anys经典验证MATLAB有限元法
matlab有限元常用函数
matlab有限元常用函数Matlab是一种功能强大的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学领域。
它提供了丰富的数学函数和工具箱，使得有限元分析成为可能。
在本文中，我们将介绍一些常用于有限元分析的Matlab函数，并逐步解释它们的用法和作用。
有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程设计和分析方法，通过对实际结构的离散化，将其划分为许多小的单元，然后利用数值方法求解它们的行为。
下面是一些常用的有限元分析函数和工具箱。
1. finemesh函数finemesh函数是Matlab的一个内置函数，用于生成网格。
它可以根据给定的节点坐标和连接关系生成一个三角或四边形网格。
finemesh函数的语法如下：mesh = finemesh(node, elem);其中，node是一个N×2的矩阵，表示节点的坐标；elem是一个M×3或M×4的矩阵，表示节点之间的连接关系。
2. assempde函数assempde函数是Matlab Partial Differential Equation Toolbox的一部分，用于组装有限元方程。
它将已知的系数和边界条件应用于有限元方程，并返回一个描述矩阵和向量的数据结构。
assempde函数的语法如下：[stiff,force] = assempde(pde,geometry,temperature,flux);其中，pde是一个描述方程系数的结构体；geometry是一个描述几何形状的结构体；temperature和flux是分别描述温度和通量边界条件的结构体。
3. assemble函数assemble函数是一个用于组装有限元方程的通用函数。
它可以使用用户提供的形状函数和积分点来计算单元刚度矩阵和力矢量。
assemble函数的语法如下：[K,F] = assemble(p,t,c,b,v);其中，p是一个N×2的矩阵，表示节点坐标；t是一个M×3的矩阵，表示节点之间的连接关系；c是一个描述系数的函数句柄；b是描述边界条件的函数句柄；v是描述体积力的函数句柄。
MATLAB有限元分析与应用精选全文完整版
%SpringElementForces This function returns the element nodal force
%
vector given the element stiffness matrix k
%
and the element nodal displacement vector u.
2019/11/28
§2-1 弹簧元
u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1);
f1 = -15.0000 15.0000
u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2);
f2 = -15.0000 15.0000
12
§3-1 弹簧元
%
modulus of elasticity E, cross-sectional
%
area A, and length L. The size of the
%
element stiffness matrix is 2 x 2.
y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];
2019/11/28
3.1 单元刚度矩阵的形成
function y = SpringElementStiffness(k)
%SpringElementStiffness This function returns the element stiffness %matrix for a spring with stiffness k. %The size of the element stiffness matrix is 2 x 2.
电磁场有限元Matlab解法
nel=n1;
%总网格数
%******************定义各个单元的常量和矩阵************************ K=zeros(ndm,ndm); %定义 K 矩阵 Ke=zeros(3,3); %单元 Ke 矩阵 s=0.5/(Jmax*Jmax); %单元面积 b=zeros(ndm,1); %b 矩阵 be=1:3; %单元 be 矩阵 eps=1:nel; rho=1:nel; %定义 ε 和 ρ 数组 for n=1:2*Jmax*Imax %定义上下两部分的 ε 和 ρ 值，,两部分的 ε 分别 为 9 和 1，ρ 都为 0 eps(n)=eps1; rho(n)=rho1; end for n=2*Jmax*Imax+1:nel eps(n)=eps2; rho(n)=rho2; end %****************计算系统的[K][b]矩阵************************* for n=1:nel for i=1:3 n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n); %给每个单元的点进行编号 bn(1)=Y(n2) - Y(n3); bn(2)=Y(n3) - Y(n1); bn(3)=Y(n1) - Y(n2); cn(1)=X(n3) - X(n2); cn(2)=X(n1) - X(n3); cn(3)=X(n2) - X(n1); for j=1:3 Ke(i,j)=eps(n)*(bn(i)*bn(j)+cn(i)*cn(j))/(4*s); be(i)=s*rho(n)/3; %计算每个单元的 Ke 和 be 矩阵 end end for i=1:3 for j=1:3 K(NE(i,n),NE(j,n))=K(NE(i,n),NE(j,n))+Ke(i,j); b(NE(i,n))=b(NE(i,n))+be(i); %把 Ke 和 be 分别相加求总矩阵 end end end
