效实中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)

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温州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)

浙江省温州中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1. 在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．计算21og 63 +log 64的结果是（） A ．log 62 B ．2 C ．log 63 D ．3 3．如果1()1xf x x=-，则当0x ≠且1x ≠时，()f x =（） A ．1x B ．11x - C ．11x - D ．11x- 4．函数1()1f x x=+的图象是（）5．设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“A B φ⋂≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x=x 0，它在区间[a,b]值域为[f(b),f(a)],则( ) A ． 0x b ≥B ． 0x a ≤C ．0(,)x a b ∈D ．0(,)x a b ∉7．记实数1x ,2x ,,n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,,最小数为{}12min ,,n x x x …,,则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，（）A ．34B ．1C ．3D ．728．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x+-=的实根个数不可能．．．为（） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定：； 10.函数212log (32)y x x =-+的递增区间是；11.设4()42xx f x =+，若01a <<，则()(1)f a f a +-= ，1232014()()()()2015201520152015f f f f ++++L = ； 12. 若关于x 的方程210x ax a -+-=在区间[2,)+∞上有解，则a 的取值范围是；13. 已知函数x x f x2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的是（填序号） 14．4个不同的球放入编号为1，2，3，4的三个盒子中，每个盒子中球的个数不大于盒子的编号，则共有种方法（用数字作答）。

宁波市效实中学2014-2015学年高二下学期期中考试政治试题及答案试卷政治试题及答案(理)

浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高二下学期期中考试试卷（理）一、单项选择题（本题包括35小题，每小题2分，共70分）作为中国传统文化“核心节日”的春节，年年岁岁既相似也不同。

各国各地的春节亦是如此。

据此回答1—3题。

1、春节派“红包”给未成年的晚辈是华人新年的一大习俗，意在将祝愿和好运带给他们。

2015年春节，支付宝等发“红包”福利加入“红包”大军，既送福又获利。

这表明①春节在社会的变迁中走出传统②文化是人们社会实践的产物③传统文化在继承的基础上发展④传统文化具有继承性和相对稳定性A．①③ B．②③ C.①② D．③④2、中国、越南、韩国都在农历新年过春节，但三国春节的标志性习俗各不相同。

中国是对联、爆竹、饺子；韩国是祭拜祖先、米糕汤；越南是祭祖祭神、粽子炙肉。

由此可见①文化是人类社会特有的现象②世界各国都有自己独特的文化③传统文化具有鲜明的民族性④文化遗产是民族情感的集中表达A．①②B．②③C．③④D．①④3、春运，不是迁徙，而是情感的回归；春节民俗依然活跃在每一个中国人心间，每年的这个时刻，无论身处何方，都会燃起人们对“家”的渴望。

这表明A．文化潜移默化影响人的交往行为和方式B．优秀文化能够增强人的精神力量C．文化对人的影响深远持久，稳定不变D．民族文化是维系民族生存和发展的精神根基4、苏格拉底说：“我到处走动，没有做别的，只是要求你们，不分老少，不要只顾你们的肉体，而要保护你们的灵魂”。

这句话启示我们①文化素养的培育比身体素质的提高更为重要②以优秀文化丰富自身的精神世界，培养健全的人格③重视教育在选择、传递、创造文化等方面的特定功能④提高公民的道德素质，加强社会主义核心价值体系建设A．①② B．②④ C．③④ D．①③5、每逢奥运会等国际赛事，商家们都会不失时机地推出相关的周边产品，且这些产品往往也深受消费者喜爱。

这说明A．文化创造力是综合国力的基础 B．文化创新促进民族文化的繁荣C．文化带来利润，促进经济的发展D．文化与经济相互交融6、互联网时代新成长起来的“微公益”强调人人从微不足道的公益事情着手，用自己的善举去帮助需要帮助的人，将人们的爱心汇集起来，形成一股强大的社会力量。

浙江宁波市效实中学14-15学年高一下学期期中考试数学试卷 (Word版含答案)

宁波效实中学二零一四学年度第二学期高一数学期中试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+= A .17- B .17 C .7 D .7-2．在ABC ∆中，15=a ，10=b ，60A =，则此三角形解的个数为A .0B .1C .2D .不确定 3．已知31cos sin =+αα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4sin 2 A .181 B .1817 C .98 D .924．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55-=S ，459-=S ，则4a 的值为A .1-B .2-C .3-D .4-5．已知向量,a b 满足2a =，1b =，且()3a a b ?=，则向量a 与b 的夹角为A .60°B .30°C .150°D .120°6．化简+A .2sin5B .4cos52sin5+C .4cos52sin 5--D .2sin5-7．记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈，已知1120m m m a a a -+-=，且21128m T -=，则m =A .3B .4C .5D .7 8．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S 中最大的项为A .66a S B .77a S C .99a S D .88a S 9．设向量,,abc 满足1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是A .213+ B .213- C .3 D .110．等差数列{}n a 的公差()0,1-∈d ，()1sin sin sin cos cos cos sin 72623262323232=+-+-a a a a a a a a ，且145a π=，则使得数列{}n a 的前n 项和0n S >的n 的最大值为A . 11B .10C .9D .8第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．已知向量(2,1)a =，(1,3)b =-，()a a b λ⊥-，则实数λ= ▲ . 12．设各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S ▲ .13．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4cos ＝53，sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－1312，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()βα+sin ＝ ▲ .14．在ABC ∆中，如果sin A C =，30B =，那么角A = ▲ .15．设数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12...+++n b b b a a a = ▲ .16．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，5AM =，8BC =，则AB AC ⋅＝ ▲ . 17．若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分9分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 32cos )(-+=. （1）求)(x f 的最小正周期和对称轴；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的值域.19．（本题满分10分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B ；（2）若3b a c =-=，求ABC ∆的面积.20．（本题满分10分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且112,3a b ==，355356,26a b a b +=+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 21．（本题满分10分）设向量()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=2sin ,,cos 3,22ααλλm m b a ，其中αλ，，m 为实数.（1）若812cos ,0+=⋅==αλb a m，求αtan ；（2）若b a2=，求mλ的取值范围.22．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足1131,1104n nb b b +==-()*∈n N ，设212n n a b =-（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）数列{}n c a 为等比数列，且125,8c c ==，若对任意的*n N ∈都有()27n n k c a -<成立，求实数k 的取值范围.命题：邬春永、胡群、闵克文、周霞校对：邬春永、胡群、闵克文、周霞宁波效实中学二○一四学年度第二学期高一期中数学参考答案11、5 12、9 13、 65- 14、 ︒120 15、221--+n n 16、 9 17、⎪⎭⎫⎝⎛21,018、（1）()2sin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x π，π=T ，对称轴()Z k k x ∈+=26ππ （2）[]()1,2∈-f x19、（1）60=︒B ；（2）由余弦定理()B ac ac c a b cos 2222-+-=，得10=ac325sin 21==∴∆B ac S ABC20、（1）123,13-⋅=-=n n n b n a （2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+531131615313112n n n n a a n n⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=53123110761n n T n21、（1）812cos 2sin cos 3+=⋅-=⋅αααb a09t a n 34t a n 72=--αα 3t a n =∴α或733tan -=α （2）由b a2=，得⎩⎨⎧+=-=+ααλλsin cos 3222m m[]2,23sin 2sin cos 3222-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+-∴παααλλ，解得223≤≤-λ[]1,624222-∈+-=+=∴λλλλm22、（1）112222212121211214++-=-=-=----⎛⎫-- ⎪⎝⎭n n n nnn a a b b b b（2）72=-n a n ，数列{}n c a 的公比358==a a q ，首项35-=a ，()n n c c a n 27331-=⋅-=- 372+∴=n n c ，对任意的*n N ∈都有723-<n n k 成立令723-=n n n d ，14203---=n n n n d d当4=n 或5=n 时，()min 181=-n d ，811-<∴k。

试题

2014-2015学年度第二学期半期考试高二理科数学试题（时间120分钟满分150分）命题人：李应宗一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、函数3x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（）A. 4B. 5 B. 6 D . 72.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．323B ．2－ 3C. 353D. 2 33．下面几种推理是合情推理的是( )①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；②圆的性质类比出球的有关性质；③由ABC ∆∽111C B A ∆⇒1A A ∠=∠；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④4．已知2)(23-+=x ax x f 且4)1(=-'f ，则实数a 的值等于（）A ．–2B ．32C ．2D ．38 5．在复平面内，复数Z 满足i i i Z -=+123，则Z 对应的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图2所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）图27．已知1>x ，则函数122)(-+=x x x f 的最小值为（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、78．不等式|x-1|+|x+2|m ≤的解集不是空集，则实数m 的取范围是( )A ()3,∞-B [)+∞,3C ()+∞,3D (]3,∞-9．函数3123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.3 , -17B.3 , 2C.-2 , -17D.3，-1810.函数y=x x -+-5314的最大值为( )A 、10B 、27C 、36D 、8 11. 设)(21312111)(*∈+++++++=N n nn n n n f ，则=-+)()1(n f n f （） A ．121+n B ．221+n C ．221121+++n n D ．221121+-+n n 12.已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是（）A. (),0-∞B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()1,2二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知集合},4|6|1|{N x x x A ∈<-<=，求A= ；14. 已知复数=Z 21i+，则=Z ，=Z ； 15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块.16．16．已知下列函数，①|1|x x y += ； ②1)x ,0(log ln ≠>+=且x e x y x ； ③24-+=x x y ；④2322++=x x y ；⑤x x e e y -+= ； ⑥),0(,2sin 4sin π∈-+=x x x y ；其中最小值为2的函数是（填入所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17.（本题10分）（1）计算31i i +-+ii +-122 （2）设a, b 为实数，若复数11+2i i a bi=++，求a , b 的值18、（本题12分）(1)证明:83105->-(2)上移动，在直线已知点43),(=+y x n m 求n m 82+的最小值。

