解不等式知识点总结
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
不等式的表示与解答(知识点总结)
不等式的表示与解答（知识点总结）一、基本概念不等式是数学中常见的一种关系式，用于比较两个数的大小关系。
不等号的种类包括大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)和小于等于号(≤)。
不等式可以由数字、变量和运算符组成，例如：2x + 3 > 5，其中2x + 3和5是表达式，>是不等号，整个表达式称为一个不等式。
二、不等式的表示形式根据不等号的种类和式子的形式，不等式可以分为以下几种表示形式：1. 明确表示的不等式：例如 x > 3，表示x的取值范围大于3。
2. 含有未知数的不等式：例如 2x + 3 > 5，表示未知数x的取值范围满足2x + 3大于5。
3. 绝对值不等式：例如 |x - 3| > 2，表示x距离3的绝对值大于2。
4. 分数不等式：例如 1/x < 2，表示x的倒数小于2。
三、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元一次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 常数”的形式。
2. 对于系数为正数的情况，不等式的解集为从第一个系数所在的数开始到无穷(∞)。
3. 对于系数为负数的情况，不等式的解集为从无穷(∞)到第一个系数所在的数。
四、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元二次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 0”的形式。
2. 解一元二次不等式需要先求出其对应的二次函数的顶点和开口方向。
3. 判断顶点是否在不等式的解集中，若在，则解集为顶点所在的区间；若不在，则根据开口方向确定解集。
五、不等式的组合与求解1. 不等式的组合：当给出多个不等式时，需要将它们整合成一个集合表示，根据逻辑运算符(如与、或)来连接不等式。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
不等式的解法与应用知识点总结
不等式的解法与应用知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，其解法与应用需要掌握一定的知识点和技巧。
本文将对不等式的解法和应用进行总结和讨论。
一、不等式的基本概念不等式是数学中表示两个数或量之间不等关系的符号组合。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的解法解不等式的目标是确定使不等式成立的变量范围或解集。
不同形式的不等式可能需要不同的解法，以下是常见的不等式解法方法：1. 一次不等式的解法：（1）根据不等式的性质，分析变量的取值范围；（2）将不等式变形为形如x < a或x > a的简单形式，直接得出解集。
2. 二次不等式的解法：（1）将二次不等式转化为一元二次方程；（2）分析二次函数的图像，确定变量所在区间；（3）根据图像和一元二次方程的解集，找出二次不等式的解集。
3. 绝对值不等式的解法：（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式转化为二次不等式；（2）求解二次不等式，得出解集。
4. 复合不等式的解法：（1）将复合不等式拆解为多个简单的一次不等式或二次不等式；（2）求解每个简单不等式的解集；（3）根据简单不等式的解集，确定复合不等式的解集。
5. 系统不等式的解法：（1）将系统不等式分解为若干个简单的一次不等式或二次不等式；（2）求解每个简单不等式的解集；（3）根据简单不等式的解集，确定系统不等式的解集。
三、不等式的应用不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 不等式的表示范围：不等式可用于表示数据或变量的取值范围，例如表示温度范围、身高范围等。
2. 不等式的优化问题：在一些优化问题中，我们需要通过不等式关系确定某个值或变量的最大值或最小值，例如最大利润、最小花费等。
3. 不等式的约束条件：在一些约束条件下，我们可以利用不等式设置限制条件，例如约束线的范围、容积的限制等。
4. 不等式的应用问题：不等式经常出现在各种实际问题中，如经济学、物理学、工程学等领域的建模问题，通过解不等式可以得到问题的解集。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一种重要关系。
它通常用来表示两个数量的大小关系。
在求解不等式时，我们需要运用一些基本的不等式性质与方法。
不等式的符号有三种：大于号(>)、小于号(<)和不等号(≠)。
大于号表示前面的数大于后面的数，小于号表示前面的数小于后面的数，不等号表示前面的数不等于后面的数。
不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
对于不等式来说，我们通常要找到它所有的解集。
在求解不等式时，常用到的性质有：1. 两边加减相同的数或相同的式子，不等号方向不变。
2. 两边乘除同一个正数，不等号方向不变；两边乘除同一个负数，不等号方向反转。
3. 两边乘除同一个变量，需要考虑变量的正负情况。
4. 在不等号两边开平方时，需要考虑平方根的正负情况。
在求解不等式时，我们可以运用以下基本方法：1. 图像法：将不等式对应的两个函数图像画出来，通过比较图像的位置来判断不等式的解集。
2. 列表法：将不等式的解集列出来，逐个判断每个解点是否满足不等式，以确定解集。
3. 化简法：将不等式进行一系列的等价变形，将复杂的不等式化简成简单的形式，以求解不等式。
4. 区间法：根据不等式中的某些条件，将解集缩小到某个区间内，以得到更精确的解。
除了基本的不等式性质与方法外，我们还需要掌握一些常见的不等式类型与求解方法。
常见的不等式类型包括：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式。