matlab有限元法
matlab有限元法
有限元法是一种常用的工程数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域。
它通过将复杂的连续体分割成有限个简单的单元，利用单元之间的相互关系来近似描述整个问题的解。
在工程实践中，有限元法已经成为一种不可或缺的分析工具。
有限元法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解方程、后处理等。
首先，需要将实际工程问题转化为数学模型，确定问题的几何形状、材料特性和载荷条件。
然后，将问题离散化，即将结构分割成有限个简单的单元，并确定单元之间的连接关系。
接下来，需要确定边界条件，即给定结构的边界约束和外部载荷。
然后，通过求解离散化后的方程组，得到问题的数值解。
最后，进行后处理，分析和展示结果。
有限元法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，可以模拟各种不同的物理现象，并且具有较高的精度和可靠性。
它能够帮助工程师更好地理解和设计结构，提高工程的可靠性和安全性。
然而，有限元法也存在一些局限性。
首先，离散化过程会引入一定的误差，尤其是在模型中存在较大的变形或应力集中的情况下。
其次，求解大规模的方程组需要较高的计算资源和时间。
此外，有限元法对材料的本构关系和边界条件的设定要求较高，需要进行合理的模型假设和参数选择。
总的来说，有限元法是一种强大而灵活的工程分析方法，能够帮助工程师解决各种复杂的工程问题。
通过合理的模型建立和边界条件设定，以及精确的计算和后处理，可以得到准确可靠的结果，为工程设计和优化提供有力支持。
matlaB程序的有限元法解泊松方程.doc
基于matlaB 编程的有限元法一、待求问题：泛定方程：2=x ϕ-∇边界条件：以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域边界上=0ϕ二、编程思路及方法1、给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标画出以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域figure1由于积分区域规则，故采用特殊剖分单元，将区域沿水平竖直方向分等份，此时所有单元都是等腰直角三角形，剖分单元个数由自己输入，但竖直方向份数（用Jmax 表示）必须是水平方向份数（Imax ）的两倍，所以用户只需输入水平方向的份数Imax 。
采用上述剖分方法，节点位置也比较规则。
然后利用循环从区域内部（非边界）的节点开始编号，格式为NN(i,j)=n1，i ，j 分别表示节点所在列数与行数，并将节点坐标存入相应矩阵X(n1)，Y(n1)。
由于区域上下两部分形状不同因此，分两个循环分别编号赋值，然后再对边界节点编号赋值。
然后再每个单元的节点进行局部编号，由于求解区域和剖分单元的特殊性，分别对内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上，下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下，右顶点的左下、左上，右上边界的左上，分别编号以保证覆盖整个区域。
2、求解泊松方程首先一次获得每个单元节点的整体编号，然后根据其坐标求出每个三角形单元的面积。
利用有限元方法的原理，分别求出系数矩阵和右端项，并且由于边界，因此做积分时只需对场域单元积分而不必对边界单元积条件特殊，边界上=0分。
求的两个矩阵后很容易得到节点电位向量，即泊松方程的解。
3、画解函数的平面图和曲面图由节点单位向量得到，j行i列节点的电位，然后调用绘图函数imagesc(NNV)与surf(X1,Y1,NNV')分别得到解函数的平面图figure2和曲面图figure3。
4、将结果输出为文本文件输出节点编号，坐标，电位值三、计算结果1、积分区域：2、f=1，x 方向75份，y 方向150份时，解函数平面图和曲面图20406080100120140102030405060700.0050.010.0150.020.0250.0320.0050.010.0150.020.0250.03对比：当f=1时，界函数平面图20406080100120140102030405060700.010.020.030.040.050.060.073、输出文本文件由于节点多较大，列在本文最末四、结果简析由于三角形区域分布的是正电荷，因此必定电位最高点在区域中部，且沿x 轴对称，三角形边界电位最低等于零。
MATLAB中的偏微分方程数值解法
