湖南省长沙市长郡中学学年高二上学期期中考试数学理试题含答案

合集下载

长郡中学2018-2019学年度高二第一学期期中考试理科数学试题及答案

!"#$$%&'()*$++#,-
!"!#$"%&'(
)#*+,$-.,/"#01,%21,$3%/%#3!
! " & $ % # ' ( ) * "+ "" "& "$ "% "#
! , - - , . . - , / / . / / - .
4#56,$-.,/#1,%21,$3%/"#3!
!"#$%&'(!)*+"!&!
&4
! " 0'
) %& $$
%(!+%!&"%,!!&%+"%
槡! " ! " 0%'(%1
) $
&
2
& $
2&
&1)$槡&!77777777777777777777777777
%4
!&"," b89'( .cd-1%!%%1&槡&%777777777777777777777777 '4 槡"2"
'4
%"2%&1!&#)&#2"%%"%&1&#&'2"%
$/.'$/.(1!%"%&"!&"!%&%&&!&"1%"%&2&"&&!&!&"2&&"2%

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.命题“∀x∈R，x2−4≥0”的否定是()A. ∀x∈R，x2−4≤0B. ∀x∈R，x2−4<0C. ∃x∈R，x2−4≥0D. ∃x∈R，x2−4<03.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为()A. 25B. 35C. 30D. 404.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件P：取出的都是黑球，事件Q：取出的都是白球，事件R：取出的球中至少有一个黑球，则下列结论正确的是()A. P与R互斥B. 任何两个均互斥C. Q和R互斥D. 任何两个均不互斥5.双曲线x2−4y2=−1的渐近线方程为()A. x±2y=0B. y±2x=0C. x±4y=0D. y±4x=06.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个概率是()A. 12B. 13C. 25D. 3107.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图．若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a−b的值是()A. 8B. 9C. 10D. 118.已知命题p：∃x∈(−∞,0)，2x<3x，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A. p∧qB. p∨(¬q)C. (¬p)∧qD. p∧(¬q)9.若一样本x1,x2,x3,…x n的标准差s=8.5，平均数x=100，则另一样本3x1+5,3x2+5,3x3+5,…，3x n+5的标准差和平均数分别为()A. 30.5，305B. 9，300C. 25.5，305D. 3，30010.若在区间[−1,2]中随机地取一个数x，则事件“0≤x≤2”发生的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 2311.已知曲线2x2+y2=4，则以(1,1)为中点的弦所在直线方程为()A. 2x+y−3=0B. x+2y−3=0C. 2x−y+3=0D. x−2y+3=012.若函数f(x)=log a(x2−ax+12)有最小值，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (0,1)∪(1,√2)C. (1,√2)D. [√2,+∞)13.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，F为抛物线焦点，若|PF|=8，则点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 814.下列有关命题的说法正确的是A. 命题“若x2=1则x=1”的否命题为：“若x2=1则x≠1”；B. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件；C. 命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1<0”；D. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；15.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，点A在l1上，且FA⊥l1，点B在l2上，且FB//l1，若|FA|=45|FB|，则双曲线C的离心率为()A. √5B. √52C. √52或3√52D. √52或√5二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.椭圆9x2+y2=81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为________．17.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，…，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是________．18.F1、F2是双曲线y29−x216=1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|=32，求△F1MF2的面积为_______________．19.在可行域{x−y−1<0,x+y≤3,x>0内任取一点M(x,y)，则满足2x−y>0的概率是________．20.已知过点M(1,0)的直线与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为．三、解答题（本大题共5小题，共148.0分）21.已知p：x2−7x+10<0，q：x2−4mx+3m2<0，其中m>0．(1)若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．22.为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．(Ⅰ)求成绩在[600,700)的频率；(Ⅱ)根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；(Ⅲ)我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650,700)这段的人数？23.已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，过点F作垂直于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点．若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．24. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：y =b x +a(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ^=y −b ^x ．25. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点Q(−√2,1)在椭圆上，线段QF 2与y 轴的交点M ，且点M 为QF 2中点 (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2=π2，求△F 1PF 2的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查全称量词的命题的否定，比较基础．根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x∈R，x2−4<0．故选：D.3.答案：B解析：【分析】本题考查了分层抽样.先求出抽样比，由此能求出高三年级应抽取的学生人数．【解答】解：抽样比f=100600+700+700=120，∴高三年级应抽取的学生人数为：700×120=35．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查了互斥事件与对立事件，是基础的概念题．找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．【解答】解：事件R：取出的球中至少有一个黑球，即取出的球为一个黑球一个白球和两个都是黑球．故事件Q和R互斥．5.答案：A解析：解：双曲线x2−4y2=−1的渐近线方程为x2−4y2=0，整理，得x±2y=0．故选：A．双曲线x2−4y2=−1的渐近线方程为x2−4y2=0，由此能求出结果．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．6.答案：C解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=C53=10，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m=C21C21C11=4，由此能求出三种粽子各取到1个概率．【解答】解：有题意得：基本事件总数n=C53=10，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m=C21C21C11=4，则三种粽子各取到1个概率是p=mn =410=25．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．根据茎叶图中的数据写出甲的中位数a和乙的众数b，再求a−b．【解答】解：根据茎叶图知，甲运动员的中位数为a=19，乙运动员的众数为b=11，则a−b=19−11=8．故选：A．8.答案：C解析：【分析】本题考查复合命题以及全称命题与特称命题的真假判断，属于基础题．【解答】解：∵x∈(−∞,0)，(23)x>1恒成立，∴2x>3x恒成立，故命题p是假命题，由于log2x<log21，故x∈(0,1)，命题q是真命题，p∧q，p∨(¬q)，p∧(¬q)都是假命题，(¬p)∧q是真命题．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题考查了标准差与平均数的性质，是基础题目．通过简单计算即可得．【解答】解：由题意可知，x1，x2，x3，…，x n的平均数是100，标准差是8.5，所以数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3x n+5的平均数是3×100+5=305，标准差为3×8.5=25.5，故选C.10.答案：D解析：解：利用几何概型，其测度为线段的长度；所以事件“0≤x≤2”发生的概率为：P=2−02−(−1)=23．故选：D．根据题意，利用几何概型求概率，计算对应0≤x≤2的区间长度与区间[−1,2]的长度比值即得．本题主要考查了几何概型的应用问题，是基础题目．解析：【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系.将直线与圆的交点坐标代入椭圆方程，利用点差法做差后，将中点坐标代入即可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可．【解答】解：令直线l与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，(1,1)为AB中点，则x1+x2=2,y1+y2=2则：2x12+y12=4，①2x22+y22=4，②①−②得：2(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y1−y2)=0，即4(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴k=2，∴l的方程：y−1=2(x−1)，即2x+y−3=0．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题考查复合函数的单调性，若复合函数可分解为两个函数，依据“同增异减”即可判断复合函数的单调性．令u=x2−ax+12=(x−a2)2+12−a24，则u有最小值，欲满足题意，须log a u递增，且u的最小值1 2−a24>0，由此可求a的范围．【解答】解：令u=x2−ax+12=(x−a2)2+12−a24，则u有最小值12−a24，欲使函数f(x)=log a(x2−ax+12)有最小值，则须有{a>112−a24>0，解得1<a<√2．即a的取值范围为(1,√2).故选：C．解析：【分析】本题考查抛物线的几何性质，把P到焦点的距离转换为到准线的距离求解出p，即可得出结果．【解答】解：抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−p，2因为P(6,y)为抛物线上的点，所以P到焦点的距离等于它到准线的距离，=8，所以p=4，点F到抛物线准线的距离等于4．所以6+p2故选C．14.答案：D解析：【分析】本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．【解答】解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=−1时，x2−5x−6=0，充分性成立，x2−5x−6=0时，x=−1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x−1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选D.15.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l1：y=ba x，l2：y=−bax.由点到直线的距离公式，计算可得|FA|，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线FB的方程，联立直线l2，可得交点B的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l1：y=ba x，l2：y=−bax.①则F到直线l1的距离|FA|=√a2+b2=bcc=b，由FB//l1，可得直线FB的方程为y=ba(x−c)，②由①②可得x=12c，y=−bc2a，即有B(12c,−bc2a)，|FB|=√(c−12c)2+(bc2a)2=12c√1+b2a2=12⋅c2a，由|FA|=45|FB|，可得b=45⋅12⋅c2a，即2c2=5ab，两边平方可得4c4=25a2b2=25a2(c2−a2)，由e=ca，可得4e4−25e2+25=0，解得e2=5或e2=54，即为e=√5或e=√52．故选：D．16.答案：18；6；(0,±6√2)；(0,±9)、(±3,0)解析：【分析】先将方程化为标准方程，就可以求出a，b的值，再由c2=a2=b2求出c的值，再求长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标．【解答】解：椭圆9x2+y2=81的标准方程为x29+y281=1，所以焦点在y轴上，所以a2=81,b2=9,c2=81−9=72，所以a=9，b=3，c=6√2，长轴长=18，短轴长=6，焦点坐标为(0,±6√2)，顶点坐标为(0,±9)、(±3,0)．故答案为18；6；(0,±6√2)；(0,±9)、(±3,0)．17.答案：41解析：【分析】本题考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义计算出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，则样本间隔为75÷5=15，则样本中还有一名好友的编号是26+15=41．故答案为41．18.答案：16解析：【分析】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，属于基础题．利用双曲线的定义，结合|MF1|⋅|MF2|=32，可确定△F1MF2是直角三角形，从而可求三角形△F1MF2的面积．【解答】解：由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0,−5)、F2(0,5)，由双曲线定义得：||MF1|−|MF2||=2a=6，联立|MF1|⋅|MF2|=32，得|MF1|2+|MF2|2=100=|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，所以面积为S=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×32=16．故答案为16．19.答案：58解析：【分析】本题考查线性规划的应用，与面积有关的几何概型，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件{x −y −1<0,x +y ≤3,x >0作出可行域，得到满足2x −y >0的平面区域，进行求解即可．【解答】解：由约束条件{x −y −1<0,x +y ≤3,x >0作出可行域，如图，D 为直线2x −y =0,x +y =3的交点，联立{x −y =1x +y =3，解得B(2,1)，联立{2x −y =0x +y =3，解得D(1,2)，满足2x −y >0的区域为四边形OABD 所在区域，则满足2x −y >0的概率是．故答案为58．20.答案：y =−2x +2解析：【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．设直线AB 的方程为x =ty +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程，消去x 得y 2−2ty −2=0，由题意k OA +k OB =1，由斜率公式韦达定理可得t 的方程，解出t ，从而可得直线方程．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为x =ty +1，则k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=2y 1+2y 2=2(y 1+y 2)y 1y 2．由{x =ty +1y 2=2x，得y 2−2ty −2=0，y 1+y 2=2t ，y 1y 2=−2，所以2×2t −2=1，解得t =−12，所以直线AB 的方程为x =−12y +1，即y =−2x +2．21.答案：解：(1)由x 2−7x +10<0，解得2<x <5，所以p ：2<x <5；又x 2−4mx +3m 2<0，因为m >0，解得m <x <3m ，所以q ：m <x <3m ．当m =4时，q ：4<x <12，又p ∧q 为真，p ，q 都为真，所以取交集，得4<x <5，故x 的取值范围为(4,5)；(2)由¬q 是¬p 的充分不必要条件，即¬q ⇒¬p ，¬p ⇏¬q ，其逆否命题为p ⇒q ，q ⇏p ，由(1)p ：2<x <5，q ：m <x <3m ，所以{m ≤23m ≥5m >0(等号不能同时取)，即：53≤m ≤2．故实数m 的取值范围是[53,2]．解析：本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道中档题．(1)分别解出关于p ，q 的不等式，根据p ∧q 为真，p ，q 都为真，求出x 的范围即可；(2)由¬q 是¬p 的充分不必要条件，即¬q ⇒¬p ，¬p ⇏¬q ，其逆否命题为p ⇒q ，q ⇏p ，求出m 的范围即可．22.答案：解：(Ⅰ)根据频率分布直方图得，成绩在[600,700)的频率为0.003×50+0.001×50=0.2；(Ⅱ)设样本数据的平均数为a ，中位数为b ，则a =0.002×50×425+0.004×50×475+0.005×50×525+0.005×50×575+0.003×50×625+0.001×50×675=540；根据直方图估计中位数b 在[500,550)段，∵0.002×50+0.004×50+0.005×(b −500)=0.5，解得b =540，∴数据的平均数和中位数都是540；(Ⅲ)成绩在[650,700)的频率为：0.001×50=0.05，∴我校880名学生生中成绩在[650,700)的人数为：0.05×880=44(人)．解析：(Ⅰ)根据频率分布直方图求得成绩在[600,700)的频率；(Ⅱ)根据频率分布直方图求出平均数和中位数；(Ⅲ)计算成绩在[650,700)的频率和频数即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．23.答案：解：由题意，设抛物线方程为y 2=2px(p ≠0)，焦点F(p 2,0)，直线l ：x =p 2，∴A 、B 两点坐标为(p 2,p)，(p 2,−p)，∴AB =2|p|.∵△OAB 的面积为4，∴12·|p 2|·2|p|=4，∴p =±2√2．∴抛物线的标准方程为y 2=±4√2x ．解析：本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题，设抛物线方程为y 2=2px(p ≠0)，依题意，可求得AB =2|p|，利用△OAB 的面积等于4，即可求得p ，从而可得此抛物线的标准方程．24.答案：解：(1)∵x −=20+40+50+60+805=50，y −=3+4+4+4+55=4．∑x i 5i=1y i =20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，∑x i 25i=1=202+402+502+602+802=14500．∴b ̂=1060−5×50×414500−5×502=0.03，a ̂=4−0.03×50=2.5．故y 关于x 的线性回归方程ŷ=0.03x +2.5； (2)由(1)得：当x =200时，ŷ=0.03×200+2.5=8.5． ∴植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5°C ．解析：(1)由已知表格中的数据求得b ^与a^的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x =200，得到y 值即可．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．25.答案：解：(1)设M(0,y)，∵M 是线段QF 2的中点，∴F 2(√2,0)，∴{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得a 2=4，b 2=2． ∴椭圆的标准方程为：x 24+y 22=1； (2)由∠F 1PF 2=π2，可知PF 12+PF 22=F 1F 22， ∴{PF 12+PF 22=8PF 1+PF 2=4，解得PF 1=PF 2=2．∴S△F1PF2=12PF1⋅PF2=12×2×2=2．解析：本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆焦点三角形问题，常利用椭圆定义及余弦定理求解，是中档题．(1)设M(0,y)，结合M是线段QF2的中点及Q的坐标求得F2的坐标，得到c，再由Q在椭圆上列式可得a，b的值，则椭圆方程可求；(2)由∠F1PF2=π2，可知△PF1F2为直角三角形，在焦点三角形中由椭圆定义及余弦定理联立求得PF1、PF2的值，则△F1PF2的面积可求．。

