判断二分点与边界点函数值的符号, 逐步对半缩小隔离区间, 直到缩小到满足精度要求为止 , 然后取最后二分区间的中点为根x * 的近似值 .,2迭代法一般地 , 为了求一元非线性方程 f (x)0 的根 , 可以先将其转换为如下的等价形式xx 然后构造迭代公式 . x k 1x k k 0,1,23收敛性和收敛速度（收敛性基本定理）的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量. （收敛阶）设序列x k k 0收敛到x*,并记误差e k | x k x*| . 若存在常数 p 1 和 c0 , 使得 : lim ekp1ck e k则称序列x k k 0是 p 阶收敛的 , 当 p 1 时 , 称为线性收敛 , 当 p 1 时 , 称为超线性收敛 ,当 p 2 时 , 称为二次收敛或平方收敛 .4牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式x k 1 x k f ( x k ) k 0,1,2f (x k )牛顿法的收敛性设 x*是方程 f ( x) 0 的单根 ,并且 f (x) 在x*的邻域上连续,则牛顿迭代法（ 3.4.1）至少平方局部收敛 .解线性方程组的直接法1高斯消去法消元过程为：对 k 1,2, , n 1 逐次计算 :l ik( k ) a ij a ik(k 1)/ a kk(k 1) ,( i k1,, n)a ij( k1)l ik a kj(k1) ,( i , j k1, , n)b i( k1)l ik b k( k1) ,( i k1,,n )回代过程：逐步回代求得原方程组的解x n b n(n 1) / a nn(n 1)nx k(b k( k 1)a kj(k 1) x j ) / a kk(k 1) ,( k n 1,n 2, ,1)j k1高斯消去法的乘除法总计算量为：1 n3 1 n2 6 n 1 n2 1 n 1 n3n 2 1 n32522332高斯—约当消去法约当消去法的计算过程为：对于 k 1,2,, n 计算：a kj(k )a kj(k 1)/ a kk(k 1) ( j k1,,n1) ( k )(k 1)( k 1)( k )(i1,2,且aij aijaikakj,n i k; j k 1,k 2, , n 1)乘除法的总次数为:1 n31n2.22它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3向量和矩阵的范数、条件数向量范数 :nn211 范数x 1x i2范数x 2(x i ) 2范数xmax x ii 1i 11 i n矩阵的范数设 x 为 n 维向量 , A 为 n 阶方阵 , 则算子范数 :nAmax ij 称为矩阵 A 的行范数。
数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
高斯消元法-简述
高斯消元法-简述
高斯消元法，又称高斯消去法，实际上就是我们俗称的加减消元法.
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆.当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”.
例如：一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，细数相等的未知数就被除去了（系数为0）.同样的也适合多元多次方程组.。
Gauss消去法求解线性方程组
Gauss消去法求解线性方程组
Gauss消去法，又称高斯-约旦消去法，是求解线性方程组的一种常用方法。
其基本思想是通过行变换将线性方程组转化为行最简形式，然后利用回代法求解。
以下是Gauss消去法求解线性方程组的详细步骤：
1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成增广矩阵。
2. 从第一行开始，将第一列的元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第一元素消成0。
3. 将第二行的第二个元素作为主元，并通过初等行变换将其它行的第二元素消成0。
4. 以此类推，直到将增广矩阵转化为行最简形式。
5. 利用回代法求解，即从最后一行开始，解出未知数依次代入上面的方程中求解。
其中，初等行变换包括以下三种：
1. 交换矩阵中两行的位置。
表示为 Ri<->Rj。
2. 将矩阵中某一行的每个元素乘以一个非零常数k。
表示为Ri*k。
3. 将矩阵中某一行的每个元素加上另一行对应元素的k倍。
表
示为 Ri+k*Rj。
Gauss消去法是一种较为常用的求解线性方程组的方法，但当系数矩阵存在奇异现象或行列式为0时，此方法无法求解。
此时可以采用LU分解法、SOR迭代法等其他方法进行求解。
求逆矩阵的三种方法