MATLAB中的偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决偏微分方程的精确解往往非常困难，因此数值方法成为求解这类问题的有效途径。
而在MATLAB中，有丰富的数值解法可供选择。
本文将介绍MATLAB中几种常见的偏微分方程数值解法，并通过具体案例加深对其应用的理解。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最为经典和常用的偏微分方程数值解法之一。
它将偏微分方程的导数转化为差分方程，通过离散化空间和时间上的变量，将连续问题转化为离散问题。
在MATLAB中，使用有限差分法可以比较容易地实现对偏微分方程的数值求解。
例如，考虑一维热传导方程（Heat Equation）：∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²其中，u为温度分布随时间和空间的变化，k为热传导系数。
假设初始条件为一段长度为L的棒子上的温度分布，边界条件可以是固定温度、热交换等。
有限差分法可以将空间离散化为N个节点，时间离散化为M个时刻。
我们可以使用中心差分近似来计算二阶空间导数，从而得到以下差分方程：u(i,j+1) = u(i,j) + Δt * (k * (u(i+1,j) - 2 * u(i,j) + u(i-1,j))/Δx²)其中，i表示空间节点，j表示时间步。
Δt和Δx分别为时间和空间步长。
通过逐步迭代更新节点的温度值，我们可以得到整个时间范围内的温度分布。
而MATLAB提供的矩阵计算功能，可以大大简化有限差分法的实现过程。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种常用的偏微分方程数值解法，特点是适用于复杂的几何形状和边界条件。
它将求解区域离散化为多个小单元，通过构建并求解代数方程组来逼近连续问题。
在MATLAB中，我们可以使用Partial Differential Equation Toolbox提供的函数进行有限元法求解。
基于MATLAB有限元法结构分析
６
一１ ２
６
用 于计算 弹性 模 量 Ｅ、 动惯 量 ，长 度 ￡的 梁元 的 转 、 单元 刚度 矩 阵 。它返 回 ４Ｘ ４的单 元 刚度矩 阵 。
， ２ ｅｍＥｅ ｅ ｔ ｓ ｍ ｌ（ ｋ ｉ — — 该 函数 ）Ｂ ａ ｌｍ ｎＡ ｓ ｂｅ Ｋ， ） ｅ 将 连 接节 点 ｉ 和节 点 的梁 元 的单 元 刚 度 矩 阵 后集
刚度 法 集成 整体 刚度 矩 阵 ； ４ ）引 入边 界条 件 ：引入 支 座 、 外加 荷 载 和 位移 等边 界 条件 （ 动进 行实 现 ） 手 ；
ｅ ｎ） ｍｅｔ是使 用较 多 的二 维有 限元 之一 。本 文 以平 面
梁元 为 例探 讨 有 限 元 法 在 ＭＡ Ｌ Ｂ 中 的应 用 。平 ＴＡ 面梁 元 的系数 有 弹性模 量 Ｅ、 性矩 ， 长度 ， 惯 和 Ｊ 。每
基 于 ＭＡ Ｌ Ｂ有 限 元 法 结 构 分 析 ＴＡ
黄
（． １ 湖南省永州市交通局 ，湖南 永州
辉
４０７ ） １０ ５
４５０ ２ ０６； ２ 巾南大学 土木建筑学院 ， ． 湖南 长沙
摘
要 ：利 用 Ｍ Ｔ ＡＢ易于编 程和 强 大的数 值 计 算功 能的优 点 ， 用一 种 全 新 的 方 法进 ＡＬ 使
０ 引 言
目前在 工程 技术 领 域 内常用 的数 值模 拟 方法 包
１ ＭＡ Ｌ Ｂ有 限 元 分 析 ＴＡ
１ １ 运用 Ｍ Ｔ Ａ ． Ａ Ｌ Ｂ进行 有 限 元 方法 解 决 实 际 问题
括 有 限单元 法 、 边界 单元 法 、 离散 单元 法 和有 限元 差
分 法等 。但 就 实用 性 和 应 用 的广 泛性 而 言 ， 要 还 主
有限元的MATLAB解法
有限元的MATLAB解法1.打开MATLAB。
2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。
3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。
4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。
5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。
6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。
7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。
8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。
9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。
matlab有限元分析实例
matlab有限元分析实例问题描述：考虑一平面有界区域，设其边界为[。
我们求解泊松方程之狄利克雷边值问题。
问题的强形式为一椭圆型偏微分方程当之几何形状稍复杂时，一般无法求得其解析解。
我们可应用有限元法来求其数值解。
通常我们先写出该问题的抽象弱形式：求使得其中为检验函数为一适当索伯列夫空间（在本例中也是一希尔伯特空间）为一双线性型为一线性型。
其具体表达式为有限元空间离散我们采用最简单的二维单元离散单元即三节点线性三角形单元，其插值基函数（即形函数为一次多项式。