浙江省宁波市效实中学2015届高考模拟数学理科试卷及答案

宁波效实中学 2015届高考模拟测试卷数学（理）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2xf x =，则 2(log 0.5)f =（ ▲ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2．已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，则（ ▲ ）A ．(1)0f =B ．(1)4f =-C ．(3)(1)8f f +-=D ．(3)(1)8f f -+=-3．设不等式组518026030x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为M ，若直线:1l y kx =+上存在区域M内的点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A ．32[,]23-B ．23[,]32- C ．32(,][,)23-?+ D ．23(,][,)32-?+ 4．已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1(1)0->a q ”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知点B 为双曲线2222:1x y C a b-=0(>a ，)0>b 的左顶点，(0,)A b ，线段AB 交双曲线一条渐近线于C且满足3cos 5OCB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ▲ ） A．3 C ．35D6．已知在ABC ∆中，()230BA BC CB -⋅=,则角A 的最大值为（ ▲ ）A ．6π B. 4π C. 3π D. 2π 7．已知函数2()log ()f x ax =在1[,2]4x ∈上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是（ ▲ ）A ．2B ．32C ．1D ．128．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =M 为11AD 的中点，P 为底面四边形ABCD 内的动点，且满足PM PC =，则点P 的轨迹的长度为（ ▲ ） A．23πD ．3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． 9．已知集合2{|{|230}A x y B x x x ==--≤，则AB = ▲ ；()R A B =ð ▲ ．10．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2=+n S n An ，且24=a ，则=A ▲ ，数列11+禳镲镲睚镲镲铪n n a a 的前n 项和=n T ▲ ． 11.与圆22:2+=O x y 外切于点(1,1)--A，且半径为C 方程为 ▲ ，M D1D 1C ⋅1A ABC1B P⋅若圆C 上恰有两个点到直线0++=x y mÎm ▲ ．12．已知函数()2sin(5)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=▲ ，现将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()h x ,若 2()322h ππαα⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则sin α的值是 ▲ ．13．边长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是 ▲ ． 14．若实数,x y 满足221x y +=，则35x y x y --+-的取值范围是 ▲ ．15．ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221++=a b c ，则b 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分）已知向量=sin ,cos 6m x x π⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos ,cos n x x =.若函数()14f x m n =⋅-．（Ⅰ）求,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，a bc 、、分别是角A B C 、、的对边，若()14f A =,且=2AC AB -,求BC 边上中线长的最大值．17．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE ；求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．PAMCE18．（本题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）若(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，且函数()f x 的最大值为2-，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在1(,)2-+∞上单调递增，且()f x 的顶点在x 轴上，求满足(2)(2)(1)f mf mf +-=的实数m 的最小值．19．（本题满分15分）已知O 为坐标原点，椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线 :2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点．（Ⅰ）求12F PF ∆周长的最小值；（Ⅱ）设直线1PF 和2PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B和,C D ．ⅰ）证明：12132k k -=； ⅱ）当直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0时，求直线l 上点P 的坐标．20．（本题满分14分）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12n n a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1） C （2） D （3） C （4） B （5） D （6） A （7） B （8） B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．（9）{3}x x ≤，{23}x x <≤ （10）1=A ，4(1)=+n nT n（11）22(3)(3)8x y +++=, (0,4)(8,12)m ∈ （12）6πϕ=（13）（14）7[,1]23 （15）三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．答案：（1）()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，值域12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；…………………7分（2）3A π=…………………15分17．答案：(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =⎫⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎪⎪⎭平面平面平面 …………5分(2)连MC 交PN 于F ，则F 是PBC ∆的重心，且13MF MC =，////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面平面所以123AE AC ==， …………9分作EH AB ⊥于H ，则//EH BC ，所以EH PAB ⊥平面，所以，EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. 12分且123EH BC ==,123AH AB ==, PH ∴=,tan 7EH EPH PH ∴∠==. 所以，直线PE 与平面PAB. …………15分方法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立空间直角坐标系.3(0,6,0),(0,(3,0,0),2A P M N 设(,6,0),-E m m(3,6,0),(3,3,=--=--NE m m PN令面PEN 的法向量为1(,,)=n x y z ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩NE n PN n，(3)(6)00-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩m x m y x y ，得1(6,3,=--n m m9(0,2=-AM 因为//AM 平面,PNE 所以1,⊥AM n 10,⋅=AM n 得2,=m则(2,4,0),E …………10分(2,1,=-PE 面PAB 的法向量2(1,0,0),=n 222,1,42,⋅===n PE n PE设直线PE 与平面PAB 所成角为θ，则22sin cos ,θ=<>=n PE ， tan θ= 直线PE 与平面PAB…………15分 18．解：（Ⅰ）由条件(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，可得3,2c a b a ==-于是22()(23)(1)2f x a x x a x a =-+=-+， …………3分因为函数()f x 的最大值为2-，则0a <且22a =-即1a =-，故2()(1)2f x x =--- …………6分（Ⅱ）由条件可设2()()f x a x t =-，其中12t ≤-…………8分由(2)(2)(1)f mf mf +-=，得222(2)(2)(1)a t ma t ma t -++=-于是2(2)(63)t m t -=--， …………10分易知12t ≠-则2(2)63t m t -=--， …………11分令(21)0t s -+=>于是2(5)1255(10)12123+==++≥s m s s s …………14分取等号的条件为：3t =-…………15分 19．（Ⅰ）令2(1,0)F 关于2+=x y 的对称点为2(,),'F x y 则2(2,1),'F121212''+=+≥=PF PF PF PF F F12min ()2F PF C ∆=…………5分（Ⅱ）ⅰ）令000(,2),()-≠P x x x x00120022,11--==+-x x k k x x ， 00012000133********+---=-==---x x x k k x x x …………9分 ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 令11:(1)=+PF l y k x 由122(1),22=+⎧⎨+=⎩y k x x y 得2222111(12)4220+++-=k x k x k ， 2112212112214122(1)12⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩k x x k k x x k ， 121112121112121212121(1)(1)211(2)(2)1++++=+=+=++=+=-OA OB y y k x k x x x k k k k k x x x x x x x x k 同样可算得22221+=-OC OD k k k k ，由0+++=OA OB OC OD k k k k ，得12221222011+=--k kk k ，整理得1212()(1)0+-=k k k k ，120+=k k 或121=k k ，又因为12132-=k k1212122,,(0,2),1322+=⎧=⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k P k k k 12121211,1321=⎧=-⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k k k k （舍）或12153,(,),3443⎧=⎪⎨⎪=⎩k P k (0,2)P 或53(,)44P …………15分20．（Ⅰ）由221122322a a a a +=+=及20a >，所以213a =…………3分（Ⅱ）由22221111113242(2)2n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+<+=+又因为2y x x =+在(0,)x ∈+∞上递增，故12n n a a +≤ …………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，112n n a a -≥，1212n n a a --≥，…，2112a a ≥，相乘得1111122n n n a a --≥=，即112nn a -≥ 故121111112222n n n n S a a a --=+++≥+++=- …………10分另一方面，222211111132222()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+>+=+，令2n n n a a b +=，则12n n b b +>于是112n n b b -<，1212n n b b --<，…，2112b b <，相乘得1121122n n n b b --≤=，即2212n n n n a a b -+=≤ 故1222111()1(1)33222n n n n S a a a --=+++<++++=-<综上，11232n n S --≤< …………14分。

浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．排列数=（）A． 6 B． 20 C． 60 D． 1202．已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 133．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④4．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5等于（）A． 1 B． C． D．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A． AC⊥BEB． EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等6．已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD 所成锐二面角的正切值为（）A． B． C． 1 D．7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A．πa2 B． C． D． 5πa28．6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（） A． 72 B． 216 C． 360 D． 1089．已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A． b n=3n+1 B． b n=2n+1 C． b n=3n+2 D． b n=2n+210．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1= ．12．如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有种不同的方法（用数值表示）．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为．14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE ﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．16．已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014= ．17．如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC 在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．20．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．21．已知数列{a n}中，．（1）求证：数列{a2n﹣1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD 沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；3﹣3•3﹣3•≤3﹣3k⇔2n+≥64+k≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤﹣48∴k的最大值为﹣48点评：考查学生对等比关系的确定能力，求等比数列前n项的能力．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD 沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可证A1C⊥平面BCD，从而∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A1﹣DE﹣B的平面角∠A1OC，在直角三角形中求正切值即可，（2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．解答：解：（1）由题意，∠A1CB=θ=，∴A1C⊥CB，∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，∴A1C⊥平面BCD，∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为，∴CE=x，∴（4﹣x）2+4=（x）2，∴x=2，即C为AB的中点，在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=，∠A1OC为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，∴二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值为tan∠A1OC==；（2）∵=λ=，∴C为AB的中点，又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，∴A1B=BE=2，又∵A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，故cosθ=．点评：本题考查了空间中的位置关系，考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了勾股定理的应用，属于难题．。

