第三章-MATLAB有限元分析与应用

%
modulus of elasticity E, cross-sectional
%
area A, and length L. The size of the
%
element stiffness matrix is 2 x 2.
y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];
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步骤2：形成单元刚度矩阵
调用 function y = SpringElementStiffness(k)函数
k1=SpringElementStiffness(100);
k1 =
100 -100 -100 100
k2=SpringElementStiffness(200)；
k2 =
200 -200
§3-2 线性杆元
1、基本方程
线性杆元也是总体和局部坐标一致的一维有限单元，用线性函数描述
每个线性杆元有两个节点（node）
EA
单刚矩阵为：k
L
EA L
EA L
EA
L
总刚矩阵： n n
结构方程： KU F
22
单元节点力： f ku
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§3-2 线性杆元
2、MATLAB函数编写
%SpringElementForces This function returns the element nodal force
%
vector given the element stiffness matrix k
%
and the element nodal displacement vector u.
K= 100 -100 0 -100 100 0 0 00
K=
K = SpringAssemble(K,k2,2,3)
100 -100 0
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-100 300 -200
9
0 -200 200
§3-1 弹簧元
4、实例计算分析应用
步骤4：引入边界条件
100 100 0
100 300 200
%
matrix k of the spring with nodes i and j into the
%
global stiffness matrix K.
%
This function returns the global stiffness matrix K
%
after the element stiffness matrix k is assembled.
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21§3-2 线性杆元 Nhomakorabea3、实例计算分析应用
步骤4：引入边界条件
420000 420000 0
420000 1050000 630000
0 630000
UU12
F1 F2
630000 U3 F3
已知边界条件： U1 0,U3 0.002, F2 10
420000 420000 0
3、实例计算分析应用
如图所示二线性杆元结构，假定E=210MPa，A=0.003m^2，P=10kN， 节点3的右位移为0.002m。
求：系统的整体刚度矩阵； 节点2的位移； 节点1、3的支反力； 每个杆件的应力
解：
步骤1：离散化域
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§3-2 线性杆元 3、实例计算分析应用
步骤2：形成单元刚度矩阵
0 200
UU12
F1 F2
200 U3 F3
已知边界条件： U1 0, F2 0, F3 15
100 100 0
100 300 200
0 200
0 U 2
F1 0
200 U3 15
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10
§3-1 弹簧元
5、实例计算分析应用
步骤5：解方程
y = [k -k ; -k k];
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4
§3-1 弹簧元
3、MATLAB函数编写
3.2 整体刚度矩阵的形成
function y = SpringAssemble(K,k,i,j)
%SpringAssemble This function assembles the element stiffness
%
into the global stiffness matrix K.
%
This function returns the global stiffness
%
matrix K after the element stiffness matrix
%
k is assembled.
K(i,i) = K(i,i) + k(1,1);
2.1 单元刚度矩阵的形成
function y = LinearBarElementStiffness(E,A,L)
%LinearBarElementStiffness This function returns the element
%
stiffness matrix for a linear bar with
U=zeros(2,1);
F=[0;15];
K = K(2:3,2:3);
KK=K;
U=K\F
U=[0;U];
F=K*U;
u1=U(1:2);
f1=SpringElementForces(k1,u1)
u2=U(2:3);
2020f/25/=29SpringElementForces(k2,u2)
13
y = k * u;
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17
§3-2 线性杆元
2、MATLAB函数编写
2.4 节点应力计算
function y = LinearBarElementStresses(k, u, A)
%LinearBarElementStresses This function returns the element nodal
调用 function y = LinearBarElementStiffness(E,A,L)函数 k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1)
k2=LinearBarElementStiffness(E,A,L2)
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20
§3-2 线性杆元
3、实例计算分析应用
U=zeros(2,1); F=[0;15];
K(1,:)=[]; K(:,1)=[];
K = K(2:3,2:3);
300 200
200
200
UU23
0 15
U=K\F U=inv(K)*F
U= 0.1500
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0.2250
11
§2-1 弹簧元
5、实例计算分析应用
步骤6：后处理
第三章 MATLAB有限元分析与应用
§3-1 弹簧元 §3-2 线性杆元 §3-3 二次杆元 §3-4 平面桁架元 §3-5 空间桁架元
§3-6 梁元
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1
§3-1 弹簧元 1、有限元方法的步骤：
离散化域 形成单刚矩阵 集成整体刚度矩阵 引入边界条件 求解方程 后处理
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%
stress vector given the element stiffness
%
matrix k, the element nodal displacement
%
vector u, and the cross-sectional area A.
y = k * u/A;
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§3-2 线性杆元
步骤3：集成整体刚度矩阵
调用 function y = LinearBarAssemble(K,k,i,j)函数
n=3; K = zeros(n,n)
K= 000 000 000
K = LinearBarAssemble (K,k1,1,2)
K = LinearBarAssemble (K,k2,2,3)
2
§3-1 弹簧元
2、基本方程
弹簧元是总体和局部坐标一致的一维有限单元 每个弹簧元有两个节点（node）
单刚矩阵为：
k
k k
k
k
总刚矩阵： n n
结构方程： KU F
22
单元节点力： f ku
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3
§3-1 弹簧元
3、MATLAB函数编写
3.1 单元刚度矩阵的形成
function y = SpringElementStiffness(k)
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u1=U(1:2); f1= LinearBarElementForces(k1,u1) sigma1=LinearBarElementStresses(k1, u1, A)
K(i,i) = K(i,i) + k(1,1);
K(i,j) = K(i,j) + k(1,2);
K(j,i) = K(j,i) + k(2,1);
K(j,j) = K(j,j) + k(2,2);
y = K;
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5
§3-1 弹簧元
3、MATLAB函数编写
3.3 节点载荷计算
function y = SpringElementForces(k,u)
420000 1050000 630000
0 0
630000
U2
F110
630000 0.002 F3
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