有限元之核心思想为：使用离散的函数空间来分片逼近连续的函数空间。
于是所求之近似解可写成基函数之线性组合其中为待求系数，常称为自由度。
将此近似解之表达式代入前述问题之弱形式，并取检验函数，可得写成矩阵形式，便成为常见之有限元方程由于历史原因，通常采用固体力学中的习惯命名：[公式] 为刚度矩阵，[公式] 为自由度向量，[公式] 为载荷向量。
由于空间已分片离散，上面的有限元方程只在各单元内部成立。
为了求解方便，通常我们将所有单元的有限元方程连立起来求解，于是需要将各单元之刚度矩阵组装成总体刚度矩阵。
求解器MATLAB 代码及简释本求解器之十行代码如下：function u=fem(nds,els,bcs)nnd=size(nds,1); u=zeros(nnd,1); K=zeros(nnd,nnd); f=zeros(nnd,1);for j=1:size(els,1)K(els(j,:),els(j,:))=K(els(j,:),els(j,:))+stima(nds(els(j,:),:));f(els(j,:))=f(els(j,:))+ones(3,1)*det([1,1,1;nds(els(j,:),:)'])/ 6;endfreends=setdiff(1:nnd,bcs);u(freends)=K(freends,freends)\f(freends);function stima=stima(vertices)ndim=size(vertices,2);J=[ones(1,ndim+1);vertices'];B=J\[zeros(1,ndim);eye(ndim)];stima=det(J).*B*B'/prod(1:ndim);输入数据格式：唯一的一个函数stima 用来计算各单元刚度矩阵。
matlab 有限元法
matlab 有限元法
Matlab中的有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用的数值分析方法，用于模拟和解决包括结构力学、热传导、流体力学等问题。
它将连续介质划分为离散的有限单元，通过建立数学模型和使用近似解法来求解。
下面是一般步骤来使用Matlab进行有限元分析：
1. 剖分网格：将要模拟的连续介质划分为离散的有限单元（如三角形或四边形元素）。
2. 建立数学模型：根据具体问题的物理方程或导引方程，建立线性或非线性的方程模型。
3. 施加边界条件：确定并施加边界条件，如位移、载荷或约束等。
4. 组装刚度矩阵和载荷向量（Assembly）：通过元素刚度矩阵的组装，得到总系统的刚度矩阵和载荷向量。
5. 求解方程：通过求解总系统的线性方程组，得到未知位移或其他需要的结果。
6. 后处理结果：对求解结果进行可视化或分析，如绘制应力分布、位移云图、应变曲线等。
Matlab提供了丰富的工具箱和函数，用于各种结构和物理问题的有限元分析，例如Partial Differential Equation Toolbox（部分微分方程工具箱）和Structural Analysis T oolbox（结构分析工具箱），其中包含了常用的有限元分析函数和设置界面。
另外，Matlab还支持用户自定义编程，允许使用脚本或函
数来实现特定的有限元算法。
总之，通过Matlab的有限元分析工具和编程能力，可以方便地进行各种结构和物理问题的数值分析和模拟。
matlab用有限元法求解偏微分方程组
matlab用有限元法求解偏微分方程组使用有限元法求解偏微分方程组是一种常见的数值计算方法，它在工程领域和科学研究中广泛应用。
本文将介绍如何利用MATLAB软件进行有限元法求解偏微分方程组的基本步骤和注意事项。
我们需要了解有限元法的基本原理。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个小区域，通过在每个小区域内建立适当的数学模型，然后将这些小区域连接起来形成整个问题的数学模型的方法。
在有限元法中，我们通常将问题的域分割成许多小的有限元，每个有限元都具有简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。
然后，在每个有限元上建立适当的近似函数，通过对这些函数的系数进行求解，我们可以得到问题的近似解。
在MATLAB中，有限元法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 离散化域：根据问题的几何形状，将问题的域进行离散化处理。
离散化可以采用三角剖分法或四边形剖分法，将域分割成许多小的有限元。
2. 建立数学模型：在每个有限元上建立适当的数学模型。
这通常涉及选择适当的近似函数，并在每个有限元上求解这些函数的系数。
3. 组装方程：将每个有限元上的数学模型组装成整个问题的数学模型。
这涉及到将有限元之间的边界条件进行匹配，并建立整个问题的刚度矩阵和载荷向量。
4. 求解方程：利用线性代数求解方法，求解得到问题的近似解。
MATLAB提供了各种求解线性方程组的函数，如“\”运算符、LU 分解和共轭梯度法等。
5. 后处理：对求解结果进行后处理，包括绘制解的图形、计算问题的误差等。
在进行有限元法求解偏微分方程组时，需要注意以下几点：1. 网格剖分的合理性：网格剖分的精细程度对结果的精确性有很大影响。
网格过于粗糙可能导致结果的不准确，而网格过于细小则会增加计算的复杂性。
因此，需要根据问题的特点和计算资源的限制选择合适的网格剖分。