湖南省长沙市长郡中学高二数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为( ) A．B．C．D．02．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为( ) A．B．C．D．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样6．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=2，||•||=0，则该双曲线的方程是( )A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为( )A．B．C．D．10．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为( )A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．.线段D．圆11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是( ) A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生13．设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是( )A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞514．今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是( )A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 10015．已知向量=（﹣2，1），=（x，y），x∈，y∈则满足•＜0的概率是( ) A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围__________．17．抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为__________．18．在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，【分析】利用四点共面的充要条件：若则x+y+z=1，列出方程求出x．【解答】解：∵又点M在平面ABC内，∴解得x=故选A．【点评】本题考查四点共面的充要条件：P∈平面ABC，若则x+y+z=1，属基础题．2．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为( ) A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选B．【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间角．【分析】连接AC，BD，则AC⊥BD，证明AC⊥平面BDD1，可得AC⊥BD1，利用EF∥AC，即可得出结论．【解答】解：连接AC，底面是正方形，则AC⊥BD，几何体是正方体，可知∴BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面CC1AA1，∵CE⊂平面CC1AA1，∴BD⊥CE，∴异面直线BD、CE所成角是90°．故选：D．【点评】本题考查异面直线BD1、EF所成角，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．5．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样【考点】分层抽样方法．【专题】应用题．【分析】由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故应采用分层抽样的方法，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样．【解答】解：由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故不能采用简单随机抽样，也不能用系统抽样，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样，此时，每个个体被抽到的概率等于==，从各层中抽取的人数分别为27×=6，54×=12，81×=18．故选 D．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，注意使用分层抽样的题目的特点．6．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？【考点】循环结构．【专题】阅读型．【分析】n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解答】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15， 17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题．8．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=2，||•||=0，则该双曲线的方程是( )A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由•=0，可得MF1⊥MF2进一步求出=36，由此得到a=3，则该双曲线的方程可求．【解答】解：∵•=0，∴即MF1⊥MF2，∴．则=40﹣2×2=36．∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a．即a=3．∵c=，∴b2=c2﹣a2=1．则该双曲线的方程是：．故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用，是中档题．9．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为( )A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；简单随机抽样．【专题】概率与统计．【分析】方法一：可按照排列的意义去抽取，再利用等可能事件的概率计算即可．方法二：可以只考虑第三次抽取的情况．【解答】解：方法一：前两次是从去掉a以外的9个个体中依次任意抽取的两个个体有种方法，第三次抽取个体a只有一种方法，第四次从剩下的7个个体中任意抽取一个可有种方法；而从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本，可有种方法．∴要求的概率P==．方法二：可以只考虑第三次抽取的情况：个体a第三次被抽到只有一种方法，而第三次从含10个个体的总体中抽取一个个体可有10种方法，因此所求的概率P=．故选A．【点评】正确计算出：个体a前两次未被抽到而第三次被抽到的方法和从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本的方法是解题的关键．10．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为( )A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．.线段D．圆【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程．【专题】对应思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，结合双曲线的定义，即可得出爆炸点的轨迹为双曲线的一支．【解答】解：∵声速为340 m/s，以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系；设炮弹爆炸点的轨迹上的点P（x，y），由题意可得|PA|﹣|PB|=680＜|AB|，∴点P（x，y）所在的轨迹为双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，是基础题目．11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是( ) A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出2﹣m2＞m＞0，从而求得m的范围．【解答】解：由题意，∴2﹣m2＞m＞0，解得：0＜m＜1，∴实数m的取值范围是0＜m＜1．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【考点】互斥事件与对立事件．【专题】阅读型．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选A【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题．13．设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是( )A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题．【分析】由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．【解答】解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选A【点评】本题主要考查元素与集合的关系．14．今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是( )A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 100【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：111÷2=55 (1)55÷2=27 (1)27÷2=13 (1)13÷2=6 (1)6÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故111（10）=1101111（2）故选：C．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．15．已知向量=（﹣2，1），=（x，y），x∈，y∈则满足•＜0的概率是( ) A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；不等式．【分析】可用A表示事件“”，可以得到试验的全部结果所构成的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，而事件A表示的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，﹣2x+y＜0}，从而可画图表示这两个区域，从而求这两个区域的面积比便是事件A的概率．【解答】解：用A表示事件“”；试验的全部结果所构成的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；构成事件A的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，且﹣2x+y＜0}；画出图形如下图：图中矩形及矩形内部表示试验的全部结果所表示的区域，阴影部分表示事件A表示的区域；∴P（A）=．故选：A．【点评】考查概率的概念，几何概型的计算方法，以及能够找出不等式所表示的平面区域．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围a ＜﹣3．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】令f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，根据关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则f（0）＜0，解之即可求出所求．【解答】解：令f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6∵关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根∴f（0）=2a+6＜0解得a＜﹣3故答案为：a＜﹣3【点评】本题主要考查了方程根的分布，以及函数的零点的判定定理，同时考查了转化的能力，属于基础题．17．抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为2．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】不妨设A点在x轴上方，依题意可知A点纵坐标，代入抛物线方程求得A点纵坐标，进而求得抛物线的焦点坐标，则焦点到AB的距离可得．【解答】解：不妨设A点在x轴上方，依题意可知y A=2，则x A==3而抛物线焦点坐标为（1，0）∴AB到焦点的距离是3﹣1=2，故答案为2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．18．在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，∴这个椭圆的离心率===．故答案为：．【点评】本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）21．已知命题p：﹣2≤x≤10，命题q：（x+m﹣1）（x﹣m﹣1）≤0（其中m＞0），且￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】已知命题p和q，然后求出￢p是￢q，根据￢p是￢q的必要条件，所以p是q的充分条件，从而求出实数m的取值范围；【解答】解：∵¬p是¬q的必要条件∴¬p⇒¬q即p⇒q由p：﹣2≤x≤10q：1﹣m≤x≤m+1得解得m≥9【点评】此题主要考查以不等式的求解问题为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．22．已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程．【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），先求出抛物线方程为y2=4x，从而得到a2+b2=1，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px，p＞0，将，y=代入得p=2，所求抛物线的方程为y2=4x，…其准线方程为x=﹣1，即双曲线的半焦距c=1，∴a2+b2=1，①，又，②，由①②可得，b2=，所求双曲线的方程为4x2﹣=1．…【点评】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．23．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=（1，1，）是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=（x﹣4，4﹣x，2），结合题意可得与所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c）是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=（1，1，），而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设点M的横坐标为x，则=（x﹣4，4﹣x，2）即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【点评】本题建立空间坐标系，求异面直线所成角和直线与平面所成角．着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点，属于中档题．25．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．即，将其整理为k2=﹣=﹣1﹣因为，所以，12≤a2＜18．所以，即．（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(含答案)

