电磁场与电磁波(金立军)第五章答案

5-1 真空中边长为 a 的正三角形导线回路，电流为 I，求回路中心的磁场。 解 由于其对称性，故回路中心的磁场垂直于三角形平面。一条边的电流产生的磁感应强度为
B1
0 I cos 1 cos 2 4 r 0 I
4 ( a 2 3 )
9 0 I 2 a
(cos 30 cos 30)
1.25 20 4 100





半
圆
受
到
的
力
为
题 5-9 图
F2 Idl B I ade Be z
BIa e d
0

BIa (cos e y sin e x )d
0

2 BIae x
2 1.25 120 1a x 50ex
B ez
0 Ib2
2(b 2 h2 )3 / 2
将 dzˊ宽度内的电流看成是线电流，代入上式得
NI )dz l dB ez 2(b 2 ( z z ) 2 )3 / 2
0 b 2 (
则，通过积分得
B = ez
0 b 2 NI
2l

l 2 l 2
0 b 2 NI dz ez 2l (b 2 ( z z ) 2 )3 / 2
5-3 在氢原子中，电子绕半径为 5.3×10-11m 的圆轨道运动，速度为 2200m/s，求圆轨道圆心处的磁场。 解
B
7 19 0 qv 4 1 0 1 . 6 1 0 2200 2 1 . 2 5 1 0 T 2 11 2 4 R 4 (5.3 10 )
题 5-14 图
A
0 I 4

5
e z dz x 2 ( y 1) 2 ( z z ) 2
5

0 I 4

5
e z dz x 2 ( y 1) 2 ( z z ) 2
5
5 e z 0 I 5 e z 0 I ln( z z x 2 ( y 1) 2 ( z z ) 2 ) ln( z z x 2 ( y 1) 2 ( z z ) 2 ) 5 5 4 4 e z 0 I 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ln 4 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ln 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2
30 I 2 a
故合成磁场为 Btotal
5-2 求题 5-2 图中 P 点的磁感应强度。 解
u B 0 4

Idl R R
3
R1 2a x (0.05 y)a y
半圆产生的磁感应强度
u I B1 0 4
0.1 0
[2 2 (0.05 y) 2 ]3 / 2
5-6 已知 N 边正多边形的外接圆半径为 a，当通过的电流为 I 时，试证多边形中心的磁感应强度为
NI B en 0 tan( ) 2a N
I
θ1 a

N
θ2 a
O
解 如图所示，载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为
B1 en
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 r 0 I I en cos( ) cos( ) en 0 tan( ) 2 N 2 N 2 a N 4 a cos( )
2 0e0y 0 ) e 1 .2 z
0e . 0 x0 0 1 2
e N 0y. 0 0 0 0 3
5-9 题 5-9 图示一个在 xy 平面上的弯曲线，通过 20A 电流。在这区域内的磁场为 B 1.25e z T 。求导 线所受的力。 解 两端直线受到力为 F1 F3 Idl B BIle x

则 B(3, 4,5) = -ex 6.270 10 + e y 1.393 10 WB / m
-7
7
5-15 已知无限长导体圆柱半径为 a，通过的电流为 I，且电流均匀分布，试求柱内、外的磁感应强度。
解 建立圆柱坐标系，另圆柱轴线为 z 轴。那么根据真空中的安培环路定律可知，
1
，两端 B l B
2 l 2

中心处 B0 e z
0 NI
2
1 2 l b2 4
ez
0 NI
2
1 l 2 b2
当 l b 时， B0 ez 0
1 N 1 N I ， B l B l ez 0 I B0 2 l 2 l 2 2
2dya z
2.5 10 7
上下两边产生的磁感应强度
B2 B4 2 10 4
左边产生的磁感应强度
u I B3 0 4


0
0.05da (0.05)a 0.05 3
题 5-2 图
6.28 10 4
总的磁感应强度
B总 1.03 10 35
2

l z 2 l z 2
dm (b m2 )3 / 2
2
ez
0 b NI
2
2l
l z arctan( 2 ) b l z arctan( 2 ) b
l l z z 0 NI b sec d 2 2 e z 2l l b3 sec 3 l 2 2 ( z )2 b2 ( z) b 2 2
方向朝左
题 5-10 图
5-11 每边长为 10cm 的 1200 匝的正方形线圈，载有 25A 的电流。计算它在 1.2T 磁场内，由 φ＝0º 至φ ＝180º 旋转所需做的功。此处 φ 为磁偶极子与磁场的夹角。 解 磁偶极矩为 m NIAa z 1200 25 (10 10 2 ) 2 其受到的转矩为 T m B NIABSina r 即
e z 0 I 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ln 2 2 2 4 5 z x ( y 1) ( z 5)
则 A(3, 4,0) = ez 4.5 10 Wb / m
-6
y 1 y 1 B = A = ex (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 y 1 y 1 e x (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2
T NIABS i n






dw Td
W dw N I A B S idn N I A B Co s 0



=1200×25×0.1 2 ×1.2×2 =720 J 5-12 当磁矩为 25A•m2 的磁针位于磁感应强度为 B＝2T 的均匀磁场中，试求磁针所受的最大转矩。 解 最大转矩为 Tmax mB 25 2 50 N m 5-13 真空中边长为 a 的正方形导线回路，电流为 I，求回路中心的矢量磁位。
B
0 4

Idl R l R3
由于 R aer hez ， dl ad e 故 题 5-5 图
Ia 2 ad ez hd er B 0 2 2 2 3 / 2 4 0 (a h ) ( a h 2 )3 / 2
所以
B ez
0 Ia 2
2(a 2 h2 )3 / 2
合力为 F总 250e x
5-10 一根长度为 1.2m，质量为 500g 的金属棒，用一对有弹性的引线悬挂在 0.9T 的磁场中，如题 5-10 图所示。求克服悬挂引线张力所需的电流值。电流应为什么方向？ 解 mg F 0
F BIl
I
mg 0.500 9.8 4.537 A Bl 0.9 1.2
解 由于其对称性，合成 A 0 。 5-14 两根平行直导线，每根长 10m，载有大小相等方向相反的 10A 电流。导线距离为 2m，如题 5-14 图所示。试计算在点 P（3，4，0）处的矢量磁位和磁感应 强度。 解 设两根导线位于 yoz 平面，并且关于 z 轴对称。左面一 条边的坐 标为（0，-1，zˊ） ，右面的坐标为（ 0，1，zˊ） ，则位于 空间任一 点（x，y，z）的的矢量磁位为

所以
B ez