2. 近似函数的选择：近似函数的选择直接影响到结果的准确性和计算的效率。
一般情况下，近似函数的阶数越高，结果的准确性越高，但计算的复杂性也越大。
有限元matlab
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双曲线偏微分方程——二维对流方程
A(i,i+1)=1;
%与边界无关的点离散
A(i,i+nx-2)=1;
A(i,i-nx+2)=1;
end
end
end
end
end
u=A\b;
%求线性方程组的解u
format short
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五点差分格式算例求解
在命令窗口输入程序：u=peEllip5(51,0,2,51,0,2);
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五点差分格式算例求解结果
如果网格更密的话，即采用更多的节点进行计算，会得到 更光滑的曲面。
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工字型差分格式
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工字型差分格式
注意：这里给出的边界仍是矩形边界；并且做网格剖分时要保证x 方向和y方向上的网格步长相等。
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工字型差分格式
给出同样的算例求解以下拉普拉斯方程：
计算结果比较：用工字型差分格式计算得到的结果与五点差分格式得 到的结果差不多，但是前者角点上的算法不太好，这是格式自身的缺 陷。
for j=1:(n+M) u0(j)=IniU(minx+(j-M-1)*h); %向左延拓M个节点的函数值
end else
for j=1:(n+M) u0(j)=IniU(minx+(j-1)*h); %向左延拓M个节点的函数值
end end u1=u0; for k=1:M
matlab 有限元基础
matlab 有限元基础一、什么是有限元分析？有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值计算方法，用于解决复杂的工程和科学问题。
它将连续的物理系统分解成离散的有限元素，通过求解线性或非线性方程组来计算系统的行为。
有限元分析可以用于求解结构、流体力学、热传导等领域中的问题。
二、Matlab 有限元基础1. Matlab 基础知识Matlab 是一个数值计算软件，它提供了强大的矩阵运算能力和丰富的绘图功能。
在进行有限元分析时，Matlab 可以用于构建模型、求解方程组和可视化结果。
2. 有限元模型构建在进行有限元分析之前，需要先构建模型。
通常情况下，模型可以通过 CAD 软件进行建模，并导出为 STL 格式。
然后使用 Matlab 中的importGeometry 函数将 STL 文件导入到 Matlab 中，并使用pdegeometry 函数创建几何体对象。
3. 生成网格生成网格是指将几何体对象分割成小块的过程。
在 Matlab 中，可以使用 generateMesh 函数生成简单形状网格或使用 PDE 工具箱中的自动网格生成器生成更复杂形状的网格。
4. 定义边界条件在进行有限元分析时，需要定义边界条件。
边界条件包括约束和载荷。
约束是指物体的运动被限制的方式，载荷是施加在物体上的力或压力。
5. 求解方程组在定义好模型、网格和边界条件后，可以使用 Matlab 中的 pdepe 函数求解偏微分方程组。
pdepe 函数使用有限元方法求解偏微分方程组，并返回解向量。
6. 可视化结果最后一步是可视化结果。
Matlab 提供了丰富的绘图函数，可以用于绘制网格、位移、应力等结果。
三、有限元分析中常用的 Matlab 工具箱1. PDE 工具箱PDE 工具箱是一个专门用于求解偏微分方程问题的工具箱。
它提供了自动网格生成器、求解器和可视化工具，可以用于求解结构、流体力学和热传导等问题。
matlab有限元法计算谐振腔模式
matlab有限元法计算谐振腔模式摘要：一、引言二、MATLAB有限元法基本原理1.有限元法简介2.MATLAB在有限元法中的应用三、谐振腔基本概念1.谐振腔定义2.谐振腔模式及其特点四、MATLAB计算谐振腔模式的步骤1.准备数据2.编写MATLAB代码3.运行代码及结果分析五、实例演示1.实例描述2.编写与运行MATLAB代码3.结果分析与讨论六、结论与展望正文：一、引言随着科技的飞速发展，微波技术在各个领域得到了广泛应用。
微波谐振腔作为微波技术中的基本元件，其内部的模式特性研究具有重要意义。
MATLAB 作为一种强大的科学计算软件，可以方便地应用于有限元法的计算。
本文将介绍利用MATLAB有限元法计算谐振腔模式的基本原理和方法，并通过实例进行详细说明。
二、MATLAB有限元法基本原理1.有限元法简介有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种求解偏微分方程（组）的数值方法。
它将求解区域划分为若干个小的子区域，在每个子区域里用一个简单的函数来表示未知函数，然后通过求解离散化的代数方程组得到近似解。
2.MATLAB在有限元法中的应用MATLAB提供了丰富的有限元工具箱（PDE Toolbox），可以方便地应用于求解偏微分方程（组）。