2014-2015年浙江省宁波市效实中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合M={a2﹣a，0}．若a∈M，则实数a的值为（）A．0B．2C．2或0D．2或﹣2 2．（3分）命题“∃x0∈R，2≥1”的否定是（）A．∃x0∈R，2＜1B．∃x0∈R，2≤1C．∀x∈R，2x≥1D．∀x∈R，2x＜13．（3分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞a＞ab2C．ab＞ab2＞a D．ab2＞ab＞a 4．（3分）现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）已知条件p：|5x﹣2|＞3，q：，则“￢p”是“￢q”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）圆C1：（x﹣3）2+y2=1，圆C2：（x+3）2+y2=4，若圆M与两圆都相切，则圆心M的轨迹是（）A．两个椭圆B．两条双曲线C．两条双曲线的左支D．两条双曲线的右支7．（3分）已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足：|PF1|=2|PF2|，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．﹣D．不确定8．（3分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．（4分）已知函数f（x）=则f（2）=；若f（a）=﹣1，则a=．10．（4分）给出下列3个命题：①若a，b∈R，则；②若x∈R，则x2+1＞x；③若x∈R且x≠0，则x+≥2，其中真命题的序号为．11．（4分）已知直线x=与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过双曲线右焦点F（c，0），则双曲线的离心率为．12．（4分）已知点P是椭圆C：+y2=1上的动点，一定点Q（1，0）．有个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为．13．（4分）从红黄两色分别印有A，B，C，D的8张卡片中任取4张，其中字母不同且颜色齐全的概率是．14．（4分）过抛物线y2=2px（P＞0）的焦点的直线x﹣my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为，则m6+m4=．15．（4分）已知关于x不等式|2x+a|＞|x﹣1|在区间[2，3]上恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（10分）已知实数x，y满足：+=1．（Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1；（Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．17．（10分）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（10分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．20．（8分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合M={a2﹣a，0}．若a∈M，则实数a的值为（）A．0B．2C．2或0D．2或﹣2【解答】解：因为集合M={a2﹣a，0}，a∈M，所以a=a2﹣a或者a=0（舍去），解得a=2；故选：B．2．（3分）命题“∃x0∈R，2≥1”的否定是（）A．∃x0∈R，2＜1B．∃x0∈R，2≤1C．∀x∈R，2x≥1D．∀x∈R，2x＜1【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“∃x0∈R，2≥1”的否定是，“∀x∈R，2x＜1”故选：D．3．（3分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞a＞ab2C．ab＞ab2＞a D．ab2＞ab＞a 【解答】解：∵﹣1＜b＜0，a＜0，∴ab＞0，0＜b2＜1．∴ab﹣ab2=ab（1﹣b）＞0，ab2﹣a=a（b2﹣1）＞0．∴ab＞ab2＞a．故选：C．4．（3分）现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，基本事件总数C52=10，取出的书全是理科书C32=3，∴取出的书至少有一本文科书的概率p=1﹣=5．（3分）已知条件p：|5x﹣2|＞3，q：，则“￢p”是“￢q”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|5x﹣2|＞3得：5x﹣2＞3或5x﹣2＜﹣3，即x＞1或x＜﹣，由得x2+4x﹣5＞0，即x＞1或x＜﹣5，则q是p充分不必要条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，故选：A．6．（3分）圆C1：（x﹣3）2+y2=1，圆C2：（x+3）2+y2=4，若圆M与两圆都相切，则圆心M的轨迹是（）A．两个椭圆B．两条双曲线C．两条双曲线的左支D．两条双曲线的右支【解答】解：由题意，圆M与两圆都外切，则|MC2|﹣|MC1|=1．圆M与两圆都内切，则|MC1|﹣|MC2|=1圆M与一个圆外切，一个圆内切，则||MC2|﹣|MC1||=3，故选：B．7．（3分）已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足：|PF1|=2|PF2|，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．﹣D．不确定【解答】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=2|PF2|，e=，∴根据椭圆的第二定义，可得a+x=2（a﹣x）∴3x=2a∴|PF1|=a，|PF2|=a，2c=a∴cos∠PF1F2==．故选：B．8．（3分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．（4分）已知函数f（x）=则f（2）=0；若f（a）=﹣1，则a=或0．【解答】解：由已知2＞1，所以f（2）=log2（2﹣1）=log21=0；若f（a）=﹣1，则log2（a﹣1）=﹣1或者2×a﹣1=﹣1，解得a=或a=0；故答案为：或0．10．（4分）给出下列3个命题：①若a，b∈R，则；②若x∈R，则x2+1＞x；③若x∈R且x≠0，则x+≥2，其中真命题的序号为②．【解答】解：对于①，当a＜0，b＜0时，不成立，∴①错误；对于②，任意x∈R，有x2+1﹣x=+＞0∴x2+1＞x，②正确；对于③，当x＞0时，x+≥2，当x＜0时，x+≤﹣2；∴③错误综上，真命题的序号是②．故答案为：②．11．（4分）已知直线x=与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过双曲线右焦点F（c，0），则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴双曲线的两渐近线为y=±x，因此，可得右准线x=交两渐近线于A（，），B（，﹣），设右准线x=交x轴于点G（，0），∵以AB为直径的圆过F，∴AB=2GF，即=2（c﹣），化简得a=b，∴双曲线的离心率为e==．故答案为：．12．（4分）已知点P是椭圆C：+y2=1上的动点，一定点Q（1，0）．有3个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为+4y2=1．【解答】解：椭圆C：+y2=1的右顶点（3，0），满足题意，因为左顶点为（﹣3，0），所以根据对称性，原点左侧，同样有2个点，满足题意，所以有3个点P使得|PQ|=2成立；设线段PQ中点M（x，y），P（a，b），则a=2x﹣1，b=2y，代入椭圆C：+y2=1可得+4y2=1，即线段PQ中点M的轨迹方程为+4y2=1．故答案为：3；+4y2=1．13．（4分）从红黄两色分别印有A，B，C，D的8张卡片中任取4张，其中字母不同且颜色齐全的概率是．【解答】解：由题意，任意取四张共有：=70，任取4张，其中字母不同且颜色齐全，共三种情况：红色取一个和黄色三个：=1；红色取两个和黄色两个：=6；红色取三个和黄色一个：=4，共4+6+4=14种，所以所求概率是=．故答案为：．14．（4分）过抛物线y2=2px（P＞0）的焦点的直线x﹣my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为，则m6+m4=2．【解答】解：由题意，可知该抛物线的焦点为（，0），它过直线，代入直线方程，可知：+m=0求得m=﹣∴直线方程变为：y=﹣x+1A，B两点是直线与抛物线的交点，∴它们的坐标都满足这两个方程．∴（﹣x+1）2=2px∴△=（+2p）2﹣=4p2+16＞0∴方程的解x1=，x2=；代入直线方程，可知：y1=1﹣，y2=1﹣，△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，而△OAP与△OBP若以OP为公共底，则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，∴△OAP与△OBP的面积之和为：S=••|y1﹣y2|=•=2求得p=2，∵m=﹣m2=1∴m6+m4=13+12=1+1=2故答案为：215．（4分）已知关于x不等式|2x+a|＞|x﹣1|在区间[2，3]上恒成立，则实数a的取值范围为a＜﹣8或a＞﹣3．【解答】解：∵x∈[2，3]，∴x﹣1＞0，问题转化为不等式|2x+a|＞x﹣1在区间[2，3]上恒成立，①2x+a＞0时，2x+a＞x﹣1在区间[2，3]恒成立，即a＞﹣x﹣1在区间[2，3]恒成立，∴a＞（﹣x﹣1）max=﹣3，②2x+a＜0时，2x+a＜﹣x+1在区间[2，3]恒成立，即a＜﹣3x+1在区间[2，3]恒成立，∴a＜（﹣3x+1）min=﹣8，故答案为：a＜﹣8或a＞﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（10分）已知实数x，y满足：+=1．（Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1；（Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵+=1，∴y=；∴＞x+1，解得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；（Ⅱ）∵x＞0，y＞0，y=，∴2x+y=2x+=2x++1≥2+1；（当且仅当2x=，x=时，等号成立）；2x+y的最小值为2+1，没有最大值．17．（10分）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，对于集合A：＜0，即（x﹣2）（x﹣）＜0，解得2＜x＜，所以A=（2，），对于集合B，＜0，解得，＜x＜，所以B=（，），所以C U B=（﹣∞.]∪[，+∞），所以（C U B）∩A=[，）；（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．由a2+2＞a，得B={x|a＜x＜a2+2}．①当3a+1＞2，即a＞时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由，解得＜a≤．②当3a+1=2，即a=时，A=∅，不符合题意；③当3a+1＜2，即a时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由，解得＜a＜；综上所述a的取值范围为（，）∪（，）．18．（10分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0解得由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；由f（x2）=0得，所以；故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即，因为x2＜2，所以．20．（8分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．（Ⅰ）解：设直线AM的方程为x=my+p，代入y2=2px得y2﹣2mpy﹣2p2=0，【解答】∴y1•y2=﹣2p2=﹣8，∴p=2，∴抛物线C：y2=4x；（Ⅱ）证明设B（x3，y3），N（x4，y4），设直线NB：x=my+p，代入抛物线方程，可得，y2﹣2pmy﹣2p2=0，则y3•y4=﹣2p2，同理可知y1•y2=﹣2p2，y1•y3=﹣p2，∴直线AB与直线MN斜率之比为===2．。

