人教版数学八年级上册 轴对称填空选择专题练习(解析版)

人教版数学八年级上册轴对称填空选择专题练习（解析版）

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．

【答案】1或7

【解析】

【分析】

分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．

【详解】

设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，

当点P在线段BC上时，

∵四边形ABCD为长方形，

∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，

此时有△ABP≌△DCE，

∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；

当点P在线段AD上时，

∵AB=4，AD=6，

∴BC=6，CD=4，

∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，

∴AP=16-2t，

此时有△ABP≌△CDE，

∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；

综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．

故答案为1或7．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA、SAS、AAS、SSS、HL．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解.

2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．

【答案】12.5

【解析】

【分析】

过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角

形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=1

2

×5×5=12.5，即可得出结论．

【详解】

如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，

∴∠D=∠ABE，

又∵∠DAB=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

又∵AD=AB，

∴△ACD≌△AEB（ASA），

∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，

∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，

∵S△ACE=1

2

×5×5=12.5，

∴四边形ABCD的面积为12.5，

故答案为12.5．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题

3．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为_________

【答案】35°

【解析】

【分析】

过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．

【详解】

过点E作EF⊥AD于F．

∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．

∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．

∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，

∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

4．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°

【解析】

【分析】

分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.

【详解】

①如图，当△ABC为锐角三角形时，

∵AD、BE为△ABC的两条高，

∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，

∵∠BOD=∠AOE，

∴∠CAD=∠OBD，

又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，

∴△BOD≌△ACD，

∴AD=BD，

∵AD⊥BC，

∴∠ABC=45°，

②如图，当∠B为钝角时，

∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，

又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，

∴△BOD≌△ACD，

∴BD=AD，

∵AD⊥BC，

∴∠ABD=45°，

∴∠ABC=180°-45°=135°.

③如图，当∠A为钝角时，

同理可证：△BOD≌△ACD，

∴AD=BD.

∴∠ABC=45°，

④如图，当∠C为钝角时，

同理可证：△BOD≌△ACD，

∴AD=BD.

∴∠ABC=45°.

⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，

当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，

如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，

∵OB=AC，∠CAB=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°.

综上所述：∠ABC的度数为45°或135°.

故答案为：45°或135°

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.

5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.

【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.

【解析】

【分析】

由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．

【详解】

工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；

理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．

【点睛】

此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．

6．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

【详解】

当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，

∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠BOP＝∠AOP＝15°，

∴∠AOB＝30°，

∵PC∥OB，

∴∠ACP＝∠AOB＝30°，

∴在Rt△PCE中，PE＝1

2

PC＝

1

2

×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边

的一半），

∴PD＝PE＝2，

故答案是：2．

【点睛】

此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．

7．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．

【答案】40°

【解析】

【分析】

做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设

∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.

【详解】

如图，

过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABD

∴EH=EF

∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°

∴∠FAE=∠CAD=50°

∴EF=EG

∴EG=EH

∴ED平分∠CDG

∴∠HED=∠DEG

设∠DEG=y，∠GEB=x，

∵∠EFA=∠EGA=90°

∴∠GEA=∠FEA=40°

∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF

∴∠FEB=∠HEB

∴2y+x=80-x,

2y+2x=80

y+x=40

即∠DEB＝40°.

故答案为：40°.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.

8．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD= 2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S ACE﹣S BCE=S ACD．其中正确的是______．

【答案】①②③④．

【解析】

【分析】

【详解】

①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．

∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，

∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，

∴AD＝AF，

∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，

∴AB+AD= 2AE，故①正确；

②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．

在△ACD 与△ACF 中，

∵AD ＝AF ，∠DAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，

∴△ACD ≌△ACF ，

∴∠ADC ＝∠AFC ．

∵CE 垂直平分BF ，

∴CF ＝CB ，

∴∠CFB ＝∠B ．

又∵∠AFC ＋∠CFB ＝180°，

∴∠ADC ＋∠B ＝180°，

∴∠DAB +∠DCB =180°故②正确；

③由②知，△ACD ≌△ACF ，

∴CD ＝CF ，

又∵CF ＝CB ，

∴CD ＝CB ，故③正确；

④易证△CEF ≌△CEB ，

∴S △ACE ﹣S △BCE ＝S △ACE ﹣S △FCE ＝S △ACF ，

又∵△ACD ≌△ACF ，

∴S △ACF ＝S △ADC ，

∴S △ACE ﹣2S △BCE ＝S △ADC ，

故④正确．

综上所述，正确的结论是①②③④，

故答案为①②③④．

9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.