其中，a、b为已知数，x为待求解的变量。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
4. 分式不等式：形如f(x)/g(x)>0的不等式。
其中，f(x)、g(x)为多项式函数，x为待求解的变量。
对于以上不等式类型，我们可以运用不等式的基本性质与方法进行求解。
初中数学知识点归纳不等式
初中数学知识点归纳不等式初中数学中的不等式是一个非常重要的知识点，它存在于各个章节中，如函数、代数方程组、数列等。
不等式是用不等号连接的含有未知数的数学式，在数学问题中经常用来表示一些量的大小关系。
下面将对初中数学中常见的不等式进行归纳。
一、基本性质：1.不等式变形：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。
2. 相乘型：若a > b，c > 0，则ac > bc；若a < b，c < 0，则ac > bc。
3.相除型：若a>b，c>0，则a/c>b/c；若a<b，c<0，则a/c>b/c。
二、一元一次不等式：1.加减法解不等式：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。
2.乘除法解不等式：对不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；对不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。
3.绝对值不等式：当，x-a，>b时，有x<a-b或x>a+b。
4.复合不等式：可以将不等式分解为两个简单的不等式，再求解。
三、一元二次不等式：1.求解一元二次不等式，可以先将其转化成一元二次方程，求出解的区间。
2.解一元二次不等式的关键是求出与解有关的a值，即把不等式转化为方程，得到轮廓图，再确定解的范围。
3.解一元二次不等式时，当a>0时，不等式的解集为开口向上的抛物线所在的区间；当a<0时，不等式的解集为开口向下的抛物线所在的区间。
四、绝对值不等式：1.解绝对值不等式时可以根据绝对值的定义，将不等式划分成正数和负数的情况进行求解。
2.若，x-a，<b，则-a<x-a<b，从而x-a<b，a-x<b。
3.若，x-a，>b，则x-a>b或x-a<-b。
五、函数与不等式：1.根据函数的性质，可以求解函数不等式。
2.若f(x)>g(x)，则将f(x)-g(x)>0，根据函数图像的上下关系求解。
不等式的解法及知识点
不等式的解法及知识点
不等式解法有哪些？对此想了解不等式的朋友可以来看看，下⾯由店铺⼩编为你准备了“不等式的解法及知识点”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！
不等式的解法及知识点
不等式的解法
不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。
2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。
3、不等号两边进⾏加减乘除运算。
4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。
不等式知识点
拓展阅读：不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，⽽z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同⼀个整式，不等号⽅向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼤于0的整式，不等号⽅向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼩于0的整式，不等号⽅向改变;
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N次幂(N为负数)。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点高中数学中的不等式是一种重要的数学方法和技巧，它常用于解决实际问题，也是深入理解和掌握数学知识的关键。
下面将详细介绍高中数学中的不等式的知识点。
1.不等式的基本概念：不等式是用不等号连接的两个代数式，其中包含了未知数。
常见的不等号有小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）和大于等于号（≥）。
2.不等式的性质：（1）不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
（2）不等式的加减性：如果a<b，那么a+c<b+c（c>0），a-c<b-c （c>0）。
（3）不等式的倍乘性：如果a < b，c > 0，那么ac < bc；如果a < b，c < 0，那么ac > bc。
（4）不等式的倒置性：如果a<b，那么-b<-a。
3.不等式的解集表示法：（1）用图像表示：可以将不等式在坐标轴上表示出来，求解该不等式对应的数轴上的区间。
（2）用解集表示：解集即满足不等式的所有实数的集合，可以用区间表示解集。
4.一元一次不等式：（1）一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用区间表示。
解一元一次不等式的步骤是：将不等式化为标准形式，然后根据不等式的类型判断解集，最后用解集表示答案。
（2）一元一次不等式组：一元一次不等式组是多个一元一次不等式组成的系统。
解一元一次不等式组的步骤是：逐个解每个不等式，然后求解它们的交集。
5.二次不等式：（1）二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用区间表示。
解二次不等式的步骤是：先将二次不等式化为标准形式，然后找出函数的最值点，确定函数的开口方向，最后根据最值点和开口方向确定解集。
（2）二次不等式组：二次不等式组是多个二次不等式组成的系统。