数学理卷·2015届浙江省效实中学高二下学期期末考试

浙江效实中学2013—2014学年度下学期期末考试高二数学理试题【试卷综析】本试卷是高二第二学期期末试卷，考查了高一、高二全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式性质、基本不等式、解不等式、函数的性质及图象、函数解析式的求法、正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的图象、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 【知识点】复数的代数运算【答案解析】B 解析：解：2(12)i -=1－4－4i=－3－4i ，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键. 2．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= （A（B）（C（D）【知识点】诱导公式，同角三角函数基本关系式【答案解析】D 解析：解：因为1tan()2πα-=，得tan α=－12，而 3cos()2πα-=－sin α＜0，所以排除A 、C ，由正切值可知该角不等于23π，则排除B ，所以选D【思路点拨】遇到三角函数问题，有诱导公式特征的应先用诱导公式进行化简，能用排除法解答的优先用排除法解答. 3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >>【知识点】【答案解析】A 解析：解：【思路点拨】4．下列函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x =- （D ）sin cos y x x =+【知识点】三角函数的最小正周期【答案解析】C 解析：解：A 、B 选项由化一公式可知最小正周期为2π，C 选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D 选项可验证2π为其一个周期，综上可知选C. 【思路点拨】求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法，公式法就是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观察判断.5．函数()s i n()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如图所示，为了得到()sin 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移12π个单位长度（B ）向右平移6π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度【知识点】函数()sin()=+f x A x ωϕ图象的应用，图象的平移变换.【答案解析】B 解析：解：由图象得A=1，又函数的最小正周期为74123πππ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，所以22πωπ==，将最小值点代入函数得7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，解得()732,2623k k k Z πππϕπϕπ+=+=+∈，又23ππϕϕ<，所以=，则()s i n 2s i n 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()sin 2=g x x 是函数f （x ）用6x π-换x 得到，所以是将()f x 的图象向右平移了6π个单位，选B. 【思路点拨】由三角函数图象求函数解析式，关键是理解A ，ω，φ与函数图象的对应关系，判断函数图象的左右平移就是判断函数解析式中x 的变化. 6．已知22ππθ-<<，且sin cos 5θθ+=，则tan θ的值为第5题（A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13- 【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质【答案解析】C 解析：解：因为0＜sin cos 5θθ+=＜1，而22ππθ-<<，得04πθ-<<，所以1tan 0θ-<<，则选C【思路点拨】熟悉sin cos θθ+的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，则“2x <<是“ABC ∆有两个解”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件【知识点】解三角形，充分条件、必要条件，充要条件的判断【答案解析】B 解析：解：若三角形有两解，则以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，因为相切a=22sin 45=B 时a=2，所以三角形有两解的充要条件为2x <<2x <<解，则必有2x <<所以“2x <<是“ABC ∆有两个解”的必要非充分条件，选B.【思路点拨】判断充要条件时，可先明确命题的条件和结论，若由条件能推出结论成立，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+-【知识点】函数的值域的应用，一元二次不等式的解法.【答案解析】C 解析：解：因为函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞），若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则2431b b -+->-，解得22b << C.【思路点拨】利用函数的图象解题是常用的解题方法，本题若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，由两个函数的图象可知，g （b ）应在函数1)(-=x e x f 的值域为（－1，+∞）的值域内.9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，对于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心； ④当2π=x 时，)(x f y =一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A 解析：解：当f （x ）=－sinx 时，显然满足)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，但当2π=x 时，)(x f y =取得最小值，所以④错排除B 、C 、D ，则选A.【思路点拨】在选择题中，恰当的利用特例法进行排除判断，可达到快速解题的目的. 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示：集合A ={}0))((=-t x g f x 与集合B ={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ，则b a -的值不．可能是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2【知识点】函数的图象的应用【答案解析】A 解析：解：由图象可知若f （x ）=0，则x 有3个解，分别为33,0,22x x x =-==，若g （x ）=0，则x 有3个解，不妨设为x=n ，x=0，x=-n ，（0＜n ＜1），由f （g （x ）-t ）=0得g （x ）-t=32，或g （x ）-t=0，或g （x ）-t=32-，即()()()3322g x t g x t g x t =+==-或或，当121<<t 时，由g （x ）=t ，得x 有3个解；()311,22g x t ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，此时x 有3个解；()352,22g x t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时方程无解．所以a=3+3=6．由g （f （x ）-t ）=0得f （x ）-t=n ，或f （x ）-t=0或f （x ）-t=-n ．即f （x ）=t+n ，或f （x ）=t ，或f （x ）=t-n ．若f （x ）=t ，因为121<<t ，所以此时x 有4个解；若f （x ）=t+n ，因为121<<t ，0＜n ＜1，所以若0＜n ＜12，则12＜t+n ＜32，此时x 有4个解或2解或0个解，对应f （x ）=t-n ∈（0，1）有4个解，此时b=4+4+4=12或b=4+2+4=10，或b=4+0+4=8；若12≤n ＜1，则1＜t+n ＜2，此时x 无解．对应f （x ）=t-n ∈11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，对应的有2个解或3解或4个解．所以此时b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8．综上b=12或10或8或6或7．则b －a=0或1或2或4或6，所以选项A 不可能，故选A【思路点拨】判断复合函数的零点，可从外往里进行判断，注意充分利用图象先确定各自的零点或零点的范围，再由对应的函数值的范围确定复合函数零点个数.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．若α的终边所在直线经过点33(cos ,sin )44P ππ，则sin α=__ ▲ _．【知识点】三角函数定义【答案解析】2±解析：解：由已知得直线经过二、四象限，若α的终边在第二象限，因为点P 到原点的距离为1，则3sin sin4πα==α的终边在第四象限，则α的终边经过点P 关于原点的对称点⎝⎭，所以sin 2α=-，综上可知sin α=2±. 【思路点拨】一般已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的定义求值，本题应注意所求角终边所在的象限有两个.12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=⋅，则角C =__ ▲ _．【知识点】两角和的正切公式【答案解析】60解析：解：由tan tan tan A B A B +=⋅得()tan tantan tan tan tan tan 1tan tan A BA B A B C A B A B++=⋅=-+=-=-⋅则，又C 为三角形内角，所以C=60° 【思路点拨】一般遇到两角的正切和与正切积的关系，可考虑利用两角和的正切公式进行转化.13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _．【知识点】余弦函数的性质【答案解析】()[,]2k k k Z πππ-∈解析：解：因为214cos 2cos23y x x =+=+，由()222,2k x k k x k k Z ππππππ-≤≤-≤≤∈得，所以所求函数的单调递增区间为()[,]2k k k Z πππ-∈.【思路点拨】一般求三角函数的单调区间，先把三角函数化成一个角的函数，再结合其对应的基本三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】分段函数、二次不等式解法【答案解析】[2,2-解析：解：当a ＜0时，由()()0f a fa -+≤得22222240a a a a a a +++=+≤，解得－2≤a ＜0，当a ≥0时得22222240a a a a a a -+-=-≤，解得0≤a ≤2，综上得a 的取值范围是[2,2]-.【思路点拨】对于分段函数解不等式，可分段解不等式再求各段上解集的并集. 15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】[0,解析：解：由24c o ss i n 40x x m ++-=得()22cos 4cos 3cos 21m x x x =-+=--，因为()[]2cos 210,8x --∈，所以若方程有实数解，则m 的范围是[0,8]【思路点拨】一般遇到方程有实数解问题，可通过分离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2c ab的最小值为__ ▲ _．【知识点】正弦定理、余弦定理、基本不等式【答案解析】23解析：解：因为sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，由正弦定理及余弦定理得222222222222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc +-+-+-⨯=⨯+⨯，整理得22232c a b ab =+≥，所以223c ab ≥，当且仅当a=b 时等号成立.即2c ab 的最小值为23.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可分别利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用基本不等式求最小值.17．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是__ ▲ _．【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题【答案解析】2k >+(m ，n)为函数当x ≥0时图象上任意一点，若点 (m ，n)是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n)必在该函数图象上，得()211n m n k m ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩，消去n 得210m km k -++=，若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根，得()2410010k k k k ⎧∆=-+>⎪>⎨⎪+>⎩，解得2k >+【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数x y a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的定义域为R ，若P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．【知识点】命题真假的判断，指数函数与对数函数的性质的应用【答案解析】12a <<解析：解：若命题P 为真，则0＜a ＜1；若命题Q 为真，则△=240a -<，得－2＜a ＜2，又因为0a >且1a ≠，所以0＜a ＜2且1a ≠，若P 与Q 有且仅有一个正确，则12a <<.【思路点拨】判断复合命题的真假可先判断组成复合命题的基本命题的真假，若两个命题有且仅有一个正确，可从使两个命题为真的实数a 的范围的并集中去掉交集即可求得实数a 的范围.19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知60,1a A b c ==-=，求,b c 和,B C ．【知识点】余弦定理、正弦定理【答案解析】12b c ==； 75,45B C ==解析：解：由余弦定理得()22264b c bc b c bc bc =+-=-+=-，即2112bc b c =+==联立得，又sinC=sin 2A c a ⨯==，由c ＜a ，得C ＜A ，所以C 为锐角，则45C =，所以B=180°－C －A=75°. 【思路点拨】在解三角形问题中，结合已知条件恰当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是解题的关键.20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=．（Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，若[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域．【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用【答案解析】（Ⅰ）32+）[2- 解析：解：（Ⅰ）因为x x x f 2sin 2cos 1)(++=，所以13()11222f π=+=；（Ⅱ）ππ()()()(1sin 2cos 2)(1sin 2cos 2)44g x f x f x x x x x =-⋅+=+-⋅-+2()1(sin 2cos2)2sin 2cos2sin 4g x x x x x x =--==∵[,]123x ππ∈ ∴44[,]33x ππ∈∴()sin 4[g x x =∈所以)(x g的值域为[ 【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数，再进行解答.21．已知函数()()2log 1f x x =+.（Ⅰ）若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）若定义在R 上奇函数)(x g 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g x ，若关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）12x x x ⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）420t -≤≤解析：解：（Ⅰ）由()()10f x f x +->得()2221log 1log 010x x x x x x ⎧+>⎪++>0>⎨⎪+>⎩，得，解得x >，所以x的取值范围是x x x ⎧⎪∈>⎨⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）当－3≤x ≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x －2) =f(－x －2)=()()22log 21log 2x x --+=--，当－2＜x ≤－1时，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－()2log 3x +，综上可得()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）因为21113log 2222g g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（Ⅱ）知，若g(x)=23log 2-，得x=32-或52x =，由函数g(x)的图象可知若321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立记32118288(12)x x x t t u +-+==-+++ 当10t +≥时，11111(,)88(12)888x t t u ++=-+∈--++，则11115(,)[,]88822t u +∈--+⊆- 则115882t +-+≤ 解得120t -≤≤ 当10t +<时，11111(,)88(12)888xt t u ++=-+∈-+-+，则 11115(,)[,]88822t u +∈-+-⊆- 则111882t +-+≥- 解得41t -≤<- 综上，故420t -≤≤【思路点拨】解对数不等式时注意其真数的限制条件，本题中的不等式恒成立问题可结合函数的图象建立条件求范围.22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，若()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，若()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设0a <且a b ≠，若()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．【知识点】不等式性质、不等式恒成立问题. 【答案解析】（Ⅰ）2b ≥；（Ⅱ）13解析：解：（Ⅰ）因为()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，所以()()0f x g x ⋅≥，在[1,)x ∈-+∞上恒成立，即[1,)x ∈-+∞，2(3)(2)0x a x b ++≥ ∵0a > ∴230x a +≥∴20x b +≥ 即2b x ≥- ∴max (2)b x ≥- ∴2b ≥第 11 页共 11 页（2）①当b a <时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，()()0f x g x ⋅≥在(,)x b a ∈上恒成立，即(,)x b a ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤-∴23b a b <≤- ∴2211133()61212a b b b b -≤--=-++≤ ②当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<， 2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤ ∴13b a -< ③当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立0,b >而0x =时，2(3)(2)0x a x b ab ++=<不符合题意，④当0a b <=时，由题意：(,0)x a ∈，22(3)0x x a +≥恒成立 ∴230x a +≤ ∴103a -≤<∴13b a -≤ 综上可知，max 13a b -=．【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为求函数的最值问题，本题注意分类讨论在解题中的应用.。