则的最小值为36.
故答案为：36.
【点睛】
与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点到焦点的距离：或 .
7．A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
求导得到，，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案.
【详解】
，则；，则，
当时，，函数单调递增，
，函数单调递增，A满足；
，故B不满足；，故C不满足；
当时，，，故D满足.
故选：AD.
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10b分析实数1x2x满足1202xx???且????12fxfx?则必有1x2x分别在yx?ln2yx?上且??12ln2xx?212ex???????结合21xx?构造????ln2gxxx??12ex???????利用导数研究??gx单调性即可求出21xx?的最大值详解????01ln212xxfxxx??????????的图象如下存在实数1x2x满足1202xx???且????12fxfx?即??12ln2xx?212ex???????则??2122ln2xxxx???本卷由系统自动生成请仔细校对后使用答案仅供参考

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．1163．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−134．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（） A ．−√3010 B ．√306C ．√3010D ．√225．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1 D ．y 24−x 2=16．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（） A ．1B ．2C ．3D ．√27．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（） A ．(0，12) B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32)D ．(√33，√63)二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝010．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√512．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为． 14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2．16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．（1）这个数列的第100项为；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式；（2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．18．（12分）四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BC ⊥平面P AB ，P A ＝AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，且PE ⊥EC ．（1）求证：BD ⊥平面PEC ；（2）求二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值．19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）求四边形QAMB 面积的最小值；（2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2．（1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{a n}，a1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n}满足b1＝1，b2nb2n−1=b2n+1b2n=a n．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求b2n+1的表达式；（3）求证：1b2+1b4+⋯+1b2n＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解：∵v →=−3u →，∴v →∥u →．故α∥β．故选：A ．2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．116解：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，使较大的三份之和的17是较小的两份之和，设分的面包，从小到大依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，依题意得17(a 3+a 4+a 5)=a 1+a 2，故3a 1+9d ＝7（2a 1+d ），2d ＝11a 1，由S 5＝5a 3＝5（a 1+2d ）＝100，得a 1+2d ＝12a 1＝20，解得a 1=53．故选：A ．3．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−13解：∵直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直， ∴3k ＝﹣1，解得k =−13．故选：D ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（） A ．−√3010B ．√306C ．√3010D ．√22解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°， M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图，BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥B 1C 1且MN =12B 1C 1＝OB ，则MNOB 是平行四边形， BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，∴CO ＝1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010．故选：C ． 5．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1D ．y 24−x 2=1解：由题意双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，知c =√5，设双曲线的方程为x 2﹣4y 2＝λ（λ＞0），∴x 2λ−y 2λ4=1，∴λ+λ4=5，∴λ＝4．则双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1．故选：A ．6．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（） A ．1B ．2C ．3D ．√2解：由抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，可知抛物线焦点为F （0，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线的方程为x ＝m （y ﹣1），由{x =m(y −1)x 2=4y ，得m 2y 2﹣（2m 2+4）y +m 2＝0，则y 1y 2＝1，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， ∴|AC |＝y 1，|BD |＝y 2， ∴|AC |×|BD |＝y 1y 2＝1，当且仅当y 1＝2y 2，即y 1=√2，y 2=√22时取等号．故选：A ．7．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)解：根据2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)，可得a n+1=3a n2a n +1，所以1a n+1=13⋅1a n+23，所以1a n+1−1=13⋅(1a n−1)，从而可得数列{1a n+1−1}是以1a 1−1为首项，13为公比的等比数列，所以1a n−1=(1a 1−1)⋅(13)n−1，整理有a n =11+(1a 1−1)(13)n−1，因为a n +1＞a n ＞0，所以11+(1a 1−1)(13)n＞11+(1a 1−1)(13)n−1＞0，整理得：(1a 1−1)⋅13＜1a 1−1，即0＜a 1＜1，故选：C ． 8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32) D ．(√33，√63)解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′．所以|AF ′|+|AF |＝2a ，根据对称关系：四边形AF ′BF 为矩形．所以|AB |＝|FF ′|＝2c ，由于AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，所以|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α，所以2c sin α+2c cos α＝2a ，所以ca =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，由于α∈（π4，π3），故α+π4∈(π2，7π12)，所以√2+√64＜sin(α+π4)＜1，所以√2sin(α+π4)∈(√22，√3−1)，即离心率的范围．故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误；若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确．故选：ACD ．10．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}解：根据题意，{a n }为等比数列，设其公比为q （q ≠0）；对于A ，1a n =1a 1q n−1=1a 1⋅(1q)n−1，∴数列{1a n}是以1a 1为首项，1q为公比的等比数列，故A 正确；对于B ，a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n=q 2，∴数列{a n a n +1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，故B 正确；对于C ，当a n ＝1时，lg(a n 2)=0，数列{lg(a n 2)}不是等比数列，故C 错误；对于D ，当q ＝﹣1时，a n +a n +1＝0，数列{a n +a n +1}不是等比数列，故D 错误．故选：AB ．11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√5解：对于A ，1•p +（﹣p ）•1＝0，∴l 1⊥l 2，A 正确；对于B ，l 1恒过定点A （2，1），l 2恒过定点B （﹣2，4），由选项A 正确可推得，MA 2+MB 2＝AB 2＝25≥2MA •MB ，MA ＝MB 时等号成立，∴MA •MB 的最大值是252，B 错误；对于C ，设M （x ，y ），则MA ⊥MB ，MA 2+MB 2＝AB 2＝52，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（x +2）2+（y ﹣4）2＝25，化简有x 2+y 2﹣5y ＝0，C 错误；对于D ，设∠MAB ＝θ，θ∈(0，π2)，则MA ＝5cos θ，MB ＝5sin θ，∴MA +2MB =5(cosθ+2sinθ)=5√5sin(θ+φ)≤5√5，即MA +2MB 的最大值为5√5，D 正确．故选：AD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，对于A ，当以AB 为直径作圆M ，且AB 经过焦点F 时，|MN|=12(|AF|+|BF|)=12|AB|，此时圆M 与准线相切，当直线l 不经过焦点F 时，圆M 不一定与准线相切，故A 错误；对于B ，过F 的直线l 的方程设为x =my +p2，把直线方程与抛物线方程联立，可得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p2=14p 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=14p 2−p 2=−12(p ＞0)，解得p ＝4，B 正确；对于C ，AF →=(p2−x 1，−y 1)，FB →=(x 2−p2，y 2)，AF →=3FB →，可得p 2−x 1=3(x 2−p2)，﹣y 1＝3y 2，又y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=14p 2，可求出A(3p 2，√3p)，B(p6，−√3p 3)，k 1=y 1−y 2x 1−x 2=√3p+√3p33p 2−p 6=√3，∴直线l 的倾斜角为π3，C 正确；对于D ，设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线的定义可得|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(a +b)，以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，∴AF ⊥BF ，|AB|=√a 2+b 2，|AB||MN|=√a 2+b 212(a+b)=√(a+b)2−2ab12(a+b)≥√(a+b)2−(a+b)2212(a+b)=√2，当且仅当a ＝b 时，即AF ＝BF 时等号成立，D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 32π ．解：因为圆M 与直线．x ﹣7y +2＝0相切，所以点M （3，﹣5）到直线：x ﹣7y +2＝0的距离即为圆M 的半径，所以r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)=405√2=4√2，圆C 的面积为π×(4√2)2=32π．