解二次不等式组的步骤是：逐个解每个不等式，然后求解它们的交集。
6.分式不等式：（1）分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用区间表示。
解不等式(知识点、题型详解)
解不等式(知识点、题型详解(xiánɡ jiě))解不等式(知识点、题型详解(xiánɡ jiě))不等式的解法(ji ě f ǎ)1、一元(y ī yu án)一次不等式方法(f āngf ǎ)：通过去分母、去括号、移项、合并(h éb ìng)同类项等步骤化为ax b >的形式(x íngsh ì)，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。
【例1-1】（1）解：此时，因为的符号不知道，所以要分：a =0，a >0,a<0这三种情况来讨论.由原不等式得a >1, ①当a =0时， 0>1.所以，此时不等式无解.② 当a >0时，⇒ x >, ③当a <0时，⇒x <a 1.【例1-2】已知不等式与不等式同解，解不等式。
解：，∴ 01)1(322<+-++-a a x a a的解为∴ 中 ∴ 解由题意∴代入所求：∴要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当和时的解集你会正确表示吗？基本(jīběn)步骤：①把二次项系数(xìshù)化为正②求对应(du ìyìng)的一元二次方程的根（先考虑十字(shí zì)相乘法，不能因式分解(yīn shì fēn jiě)的再考虑用求根公式）③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a>,是方程的两实根，且，则其解集如下表：二次函数、方程或或∆=R∆<R Rφφ0【例2-1】解下列关于x的不等式：(1) 2x2-3x-5>0； (2) 3x2-4x-10； (3) x2-2x+1≤0；(4) x2-2x+1>0； (5) x2-2x+3>0； (6) x2-2x+3≤0.解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为(yīn wèi)对此不等式对应的一元二次方程2-3x-5=0因式分解(yīn shì fēn jiě)得(2x-5)(x+1)=0. 所以(suǒyǐ)该方程的两根为：x1=,或x2=-1.又因为此不等式对应的一元(yī yuán)二次函数=2x2-3x-5的抛物线开口(kāi kǒu)向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式2x2-3x-5>0的范围：x>25，或x<-1；（2）与上题解法类似.∵3x2-4x-1=0的判别式∆=42-4⋅3⋅(-1)=28>0,∴一元二次方程3x2-4x-1=0有两个不同的实数根为x1=, 或x2=.∴此不等式中x的取值范围是372-≤x≤372+；（3）∵x2-2x+1=0的判别式∆=0.∴x2-2x+1=0有两个相等的实数根，x1=x2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式x2-2x+1≤0中x的取值范围(fànwéi)是1≤x≤1,即x=1；（4）与（3）类似分析(fēnxī)，可知不等式x2-2x+1>0中x的取值范围(fànwéi)是x>1，或x<1,即x≠1；（5）因为(yīn wèi)方程x2-2x+3=0的判别式∆<0.所以(suǒyǐ)方程x2-2x+3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，这时，可以用配成完全平方式的方法.∵x2-2x+3=x2-2x+1+2=+2>0，∴不等式x2-2x+3>0中x的取值范围是x∈R；（6）与（5）类似分析，可知不等式x2-2x+3≤0中x的取值范围是空集.【例2-2】解下列关于x的不等式：解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做.（3）式对应(duìyìng)的方程(fāngchéng)不易(bù yì)因式分解求出根，判别式的符号(fúhào)不能确定(quèdìng)，并且x2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以x2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据. 求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.总结(zǒngjié)：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后(ránhòu)再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们(wǒ men)应以x2的系数(xìshù)为0以及判别式为0时，得出(dé chū)的参数a值作为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：⑴将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式(yīnshì)或二次不可分因式的积.⑵把每个因式(yīnshì)的最高次项系数化为正数.⑶将每个一次因式的根从小到大依次(yīcì)标在数轴上.⑷从右上方依次通过每个点画出曲线(qūxiàn)，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线(qūxiàn)不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”.⑸根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例3-1】解下列关于x的不等式：解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：曲线与x轴的交点将x轴分成若干区域，曲线在x轴上方所对应区间内的x值，使函数值大于0 ；曲线在x轴下方所对应区间内的x值，使函数值小于0 ；曲线与x 轴的交点所对应的x 值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：4. 分式(f ēnsh ì)不等式的解法：一般(y īb ān)不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