【答案】169

【解析】

解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；

∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即

∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512 =169． 故答案为：169．

点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．

10．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为

___________．

【答案】a+b

【解析】

先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长

=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．

故答案为：a+b

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11．下列两个三角形中,一定全等的是( )

A．两个等边三角形

B．有一个角是40?,腰相等的两个等腰三角形

C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形

D．有一个角是100?,底相等的两个等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】

解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；

B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；

C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；

D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的

参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．

12．如图，Rt ABC ?中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ??=（ ）

A ．3:4

B ．3:5

C ．4:5

D ．2:3

【答案】B

【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=

12×32×3：12×32

×5=3：5．

故选：B ．

点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．

13．如图所示，在Rt ABC ?中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且

:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )

A ．70

B ．45

C ．60

D ．48

【答案】D

根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得

∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.

故选：D.

点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.

14．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，

PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；

④QP∥AB．其中一定正确的是( )

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

【答案】C

【解析】

试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，

∴点P在∠BAC的平分线上，

即AP平分∠BAC，故①正确；

∴∠PAR=∠PAQ，

∵AQ=PQ，

∴∠APQ=∠PAQ，

∴∠APQ=∠PAR，

QP AB

∴，故④正确；

在△APR与△APS中,

AP AP PR PS

=

?

?

=

?，

(HL)

APR APS

∴≌，∴AR=AS，故②正确；

△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90°，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.

故选C.

15．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，

AB=18cm，则△DBE的周长为（）

A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm

【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证

△ACD≌△AED，

所以AE=AC=BC，ED=CD.

△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.

因为AB=12，所以△DBE的周长=12.

故选C.

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.

16．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )

A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3

B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°

C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3

D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°

【答案】B

【解析】

∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°

A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，

符合直角三角形全等的判定条件HL，

∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，

不符合符合直角三角形全等的判定条件，

∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；

∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，

∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

故选：B．

点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．

17．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，

连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明

△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.

【详解】

∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，

∴∠BAE=120°，

∴∠EAD=60°，②正确，

∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴AC=AD，

∵CE=DE，

∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，

当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，

∵∠AEC=∠BDC，

∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，

∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED

∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，

如图，当点D 在AB 上时，

∵△BCD ≌△∠ACE ，

∴∠CAE=∠CBD=60°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，

∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误

故正确的结论有①②④，

故选C.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握

18．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：

①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，

∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，

∴A 、B 、C 、D 四点共圆，

∴DAF CBD ∠=∠，④正确．

故选D.

19．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=

时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32

B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）

A ．5个

B ．4个

C ．3 个

D ．2个 【答案】B

【解析】解：

∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；

∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；

∵BD =

2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =

252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；

当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 22

1322BC BC ????+ ? ?????

10BC 5．故⑤错误． 故选B ．

点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．

20．如图，在△ABC 中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC 为直角边，点A 为直角顶点向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，则△DBC 的面积为( ) .

A．8 B．10 C．42D．82

【答案】A

【解析】

【分析】

将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF

⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.

【详解】

解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，

根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴∠ABE=45°，

又∵∠ABC=45°，

∴∠EBC=90°，

∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，

∴∠BDF=∠ECB

在△EBC和△BFD中

EBC=BFD=90

ECB=BDF

EC=BD

?∠∠

?

∠∠

?

?

?

∴△EBC≌△BFD（AAS）

∴DF=BC=4

∴△DBC的面积=

11

BC DF=44=8

22

???

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.

21．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：

①BE DF =； ② 15DAF ∠=;

③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．

其中结论正确的共有( )．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】C

【解析】

试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，

∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，

∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．

∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），

∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=

x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=

， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．

∴综上所述，正确的有3个．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．

22．如图所示，点A 、B 分别是∠NOP 、∠MOP 平分线上的点，AB ⊥OP 于点E ，BC ⊥MN 于点C ，AD ⊥MN 于点D ，下列结论错误的是( )

A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个

C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．

【详解】

∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．

∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；

与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；

∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=1

2

∠EOD，∠BOC=

1

2

∠MOE，

∴∠AOB=1

2

(∠EOD+∠MOE)=

1

2

×180°=90°，故C选项结论正确；

在Rt△AOD和Rt△AOE中，

AO AO

AD AE

=

?

?

=

?

，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理

可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

23．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）

A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE

【答案】A

【解析】

【分析】

根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.

【详解】

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠E，

∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，

∴BC＝EF，

若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；

若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；

若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；

若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.

24．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )

A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