故答案为：32π．14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717．解：如图所示，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （0，0，3），B （2，0，0），C （0，3，0），直线OB 的方向向量OB →=(2，0，0)，由于AB →=(2，0，−3)，AC →=(0，3，−3)，若m →=(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则{AB →⋅m →=2x −3z =0AC →⋅m →=3y −3z =0，据此可得m →=(32，1，1)， ∴|cos ＜OB →，m →＞|=|OB →⋅m →|OB →||m →||=32×172=3√1717，故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717．故答案为：3√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ √72时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，由sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2得|PF 1|＝3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ；因为∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝9a 2+a 2﹣2×3a •a •cos60°，整理可得4c 2＝7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72．故答案为：√72． 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．（1）这个数列的第100项为 256 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ 1897 ．解：对数列进行分组如下：第一组：20，1个数，第二组：20，21，2个数，第三组：20，21，22，3个数， ……，第k +1组：20，21，22，…，2k ，k +1个数；（1）由1+2+3+⋯+k =k(k+1)2≤100可得k ≤13，且1+2+3+⋯+13＝91，所以该数列的第100项在第14组的第9个数，即28＝256．（2）该数列前k 组的项数和为1+2+3+⋯+k =k(k+1)2，由题意可知N ＞1000，即k(k+1)2＞1000，解得k ≥45，n ∈N *，即N 出现在第44组之后．又第k 组的和为20+21+⋯+2k−1=1×(1−2k)1−2=2k −1，所以前k 组的和为1+（1+2）+⋯+（1+2+⋯+2k ﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+⋯ +（2k ﹣1）＝（21+22+⋯+2k ）﹣k ＝2k +1﹣k ﹣2，设满足条件的N 在第k +1（k ∈N *）组（k ≥44），且第N 项为第k +1组的第m （m ∈N *）个数，第k +1组的前m 项和为1+2+22+⋯+2m ﹣1＝2m ﹣1，要使该数列的前N 项和为2的整数幂，即2m ﹣1与﹣k ﹣2互为相反数，即2m ﹣1＝2+k ，所以k ＝2m ﹣3，由k ≥44，所以2m ﹣3≥44，解之得m ≥6，取最小值m ＝6，此时k ＝26﹣3＝61，对应满足的最小条件为N =61(61+1)2+6=1897．故答案为：256；1897．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式；（2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．解：（1）证明：因为a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ，所以a n+12−a n 2=(a n+1−a n )(a n+1+a n )=2(a n+1+a n )，因为数列{a n }各项均为正数，即a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2，即数列{a n }为等差数列，公差为d ＝2，首项为a 1＝2．所以a n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ；（2）由（1）知a n＝2n，其公差为d＝2，所以b n=(−1)n a n=(−1)n⋅2n，所以b1+b2+b3+⋯+b20＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯+（﹣a19+a20）＝10d＝20．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC⊥平面P AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2，E为AB的中点，且PE⊥EC．（1）求证：BD⊥平面PEC；（2）求二面角E﹣PC﹣D的正弦值．（1）证明：因为BC⊥平面P AB，PE⊂平面P AB，所以BC⊥PE，因为PE⊥EC，EC∩BC＝C，EC，BC⊂平面BCD，所以PE⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，所以PE⊥BD，因为tan∠ABD=ADAB=12，tan∠BCE=BEBC=12，所以∠ABD＝∠BCE，因为∠BCE+∠CEB＝90°，所以∠ABD+∠CEB＝90°，即BD⊥CE，又PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC．（2）解：由（1）得PE⊥AB，因为E为AB的中点，且P A＝AB＝2，所以PB＝2，以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E （0，0，0），P(0，0，√3)，C （1，2，0），D （﹣1，1，0），B （1，0，0），所以PC →=(1，2，−√3)，PD →=(−1，1，−√3)，PE →=(0，0，−√3)，设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，由PC →⋅m →=0，PD →⋅m →=0得，{x +2y −√3z =0−x +y −√3z =0，令x ＝1，则y ＝﹣2，z =−√3，所以m →=(1，−2，−√3)，由（1）知，平面PCE 的一个法向量为BD →=(−2，1，0)，所以cos ＜m →，BD →＞=m →⋅BD →|m →||BD →|=8×5=−√105，所以二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值为√155． 19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）求四边形QAMB 面积的最小值；（2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．解：（1）∵圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，∴MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB =|MA|⋅|QA|=|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3． ∴四边形QAMB 面积的最小值为√3．（2）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP|=√1−(223)2=13．在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1=13|MQ|， ∴|MQ |＝3，设Q （x ，0），则x 2+22＝9， ∴x =±√5， ∴Q(±√5，0)．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2．（1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）不妨设抛物线焦点为F ，此时F(p2，0)，因为A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，所以|AA '|＝|AF |，又定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2，此时|KA|+|AA′|=|KA|+|AF|≥|KF|=√2，即|KF|=√(p 2−0)2+(0−1)2=√2，解得p ＝2或p ＝﹣2（舍去），则抛物线的方程为y 2＝4x ；（2）因为KA →=λKB →，所以K ，A ，B 三点共线，不妨设直线AB 方程为x ＝t （y ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），T （m ，n ），联立{y 2=4x x =t(y −1)，消去x 并整理得y 2﹣4y +4t ＝0，此时Δ＝（4t ）2﹣4×4t ＞0，解得t ＜0或t ＞1，由韦达定理得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝4t ，所以x 1＝t （y 1﹣1），x 2＝t （y 2﹣1），此时TA →⋅TB →=(x 1−m)(x 2−m)+(y 1−n)(y 2−n)，因为TA →⋅TB →=[ty 1﹣（m +t ）][ty 2﹣（m +t ）]+（y 1﹣n ）（y 2﹣n ）＝（t 2+1）y 1y 2﹣[t （m +t ）+n ]（y 1+y 2）+（m +t ）2+n 2 ＝4t （1﹣4m ）2﹣4t [t （m +t ）+n ]+（m +t ）2+n 2 ＝（1﹣4m ）t 2+2（2﹣2n +m ）t +m 2+n 2，若存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值，此时1﹣4m ＝0且2﹣2n +m ＝0，解得m =14，n =98，此时T(14，98)，此时TA →⋅TB →=8564． 21．（12分）已知数列{a n }，a 1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）求b 2n +1的表达式；（3）求证：1b 2+1b 4+⋯+1b 2n＜1．（1）证明：由a 1＝2，a n+1=2−1a n 可知a n+1−1=a n −1a n ， ∴1a n+1−1=a n a n −1=1+1a n −1故1a n+1−1−1a n −1=1，又1a 1−1=1，∴数列{1a n −1}是以1为公差，1为首项的等差数列，∴1a n −1=n ，即a n =n+1n ．（2）解：由b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ，有b 2n+1b 2n−1=a n2=(n+1n)2，∴b2n+1=b2n+1b2n−1×b2n−1b2n−3×...×b3b1×b1=(n+1n)2×(nn−1)2×⋯×(21)2×1＝（n+1）2，∴b2n+1=(n+1)2．（3）证明：由（2）可得：b2n=b2n+1a n=(n+1)2n+1n=n(n+1)，∴1b2+1b4+⋯+1b2n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．解：（1）由于焦距为2，则c＝1，设A（x0，y0），则x02a2+y02b2=1，又B1（0，b），B2（0，﹣b），k AB1⋅k AB2=−34，则k AB1⋅k AB2=y0−bx0⋅y0+bx0=y02−b2x02=−b2a2=−34，∴a2=43b2=43(a2−1)，∴a＝2，b=√3．即椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）由对称性可知，四边形PQNM 为平行四边形，设MN ：x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线MN 的方程与椭圆方程联立得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．由根与系数的关系可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，则|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，设点F 2（1，0）到直线l 1的距离为d ，则d =2√1+m 2，所以四边形PQNM 面积为：S =|MN|d =24√1+m 23m 2+4．设√m 2+1=t ≥1，则S =24t 3t 2+1=243t+1t在t ∈[1，+∞）单调递减，所以S 的取值范围为（0，6]．。

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖南省长沙市长郡中学2022高二数学上学期期中试题(含解析)

【答案】C
【解析】
【分析】
对A，命题的否定为双否，可判断错误；对B，的解有两个，显然充要条件不成立；对C，两直线垂直还包括的情况，充分不必要条件成立；对D，余弦函数为周期函数，显然一个函数值对应多个自变量，可判断错误
【详解】命题“若，则 ”的否命题为：“若，则 ”，所以A不正确；
“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以B不正确；
10.在区间上随机地取一个数，则事件“ ”发生的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到，根据几何概型判断，概率为：
故答案选C。
11.已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足 .
（1）当时，若为真，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】由题意可知：，使，则 .
由于函数是定义域内的单调递增函数，
故当时，函数取得最小值，
综上可得，实数的取值范围是 .
本题选择B选项.
【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；
2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1) 恒成立；(2) 恒成立 .
19.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试题及答案