2014-2015年浙江省宁波市效实中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）A．{x|x≥﹣}B．{x|x＞﹣且x≠3}C．{x|x≥﹣且x≠3}D．{x|x≠3}2．（3分）设全集U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a﹣5|}，M⊆U，∁U M＝{5，7}，则a的值为（）A．2或﹣8B．﹣8或﹣2C．﹣2或8D．2或83．（3分）已知函数f（x）＝，那么f（14）＝（）A．64B．27C．9D．14．（3分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a5．（3分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2B．C．2D．16．（3分）圆C1：（x﹣3）2+y2＝1，圆C2：（x+3）2+y2＝4，若圆M与两圆均外切，则圆心M的轨迹是（）A．双曲线的一支B．一条直线C．椭圆D．双曲线7．（3分）若a，b∈R，则不等式|2+ax|≥|2x+b|的解集为R的充要条件是（）A．a＝±2B．a＝b＝±2C．ab＝4且|a|≤2D．ab＝4且|a|≥2 8．（3分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．（4分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的一个焦点在直线y＝2x﹣10上，则双曲线的方程为．10．（4分）给出下列3个命题：①若a，b∈R，则；②若x∈R，则x2+1＞x；③若x∈R且x≠0，则x+≥2，其中真命题的序号为．11．（4分）已知点（a，b）满足方程（a﹣2）2+＝1，则点（a，b）到原点O 的最大距离是．12．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B═{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则+的最小值为．13．（4分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线交直线x＝于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过焦点F（c，0），则双曲线的离心率为．14．（4分）给出下列四个命题：①已知命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，命题q：∀x∈R，x2＞0，则命题p∧（￢q）为真命题②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＞b，则2a≤2b﹣1“③命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”④“x2＞x”是“x＞1”的必要不充分条件其中正确的命题序号是．15．（4分）过抛物线y2＝2px（P＞0）的焦点的直线x﹣my+m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为，则m6+m4＝．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（8分）已知x，y满足：+＝1．（Ⅰ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式：y≥2x．17．（10分）已知全集U＝R，非空集合A＝{x|＜0}，B＝{x|＜0}．（Ⅰ）当a＝时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（10分）抛物线C的顶点在坐标原点，焦点坐标为F（﹣，0），且已知点M（﹣2，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l交抛物线C于P，Q两点，且∠PMQ＝90°，问直线l是否过定点，若是，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．19．（10分）已知f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx（Ⅰ）若k＝﹣2，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，求实数k的取值范围．20．（10分）给定椭圆E：+＝1（a＞b＞0），称圆x2+y2＝a2+b2为椭圆E 的“伴随圆”．已知椭圆E中b＝1，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|＝时，求弦长|AB|的最大值．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）A．{x|x≥﹣}B．{x|x＞﹣且x≠3}C．{x|x≥﹣且x≠3}D．{x|x≠3}【解答】解：要使函数有意义，则，解得x且x≠3，所以函数的定义域是{x|x≥﹣且x≠3}，故选：C．2．（3分）设全集U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a﹣5|}，M⊆U，∁U M＝{5，7}，则a的值为（）A．2或﹣8B．﹣8或﹣2C．﹣2或8D．2或8【解答】解：由题意|a﹣5|＝3，a＝2或8故选：D．3．（3分）已知函数f（x）＝，那么f（14）＝（）A．64B．27C．9D．1【解答】解：函数f（x）＝，可得f（14）＝f（9）＝f（4）＝43＝64．故选：A．4．（3分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a 【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0时，∴ab＞0，1＞b2＞0，∴0＞ab2＞a，∴ab＞ab2＞a．故选：D．5．（3分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2B．C．2D．1【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．6．（3分）圆C1：（x﹣3）2+y2＝1，圆C2：（x+3）2+y2＝4，若圆M与两圆均外切，则圆心M的轨迹是（）A．双曲线的一支B．一条直线C．椭圆D．双曲线【解答】解：设动圆圆心M（x，y），则|MC2|﹣|MC1|＝1，又∵|C1C2|＝6，由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点，中心在原点的双曲线的左支．故选：A．7．（3分）若a，b∈R，则不等式|2+ax|≥|2x+b|的解集为R的充要条件是（）A．a＝±2B．a＝b＝±2C．ab＝4且|a|≤2D．ab＝4且|a|≥2【解答】解：不等式|2+ax|≥|2x+b|的解集为R的充要条件是|ax+2|2≥|2x+b|2，即a2x2+4ax+4≥4x2+4bx+b2，即（a2﹣4）x2+4（a﹣b）x+（4﹣b2）≥0．等价于a2﹣4≥0且△＝16（a﹣b）2﹣4（a2﹣4）（4﹣b2）≤0．可得|a|≥2且ab＝4．故选：D．8．（3分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2＝2x上，设P（，y），则有（+）2＝（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+＝0，当a＝时，符合题意；当a≠时，△＝0，有a3﹣++＝0，（a+）（a2﹣a+）＝0，a＝﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2＝2x上，B在直线y＝2上，当a＝﹣时，B为直线y＝2与准线的交点，符合题意；当a＝时，B为直线y＝2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．（4分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的一个焦点在直线y＝2x﹣10上，则双曲线的方程为．【解答】解：由题意可得双曲线的焦点在x轴，故令y＝0，代入y＝2x﹣10可得x＝5，故其中的一个焦点为（5，0），可得52＝5+b2，解得b2＝20，故可得双曲线的方程为．故答案为：．10．（4分）给出下列3个命题：①若a，b∈R，则；②若x∈R，则x2+1＞x；③若x∈R且x≠0，则x+≥2，其中真命题的序号为②．【解答】解：对于①，当a＜0，b＜0时，不成立，∴①错误；对于②，任意x∈R，有x2+1﹣x＝+＞0∴x2+1＞x，②正确；对于③，当x＞0时，x+≥2，当x＜0时，x+≤﹣2；∴③错误综上，真命题的序号是②．故答案为：②．11．（4分）已知点（a，b）满足方程（a﹣2）2+＝1，则点（a，b）到原点O的最大距离是．【解答】解：∵点（a，b）满足方程（a﹣2）2+＝1，∴b2＝4﹣4（a﹣2）2，由b2＝4﹣4（a﹣2）2≥0得1≤a≤3，则点（a，b）到原点O的距离d＝＝＝＝，∴当a＝时，d取得最大值为＝，故答案为：12．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B═{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则+的最小值为．【解答】解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣1}，设m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个根，（m＜n）∵A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，∴4，﹣1是方程ax2+bx+c＝0的两个根且a＞0，∴﹣1+4＝，，∴b＝﹣3a，c＝﹣4a，a＞0，∴+＝．当且仅当，即a＝时取等号．故答案为：．13．（4分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线交直线x＝于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过焦点F（c，0），则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），∴双曲线的两渐近线为y＝±x，因此，可得右准线x＝交两渐近线于A（，），B（，﹣），设右准线x＝交x轴于点G（，0）∵以AB为直径的圆过F，∴AB＝2GF，即＝2（c﹣），化简得a＝b，∴双曲线的离心率为e＝＝．故答案为：．14．（4分）给出下列四个命题：①已知命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，命题q：∀x∈R，x2＞0，则命题p∧（￢q）为真命题②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＞b，则2a≤2b﹣1“③命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”④“x2＞x”是“x＞1”的必要不充分条件其中正确的命题序号是①③④．【解答】解：①当x0＝10时，x0﹣2＝8＞lgx0＝1，故命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0为真命题；当x＝0时，x2＞＝0，故命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，则命题p∧（￢q）为真命题，故正确；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，故错误；③命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”，故正确；④“x2＞x”⇔“x＜0，或x＞1”，故“x2＞x”是“x＞1”的必要不充分条件，故正确；故正确的命题序号是：①③④，故答案为：①③④15．（4分）过抛物线y2＝2px（P＞0）的焦点的直线x﹣my+m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为，则m6+m4＝2．【解答】解：由题意，可知该抛物线的焦点为（，0），它过直线，代入直线方程，可知：+m＝0求得m＝﹣∴直线方程变为：y＝﹣x+1A，B两点是直线与抛物线的交点，∴它们的坐标都满足这两个方程．∴（﹣x+1）2＝2px∴△＝（+2p）2﹣＝4p2+16＞0∴方程的解x1＝，x2＝；代入直线方程，可知：y1＝1﹣，y2＝1﹣，△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，而△OAP与△OBP若以OP为公共底，则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，∴△OAP与△OBP的面积之和为：S＝••|y1﹣y2|＝•＝2求得p＝2，∵m＝﹣m2＝1∴m6+m4＝13+12＝1+1＝2故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（8分）已知x，y满足：+＝1．（Ⅰ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式：y≥2x．【解答】解：（I）∵x＞0，y＞0，x，y满足：+＝1．∴，∴2x+y＝＝2x++1+1＝2+1，当且仅当x＝，y＝1+时取等号．∴2x+y的最小值为2+1．（II）∵，∴y﹣2x＝﹣2x≥0，∴x（2x+1）（x﹣1）≤0，解得，0＜x≤1．∴原不等式的解集为{x|，0＜x≤1}．17．（10分）已知全集U＝R，非空集合A＝{x|＜0}，B＝{x|＜0}．（Ⅰ）当a＝时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，对于集合A：＜0，即（x﹣2）（x﹣）＜0，解得2＜x＜，所以A＝（2，），对于集合B，＜0，解得，＜x＜，所以B＝（，），所以∁U B＝（﹣∞.]∪[，+∞），所以（∁U B）∩A＝[，）；（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．由a2+2＞a，得B＝{x|a＜x＜a2+2}．①当3a+1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a+1}，再由，解得＜a≤．②当3a+1＝2，即a＝时，A＝∅，不符合题意；③当3a+1＜2，即a时，A＝{x|3a+1＜x＜2}，再由，解得＜a＜；综上所述a的取值范围为（，）∪（，）．18．（10分）抛物线C的顶点在坐标原点，焦点坐标为F（﹣，0），且已知点M（﹣2，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l交抛物线C于P，Q两点，且∠PMQ＝90°，问直线l是否过定点，若是，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），则∵焦点坐标为F（﹣，0），∴＝，∴p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝﹣2x；（Ⅱ）设l：ay＝x+b，设P（﹣，y1），Q（﹣，y2），ay＝x+b，代入y2＝﹣2x，可得y2+2ay﹣2b＝0，∴y1+y2＝﹣2a，y1y2＝﹣2b，∵∠PMQ＝90°，∴PM⊥QM，∴（y1+2）（y2+2）＝﹣4∴y1y2+4（y1+y2）+4═﹣4∴b＝4﹣2a，∴ay＝x+4﹣2a，∴过定点（﹣4，﹣2）．19．（10分）已知f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx（Ⅰ）若k＝﹣2，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若k＝﹣2，f（x）＝|x2﹣1|+x2﹣2x，不等式f（x）＞0，即|x2﹣1|+x2﹣2x＞0，即|x2﹣1|＞﹣x2+2x，∴x2﹣1＞﹣x2+2x①或x2﹣1＜﹣（﹣x2+2x）②，解①求得x＜，或x＞，解②求得x＜，故不等式的解集为{x|x＜，或x＞}．（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2＜2，因为f（x）＝，所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）＝0在（0，1]上至多一个解，若x1，x2∈（1，2），则x1x2＝﹣＜0，故不符合题意，因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2）．由f（x1）＝0，得k＝﹣，所以k≤﹣1；由f（x2）＝0，得k＝﹣2x2，∴﹣＜k＜﹣1．故当﹣＜k＜﹣1时，f（x）＝0在（0，2）上有两个解．20．（10分）给定椭圆E：+＝1（a＞b＞0），称圆x2+y2＝a2+b2为椭圆E 的“伴随圆”．已知椭圆E中b＝1，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|＝时，求弦长|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，解得：a2＝3，∴椭圆E的方程；（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2＝4，①当CD⊥x轴时，由|CD|＝，得|AB|＝．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|＝，得圆心O到CD的距离为．设直线l的方程为：y＝kx+b，则由＝，整理得m2＝（k2+1），由，整理得：（1+3k2）x2+6bkx+3b2﹣3＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．丨AB丨＝•＝，＝，＝，＝，≤＝2，当且仅当9k2＝，即k＝±时，取等号，弦长|AB|的最大值2．。