求逆矩阵的三种方法求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于给定的一个方阵A，求解出一个方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵，即A乘以B等于单位矩阵。
本文将介绍三种常见的求逆矩阵的方法：伴随矩阵法、初等变换法和高斯-约当消元法。
一、伴随矩阵法：伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、给定一个n阶方阵A，首先计算出其伴随矩阵Adj(A)，然后用其行列式D，A，除以A的行列式，A，得到矩阵的逆矩阵A^(-1)。
具体步骤如下：步骤1：计算A的行列式，A。
步骤2：对A的每个元素a(ij)，计算其代数余子式A(ij)。
A(ij)是将A的第i行和第j列删除后得到的矩阵的行列式。
步骤3：根据代数余子式A(ij)计算伴随矩阵Adj(A)。
Adj(A)的第i行第j列的元素等于A(ij)乘以(-1)^(i+j)。
步骤4：计算逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/，A。
伴随矩阵法求逆矩阵的优点是简单易懂，但是对于大型矩阵来说，计算量较大。
二、初等变换法：初等变换法是通过一系列矩阵的变换，将原矩阵变换为单位矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过一系列的初等行变换，将矩阵[A,I]变换为一个左边是单位矩阵的矩阵[E,B]。
此时，原矩阵A的逆矩阵就是右边的矩阵B。
步骤3：将右边的矩阵B拆分出来，即得到A的逆矩阵A^(-1)=B。
初等变换法求逆矩阵的优点是可以直观地通过初等行变换的方式来求解，但是对于一些特殊矩阵而言，可能需要执行大量的行变换操作。
三、高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是通过消元的方式，将原矩阵A变换为一个上三角矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过高斯-约当消元的方式，将矩阵[A,I]转化为一个上三角矩阵[U,C]。
线性代数计算方法
a(0) 12
a(0) 22
a(0) n2
... ...
a(0) 1n
a(0) 2n
x1 x2
bb12((00))
...
... ...
...
a(0) nn
xn
bn(0)
（1）消去过程： 消去 x1,x2, ,xn1
第一步：消
x1
，设
a (0) 11
0
第2行：计算比例因子
l21
第3章 线性代数计算方法
§1 高斯消去法 §2 高斯―约当消去法 §3 解实三对角线性方程组的追赶法 §4 矩阵的三角分解 §5 行列式和逆矩阵的计算 §6 迭代法 §7 迭代法的收敛性 §8 矩阵的特征值与特征向量的计算
线性代数计算方法
•
在自然科学和工程技术中很多问题的解决
常常归结为解线性代数方程组。
n
b(i1) i
.
. . .
a ( n 1) nn
xn
bn( n 1)
a i ( ii 1 )x i a i ( ii 1 1 )x i 1 a i ( n i 1 )x n b i ( i 1 )
xi bi(i1)ai(ii11)xaii (ii11) ai(ni1)xn
xnbn(n1) /an(nn1)
. . .
...
.
.
.
. .
线性代数计a算n( nn 方1)法
xn
. bn( n 1)
消元过程总体流程：
对于
做
对于 ik1, ,n做
(k 1)
a ik
l ik
(k 1)
a kk
a (k) ik
0
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆，因此了解求逆矩阵的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的求逆矩阵的方法，希望能对大家有所帮助。
方法一，伴随矩阵法。
伴随矩阵法是求解逆矩阵的一种常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式，如果行列式为0，则矩阵A不存在逆矩阵；2. 计算矩阵A的伴随矩阵，即将矩阵A的每个元素的代数余子式组成的矩阵进行转置；3. 将伴随矩阵除以矩阵A的行列式，得到矩阵A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是另一种求解逆矩阵的常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过初等变换将矩阵A转化为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等变换得到A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法三，高斯-约当消元法。
高斯-约当消元法也是一种常用的求解逆矩阵的方法。