长郡中学2024年下学期高二期中考试数学得分：__________本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.第I 卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线120x y +-=的倾斜角是（）A.π4 B.π2 C.3π4 D.π32.已知点B 是点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影，则OB等于（）A.5D.3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A.2219x y +=B.221819x y +=C.2219x y +=或221819y x += D.2219y x +=或221819x y +=4.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（）A.()2,1--B.()(),21,∞∞--⋃-+C.()1,2D.()(),12,∞∞-⋃+5.在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（）C.386.已知椭圆22:195x y C +=的右焦点为,F P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长的最大值为（）A.9+B.14C.7+D.15+7.已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（）A.B.6D.8.已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（）A.()211y x x =-+≠±B.()211y x x =+≠±C.()211x y y =-+≠±D.()211x y y =+≠±二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知()()3,4,6,3A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值可取（）A.13-C.79-D.7910.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q两点，若2PQ PF ⊥23PF ，则（）A.4PQ a=B.13PF PQ=C.双曲线C 的渐近线方程为y x =±D.直线PQ 的斜率为411.已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点,P Q 在1C 上，且直线PQ 的斜率为12-，则（）A.顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B.3C 的面积为1C 的4倍C.3C 的方程为2244195x y +=D.线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上第II 卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,1P 作直线l ，使它被直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为__________.13.直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.14.设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH 的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,1,0A B -，动点P 满足PA PB ⊥.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）将点A 和点B 并入点P 的轨迹得曲线C ，若过点()1,2Q 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.16.（本小题满分15分）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C '-'''中，,E F 分别是,AB BC 上的动点，且AE BF =.（1）求证：A F C E '⊥'；（2）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 所成夹角的正切值.17.（本小题满分15分）已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点.（1）若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD 为底面圆O 的内接正三角形，且ABD E 在母线PC 上，且1AE CE ==.（1）求证：直线PO ∥平面BDE ；（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19.（本小题满分17分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率e =O 为坐标原点，点,P Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设1l 和2l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F .若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值.长郡中学2024年下学期高二期中考试数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C 【解析】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选C.2.A 【解析】由条件知点B 的坐标为()3,4,0，所以5OB == .故选A.3.C 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时，长半轴长3a =，短半轴长1b =，方程为2219xy +=，当椭圆焦点在y 轴上时，短半轴长3b =，长半轴长9a =，方程为221819y x +=，所以椭圆方程为2219xy +=或221819y x +=.故选C.4.B 【解析】由条件()()210m m++>可得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,∞∞--⋃-+.故选B.5.D 【解析】设点P 在底面ABCD 内的投影为点O ，由题意知，4,2,PA AB PO ====，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，所以(()()(),0,,,,P A C D E ⎛ ⎝，(,AE PC ⎛== ⎝，所以cos ,AE PC < .故选D.6.B【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为,4F AF AF ===''，则26PF PF a '+==，,PA PF AF APF ''-∴ …的周长6461010414AF AF PA PF PA PF AF =++-=++-+=+''='…，当且仅当P 在AF '的延长线上时取等号.APF ∴ 的周长的最大值等于14.故选B.7.C 【解析】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于直线3y x =+的对称点为()1,P a b ，则21,23,22b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩得1,3a b =-=，即()11,3P -，点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图所示，点12,P P 都在直线CD 上，由对称性可知，12,DP DP CP CP ==，所以光线经过的路程2112PC CD DP P C CD DP PP ++=++==.故选C.8.A 【解析】设(),M x y ，则211AM BM y y k k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选A.9.AC 【解析】当直线l 过线段AB 中点31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，有311022a -+=，得13a =-，当直线l ∥AB 时，有79a -=，得79a =-.故选AC.10.BC 【解析】由243PQ PF =，设23,4PQ m PF m ==，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则1142,52PF m a QF m a =-=-，而11PF QF PQ +=，解得23a m =，因此1124,33a a PF QF ==，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F Q PF = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，易知122F F c =，在12Rt PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则222222178,99c a b c a a ==-=，即b a =C 的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D错误.故选BC.11.ABD 【解析】椭圆221:195x y C +=的焦点为()()2,0,2,0-，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()()0,2,0,2-，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C222215x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又222211221,19595x y x y +=+=，所以2222121209955x x y y -+-=()()121205y y y y +-+=，所以()121212121259y y y y x x x x x x -+⋅=-≠-+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确.故选ABD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.440x y +-= 【解析】设直线1l 与直线l 的交点为(),82A a a -，则由题意知，点A 关于点P 的对称点(),26B a a --在直线2l 上，代入直线2l 的方程得()326100a a ---+=，解得4a =，即点()4,0A 在直线l 上，所以直线l 的方程为440x y +-=.13.0 【解析】由22,2,y x y x =-⎧⎨=⎩可得2640x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有12126,4x x x x +==，所以124y y =-，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=.【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(),0F c 到渐近线的距离为FH b ==，所以OH a ==，则直角FOH 的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH 的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB =，可得12MF BF c ==，所以122a b cMF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C 的离心率为c e a ===.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）法一：设(),P x y ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅=，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心，半径为1的圆去掉,A B 两点得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠.（2）由题设知曲线C 的方程为221x y +=，因为直线l 与曲线C 有只有一个公共点（如图），①若直线l 斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与曲线22:1C x y +=切于点B ，②当直线l 斜率存在且与曲线C 相切时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，1，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16.【解析】（1）如图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==，且0m a ……，所以()()()()0,,,,0,,,,0,,,0C a a A a a E a m F a m a -''，则()(),,,,,C E a m a a A F m a a '=--'=-- ，故()20C E A F am a m a a '⋅=-+-+'= ，所以C E A F ''⊥，即A F C E '⊥'.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF 面积()22112228BEFa a S m a m m ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时，()2max8BEF a S = ，故,E F 分别为,AB BC 的中点，所以(),,0,,,0,,,22a a E a F a B a a a ⎭'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝，故0,,,,0,22a a EB a FB a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝''⎭⎝⎭ ，若(),,m x y z = 为平面B EF '的法向量，则0,20,2am EB y az am FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪''⎩令1z =-，得()2,2,1m =- ，又平面BEF 的法向量为()0,0,1n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-<>===⨯，设平面B EF '与平面BEF 所成夹角为θ，则1cos 3θ=，所以sin θ==，所以sin tan cos θθθ==B EF '与平面BEF所成夹角的正切值为.17.【解析】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设()()1122,,,A x y B x y .设直线l 的方程为50kx y k --=，因此点O 到直线l的距离为d 联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则k ∈，当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OAB S取得最小值为，所以OAB S的取值范围为⎡⎣.（2）设直线方程为y x b =+，即()()1122,,,,x y b A x y B x y =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故Δ144480b =->，即3b <，又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=-，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅=，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()()()2121212123323(3)0y b y b y y y y b y y b ----+=-++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥，此时直线l的方程为9y x =-+或9y x =--18.【解析】（1）设AC BD F ⋂=，连接EF ，ABD 为底面圆O 的内接正三角形，2,π3AC F∴==为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC ==∴+=∴⊥ ，又312,2,1223AF CF AO AF ==∴=-===.AF AE AE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC ∠∠∠∠=∴∴=∴⊥ ∽.PO ⊥ 平面,ABD AC ⊂平面,,ABD PO AC EF ∴⊥∴∥PO ，PO ⊄ 平面,BDE EF ⊂平面,BDE PO ∴∥平面BDE .（2）1,2OF CF F ==∴ 为OC中点，又PO ∥,EF E ∴为PC 中点，2PO EF =，2PO PC ∴==，以F 为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3110,,0,,,,0,,0,0,222A B E D O P ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭，(3313,0,0,,,,0,,02222AB AE OP DO DA ⎫⎛⎫⎫∴====-=-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，设()()101,2OM OP DM DO OM λλ⎫==∴=+=-⎪⎪⎭…….设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则30,20,AB n y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩令1y =-，解得x z n ==∴=- ，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴===⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦，max (sin )1θ∴==，此时1,0,1,2DM MA DA DM ⎛=-∴=-=- ⎝ ，∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅=== .19.【解析】（1）由题意，因为()(),0,0,,P a Q b POQ为直角三角形，所以PQ ==.又222e c a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，()11,0F -，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()()()112220,,,,y k x k A x y B x y =+≠，联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222128820k x k x k +++-=，所以()()()()22222Δ8412828120k k k k =-+-=->，即2102k <<，且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以()()11221,1,0x y x y ---⋅---=，即12121210x x x x y y ++++=，所以()()1212121220x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得()()()2221212121140kx x k x xk ++++++=，即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+-+++= ⎪++⎝⎭，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.（3）由题意，()21,0F ，设直线1l 的方程为()()()33441,,,,y m x C x y D x y =-，则直线2l 的方程为()()()556611,,,,2y x E x y F x y m=--，联立()221,21,x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()2222124220m x m x m +-+-=，所以22343422422,1212m m x x x x m m-+==++，所以()234222,121212M M M x x m mx y x m m +===-=-++，所以2222,1212m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理联立()221,211,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得()222122140m x x m +-+-=，所以2565622214,1212m x x x x m m-+==++，所以()562211,1212212N N N x x m x y x m m m +===--=++，所以221,1212m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MN 的中点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭.所以221121111241221222OMN M N m m S OT y y m m m m=-==⨯=⨯+++ …当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以OMN .。

长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(含答案)