不等式知识点归纳
不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1）a b b a <⇔>对称性 （2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法： 注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。
完整版)不等式知识点归纳大全
完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。
不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
2.解分式不等式f(x)。
a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。
3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。
4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。
按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。
二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。
2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。
三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。
2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。
四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。
2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。
不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。
本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。
2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。
3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。
4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。
这就是不等式的倒置性。
二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。
对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。
2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。
3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。
4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。
例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。
三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高考不等式的知识点总结
高考不等式的知识点总结高考数学中的不等式是一个关键的考点，涉及到不等式的性质、解不等式、不等式的证明等方面。
掌握不等式的知识对于高考数学的学习非常重要。
接下来，我将对高考不等式的知识点进行总结，希望能帮助广大考生更好地备考。
一、不等式的性质首先，不等式的性质是我们理解不等式方程的基础。
不等式性质的理解对于后续的解不等式问题具有重要意义。
1.1 不等式的传递性不等式具有传递性，即如果 a > b，b > c，则 a > c。
这个性质在解不等式过程中常常被使用，特别是在比较大小时。
1.2 倒数性质设 a > b，则 1/a < 1/b。
这个性质在不等式的推导中经常用到，可以将不等式中的分数项化为倒数，从而简化计算。
1.3 开方性质当 a > b 且 a > 0，那么√a > √b。
这个性质常常用于解决存在根号的不等式问题。
需要注意的是，若 a < 0，则不能对不等式两边同时开方。
二、不等式的解法在高考中，不等式的解法通常包括两种：代数法和图像法。
2.1 代数法代数法是通过变量的代入、移项、取绝对值等方式解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.1.1 一元一次不等式例如：ax + b > 0。
可以根据 a 的正负来讨论其解集情况。
2.1.2 一元二次不等式例如：ax^2 + bx + c > 0。
可以运用求根公式求出方程的根，根据其正负确定不等式的解集。
2.1.3 绝对值不等式例如：|ax + b| > c。
可以根据绝对值的性质进行讨论，注意分情况讨论。
2.2 图像法图像法是通过将不等式转化为图像问题，通过观察图像来解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.2.1 一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