通过将矩阵A和单位矩阵拼接在一起，然后通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过高斯-约当消元法将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法四，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较直观的求解逆矩阵的方法。
对于一个2n 阶矩阵A，我们可以将其分块成四个n阶子矩阵，然后通过矩阵分块的运算规则来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A分块成四个n阶子矩阵，记为A = [A11, A12;A21, A22]；2. 如果A22存在逆矩阵，那么A的逆矩阵可以通过以下公式求解，A的逆矩阵 = [A11 A12 A22^(-1) A21]^(-1), -A11A12^(-1); -A22^(-1) A21, A22^(-1)]。
数值分析5-2(高斯消去法)
M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用 高斯 约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 用高斯-约当消去法求解两个方程 例 用高斯 约当消去法求解两个方程 组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次 消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 程组：
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法 高斯 约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6
高斯-约旦消元法
高斯-约旦消元法
高斯-约旦消元法是一种线性代数解题的方法，在求解线性方程组时较为常用。
该方法通过矩阵变换的方式，将增广矩阵消元成上三角矩阵，进而得到线性方程组的解。
具体步骤如下：
1.将增广矩阵左侧的系数矩阵化为上三角矩阵。
首先将第一列中的元素中的最大值所在的行与第一行交换位置，然后使用第一行的倍数消去其他行该列中的元素。
以此类推，对每一列进行相同的操作，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2.对上三角矩阵使用回代法求解线性方程组。
具体做法是从方程组最后一行开始，先计算未知量的值，再带入前面的方程中，以此类推，直至求出所有未知量的值。
高斯-约旦消元法的优点是具有较高的精度和较快的计算速度，能够求解大规模的线性方程组。
但由于其计算时需要进行大量的浮点运算，系数矩阵过于接近于奇异则无法适用，并且需要占用较大的计算资源。
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T在线性代数中，矩阵初等变换是指用一些特殊的线性运算，如行交换、行乘以非零常数、行减去另一行的倍数等，将一个矩阵转换为另一个矩阵的过程。
矩阵初等变换重要的一个特性是，变换后的矩阵能够保留原矩阵的秩。
一个矩阵初等变换能够将一个矩阵化为行最简型有多种方法，这些方法称为行最简化算法，它们主要包括：(1)将一个矩阵化为行最简型的一个传统方法是高斯-约当消去法。
首先，我们将矩阵的第一列除以该列中主元素的系数，使其变成1。
接下来，我们用第一列的1乘以其它行的系数，减去其它行中的主元素，使之变成0.接着，我们将矩阵的第二列除以该列中第一个非零元素的系数，使其变成1，并用第二列的1乘以其它行的系数，减去其它行中的第二个非零元素，使之变成0.同理，我们可以将矩阵的其他列除以各列中第一个非零元素的系数，乘以其它行的系数，减去其它行中的非零元素，使之变成0.通过这样的方法，我们可以把矩阵化为行最简型。
(2)另一种将矩阵化为行最简型的方法是小列式消去法，这种方法的基本思想是对一个小列式求导，从而获得化简该矩阵的一系列消元操作。
具体来说，首先将矩阵分解为一系列小列式，每个小列式由矩阵中的某些行、某些列的元素组成。
然后针对每个小列式求导，并根据求导结果，应用初等变换将矩阵中的其他元素消去，直到矩阵变成行最简型。
(3)Schönhage-Arne方法是一种更先进的方法，现在已有许多文献报道了Schönhage-Arne方法可以有效地将一个矩阵化为行最简型，并且在大多数情况下可以较快地实现。
具体而言，Schönhage-Arne方法基于一种新技术——位运算（bit-operation），以一种新的方式标记每个数，使用户可以通过位运算快速地将某个矩阵化为行最简型。
总之，矩阵初等变换化为行最简型的技巧大致可以分为高斯-约当消去法、小列式消去法和Schönhage-Arne方法等，它们都可以有效地将矩阵化为最简型，而且在实践中也都非常有效。
约当消去法和高斯消去法