利用MATLAB有限元法计算谐振腔模式，主要包括以下几个步骤：准备数据、编写MATLAB代码、运行代码及结果分析。
三、谐振腔基本概念1.谐振腔定义谐振腔是指一种封闭的空间，在其中电磁波能够维持稳定的振荡。
谐振腔内的电磁波满足特定的边界条件，这些条件决定了谐振腔内的模式。
2.谐振腔模式及其特点谐振腔模式是指在谐振腔内满足边界条件的电磁波振动形式。
谐振腔模式的特性包括：纵向对称性、横向分布、模态参量等。
不同模式的电磁波在谐振腔内的分布特点不同，因此研究谐振腔模式对于设计微波器件具有重要意义。
四、MATLAB计算谐振腔模式的步骤1.准备数据根据谐振腔的物理参数（如尺寸、边界条件等），准备输入数据。
matlab 有限元基础
Matlab 有限元基础什么是有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，常被用于工程和科学领域中的结构力学、流体力学、热传导等问题的求解。
有限元法通过将复杂的实际问题离散化为有限个简单的单元，利用数学模型和计算方法来近似求解问题。
有限元法的基本思想是将计算域划分为有限个小单元，每个小单元的物理性质通过节点上的数学函数进行近似描述。
通过对这些小单元的数学模型进行积分计算，得到整个计算域的方程，并通过求解这些方程来得到问题的近似解。
Matlab 在有限元分析中的应用Matlab作为一种功能强大的数值计算和编程软件，被广泛应用于有限元分析中。
它提供了丰富的数学和计算工具，能够方便地实现有限元法的建模、求解和分析。
有限元法的建模在Matlab中，有限元法的建模主要包括以下几个步骤：1.创建几何模型：通过定义节点和单元来描述计算域的几何形状。
可以使用Matlab提供的图形界面工具或者编程方式来创建几何模型。
2.定义边界条件：根据实际问题的边界条件，为模型的节点或单元指定相应的约束条件。
这些条件通常包括位移、力和温度等。
3.定义材料性质：根据实际问题的材料性质，为模型的节点或单元定义相应的材料参数。
这些参数包括弹性模量、泊松比和热导率等。
4.网格划分：将计算域划分为有限个小单元，形成离散化的网格结构。
在Matlab中，可以使用自带的网格划分工具或者自定义的算法进行网格划分。
5.构建刚度矩阵和载荷向量：根据节点的约束条件和单元的材料性质，利用数学公式和计算方法构建刚度矩阵和载荷向量。
有限元法的求解有限元法的求解主要包括以下几个步骤：1.组装系统方程：根据刚度矩阵和载荷向量，将节点的位移和载荷进行组合，形成整个系统的方程。
2.施加边界条件：将已知的位移和载荷应用于系统方程中的相应位置，形成含有未知位移的方程。
3.求解方程：使用Matlab提供的线性代数求解函数，求解含有未知位移的系统方程，得到位移的近似解。
有限元的MATLAB解法
有限元的MATLAB解法1.打开MATLAB。
2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。
3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。
4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。
5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。
6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE 模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。
7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。
8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。
9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。
Matlab 有限元法计算分析程序编写
计算应变和应力
• 对各单元计算 1）按自由度读出单元的节点位移 2）如果必要计算进行坐标转换（整体到局部） 3）计算应变和应力 5）输出结果
补充：刚度矩阵的基本性质
• 刚 阵 发 单 • 刚 • 刚 • 刚 • 刚 为 阵 每 义 结 阵 阵 对 阵 运动 阵 异阵 时 绝对 异 确 阵 说 刚 线 刚 带 阵 结 编 规则 义 义 结构 在 态
计算荷载向量
对各节点集中荷载作如下的计算 a)分解成坐标方向的荷载分量 b)按自由度顺序叠加到荷载向量中 对非节点集中荷载作如下的计算 a)在单元局部坐标系下计算等效节点荷载 b)作坐标变换（如果需要） c)按自由度顺序叠加到荷载向量中
引入边界条件
• 最简单的方法是改变主元为十分大的值 （采用这种方法时，可以在刚度方程计算 过程中实施） • 修改刚度方程
5) 命令文件 • 对于比较简单的问题和一次性的问题，可以通过 指令窗中直接输入一组指令去求解。但是当要解决 问题比较较复杂时，或当一组指令通过改变少量参 数就可以反复使用去解决不同问题时，直接在指令 窗中输入指令的方法就显得繁琐累赘。设计命令文 件就是解决这个矛盾的。 • 所谓命令文件是指：该文件中的指令形式和前后 位置，与解决同一个问题时在指令窗中输入的那组 指令没有任何区别；MATLAB在运行这个文件时， 只是简单地从文件中读取每一条指令，送到 MATLAB中去执行；与在指令窗中直接运行指令一 样，命令文件运行产生的变量也都是驻留在 MATLAB基本工作空间中。