长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试数学2021.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()0,1,1a =- ，则向量a 的模a为（）A ．1B ．2C D ．122．数列{}n a 为等差数列，若244a a +=，则3a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线221x y -=的离心率是（）A ．1B ．12C ．2D 4．直线123x y-+=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．2-C ．3-D ．35．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，(0,B ，动点M 满足4MA MB +=，则MA MB ⋅的最大值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．27．如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱DD '的中点，则异面直线GB 与B E '所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°8．对任一实数序列()123,,,A a a a = ，定义序列()213243,,A a a a a a a =--- …，它的第n 项为1n n a a +-．假定序列()A 的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．数列{}n a 满足11a =，对任意n *∈N ，都有11n n a a +=+，数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．22a =B ．36a =C ．1060a =D ．()12n n n S +=10．已知直线:10l mx y ++=，A （1，2），B （3，3），则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，直线l 的倾斜角为45°B 当0m =时，直线l 的斜率不存在C ．直线恒过定点()0,1-D ．当2m =时，直线l 与直线AB 垂直11．若函数y =的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的可能取值为（）A ．1-B ．1C ．1-D ．012．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF=D ．2BF =第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知M 是椭圆22:195x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是．14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km/s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时s ．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知ABC △三个顶点是()1,4A -，()2,1B --，()2,3C ．（1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A 到BC 边所在直线的距离．18．（8分）已知双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且它的一条渐近线为43y x =．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线C 的标准方程．19．（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：10n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．20．（8分）已知m ∈R ，直线()2:14l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？21．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AB AD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为，求二面角B PC D --的正切值．22．（10分）设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，已知OM =，3MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与C 的准线相交于D ，E 两点，证明：以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．长郡中学2021—2022学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案C B D B CCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知M 的轨迹为椭圆，其方程为2214y x +=，设(),M x y ，则2214y x =-，∴()()222223,313244y y MA MB x y x y x y y ⎛⎫⋅=--⋅--=+-=+--=- ⎪⎝⎭ ，因为[]2,2y ∈-，所以[]230,34y ∈，即[]2322,14y -∈-，∴()max1MA MB ⋅= .故选C.7.B 8.D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ，通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==-++-⎡⎤--⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑.由于1820170a a ==，即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩，解得1016a =-，117136a =.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC 【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l ，则直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，得22122030x px p -+=.解得32A x p =，16Bx p =，由32422pAF p p =+==，得2p =.∴抛物线方程为24y x =.1163B x p ==，则14133BF =+=；4831cos 6032BF BD ===︒，∴2BD BF =，48433BD BF +=+=，则F 为AD 中点.∴运算结论正确的是A 、B 、C.故选：ABC.三、填空题13.614.83【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.15.23【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a d +，2a d +，则根据题意有()()()()()()()()22522a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-=++++⎪⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=.16.80009【解析】设PA a =，PB b =，飞行过程所用时间121218123PA PB t a b ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23PC b =，即23PC PB =，设点()0,C m 在圆形轨道内，取点P 坐标为()0,2000，而()0,3000B ，由23PC PB =得()22000300020003m -=-，40003m =，即40000,3C ⎛⎫⎪⎝⎭，设动点(),P x y ，当23PC PB ==，化简整理得2222000x y +=，即满足23PC PB =的动点P 的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +==≥，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“＝”，即有()111320008000121812121239PA PB t PA PC AC =+=+⋅=⋅=≥，所以这一过程最少用时8000s 9.四、解答题17.【解析】（1）∵()2,1B --，()2,3C ，∴31122BC k +==+，则所求直线的斜率为：1k =-.又BC 的中点D 的坐标为()0,1，所以BC 边上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=.（2）直线BC 的方程为：10x y -+=，则点()1,4A -到直线:10BC x y -+=的距离为：d ==.18.【解析】（1）椭圆2214924x y +=的焦点坐标为()5,0±.（2）设C 的方程为()220916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，依题意91625λλ+=，解得1λ=，所以C 的标准方程为：221916x y -=.19.【解析】（1）由题意知：312n S nn =+，则232n n n S +=，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-；而13112a =⨯-=，∴31n a n =-，*n ∈N .（2）311n b n =-，当1,2,3n =时0n b <，当4n ≥时0n b >，故()3min 15n S S ==-.20.【解析】（1）∵21mk m =+，∴20km m k -+=（*），（求出斜率表达式给2分）∵m ∈R ，∴当0k ≠时，0∆≥，解得1122k -≤≤且0k ≠，又当0k =时，0m =，方程（*）有解，综上所述，1122k -≤≤.（2）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则120ACB ∠=︒.∵圆()()22:424C x y -++=，∴圆心()4,2C -到l 的距离为1.1=，整理得423530m m ++=∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解.因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，ADBC ∥，90ABC ∠=︒，22AB AD BC ===，所以ABD △，BCD △都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD .（2）以B为原点，BC ，BP ，BA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图，2BC =，则1AB =，CDBD ==，因为直线PD 与底面ABCD 所成角的正切值为，所以在Rt PBD △中，tan PB PDB BD ∠===∴4PB =.设平面PBC 和平面PDC 法向量分别为m ，n ，易知可取()0,0,1m = ，(),,n x y z，因为()2,4,0PC =- ，()1,0,1CD =-，所以00PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得()2,1,2n = .设所求二面角为θ，所以2cos 3m nm nθ⋅===，∴tan 2θ=.22.【解析】（1）设点()00,M x y ，因为点M 在抛物线C上，OM =2002200212y px x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得200212x px +=，即()22012x p p +=+.因为00x >，则0x p =-.因为3MF =，则032p x +=32p -=，所以221232p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2440p p -+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24y x =.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设点211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则124y y t +=，124y y =-.设点2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12211444PA y m k y m y m -==+-，直线PA 的方程为2144m y m x y m ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭.令1x =-，得21114414my m y m y m y m ⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭，所以点1141,my D y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.同理，点2241,my E y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.设以线段DE 为直径的圆与x 轴的交点为(),0N a ，则1141,my DN a y m ⎛⎫-=+- ⎪+⎝⎭ ，2241,my EN a y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭.因为DN EN ⊥，则0DN EN ⋅= ，即()212124410my my a y m y m--++⋅=++，∴()()()()()()()2221212122212121244416416161444my my m y y m y y m mt a y m y m y y m y y m m mt ---+++-+=-=-==++++++-，得1a =或3-.故以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点()1,0和()3,0-。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i2i z -=+，则z 在复平面对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线:80l x -+=的倾斜角为α，则α=（）A.30oB.60oC.120D.1503.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A.1122-++ a b cB.1122a b c ++C.1122a b c--+ D.1122a b c -+ 4.已知数列{}n a 为等差数列，*,,,N p q s t ∈.设甲：p q s t +=+；乙：p q s t a a a a +=+，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面宽EF 的长度约为（）1.414≈1.732≈2.449≈）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆221:()(3)9C x a y -++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（）A.2B. C.52D.37.若函数)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（）A.223B.45C.235D.56二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1210,,,x x x 的平均值为8，则数据121021,21,,21x x x --- 的平均值为1510.下列四个命题中正确的是（）A.过定点(1,1)P -，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.过定点(1,1)P -的直线与以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则直线的斜率k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.定点(1,0)Q 到圆22(1)(3)4x y ++-=2-D.过定点(1,0)Q 且与圆22(1)(3)4x y ++-=相切的直线方程为51250x y +-=或1x =11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AC AD λμ=+，λ、[]0,1μ∈，则（）A.当0λ=时，点P 到平面11A BCB.当0μ=时，点P 到平面11A BC 的距离为3C.当34μ=时，存在点P ，使得1BP PC ⊥D.当34λ=时，存在点P ，使得1⊥BC 平面PCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设()0.3,()0.4P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()P AB =______.13.斜率为1的直线与椭圆22143x y +=相交于A B 、两点，AB 的中点为(),1M m ，则m =______．14.已知公差不为0的等差数列的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；16.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =.（1）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 夹角的余弦值.17.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 的一条渐近线方程为y =，且2c =.（1）求E 的方程；（2）A ，B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求直线AB 的斜率的取值范围.18.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1112n n n n S S a a ++-=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若12,13n n a c a =-=+，数列{}n c 的前n 项和为n T .（ⅰ）求n T 取最大值时n 的值；（ⅱ）若m 是偶数，且2(1)nn n b a=-，求21mii b =∑.19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如1x ty =+表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆221:1C x y +=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点不在直线族：2:Ω(24)4(2)0()a x y a a -++-=∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围和直线族Ω的包络曲线E ；（3）在（2）的条件下，过曲线E 上,A B 两点作曲线E 的切线12,l l ，其交点为P .已知点，若,,A B C 三点不共线，探究PCA PCB ∠=∠是否成立？请说明理由.湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】0.12【13题答案】【答案】43-##113-【14题答案】【答案】6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）23π（2）4【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）55【17题答案】【答案】（1）2213y x -=（2）()2,+∞【18题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）6n =；（ii ）284m m +.【19题答案】【答案】（1）221m n +=（2）2200,44x x y y >=（3）成立，理由见解析。

2024最新长郡中学高二上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(解析版)