约当消去法和高斯消去法的应用一、 题目：求解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102.72321321321x x x x x x x x x 10误差分析范围为e=0.0001.二、引言线性方程组的解法大致分为直接法与迭代法两大类。
迭代法的突出优点是算法简单，编程容易。
但迭代法的缺点是它要求迭代过程具有收敛性，发散的迭代过程是没有实用价值的。
前面我们通过对迭代法的学习，已经大致掌握了有关迭代法的基本思想，此处我们将学习解决线性方程组的另一种方法——直接法这种算法思想简单并且容易掌握，结果精确，这虽然是一种古老的算法，但用在现代计算机上仍十分有效，所以这依然是一种十分有效的解决线性方程组的一种方法，下面我们一起来学习这种算法！三、算法直接法中我们接触到的有约当消去法和高斯消去法，下面我们将逐一介绍两种算法：1、 约当消去法：考察一般形式的线性方程组∑==n j i j ijb x a 1,i=1，2，3，…，n （1）第一步，先把方程（1）中的第一个方程的x的系数化为1，并从其1余的方程中消去x，得到方程（1）11第二步，先把方程中的第二个方程的x的系数化为1，并从其余的方2程中消去x，得到方程（1）22第K步，先把方程中的第k个方程的x的系数化为1，并从其的k方程中消去x，得到方程（1）Kk第n步，先把方程中的第n个方程的x系数化为1，并从其与方程n中消去x。
这样经过n步的消去就可以得到原方程组的解。
n2、高斯消去法高斯消去法包括两个过程：消去过程和回代过程（1）消去过程：第一步，把方程中的第一个方程的x（1）的系数化为1，并从其余方程中的x1消去，得到新的方程（1）1第二步，把方程（1）1中的第二个方程的x(2)的系数化为1，从第三个方程开始一直到第n个方程中消去x(2)得到新的方程（1）2第k步，把方程（1）k-1中的第k个方程中的x(k)的系数化为1，并且从k+1个方程开始一直到第n个方程中消去x(k),得到新的方程（1）k第n步，把方程（1）n-1中的第n个方程的x(n)的系数化为1，得到新的方程（1）n这样，通过n步转化就可以得到x(n)的值（2）回代过程：由(1)n方程得到x(n)的值，再把x(n)带回到方程（1）n-1中得到x(n-2)，按此方式，一次将其回代，就可以得到所要求的方程的解这就是高斯消去法四、程序代码及数据1、约当消去法Program fjs3implicit noneinteger::k,i,jinteger,parameter::m=3,n=3real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/)real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/)do k=1,ndo j=k+1,na(k,j)=a(k,j)/a(k,k)end dob(k)=b(k)/a(k,k)do i=1,nif(i/=k) thendo j=k+1,na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)end dob(i)=b(i)-a(i,k)*b(k)end ifend doend dowrite(*,*) b(1),b(2),b(3)stopend1.100000 1.200000 1.300000 Press any key to continue2、高斯消去法program fjs3implicit noneinteger::k,i,jinteger,parameter::m=3,n=3real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/)real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/)do k=1,ndo j=k+1,na(k,j)=a(k,j)/a(k,k)end dob(k)=b(k)/a(k,k)do i=k+1,ndo j=k+1,na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)end doend dodo i=k+1,nb(i)=b(i)-a(i,k)*b(k)end doend dodo i=n-1,1,-1do j=i+1,nb(i)=b(i)-a(i,j)*b(j)end doend dowrite(*,*) b(1),b(2),b(3)stopEnd1.100000 1.200000 1.300000Press any key to continue五、算法评估直接算法：优点是工作量小精度高缺点是程序复杂对于高阶矩阵，受计算机容量限制，适合与中小型方程组所以对线性方程组来说，总的来说有两种计算方法，一种是迭代法另一种是消去法。
高斯约当消去法
⾼斯约当消去法⾼斯约当消去法是⽤来解线性⽅程组的。
其算法的思路类似于我们在线性代数中把矩阵化成单位阵的⼯作。
也就是说要求得⼀个⽅程组的解，只需要把矩阵化成单位阵就可以很轻松的得到⽅程组的解了。