2) 简单矩阵的输入 (1) 在键盘上输入下列内容 A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] (2) 按【Enter】键，指令被执行 (3) 在指令被执行后，MATLAB指令窗中将显示以下结果 A = ⎡ 1 2 3⎤ 1 2 3 A = ⎢ 4 5 6⎥ ⎥ ⎢ 4 5 6 ⎢7 8 9 ⎥ ⎦ ⎣ 7 8 9 [说明]：在全部键入一个指令行内容后，必须按下【Eenter】键，该指令 才会被执行。 • 直接输入矩阵时，矩阵元素用空格或逗号‘，’分开；矩阵行用“；” 隔离，整个矩阵放在“[]”里。 • 在MATLAB里，不必事先对矩阵维数作任何说明，存储时将自动 配置 • 指令执行后，矩阵A被保存在MATLAB的工作空间中，以备后用。 如果用户不用Clear指令清除它或对它重新赋值，那么该矩阵会一直保 存在工作空间中，直到MATLAB指令窗被关闭。 • MATLAB对变量的大小写敏感。比如本例中的矩阵赋给了变量A， 而不是a。
matlab有限元分析实例
有限元：
在数学中，有限元法是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。
求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。
它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。
类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
MATLAB有限元分析与应用:
《MATLAB有限元分析与应用》是2004年4月清华大学出版社出版的图书，作者是卡坦，译者是韩来彬。
内容简介：
《MATLAB有限元分析与应用》特别强调对MATLAB的交互应用，书中的每个示例都以交互的方式求解，使读者很容易就能把MATLAB用于有限分析和应用。
另外，《MATLAB有限元分析与应用》还提供了大量免费资源。
《MATLAB有限元分析与应用》采用当今在工程和工程教育方面非常流行的数学软件MATLAB来进行有限元的分析和应用。
《MATLAB有限元分析与应用》由简单到复杂，循序渐进地介绍了各种有限元及其分析与应用方法。
书中提供了大量取自机械工程、土木工程、航空航天工程和材料科学的示例和习题，具有很高的工程应用价值。
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如图所示的受力均匀分布载荷作用的薄平板结构，将平板离散成两个线性三角元，如图所示，假定2210,0.3,0.025,3000/m E GPa v t m w KN ====。
求
基本操作步骤
第一步 定义工作路径、建立工作文件名和工作标题
1） 建立工作文件名：EXERCISE4，并将 New log and error files 设置为 Yes ；
2） 建立工作标题：You Xian Y uan 。
第二步 定义单元类型
选择 Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete 命令，在Element Types 对话框中单击 Add 按钮，在 Library of Element Types 对话框中选择实体八节点四边形单元 Structural Solid ，8node183，并定义单元类型参考序号为1。
第三步设置材料属性
执行Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Model 命令，在Material Models Available 一栏中依次双击Structural、Linear、Elastic、Isotropic（即定义材料属性为结构、线性、弹性、各向同性）选项，出现Linear Isotropic Properties for Material Number1 对话框，在弹性模量EX输入栏中输入“210e6”，泊松比PRXY 输入栏中输入“0.3”。
第四步创建几何模型、划分网格
1）创建一个0.25m×0.5m矩形实体
选择Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimensions 命令，出现Create Rectangle by Dimensions对话框，在X1，X2 X-coordinates 输入栏中输入0，0.5，在Y1，Y2 Y-coordinates 输入栏输入0，0.25，单击OK按钮关闭该对话框。
2）显示面的编号
选择Utility Menu>PlotCtrls>Numbering 命令，出现Numbering Controls对话框，选中Area numbers选项，使其状态从Off 变为On，其余均采用默认设置。
3）压缩编号
选择Main Menu>Preprocessor>Numbering Ctrls>Compress Numbers 命令，出现Compress Numbers 对话框，在Label Item to be Compressed 下拉菜单中选择All。
4）设置显示颜色
选择Utility Menu>PlotCtrls>Style>Colors>Reverse Video命令，设置显示颜色。
5）显示结果