2.2.2 一元二次不等式可以通过绘制二次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点一、概述不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。
在高中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质及解不等式的方法。
本文将对高中数学不等式的知识点进行详细介绍。
二、不等式的定义及表示方式1. 不等式的定义：不等式是两个数或两个式子之间的大小关系的描述。
2. 不等式的表示方式：不等式可以用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）来表示。
例如，x < y 表示x小于y，x ≤ y 表示x小于等于y。
三、不等式的基本概念1. 大于与小于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于零，则称a大于b，表示为a > b；如果a-b小于零，则称a小于b，表示为a < b。
2. 大于等于与小于等于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于等于零，则称a大于等于b，表示为a ≥ b；如果a-b小于等于零，则称a小于等于b，表示为a ≤ b。
四、不等式的性质1. 加减法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b，则a + c > b + c；- 若a < b，则a + c < b + c；- 若a > b，则a - c > b - c；- 若a < b，则a - c < b - c。
2. 乘除法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b且c > 0，则ac > bc；- 若a > b且c < 0，则ac < bc；- 若a < b且c > 0，则ac < bc；- 若a < b且c < 0，则ac > bc。
3. 反方向性质：对于任意实数a和b，有以下性质：- 若a > b，则-b > -a；- 若a < b，则-b < -a；- 若a > b，则1/b > 1/a（a、b为正数）；- 若a < b，则1/b < 1/a（a、b为正数）。
解不等式(知识点、题型详解)
解不等式(知识点、题型详解).doc
解不等式是指用数学方法来求解一类不等式的问题，这类问题一般包括一元不等式、二元不等式、多元不等式等。
一、一元不等式
1、解决思路
一元不等式的解法基本上都是通过分析不等式左右两边的性质，并根据不等式的类型（大于、小于、等于），来分析出解集的范围。
2、常用方法
（1）当不等式两边同时乘以或者除以正数时，得到的不等式的解集与原不等式相同。
（2）当不等式两边同时加上或者减去正数时，得到的不等式的解集与原不等式相同。
（3）当不等式两边同时乘以或者除以负数时，得到的不等式的解集与原不等式的解集相反。
（4）当不等式两边同时加上或者减去负数时，得到的不等式的解集与原不等式的解集相反。
二、二元不等式
1、解决思路
二元不等式的解法也是基于分析不等式左右两边的性质，但是要处理的问题较为复杂，需要考虑两个变量之间的关系，并根据不等式的类型（大于、小于、等于），来分析出解集的范围。
2、常用方法
（1）将不等式的两端的系数除以其中的最大公约数，看看是否可以化简；
（2）如果可以化简，就把化简后的不等式的两边减去同样的数，使得等式的两边的系数都变成整数，然后分析不等式的解集范围；
（3）如果不能化简，就画出不等式的图象，看看是否可以分析出答案范围；
（4）如果不能画图，就把不等式转换成方程，并解出它的解集，从而得到不等式的解集范围。
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解不等式知识点总结
一、知识点总结
（一）、不等式
1、定义：用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式,
比如:100 2.9 3.1248a x y x ≤≥≥+<、、、、2
1
15
a
m
>≤、等.
例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；
⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨2
40x +>；⑩230x
π
+>。
解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式
补充：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：
“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 练习：1、用不等式表示： ⑴a 是正数： ；
⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ； ⑷x
的
3
倍与－2
的差是负
数： ；
⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2
： 。
2、试判断2
37
a
a -+与32a -+的大小。
3、如果0a b +<，0b >，则, , , a b a b --的从打到小的排序是： 。
（二）、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，比如:3是不等式2X ＜8的解，4和9不是不等式2X ＜8的解。
一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式。
如X ＜4就是不等式2X ＜8的解集
练习：1、不等式2-X ＞1的解集是（） A X ＞1 B X ＞-1 C X ＜1 D X ＜-1 2．x 取什么值时，代数式3x+7的值 （1）小于1？（2）不小于1？
2．求不等式3（x+1）≥5x －9的正整数解.