单位阵：增⼴矩阵就是在系数矩阵的右边添上⼀列，这⼀列是线性⽅程组的等号右边的值。
⼈去求增⼴矩阵的单位阵很简单，将某⼀列的元素选为主元，然后⽤该主元依次减该列的其他元素把该列的其他元素化为零。
那么计算机该怎么做呢？1.将⽅程组的第⼀个⽅程等式两边同时除以a11就可以得到X1的值同时也将X1的系数化为1了。
2.将上⼀步中的X1的值代⼊下⾯的⽅程组中就会把该⾏的X1的系数化为零。
重复上述两步，直到把除主对⾓线以外系数矩阵中的所有元素都化为零即完成了解线性⽅程组的⼯作。
将X1代⼊其他⽅程⾥系数是有规律的，可以动⼿计算下举个例⼦将X1代⼊⼆式中得到的Xn的系数为：a2n-a21*a1n/a11 这就是我们算法中的关键下⾯就把具体代码贴出来：01 procedure TForm1.Gauss_Jordan(Var B:XValue;A:Matrix2;N:Integer); //⾼斯约当消去法02 //B是⽤来存放解的数组 A是⽅程组的增⼴矩阵，N是⽅程的个数，也就是系数矩阵的⾏。
03 Var04 Row,Col:Integer;05 i,j,k:Integer;06 temp:real;07 begin08 Row:=N;09 Col:=N+1;10 for k:=0to Row-1do11 begin12 temp:=A[k][k]; //取出矩阵对⾓线上的值13 for j:=k to Col-1do A[k][j]:=A[k][j]/temp; //将该⾏对⾓线上的元素化为114 for i:=0to Row-1do//将每⼀⾏的第k列元素除对⾓线以外的元素都化为零15 begin16 if i=k then continue;17 //当前将要被化为零的元素--注意K代表的是第K列是不变的也就是说第K列的所有元素除了主对⾓线上的元素都会被化为零18 temp:=A[i][k];19 for j:=k to Col-1do20 A[i][j]:=A[i][j]-temp*A[k][j]; //这就是我上⾯说的那个表达式的代码，在代⼊的过程中换算系数的值21 end;22 end;23 for k:=0to Row-1do24 B[k]:=A[k][col-1];25 end;注意：⾼斯约当消去法的前提是系数矩阵对⾓线上的值不能为零，从代码中也看的出来。
高斯消元法和高斯约旦消元法
高斯消元法和高斯约旦消元法1. 走进高斯的世界说到高斯消元法和高斯约旦消元法，可能很多人会皱眉头，觉得这俩名字听起来像是外星语言，别担心，我来给你说说它们的故事！高斯消元法，这个名字起源于一个名叫高斯的德国数学家，他可是个大牛，很多数学理论都跟他有关系。
简单来说，这个方法就是通过一系列的行变换，把一个复杂的方程组变得简单，像是把一团乱麻理顺一样。
你想想，要是你有一堆衣服没洗，怎么办？先把它们分类嘛，先洗白色的，再洗深色的。
高斯消元法就是这样的思路，把复杂的方程一层层剥开，变得清清爽爽。
1.1 高斯消元法的基本步骤高斯消元法的第一步，就是把方程组写成增广矩阵。
这就好比你先把所有的衣服放进洗衣机，然后设置洗涤程序。
接下来，我们需要通过初等行变换来消元，简单来说，就是把某一行的某个元素变成零，降低方程的复杂度。
举个例子，假设你在解一个关于小猫、小狗和小鸟的方程，可能有点乱，想象一下你在这场宠物大战中，用高斯消元法把小猫的数量化简，最后只剩下小狗和小鸟。
听起来是不是挺有趣的？1.2 优点与缺点不过呢，高斯消元法也不是没有缺点。
有时候，如果方程组的系数很小，可能会出现计算误差，哎呀，这就像你去买菜，发现蔬菜价格涨了，结果买了个大葱，回家发现还得换！而且，处理大规模的方程组时，高斯消元法可能会变得很麻烦，毕竟事情一多，难免会出现小差错。
不过，总体来说，它还是个好帮手，尤其是在基础学习阶段，帮助我们理解线性方程组的奥秘。
2. 高斯约旦消元法的魅力说完高斯消元法，咱们得提提高斯约旦消元法。
这个名字听起来似乎比前者还复杂，但其实它是高斯消元法的“进阶版”。
想象一下，你刚学会了骑自行车，突然来了个高级骑行课程，那就是高斯约旦消元法！这个方法的关键在于把矩阵变成简化的行阶梯形式，最终实现每一列都能得到标准基，哇，听起来好高级对吧？2.1 高斯约旦消元法的操作高斯约旦消元法同样也要写出增广矩阵，但在消元的过程中，不仅仅是把下面的元素变成零，还要把主对角线的元素变成1，甚至有时候还要把上面的元素也处理成零。
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b(k)=b(k)/a(k,k) do i=k+1,n do j=k+1,n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j) end do end do do i=k+1,n b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k) end do end do do i=n-1,1,-1 do j=i+1,n b(i)=b(i)-a(i,j)*b(j) end do end do write(*,*) b(1),b(2),b(3) stop End 1.100000 1.200000 1.300000