2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO 中，点MM ,NN 分别为线段OOOO ,OOOO 的中点，若MMNN��⃗=xxOOOO��⃗+yyOOOO ��⃗+zzOOOO ��⃗，则xx +yy +zz 的值为（）A ．32B ．1C ．12D ．14 【解题思路】先依据空间向量基本定理利用向量OOOO ��⃗,OOOO ��⃗,OOOO ��⃗表示向量MMNN ��⃗，进而求得xx ,yy ,zz 的值，即可求得xx +yy +zz 的值. 【解答过程】由MMNN ��⃗=OONN ��⃗−OOMM ��⃗=12OOOO ��⃗+12OOOO ��⃗−12OOOO ��⃗ 又MMNN ��⃗=xxOOOO ��⃗+yyOOOO ��⃗+zzOOOO ��⃗，则⎩⎪⎨⎪⎧xx −12yy =12zz =12 所以xx +yy +zz =12故选：C. 2．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO (2,−3),OO (−5,−2)，若直线ll :mmxx −yy +mm +1=0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．�−43,34�B ．�−∞,−43�∪�34,+∞�C ．�−34,43�D ．�−∞,−34�∪�43,+∞� 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【解答过程】由mmxx −yy +mm +1=0，得yy −1=mm (xx +1)，所以直线l 的方程恒过定点PP (−1,1)，斜率为mm .因为OO(2,−3)，OO(−5,−2)，所以kk PPPP=−3−12+1=−43，kk PPPP=−2−1−5+1=34.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，mm≥34或mm≤−43，所以实数m的取值范围为�−∞,−43�∪�34,+∞�.故选：B.3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上��⃗⋅MMEE��⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．0��⃗⋅MMEE��⃗的表达式|OOMM��⃗|2−48，确【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得MMEE��⃗|的最小值，即得答案.定|OOMM【解答过程】如图，EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为√82+82+822=4√3,��⃗=−OOEE��⃗，设外接球球心为OO，则OOEE��⃗⋅MMEE��⃗=(MMOO��⃗+OOEE��⃗)⋅(MMOO��⃗+OOEE��⃗)=(MMOO��⃗+OOEE��⃗)⋅(MMOO��⃗−OOEE��⃗)则MMEE=|MMOO��⃗|2−|OOEE��⃗|2=|MMOO��⃗|2−(4√3)2=|OOMM��⃗|2−48,由于点MM在正方体表面上运动，��⃗|2的最小值为球心OO与正方体面的中心连线的长，故|OOMM即为正方体棱长的一半，为82=4，��⃗⋅MMEE��⃗的最小值为42−48=−32，所以MMEE故选：B.4．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定【解题思路】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用△OOOOOO为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率.【解答过程】结合题意：可知抛物线yy2=2ppxx的准线为：xx=−pp2，如图所示：过OO,OO分别作准线的垂线OOMM,OONN，垂足为MM,NN,过点OO作OOMM的垂线，垂足为点OO,设OOEE=2xx，直线OOOO的倾斜角为αα，因为OOEE=2EEOO,所以EEOO=xx,OOOO=3xx，由抛物线的定义：OOEE=OOMM=2xx,OOEE=OONN=xx，结合图形易知：OONN=OOMM，∠OOOOOO=αα,所以OOOO=OOMM−OOMM=xx，在直角三角形△OOOOOO中，OOOO=√OOOO2−OOOO2=2√2xx，所以直线AB的斜率kk=tanαα=tan∠OOOOOO=PPBB PPBB=2√2xx xx=2√2.故选：C.5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6【解题思路】要求的|PPPP|−|PPEE|最小值，根据椭圆的定义可以转化为|PPPP|+|PPEE|−6（其中EE为椭圆的左焦点），即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．【解答过程】如图，由题可知，圆MM的圆心坐标为(0,4)，半径为1，设椭圆OO的左焦点为EE，即EE�−2√2,0�，则|PPPP|−|PPEE|=|PPPP|−(2aa−|PPEE|)=|PPPP|+|PPEE|−6，故要求|PPPP|−|PPEE|的最小值，即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，所以|PPPP|+|PPEE|的最小值等于|MMEE|−1=√8+16−1=2√6−1，即|PPPP|−|PPEE|的最小值为−7+2√6，故选：D．6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=0【解题思路】由题意可得当点PP到圆心的距离最小时，切线PPOO,PPOO的长度最小，此时四边形PPOOOOOO的面积最小，求出点PP的坐标，以OOPP为直径的圆的方程，两圆相减得到直线OOOO的方程.【解答过程】由圆OO 的方程为xx 2+yy 2=9可知圆心OO (0,0)，半径rr =3，点PP 到圆心的距离最小时，切线PPOO ,PPOO 的长度最小，此时四边形PPOOOOOO 的面积最小，所以kk OOPP ×�−12�=−1，kk OOPP =2，所以直线OOPP 的方程为yy =2xx ，联立�yy =2xx xx +2yy −10=0 ，解得PP (2,4)，以OOPP =√22+42=√20为直径，以OO ,PP 中点(1,2)为圆心的圆方程为(xx −1)2+(yy −2)2=5，两圆方程相减可得直线OOOO 的方程2xx +4yy −9=0，故选：D.7．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO ：xx 2aa 2−yy 2bb 2=1(aa >0,bb >0)的左、右焦点分别为EE 1(−cc ,0)，EE 2(cc ,0)，过点EE 1的直线ll 与双曲线OO 的左支交于点OO ，与双曲线OO 的一条渐近线在第一象限交于点OO ，且|EE 1EE 2|=2|OOOO |（OO 为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）①OO 的坐标为(aa ,bb )；②|OOEE 1|−|OOEE 2|>2aa ；③若OOOO ��⃗=3EE 1OO ��⃗，则双曲线OO 的离心率1+√173； A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可【解答过程】对于①：由题意可知直线OOOO :yy =bb aa xx ，设OO �xx 0,bb aa xx 0�(xx 0>0)，则|OOOO |=�xx 02+�bb aa xx 0�2=ccxx 0aa =cc ，可得xx 0=aa即OO (aa ,bb )，故①正确；对于②：设直线ll 与双曲线的右支交于点MM ，由双曲线的定义可得：|MMEE 1|−|MMEE 2|=2aa ，在△MMOOEE 2中可得|MMOO |>|MMEE 2|−|OOEE 2|，即|MMOO |−|MMEE 2|>−|OOEE 2|，所以|MMEE 1|−|MMEE 2|=|OOEE 1|+|MMOO |−|MMEE 2|>|OOEE 1|−|OOEE 2|，即|OOEE 1|−|OOEE 2|<2aa ，故②错误；对于③：设OO (xx 1,yy 1)(xx 1<0)，由EE 1(−cc ,0)，可得OOOO ��⃗=(aa −xx 1,bb −yy 1)，EE 1OO ��⃗=(xx 1+cc ,yy 1)，因为OOOO ��⃗=3EE 1OO ��⃗，则�aa −xx 1=3(xx 1+cc )bb −yy 1=3yy 1 ，解得�xx 1=aa−3cc 4yy 1=bb 4 ，即OO �aa−3cc 4,bb 4�，由点OO 在双曲线上可得�aa−3cc 4�2aa 2−�bb 4�2bb 2=1，整理得3cc −aa =√17aa ，解得ee =1+√173，故③正确；故选：C.8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP��⃗=13OO1OO��⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC 后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D 的正误.【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则OO(0,0,0),OO(2,0,0),OO(2,2,0),AA(0,2,0)，OO1(0,0,2),OO1(2,0,2),OO1(2,2,2),AA(0,2,2)，对于A，设OO1PP��⃗=ttOO1OO��⃗=tt(0,2,−2)=(0,2tt,−2tt)(0≤tt≤1)，故PP(2,2tt,2−2tt)，故OO1PP��⃗=(2,2tt,−2tt)，而OOAA��⃗=(−2,2,0)，设直线OO1PP与OOAA所成的角为θθ，则cosθθ=�PPBB��⃗⋅PPPP��⃗�PPBB��⃗��PPPP��⃗��=4−4tt2√2×√4+4tt2+4tt2，若直线OO1PP与OOAA所成的角是π6，则4−4tt2√2×√4+8tt2=√32，整理得到：4tt2+4tt+1=0，此方程在[0,1]上无实数解，故直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是π6，故A正确.对于B，当OO1PP=2PPOO时，结合A中分析可得tt=23，故PP�2,43,23�，��⃗=�0,43,23�，而OOOO1��⃗=(−2,0,2)，设平面OO1OOPP的法向量为mm��⃗=(xx,yy,zz)，故OOPP则�mm��⃗⋅OOPP��⃗=0mm��⃗⋅OOOO1��⃗=0即�43yy+23zz=0−2xx+2zz=0，取xx=2，则yy=−1，zz=2，故mm��⃗=(2,−1,2)，又AA1OO1��⃗=(0,−2,0)，故AA1到平面OO1OOPP的距离为�mm��⃗⋅BB1PP1��⃗|mm��⃗|�=23，故B正确.对于C，当OO1PP=2PPOO时，又B的分析可得PP�2,43,23�，故OOPP��⃗=�2,43,23�，��⃗�=�4+209=√563=2√143，故C正确.故�OOPP对于D，当OO1PP��⃗=13OO1OO��⃗时，结合OO的分析可得tt=13，此时PP�2,23,43�，��⃗=�0,23,43�，而OOOO1��⃗=(−2,0,2)，设此时平面OO1OOPP的法向量为nn�⃗=(aa,bb,cc)，故OOPP则�nn�⃗⋅OOPP��⃗=0nn�⃗⋅OOOO1��⃗=0即�23bb+43cc=0−2aa+2cc=0，取aa=1，则bb=−2，cc=1，故nn�⃗=(1,−2,1)，又OO1PP��⃗=PP�2,23,−23�，OO1OO1��⃗=(2,0,0)，设平面OO1OO1PP的法向量为ss⃗=(uu,vv,ww)，则�nn�⃗⋅OO1PP��⃗=0nn�⃗⋅OO1OO1��⃗=0即�2uu+23vv−23ww=02uu=0，取vv=1，则uu=0，ww=1，故ss⃗=(0,1,1)，故cos⟨ss⃗,nn�⃗⟩=2√6×√2=√36，故二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√336，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷试卷试题及答案