选择Utility Menu>Plot>Areas命令，ANSYS 显示窗口将显示所生成的几何模型。
6）显示关键点的编号
选择Utility Menu>PlotCtrls>Numbering 命令，出现Numbering Controls 对话框，选中KP Keypoint numbers选项，使其状态从Off 变为On，其余均采用默认设置。
7）显示所有线段
选择Utility Menu>Plot>Lines命令，显示所有线段。
8）设置Size Element edge length
选择Main Menu>Preprocessor>Meshing>Size cnrtls>ManualSize>Global>Size 命令，出现Global Element sizes对话框，在SIZE Element edge lengh 输入栏中输入0.01。
9）执行网格划分
选择Main Menu>Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped>By Corners命令，出现Map Mesh Area by 拾取菜单，用鼠标在ANSYS 显示窗口选择编号为A1 的面，单击OK 按钮，再次用鼠标选择编号为1、2、3、4的关键点，单击OK按钮关闭该对话框。
选择Utility Menu>Plot>Elements 命令，ANSYS 显示窗口将显示网格划分后的结果，如图1所示。
图1 网格划分后的结果显示
第五步加载求解
1）选择分析类型
选择Solution>Analysis Type>New Analysis 命令，出现New Analysis 对话框，选择分析类型为Static。
2）显示线的编号
选择Utility Menu>PLotCtrls>Numbering 命令，出现Numbering Controls对话框，选中
Line numbers 选项，使其状态从Off 变为On，其余均采用默认设置。
3）显示所有线段
选择Utility Menu>Plot>Lines命令，显示所有线段。
4）施加位移约束
选择Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement>On Lines 命令，出现Apply U，ROT on Lines 拾取菜单，在ANSYS 显示窗口选择线段L4，单击OK按钮，出现Apply U，ROT on Lines 对话框，在Lab2 DOFs to be contrained 复选框中选择ALL
DOF并设置Displacement value为0，单击OK。
5）施加压力载荷
选择Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines 命令，出现Apply PRES on Lines拾取菜单，在ANSYS 显示窗口选择线段L2，单击OK按钮，出现Apply PRES on Lines 对话框，在V ALUE Load PRES value 输入栏中输入-3000000。
其中，输入负值表示该模型承受的是拉应力。
6）求解
选择Main Menu>Solution>Solve>Current LS命令，出现Solve Current Load Step 对话框，单击OK按钮，ANSYS 开始求解计算，求解结束出现Note 对话框。
7）Save Database
第六步查看求解结果
1）查看变形后的几何形状和未变形的轮廓
选择Main Menu>General Postproc>Plot Results>Deformed Shape命令，出现Plot Deformed对话框，在KUND Items to be plotted 选项中选择Def＋undef edge 选项，单击
OK按钮，ANSYS 显示窗口将显示变形后的几何形状和未变形的轮廓，如图2所示。
图 2 变形后的几何形状和未变形轮廓显示
2）查看位移场分布等值线图
选择Main Menu>General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu 命令，出现Contour Nodal Solution Data 对话框，在Item to be Contour 选项框中选择Nodal Solution >DOF solution> Displacement vector sum，其余选项采用默认设置，单击OK按钮，ANSYS 窗口将显示如图3所示的位移场分布等值线图。
图3 位移场分布等值线图
3）查看等效应力场分布等值线图
选择Main Menu>General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu 命令，出现Contour Nodal Solution Data 对话框，在Item to be Contour选项框中选择Nodal Solution >Stress>V on Mises Stress，其余选项采用默认设置，单击OK按钮，ANSYS窗口将显示如图4所示的等效应力场分布等值线图。
图4 等效应力场分布等值线图
小结：
通过对该问题的建模和求解，可以对比施加载荷后变形的几何形状和未变形前的轮廓。
从图3所示的位移场分布等值线图可以看出：薄板自由端的位移较大，越靠近固定端位移越小。
对于等效应力场分布，在薄板平面上，固定端的两个顶点处应力值最大，而固定端两顶点中间及靠近固定端的边界处应力值比较小。