a x
j 1 ij
n
j
bi ,i=1，2，3，…，n
（1）
第一步，先把方程（1）中的第一个方程的 x1 的系数化为 1，并从其 余的方程中消去 x1 ，得到方程（1）1 第二步，先把方程中的第二个方程的 x2 的系数化为 1，并从其余的方 程中消去 x2 ，得到方程（1）2 第 K 步，先把方程中的第 k 个方程的 xk 的系数化为 1，并从其的 方程中消去 xk ，得到方程（1）K
（2）回代过程： 由(1)n 方程得到 x(n)的值，再把 x(n)带回到方程（1）n-1 中 得到 x(n-2)，按此方式，一次将其回代，就可以得到所要求 的方程的解 这就是高斯消去法 四、程序代码及数据 1、约当消去法 Program fjs3 implicit none integer::k,i,j integer,parameter::m=3,n=3 real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/) real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/) do k=1,n do j=k+1,n a(k,j)=a(k,j)/a(k,k) end do b(k)=b(k)/a(k,k) do i=1,n if(i/=k) then do j=k+1,n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)
end do b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k) end if end do end do write(*,*) b(1),b(2),b(3) stop end
1.100000
1.200000
1.300000
Press any key to continue 2、 高斯消去法 program fjs3 implicit none integer::k,i,j integer,parameter::m=3,n=3 real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/) real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/) do k=1,n do j=k+1,n a(k,j)=a(k,to continue 五、算法评估 直接算法：优点是工作量小精度高
缺点是程序复杂对于高阶矩阵，受计算机容量限制，适合 与中小型方程组 所以对线性方程组来说，总的来说有两种计算方法，一 种是迭代法另一种是消去法。遇到一个特定的问题到底用什么 方法，要视情况而定。对于低阶的中小型方程组而言，一般选 用消去法，而此时消去法的精度也完全可以满足问题；对于高 阶方程组而言，我们一般选用迭代法，由此，针对线性方程组 我们一般用此两种方法就可以解决问题。
约当消去法和高斯消去法的应用 一、 题目： 求解方程组：
10x1 x 2 2 x3 7.2 x1 10x 2 2 x3 8.3 x x 5 x 4 .2 2 3 1
误差分析范围为 e=0.0001. 二、引言 线性方程组的解法大致分为直接法与迭代法两大类。 迭代法的突 出优点是算法简单，编程容易。但迭代法的缺点是它要求迭代过程具 有收敛性，发散的迭代过程是没有实用价值的。 前面我们通过对迭代法的学习， 已经大致掌握了有关迭代法的基 本思想，此处我们将学习解决线性方程组的另一种方法——直接法 这种算法思想简单并且容易掌握，结果精确，这虽然是一种古老 的算法，但用在现代计算机上仍十分有效，所以这依然是一种十分有 效的解决线性方程组的一种方法，下面我们一起来学习这种算法！ 三、算法 直接法中我们接触到的有约当消去法和高斯消去法， 下面我们将逐 一介绍两种算法： 1、 约当消去法： 考察一般形式的线性方程组
第 n 步，先把方程中的第 n 个方程的 xn 系数化为 1，并从其与方程
中消去 xn 。这样经过 n 步的消去就可以得到原方程组的解。 2、高斯消去法 高斯消去法包括两个过程：消去过程和回代过程 （1）消去过程： 第一步，把方程中的第一个方程的 x（1）的系数化为 1，并从 其余方程中的 x1 消去，得到新的方程（1）1 第二步，把方程（1）1 中的第二个方程的 x(2)的系数化为 1， 从第三个方程开始一直到第 n 个方程中消去 x(2)得到新的方程 （1）2 第 k 步，把方程（1）k-1 中的第 k 个方程中的 x(k)的系数化为 1，并且从 k+1 个方程开始一直到第 n 个方程中消去 x(k),得到 新的方程（1）k 第 n 步，把方程（1） n-1 中的第 n 个方程的 x(n)的系数化为 1， 得到新的方程（1）n 这样，通过 n 步转化就可以得到 x(n)的值