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为( )A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(，0)D ．2．命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是( ) A ．不存在x R ∈，3210x x -+…B ．0x R ∃∈，320010x x -+…C ．0x R ∃∈，320010x x -+> D ．x R ∀∈，3210x x -+>3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为( ) A ．20B ．25C ．30D ．354．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是( )A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是( )A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．147．如图，某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是()A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是( )A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x …”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．1311．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为( )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-12．0x ∃…，使20x x a +-…，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1a …C ．1a <D ．1a …13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠= ) A ．25B ．52C ．54D ．4514．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．52二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m+=短轴的长为8，则实数m = ． 17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩剟剟内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +…的概率大于18，则b 的取值范围是．20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<，（1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．23．已知动圆P过点1(0,)8F且与直线18y=-相切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过OAB∆的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)a y bx =-25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为( )A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(，0)D ．【解答】解：椭圆221916x y +=的焦点坐标在y 轴，又因为3a =，4b =，所以c =故双曲线221916x y +=的右焦点的坐标是．故选：D ．2．命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是( ) A ．不存在x R ∈，3210x x -+…B ．0x R ∃∈，32010x x -+…C ．0x R ∃∈，320010x x -+> D ．x R ∀∈，3210x x -+>【解答】解：命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是：0x R ∃∈，32010x x -+>，故选：C ．3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为( ) A ．20B ．25C ．30D ．35【解答】解：抽取比例为751300040=，高一年级有3000(8001200)1000-+=人，高一年级应被抽取的人数为110002540⨯=．故选：B ．4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是( )A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【解答】解：对于A ，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，A 满足题意；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，B 不满足题意；对于C ，“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，C 不满足题意；对于D ，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，D 不满足题意．故选：A ．5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是( )A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 【解答】解：设所求双曲线方程为222x y λ-=，把(2,2)-代入方程222x y λ-=，解得2λ=-．由此可求得所求双曲线的方程为22124y x +-=．故选：A ．6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．14【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为246C =个，而取到红楼梦包含133C =个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为3162P ==，故选：B ．7．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是 ( )A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【解答】解：甲所得分数的极差为331122-=，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C 正确；故选：D ．8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【解答】解：命题:p x R ∃∈，sin 1x >为假命题，当(0,1)x ∈，0lnx <恒成立，即命题q 是真命题，则()p q ⌝∧是真命题，其余为假命题，故选：D ．9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是( )A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s【解答】解：根据题意，样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，其方差为2s ，那么样本131x +，231x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数 1231(31313131)31n x x x x x x n'=++++++⋯⋯++=+，则其方差229s s '=，则样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的标准差为3s ，故选：A ．10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x …”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【解答】解：0x π剟， ∴由12snx …得06x π剟或56x ππ剟，则事件“12snx …”发生的概率50166303P ππππππ-+-===-，故选：D ．11．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为( )A ．12B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ；则22111164x y +=①，22221164x y +=②； ∴①-②，得12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=；由中点坐标公式：124x x +=，122y y +=， ∴12124()2()0164x x y y --+=； 121212y y k x x -∴==--．故选：B ．12．0x ∃…，使20x x a +-…，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1a …C ．1a <D ．1a …【解答】解：0x ∃…，使20x x a +-…，等价于(2)x min a x +…，设()2x f x x =+，[0x ∈，)+∞，则函数()f x 在[0x ∈，)+∞上是单调增函数，所以()(0)1f x f =…，所以a 的取值范围是1a …．故选：B ．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠= ) A ．25B ．52C ．54D ．45【解答】解：过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则005||24y p MN y =+=，故02y p =．又0(1,)M y 在抛物线上，故012y p =，于是122p p =，解得12p =， 055||44y MN ∴==， ||4tan tan ||5AN FAM AMN MN ∴∠=∠==．故选：D ．14．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x ≠，则1x ≠”，所以A 不正确； “1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-或0a =”是“12l l ⊥”的充要条件，所以C 正确；命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为：若cos cos x y =，则x y =显然不正确是假命题；故选：C ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为( )ABCD ．52【解答】解：由双曲线的性质可得：||AF b =，||OA a =，tan b AOF a∠=，222222tan 2tan tan 211()bAOF ab a AOB AOF b tan AOF a b a ∠∴∠=∠===-∠--，在Rt OAB ∆中，||||tan ||AB AB AOB OA a∠==， ∴22||2AB aba ab =-，2222||a b AB a b ∴=-，||OB ∴=又||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，2||||||AB OA OB ∴=+，∴2224a b a a b =- 化简得：222320a ab b --=，即(2)(2)0a b a b +-=， 20a b ∴-=，即2a b =，222244()a b c a ∴==-，2254a c =，22254c e a ∴==，e ∴=．故选：A ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m +=短轴的长为8，则实数m = 16 ．【解答】解：椭圆22136x y m +=短轴的长为8，因为6a =，212a =，所以椭圆的焦点坐标在x 轴，4=，解得16m =．故答案为：16．17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是 40 ．【解答】解：12号、26号、54号同学在样本中， 542628-=，261214-=， ∴抽样间隔为14，∴样本中还有一位同学的编号应是261440+=．故答案为：40．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于 12【解答】解：1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，1(3,0)F -，2(3,0)F ，12||6F F =， 12||:||2:1PF PF =，∴设2||PF x =，则1||2PF x =，由双曲线的性质知|2|x x -=x =．1||PF ∴=2||PF =124cos 5F PF ∴∠==，123sin 5F PF ∠=．∴△12PF F 的面积为131225⨯=．故答案为：12．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩剟剟内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +…的概率大于18，则b 的取值范围是 (1,)+∞ ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积224S =⨯=，当满足x y b +…的概率大于18，则满足x y b +…对应的区域为OED ∆，则(,0)E b ，(0,)D b ，(0)b >，则OED ∆的面积11482S =⨯=，即21122b =，即21b =，解得1b =，若满足x y b +…的概率大于18，则对应区域的面积OED S S ∆>，此时直线x y b +=在直线1x y +=的上方，即1b >，故b 的取值范围是(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为 2- ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-． 1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+． 0PAPB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-． ∴414AB k ==--．又221OP k ==，122AB OP k k ∴=-⨯=-．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<，（1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-时，p 真，则2320x x ++<，解得21x -<<-； q 真，则解得61x -<<-． p q ∧为真，则p 真且q 真，故x 范围为(2,1)--．（2）p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件， p 真，有2a x a <<， ∴126a a -⎧⎨-⎩……，故31a --剟． 22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．【解答】解：（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =；设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5；（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3:2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==． 23．已知动圆P 过点1(0,)8F 且与直线18y =-相切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过OAB ∆的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．【解答】解：（1）设点(,)P x y 1||8y =+，平方整理得：212x y =， ∴曲线C 的方程，212x y =．（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率一定存在，否则不与曲线C 有两个交点．设AB 方程为y kx m =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程22y kx my x =+⎧⎨=⎩，得220x kx m --=，则得122k x x +=，122m x x =-，由212x y =得：2112y x =，2222y x =．△280k m =+>． 2222212121212224()4()y y x x x x x x m ===⨯=．△28k m =+直线AB 过AOB ∆的外心，其中O 为坐标原点，OA OB ∴⊥． ∴12120OA OB x x y y =+=， ∴202mm -+=．0m ≠ 解得12m =． ∴直线AB 过定点1(0,)2．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV - “新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）由表中2月至5月份的数据，得144(1113128)1144x =+++==，196(25292616)2444y =+++==，故有52()()012512(3)(8)36i i i x x y y =--=⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，5222222()021(3)14ii xx =-=+++-=∑，由参考公式得8ˆ7b=，由ˆˆa y bx =-得30ˆ7a =-，即y 关于x 的线性回归方程830ˆˆˆ77y bx a x =+=-．（2）由1月份数据得当10x =时，830150ˆ10777y =⨯-=． 1504|22|277-=<，由6月份数据得当6x =时，83078ˆ6777y =⨯-=． 786|22|277-=<，则该小组所得线性回归方程是理想的．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）△12AF F 的周长为6，226a c ∴+=，即3a c +=，① 当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠的最大值为3π，此时△12AF F 为等边三角形，2a c =，②联立①②及222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）1221AF F BF F π∠+∠=，12//AF BF ∴，延长1AF 交椭圆C 于点A '，由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(A x '，2)y ，直线AA '的方程为1x ty =-，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty +--=．∴122634t y y t +=+，122934y y t =-+．设1AF 与2BF 的距离为d ，则四边形12AF F B 的面积： 21211(|||)||22F AA S AF BF d AA d S '=+='=．1212121||||||2S F F y y y y ∴=-=-===令m =，1m …． 212121313m S m m m∴==++．()S m 在[1，)+∞上单调递减，(0S ∴∈，3]．故四边形12AF F B 面积的取值范围为(0，3]．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（）A ．p ⌝：x A ∃∈，2xB ∈ B ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈C ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉D ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉2.如果方程22143x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（） A ．()3,4 B ．()(),34,-∞+∞ C ．()4,+∞ D ．(),3-∞ 3.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a =且0b =，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠4.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：且回归线方程是0.95 2.6y x =+，则t =（）A ．6.7B ．6.6 C.6.5 D ．6.45.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，则直线1DB 与MC 所成角的余弦值为（）A ．15-B ．15 C.15 D ．56.已知F 为双曲线C ：()2230x y λλλ-=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为（）A B ． D ．3m7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差2s =（）A ．145B ．3 C.165 D ．1858.双曲线()22216103x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的焦线上，则p =（） A ．14 B ．12C.2 D ．4 9.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D ．一个圆上10.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1A C 的长为（）A ．11.若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（）A ． 15B ．25 C.35 D ．31013.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22//l PF ，则该双曲线的离心率为（）A D ．214.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的，则m n的值为（）A B C. D ．2 15.设集合()(){}22,|41A x y x y =-+=，()()(){}22,|21B x y x t y at =-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为．17.抛物线214y x =的焦点坐标是． 18.给出下列命题：①已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件； ②“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件；③“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的充要条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件的“0a b <”.其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都写上）19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．20.若曲线2149y y x +=和曲线30kx y +-=有三个不同的交点，则k 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. （本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？22. （本小题满分12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有根的概率.23. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为6.（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.24. （本小题满分12分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--有最小值.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.25. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()1F 、)2F ，并且经过点12P ⎫-⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆O ：221x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当OA OB λ=，且满足1223λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: ACDBA 11-15：DBDCA二、填空题16.20 17.()0,1 18.①② 19.71620.3332,,2222⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭三、解答题21.【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075.（2）月平均用电量的众数为2202402302+=， ()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =.即月平均用电量的中位数为224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，用平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，用平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，用平均用电量为[)280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例为11125151055=+++， ∴用平均用电量为[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户. 22.【解析】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当0a ≥，0b ≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥. (){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯. 23.【解析】（1）设抛物线C 的方程为22y px =，其准线方程为2p x =-， ()4,P m 到焦点的距离为6，∴462p +=，∴4p =. 即抛物线C 的方程为28y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,8y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224840k x k x -++=，由条件0k ≠，且()6410k ∆=+>，∴1k >-且0k ≠，又12248k x x k ++=，∴2242k k +=，解得2k =或1k =-（舍）. ∴2k =. 24.【解析】若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩112a <≤. 若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴101,201a a a ⎧<≤>⎪⎨⎪<≤⎩或即01a <≤或112a <≤. ∴实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦. 25.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由条件有2223,1,2a b b a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，1b =. ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）依题结合图形知直线l 的斜率不为零，∵直线l 即0x my n --=与圆O ：221x y +=相切，1=得221n m =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2224240m y mny n +++-=，得212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++. 又2121AB m y y =+-，点O 到直线l 的距离1d ==， ∴2122111221AOB n S d AB m y y m ∆==+-+ ()()22122222112323244n m n y y m m +=-==++，()()()()12121212222221212225441144OA OB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++.1223λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦， ∴()()2222212323239634AOB m t t S t t t m t ∆+====+++++， ∴3AOB S ∆⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。