2014-2015年山东省淄博市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年山东省淄博市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）A．B．2C．﹣D．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知在处有极值，则（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝D．a＝04．（5分）若，则a的值是（）A．2B．3C．4D．65．（5分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++6．（5分）设f0（x）＝sin x+cos x，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x）．则f2016（x）＝（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x 7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是（）A．B．C．1D．9．（5分）在R上可导的函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝f（），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）半径为r的圆的面积S（r）πr2，周长C（r）＝2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′＝2πr；对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于上述的式子：．12．（5分）已知f（x）＝2|x|，则∫f（x）dx＝．13．（5分）若曲线f（x）＝x•sin x+1在x＝处的切线与直线ax+2y+1＝0互相垂直，则实数a等于．14．（5分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＞0的解集为．15．（5分）在对于实数x，[x]表示不超过的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21按照此规律第n个等式为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i），当实数m取什么值时，（1）复数z是实数；（2）复数z是纯虚数；（3）复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．17．（12分）已知复数，且，求倾斜角为θ并经过点（﹣6，0）的直线l与曲线y＝x2所围成的图形的面积．18．（12分）设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{a n}的一个通项公式并证明你的结论．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y＝x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．21．（15分）已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y＝﹣x．（1）求a，b的值；（2）当时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（3）证明对任意的正整数n，不等式都成立．2014-2015学年山东省淄博市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）A．B．2C．﹣D．【解答】解：＝＝由解得a＝．故选：D．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：B．3．（5分）已知在处有极值，则（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝D．a＝0【解答】解：求导函数，可得y′＝a cos x+cos3x∵在处有极值，∴时，y′＝a cos+cosπ＝0∴a＝2故选：B．4．（5分）若，则a的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵（x2）′＝2x，，∴＝＝（a2﹣1）+lna由，所以（a2﹣1）+lna＝3+ln2，所以a＝2．故选：A．5．（5分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选：D．6．（5分）设f0（x）＝sin x+cos x，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x）．则f2016（x）＝（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x 【解答】解：∵f0（x）＝sin x+cos x，∴f1（x）＝f0′（x）＝cos x﹣sin x，f2（x）＝f1′（x）＝﹣sin x﹣cos x，f3（x）＝﹣cos x+sin x，f4（x）＝sin x+cos x，以此类推，可得出f n（x）＝f n+4（x）∴f2016（x）＝f504（x）＝f0（x）＝sin x+cos x×4故选：A．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据y＝f（x）的图象可得，原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为减、增、减，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为﹣、+、﹣，结合所给的选项，故选：A．8．（5分）曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是（）A．B．C．1D．【解答】解：联立得x1＝0，x2＝1，所以曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积S＝＝＝﹣＝．故选：A．9．（5分）在R上可导的函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝x2+ax+2b，设x2+ax+2b＝（x﹣x1）（x﹣x2），（x1＜x2）则x1+x2＝﹣a，x1x2＝2b，因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜﹣a＜3，0＜2b＜2，﹣3＜a＜﹣1，0＜b＜1．∴﹣2＜b﹣2＜﹣1，﹣4＜a ﹣1＜﹣2，∴，故选：A．10．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝f（），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：设h（x）＝xf（x），∴h′（x）＝f（x）+x•f′（x），∵y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）＝f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a＝f（）＝h（），b＝﹣2f（﹣2）＝2f（2）＝h（2），c＝（ln）f（ln）＝h（ln）＝h（﹣ln2）＝h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）半径为r的圆的面积S（r）πr2，周长C（r）＝2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′＝2πr；对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于上述的式子：．【解答】解：V球＝，S球＝4πR2，所以．故答案为：．12．（5分）已知f（x）＝2|x|，则∫f（x）dx＝．【解答】解：f（x）＝2|x|＝，∴∫f（x）dx＝（）x dx+2x dx＝|+|＝+＝，故答案为：．13．（5分）若曲线f（x）＝x•sin x+1在x＝处的切线与直线ax+2y+1＝0互相垂直，则实数a等于2．【解答】解：f'（x）＝sin x+x cos x，，即函数f（x）＝x sin x+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1＝0的斜率是，所以，解得a＝2．故答案为：2．14．（5分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【解答】解：由图可知函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递增，∴在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）区间f′（x）＞0，在（﹣1，1）函数f（x）单调递减，∴f′（x）＜0，所以x与f′（x）同正负的区间有：（﹣1，0 ），（1，+∞），故不等式xf′（x）＞0的解集为：（﹣1，0 ）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0 ）∪（1，+∞）15．（5分）在对于实数x，[x]表示不超过的最大整数，观察下列等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21按照此规律第n个等式为[]+[]+…+[]＝2n2+n．【解答】解：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以[]＝[]＝[]＝1，[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝2，…，因为等式：[]+[]+[]＝3[]+[]+[]+[]+[]＝10[]+[]+[]+[]＝21，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边＝n（2n+1）＝2n2+n，即[]+[]+…+[]＝2n2+n．故答案为：[]+[]+…+[]＝2n2+n．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i），当实数m取什么值时，（1）复数z是实数；（2）复数z是纯虚数；（3）复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．【解答】解：复数z＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）＝（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，（1）若复数z是实数，则由m2﹣3m+2＝0，得m＝1或m＝2．（2）若复数z是纯虚数，则由，得m＝﹣．（3）若复数z对应的点位于第一、三象限的角平分线上．所以2m2﹣3m﹣2＝m2﹣3m+2，解得m＝±2．17．（12分）已知复数，且，求倾斜角为θ并经过点（﹣6，0）的直线l与曲线y＝x2所围成的图形的面积．【解答】解：∵z＝sinθ+2i，∴，有∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴直线l的斜率k＝tan＝1，又∵直线l过点（﹣6，0），∴直线l的方程为y＝x+6．联立，解之得x＝﹣2，或x＝3．所要求的面积S＝（x+6﹣x2）dx＝（＝．18．（12分）设数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{a n}的一个通项公式并证明你的结论．【解答】解：（1）由a1＝2，得a2＝a12﹣a1+1＝3由a2＝3，得a3＝a22﹣2a2+1＝4由a3＝4，得a4＝a32﹣3a3+1＝5（1）用数学归纳法证明①由a1＝2＝1+1知n＝1时，a n＝n+1成立设n＝k（k属于正整数）时a n＝n+1成立，即a k＝k+1则当n＝k+1时，因为a n+1＝a n2﹣na n+1，所以a k+1＝a k2﹣k（k+1）+1＝（k+1）2﹣k（k+1）+1＝k2+2k+1﹣k2﹣k+1＝k+2综上，a n＝n+1成立19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y＝x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解答】解：（I）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）＝0，得x＝80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x＝80时，h（x）取到极小值h（80）＝11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（I）当k＝2时，由于所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）当k＝0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k＝1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．21．（15分）已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y＝﹣x．（1）求a，b的值；（2）当时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（3）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R），∴，∵函数f（x）＝x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y ＝﹣x，∴，∴…（4分）（2）由（1）知f（x）＝x2﹣ln（x+1）（x＞﹣1）∵当x∈[﹣，1]时，f（x）的图象与直线y＝﹣x+m有两个不同的交点，∴关于x的方程x2﹣ln（x+1）+x＝m在[﹣，1]上有两个不相等的实根．…（5分）令F（x）＝x2﹣ln（x+1）+x，（x＞﹣1），＝＝，由F′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣（舍去）．当﹣1＜x＜0时，F′（x）＜0；当x＞0时，F′（x）＞0．∴F（x）在x＝0处取得极小值，∴F（x）min＝F（0）＝0，又F（﹣）＝＝﹣，F（1）＝2﹣ln2，由F（1）﹣F（﹣）＝＝，知F（1）＞F（﹣），∴…（9分）（3）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x2﹣ln（x+1）﹣x3（0＜x≤1），∵0＜x≤1，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上为减函数，∴g（x）＜g（0）＝0，∵，∴g（）＝f（）﹣＜0，∴对任意的正整数n，不等式都成立．…（14分）。

