湖南省长沙市长郡中学学年高二上学期期中考试数学理试题含答案

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（ ）

A ．p ⌝：x A ∃∈，2x

B ∈ B ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈

C ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉

D ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉

2.如果方程22

143

x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,4 B ．()

(),34,-∞+∞ C ．()4,+∞ D ．(),3-∞ 3.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）

A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠

B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠

C ．若0a =且0b =，则220a b +≠

D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠

4.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：

且回归线方程是0.95 2.6y x =+，则t =（ ）

A ．6.7

B ．6.6 C.6.5 D ．6.4

5.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，则直线1DB 与MC 所成角的余弦值为（ ）

A ．15-

B ．15 C.15 D ．5

6.已知F 为双曲线C ：()2230x y λλλ-=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为

（ ）

A B ． D ．3m

7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差2

s =（ ）

A ．145

B ．3 C.165 D ．185

8.双曲线()22

216103x y p p

-=>的左焦点在抛物线22y px =的焦线上，则p =（ ） A ．14 B ．12

C.2 D ．4 9.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）

A ．一个椭圆上

B ．双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D ．一个圆上

10.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若

1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1A C 的长为（ ）

A ．

11.若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a

<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件

12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（ ）

A ． 15

B ．25 C.35 D ．310

13.双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22//l PF ，则该双曲线的离心率为（ ）

A D ．2

14.椭圆22

1mx ny +=与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的

，则m n

的值为（ ）

A B C. D ．2 15.设集合()(){}22,|41A x y x y =-+=，()()(){}

22,|21B x y x t y at =-+-+=，如果命

题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．40,3⎛

⎤ ⎥⎝⎦ C.40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．40,3

⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为 ．

17.抛物线214

y x =的焦点坐标是 ． 18.给出下列命题：

①已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件； ②“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件；

③“函数()22

cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的充要条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件的“0a b <”.

其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）

19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 ．

20.若曲线2149

y y x +=和曲线30kx y +-=有三个不同的交点，则k 的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. （本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以

[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图所示.

（1）求直方图中x 的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300的四组用户中，用分层