（三）．不等式的解集
1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系
解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）
4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
（四）不等式的基本性质：
有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
-0 1
比如：不等式b>
x<，一定会有0<a。
ax的解集是a b
练习：⑴用最确切的不等号填空：
①若3＜x，则x 3；②若-2＜x，则0 x+2；
③若－2a≥8，则a 4；④若x＞y，则m2 x m2 y。
⑵关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围
是。
⑶如果0<<n m ，那么下列结论中错误的是（ ） A ．99-<-n m B. n
m ->- C.
m
n 1
1>
D.1>n
m （四）一元一次不等式的定义和解法： ⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． ⑵解一元一次不等式的一般步骤：
例：13
1321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘）
去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）
移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）
合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）
系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）
⑶根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：
①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。
练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
①4
12
33523+>--
x x ；
②3252132x x x -≤--
【例题】
例1．用不等式表示：
（1）a 的2倍与4的差是正数 （2）b
的2
1与c 的和是负数
（3）a 的绝对值是非负数 （4）y
与4的差不大于3
（5）x 的绝对值与1的和不小于 1
（6）a 是大于-1且不大于2的数
２.不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等符号的方向不变，即：如果c b c a c b c a b a ->-+>+>,,那么；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正整，不等号的
方向不变，即：如果c
b
c a bc ac c b a >>>>,,0,那么并且；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等
号的方向改变，即：如果c
b c a bc ac c b a <<<>,,0,那么并且. 例2．用“>”或“<”填空.
（1）41- 4
1
-
(2)
3
1）（- 2
1）（- （3）若a a -<则,0 0 （4）,b a >要使bc ac < （5）若)2()2(2,2+-+>-<b a ，b a 则 0.
（6）55
3+-a 25
3
+-a （7）47--x 47--y ，其中y x >
例3．根据不等式的性质，将下列不等式化为a x a x <>或的形式.
（1）23-<+x （2）131
>x
（3）467->x x （4）523>--x
3.不等式的解集：一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，称为这个不等式的解集. 例4．下列说法对不对？如果不对，请说明原因： （1）5=x 是不等式163<x 的一个解 （2）5=x 是不等式163<x 的解集 （3）不等式163<x 的解集是5<x （4）不等式163<x 的解集是3
16<x 例5．将数轴上x 的范围用不等式表示（如下图所示）
（1） （2）
3 （4）
-2 -1 0 1 2 · -2 -1 0 1 2
）
例6．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：（1）
3
2
-
<
x（2）3>x
（3）2
1<
≤
-x（4）3
2<
<
-x
例7．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）13
4
1
2+
<
-x
x（2）)2
1(3
)3
5(2x
x
x-
-
≤
+
例8．解下列不等式
（1）1
2
7
5
3
4
+
-
<
+x
x（2）2
)1
(3
1
3
1
2-
+
>
+x
x
【课堂练习】
1．用不等式表示（5分钟）
（1）x 与-3的差是正数
（2）x 与5的和小于8
（3）b 的2倍与43
的各是负数
（4）a 的4倍与8的差不大于2
（5）x 与4和的一半不小于3 （6）x 的2倍，是大于-2且不大于-2且不大于4的数.
2．用“<”,“=”，“>”号填空
（1）如果b a b +>则,0 a ； （2）如果0=b ，则b a + a ；
（3）如果0<b ，则b a + a ； （4）如果a>b,那么2+a 2+b
（5）如果a<b,那么1-a 1-b （6）如果a>b,那么a 4 b 4
（7）如果a>b,那么3a 3
b （8）如果a<b,那么a 2- b 2-
（9）如果a<b,那么9a - 9
b - 10）如果a>b,那么a b a z 则,2
1221+>- b 4．将数轴上x 的范围用不等式表示：
5．解下列不等式并在数轴上表示出来
（1）)1(413+≥-x x
（2）)12(4)2(5->-x x
（3）131-<+x x
（4）)23(6)1(3)1(2+-≥+--x x x
（5）4138)1(32-->++x x
（6）634321x x -
≥-
-2 -1 0 1 2 -3 · 3 （
（-2 -1 0 3 4 -3 · 5 （ 2 1 -4 · （。