浙江省效实中学高二数学下学期期中试题理新人教A版

浙江省效实中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题理新人教A 版请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．设()4f x ax =+，若(1)2f '=，则a 等于A ．2B ．2-C ．3D ．3-2．已知函数()1cos ,f x x x =则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2π-B ．2πC ．1πD ．1π- 3．函数2(3)x y x e =-的单调递增区间是A.(,0)-∞B. (0,)+∞C. (,3)-∞-和(1,)+∞D.(3,1)-4．从1，2，3，4四个数字中任取几个数字作和（不重复取），则不同的结果有A.4种B.5种C.8种D.11种5．函数()f x 的定义域为(,)a b ,导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示,则函数()f x 在区间(,)a b 内的极小值点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种7．一个口袋中装有m 个白球，n 个黑球，从口袋中每次拿一个球不放回，第k 次拿到黑球的概率是A ．k m n +B ．kn m n +C ．n m n+ D ．n k m n -+ 8．已知函数()32393f x x x x m =--+-在[]2,5x ∈-上有三个零点，则实数m 的取值范围是A ．(]24,8-B ．(]24,1-C ．[]1,8D ．[)1,89．122391010101010222C C C C ++++L 的值为A ．1032⋅B ．103 C ．9212- D ．10312-10．已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．]43,21[B ．]23,43[C ．]34,32[D ．]34,21[ 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．函数()()32'1,f x x xf =+-则()'1f -的值是 ▲ ．12．曲线213:22x C y +=+在点(1,2)P -处的切线方程为 ▲ ． 13．函数()2ln f x x x ax =+-在定义域内是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．将3个小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子内，5号盒子中至少有一个球的概率是 ▲ ．15．51(2)x x+-展开式中系数最大的项的系数为 ▲ ． 16．一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，其中五个数字互不相同的五位数共有 ▲ 个．17．已知函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．在5(12)x -展开式中,求（I ）含4x 的项；（II ）所有二项式系数之和.19．已知函数()()()322112132f x x a x a a x =-+++．（I ）若1a =，求()f x 在区间[]0,3上的值域；（II ）若22()()g x f x ax a x =+-，求函数()g x 的极值点．20．某年级共6个班，举行足球赛．（I ）若先从6个班中随机抽取两个班举行比赛，则恰好抽中甲班与乙班的概率是多少? （II ）若6个班平均分成两组,则甲班与乙班恰好在同一组的概率是多少?（III ）若6个班之间进行单循环赛，规定赢一场得2分，平一场得1分，输一场得0分．假定任意两班比赛，赢、平、输的概率都相等，求最终甲班得8分的概率．21．某班每周三共有8节课，上午4节，下午4节．要安排语文、数学、外语、物理、化学、体育，还有两节自修课．（I ）若数学、物理、化学要排在上午，两节自修课要排在下午，共有几种排课方法？（II ）若体育不排第一节课，数学不排最后一节课，共有几种排课方法？（III ）若语文与数学要连排，两节自修课不连排，共有几种排法（第四、五节课不算连排）？22．已知函数()ln f x x =．（I ）证明曲线()y f x =与曲线1y x x=-有唯一的公共点；（II ）设0a b <<，比较()()2f b f a -与b a b a -+的大小，并说明理由．高二数学（理）期中考试答案1—10 AADCA BCDDD11．3- 12．2ln 2(1)y x -=+ 13．a ≤ 14．61125 15．210 16．1512 17．1a >-18．（1）480x （2）3219．（1）令2()320f x x x '=-+=,得1,2x x ==,5233(0)0,(1),(2),(3),()[0,]6322f f f f f x ====∈；（2）32211(),()32g x x x ax g x x x a '=-+=-+,当140a ∆=-≤,得14a ≥,()0g x '≥恒成立,()g x 在R 上单调递增,函数无极值; 当14a <时, ()g x在(-∞上递增, 上递减, 1(,)2++∞上递增,极大值点为12-,极小值点为12+ 20．（1）261115C = （2）25 (3)125555381C C += 21．（1）864 （2）15480 (3)326422．（1）令11()()()ln h x f x x x x x x =--=--，则2/2213()1124()10x h x x x x ---=--=< ∴()h x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)ln1110h =-+=所以1x =是函数()h x 的惟一的零点。

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）排列数=（）A．6 B．20 C．60 D．1202．（3分）已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A．7 B．9 C．11 D．133．（3分）给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．5．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等6．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）A．B．C．1 D．7．（3分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa28．（3分）6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（）A．72 B．216 C．360 D．1089．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A．b n=3n+1 B．b n=2n+1 C．b n=3n+2 D．b n=2n+210．（3分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1=．12．（3分）如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有种不同的方法（用数值表示）．13．（3分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为．14．（3分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．16．（3分）已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014=．17．（3分）如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．（9分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．20．（10分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}中，．（1）求证：数列{a2n}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；﹣1（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值．22．（10分）已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE 上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B 的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）排列数=（）A．6 B．20 C．60 D．120【解答】解：排列数=5×4×3=60．故选：C．2．（3分）已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A．7 B．9 C．11 D．13【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a5+a7+a9=21，∴3a7=21，得a7=7．故选：A．3．（3分）给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【解答】解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；故选：D．4．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴…+==．∴．故选：B．5．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．6．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO为所求二面角的平面角．又EO=AO=a，AO=a，∴tan∠EAO=．故选：B．7．（3分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．8．（3分）6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（）A．72 B．216 C．360 D．108【解答】解：先排有限制条件的元素，甲不在前排，则甲有C31种站法，乙不在后排，则乙有C31种站法，剩下的4个元素在4个位置排列，有A44种结果，根据分步计数原理知共有C31C31A44=216，故选：B．9．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A．b n=3n+1 B．b n=2n+1 C．b n=3n+2 D．b n=2n+2【解答】解：由已知，等差数列{a n}，d=2，则{a n}通项公式a n=2n﹣1，b n+1=2b n ﹣1﹣1=2（b n﹣1 ）两边同减去1，得b n+1∴数列{b n﹣1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，b n﹣1=2×2 n﹣1=2n，∴b n=2n+1故选：B．10．（3分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：画出图形，建立空间直角坐标系，如图所示；设棱长AB=1，则B（0，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），设P（﹣a，1﹣a，1）（0≤a≤1），则=（﹣a，1﹣a，1），=（0，1，﹣1），∴cosθ=||=||=，当a=0时，cosθ=0，当a≠0时，cosθ=•=•；∵0＜a≤1，∴≥1，∴≥1，当且仅当a=1时“=”成立；∴cosθ≤，即0≤cosθ≤；又∵0≤θ≤，∴≤θ≤，即θ的取值范围是≤θ≤．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1=2．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}中，，∴8a1=（2a1）2∵a1≠0∴a1=2故答案为：212．（3分）如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有480种不同的方法（用数值表示）．【解答】解：完成着色这件事，共分四个步骤，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法．∴共有着色方法6×5×4×4=480，故答案为：480．13．（3分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为6π．【解答】解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，所以=，∴a=2，这个圆锥的全面积是：2π+×2π××2=6π故答案为：6π．14．（3分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．【解答】解：三视图复原几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，底面对角线的长为1，高为2，底面面积是，所以它的体积是，故答案为：．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．【解答】解：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、则DF垂直AE，∠OFD为二面角D﹣AE﹣B的平面角，∠OFD=60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，AE==，DF•AE=AD•DE，DF==，=sin∠OFD=sin60°，DO=DF•=•=，sin∠OAD==故答案为：．16．（3分）已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014=．【解答】解：，所以：，，，，，数列的周期为：3，所以：a1+a2+a3=0进一步求得：a1+a2+a3+…+a2014=，故答案为：．17．（3分）如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．【解答】解：设B，C到平面α距离分别为a，b，则M到平面α距离为h=射影三角形两直角边的平方分别16﹣a2，16﹣b2，设线段BC射影长为c，则16﹣a2+16﹣b2=c2，（1）又线段AM射影长为，所以（）2+=12，（2）由（1）（2）联立解得ab=8，∵a＜4，b＜4，∴2＜a＜4，∴h=（a+）∈，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为19．（9分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A 1B1C．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1．在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1﹣xyz．则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2），N（﹣1，1，1）∴=（0，2，2），，．设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．令z=1，则x=0，y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1）．∴．∴MN⊥平面A1B1C．20．（10分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．【解答】解：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，∵AB=2，BC=2，∴A（，0，0），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（，﹣2，0），S （0，0，1），∵=（，﹣2，﹣1），由平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），设直线SD与平面ABCD所成角的为θ，则sinθ==，则cosθ=，tanθ=，即直线SD与平面ABCD所成角的正切值为．（2）=（，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（0，﹣，﹣1），设平面SAC的一个法向量为=（x，y，z），则由，得：令z=，则=（1，﹣1，）是平面SAC的一个法向量；设平面SAB的法向量为=（a，b，c），则由，得：令c=，则=（1，1，）是平面SAB的一个法向量；设钝二面角C﹣SA﹣B的平面角为α，则cosα=﹣=．21．（12分）已知数列{a n}中，．}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；（1）求证：数列{a2n﹣1（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）∵∴，…是以1为首项，为公比的等比数列；∴数列a1，a3，…，a2n﹣1数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列．（2）T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3﹣3•（3）64T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）⇔64[3﹣3•]≤3﹣3k⇔2n+≥64+k≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤﹣48∴k的最大值为﹣4822．（10分）已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE 上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B 的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．【解答】解：（1）由题意，∠A1CB=θ=，∴A1C⊥CB，∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，∴A1C⊥平面BCD，∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为，∴CE=x，∴（4﹣x）2+4=（x）2，∴x=2，即C为AB的中点，在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=，∠A1OC为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，∴二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值为tan∠A1OC==；（2）∵=λ=，∴C为AB的中点，又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，∴A1B=BE=2，又∵A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，故cosθ=．。

浙江宁波效实中学1415学年度高二第一学期期中——数学

1D浙江宁波实中学2014—2015学年度上学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.排列数A. B. C. D.2.已知等差数列中，，则的值是A. B. C. D.3.给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4.数列的前项和为，若，则A. B. C. D.5.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是A. B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的面积与的面积相等6.已知正四棱锥棱长都等于，侧棱的中点分别为，则截面与底面所成二面角的大小的正切值为A. B. C. D.7. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A. B. C. D.8. 6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站后排的站法种数为A. B. C. D.9．已知等差数列满足，若数列满足，则的通项公式为A．B．C．D．10.已知在直三棱柱中，棱两两垂直且长度相等，点在线段（包括端点）上运动，直线与所成角为，则的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11. 在公比为2的等比数列中，，则▲．12.如右图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有▲种不同的方俯视图A B 11法（用数值表示）. 13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为 ▲14. 一个几何体的三视图及部分数据如右图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为 ▲ ．15．如下图，在矩形中，为边的中点，沿将折起，使二面角为，则直线与面所成角的正弦值为 ▲ ．16. 已知数列满足22cos sin ,33n n n a n n N ππ+=+∈，则12320a a a a ++++= ▲ ．17. 如图，边长为4的正顶点在平面上，在平面的同侧，为的中点.若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则到平面的距离的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字程或演算步骤.18.已知数列为等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足121238,b b a a a =-=++，求数列的前项和.19. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，190,2ABC AB BC BB ∠====,分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；A E DBC B C A EC20. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知45,2,ABC AB BC SB SC ∠=====.（1）求直线与平面所成角的正切值；（2）求二面角的大小的余弦值.21. 已知数列中，*1111,()()2n n n a a a n N +==∈.（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列的前项的和；（3）若数列的前项的和，不等式222643(1)n n n T a ka ⋅≤-对恒成立，求的最大值.22. 已知直角三角形，，分别是上的动点，且，将沿折起到位置，使平面与平面所成的二面角的大小为，设.（1）若且与平面所成的角的正切值为，求二面角的大小的正切值；（2）已知为的中点，若，求的取值.参考答案1.C2.A3.D4.B5.D6.B7.B8.C9.A 10.C11.；12.480；13.；14.；15.；16.；17..18.（1）；（2）.19.（1）（2）证略.20.（1）；（2）.21.（1）证略；（2）；（3）.22.（1）；（2）.。

浙江省效实中学2014届高三数学模拟试题理新人教A版

效实中学高三模拟考数学〔理科〕试题注意：本卷共22题，总分为150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示)()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱柱的高棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是Sh V 31=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示次的概率棱锥的高棱台的体积公式k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =)(312211S S S S h V ++=球的外表积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上下底 24R S π=面积，h 表示棱台的高球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径第1卷〔选择题，共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集为R ，集合{}21()1,6802x A x B x x x ⎧⎫=≤=-+≤⎨⎬⎩⎭，如此R AC B =A .{}0x x ≤B .{}24x x ≤≤C .{}024x x x ≤<>或D .{}024x x x ≤<≥或2．设复数z 满足(1)2i z i -=，如此z =A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3．设函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，如此“()0f x =在区间[1,2]有两个不同的实根〞是“12a <<〞的A .充分不必要条件B .必要不充分条件FBAO1xyC .充要条件D .既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图与局部数据如下列图，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，如此该几何体的体积为A .16B .13C .23D .1 5．,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，且l α⊄，l β⊄，如此A .//αβ，且//l αB .αβ⊥，且l β⊥C .α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l6．()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如下列图，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象，可以将)(x f 的图象A .向右平移56π个单位长度 B .向右平移125π个单位长度 C .向左平移56π个单位长度 D .向左平移125π个单位长度 7．数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，如此满足该条件的不同数列的个数为A .100B .120C .140D .1608．假设正数,x y 满足2610x xy +-=，如此2x y +的最小值是A .23B .23C .33D .2339．抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D 〔如下列图〕，如此AB CD ⋅的值正确的答案是A .等于1B .最小值是1C .等于4D .最大值是410．假设函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，如此()f x 的最大值是A .9B .14C .15D .16第2卷〔非选择题局部共100分〕二、填空题:本大题共7小题，每一小题4分，共28分。

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浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高二下学期
期中考试（理）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题共24分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合2{,0}M a a =-．若a M ∈，则实数a 的值为 A. 0 B. 2 C. 2或0 D. 2或2- 2．命题“0x ∃∈R ，021x
≥”的否定．．
是 A. 0x ∃∈R ，021x < B. 0x ∃∈R ，021x
≤
C. x ∀∈R ，21x ≥
D. x ∀∈R ，21x
<
3．已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是
A.2
a a
b ab >> B. 2
ab a ab >> C. 2
ab ab a >> D. 2
ab ab a >> 4．现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为 A.
310 B. 12 C. 710
D. 45
5．已知条件2
1:523,:
045
p x q x x ->>+-，则“p ⌝”是“q ⌝
”成立的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆221:(3)1C x y -+=，圆222:(3)4C x y ++=，若圆M 与两圆都相切，则圆心M 的轨迹是
A. 两个椭圆
B. 两条双曲线
C. 两条双曲线的左支
D. 两条双曲线的右支 7．已知离心率为
1
2
的椭圆的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上一点P 满足：12||2||PF PF =，则12cos PF F ∠=
A.
1116 B.78 C. 1
4
- D. 不确定 8．点P 到点1
(,0),(,2)2
A B a 及到直线1
2
x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A.
12 B.32 C. 12或32 D. 12-或1
2
第Ⅱ卷（非选择题共72分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 9．已知函数2log (1),1,
()21, 1.
x x f x x x ->⎧=⎨
-≤⎩则(2)f = ；若()1f a =-，则a = ．
10．给出下列3个命题：①若,a b R ∈，则
2
a b
+≥x R ∈，则21x x +>；③若x R ∈且0x ≠，则1
2x x
+
≥，其中真命题的序号为． 11．已知直线2
a x c =与双曲线2222:1(0,0)x y C a
b a b
-=>>的两条渐近线交于,A B 两点，
若以AB 为直径的圆恰好过双曲线右焦点(,0)F c ，则双曲线的离心率为．
12．已知点P 是椭圆2
2:19
x C y +=上的动点，一定点(1,0)Q ．有个点P 使得||2PQ =成立；当点P 运动时，线段PQ 中点M 的轨迹方程为．
13．从红、黄两色分别印有A 、B 、C 、D 的8张卡片中任取4张，其中字母不同且颜色齐全的概率为．
14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线0x my m -+=与抛物线交于A B 、两点，且
OAB △（O 为坐标原点）的面积为64m m += ．
15．已知关于x 不等式|2||1|x a x +>-在区间[2,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为．
三、解答题：本大题共5小题，共48分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知实数,x y 满足：
11
11x y
+=+. （I ）解关于x 的不等式：1y x >+；（II ）若0,0x y >>，求2x y +的最值．
17．已知全集U =R ，非空．．集合222
{|0},{|0}31x x a A x B x x a x a
---=<=<---．（I ）当1
2
a =
时，求()U B A ð；
（II ）条件:p x A ∈,条件:q x B ∈,若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．给定椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>），称圆2222x y a b +=+为椭圆E 的“伴随圆”．
已知椭圆E 过点(0,1) （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D 两点，当CD = 时，求AOB △面积的最大值．
19．已知22()|1|f x x x kx =-++．（I ）若2k =，求函数()f x 的最小值；
（II ）若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个解12,x x ，求实数k 的取值范围，并证明
12
11
4x x +<．
20．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，过点(,0)G p 作直线l 交抛物线C 于,A M 两点，设1122(,),(,)A x y M x y ．（I ）若128y y =-，求抛物线C 的方程；
（II ）若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ,直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值.
参考答案
一．选择题1)B 2) D 3)C 4)C 5) A 6) B 7) B
8)D
二．填空题9)0; 0或3
2
10)○2
11)
12) 3；
2
2(21)419
x y -+=； 13)
1
5
14) 2 15) 8a <-或3a >- 三．解答题 16. 1)(,1)
(0,1)x ∈-∞-
；111
2,2+y=2x+211x x y x x x x x
）++=
=++≥ 17. 1)51919952,,,,(,,,(),22
42442U U A B B B A ⎛⎫⎛⎫
⎤⎡⎫
⎡⎫
===-∞+∞= ⎪
⎪⎪⎪⎥⎢⎢⎝⎭⎝⎭
⎦⎣⎭
⎣⎭
痧
2)
2222
133122231
2a a A B a a
a a a ⎧≤≤
+-⎪
⊆⇒≤+≤+⇒-≤≤⎨⎪+≠⎩
且13a ≠
18．1）2
213
x y += 2)
2
2:,
21
3y kx m
l y kx
m CD x y =+⎧⎪=+=⇒=⇒⎨+=⎪⎩222(13)6330k x mkx m
+++-=
12AB x =-=,令2
13k t AB +=⇒=当
k =±
时
2AB =≤
122
ABC S △=
≤
19. （1）min [()](1)1f x f =-=-；（2）212
711
1;242k x x x -
<<-+=< 20. （1）24y x =；（2）2。