D8_5隐函数求导
隐函数的求导公式
Fy z z Fx F ( x, y, f x, y )) 0, 并有 , . x Fz y Fz
现仅推导求导公式. 设 是方程 所确定的隐 函数,则 将恒等式 F ( x , y , f ( x , y )) 0 两边分别对x和y求导, 应用复合函数求导法得 z z Fz 0. Fz 0, F y Fx x y 因为 Fz 连续, 且Fz( x0 , y0 , z0 ) 0， 所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内 F ( x, y ) 0, y ( x, y) dy Fx 于是得 ( x, y) dx Fy dy Fx 或简写: . dx Fy
由全导数公式,得 ( x, y ) F y Fx ( x , y ) dy 0 dx
把y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
y y 1 f1 1 f 2 xy xz , z z
整理得
y 1 f1 xyf 2 . z f1 xzf 2
例4 设函数f ( x , y )是由方程xyz x 2 y 2 z 2 2
2 2
解2 方程两边关于x求导,有
1 2 x 2 yy 2 2 2 x y
xy y dy x y , . 2 2 解得 x dx x y y 1 x 1
2. 由三元方程 F ( x , y , z ) 0 确定二元隐函数 z z z f ( x , y ),求 , . x y 隐函数存在定理2 若三元函数 F ( x , y , z ) 满足: (1) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0; (3) Fz( x0 , y0 , z0 ) 0, 则方程 F ( x , y , z ) 0 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 函数 z f ( x , y ), 它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ),
D8_5隐函数求导(修)
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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结束
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv x J ( u, x ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv y J ( u, y ) Gu Gv
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
z z
z F2 1
8-5隐函数求导法则
第八章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
1
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
例1 已知 x 2 y2 1 0 , 求 d y dx
解
对隐函数方程微分得 : 2xdx 2ydy 0 解得
d y x . (1) dx y
(2z) x x
2z ( 2 z )2
( 2 z )2 x2 ( 2 z )3
.
9
例4. 设 z f ( x y z, x yz), 求 z , x , y . x y z
解 d z f1 (d x d y d z) f2 ( yzd x xzd y xyd z)
设
x2 y2 z2 4z 0 , 求
2z x2
.
解. 令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z ,
则 Fx 2x ,
Fz 2z 4 ,
z Fx x , x Fz 2 z
2z
(2z) x z
x
x2
( 2 z )2
1 J
Fy Gy
Fv Gv
,
v y
1 J
F u
Gu
Fy Gy
.
存在性定理见课本 P 34 定理3 .
以上结果可作公式使用 .
13
定理3. 设函数 ① 在点 导数；
满足: 的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0, v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
如何理解隐函数求导公式
如何理解隐函数求导公式隐函数求导公式是微积分中的一个重要概念，用于求解在一些情况下无法直接表达的函数的导数。
它是基于隐函数定理和链式法则推导而来的。
理解隐函数求导公式需要了解以下几个方面的知识：1.隐函数定理：隐函数定理是微积分中的一个重要定理，用于描述隐式定义的函数的性质。
其表述为：如果一个二元函数在一些点附近连续且具有可导的偏导数，且一个偏导数不为零，那么这个函数定义了一个隐式函数。
2.链式法则：链式法则是微积分中的一个重要定理，用于求复合函数的导数。
根据链式法则，如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数h(x)=f(g(x))也可导，且他的导数满足h'(x)=f'(g(x))*g'(x)。
基于以上知识，我们可以理解隐函数求导的具体步骤。
1.设有一个方程F(x,y)=0，其中x和y是自变量，F是未知函数。
2.假设这个方程确定了一个隐含函数y=f(x)。
3. 对方程两边同时关于 x 求导，得到 F_x + F_y * dy/dx = 0，其中 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
4. 解这个方程得到 dy/dx 的表达式，即隐函数的导数表达式。
举例来说明隐函数求导的具体步骤：考虑方程x^2+y^2-1=0，我们希望求解该方程确定的隐含函数y=f(x)的导数表达式。
1. 首先对方程两边关于 x 求导，得到 2x + 2y * dy/dx = 0。
2. 将此方程变形得 dy/dx = -2x / 2y = -x/y。
3. 最终得到导数表达式 dy/dx = -x/y。
这个例子中，我们通过隐函数求导公式求得了隐函数的导数表达式。
通过这个导数表达式，我们可以求出隐函数在任意点的导数值。
总结来说，隐函数求导公式是通过隐函数定理和链式法则推导得出的，用于求解无法直接表达的函数的导数。
理解隐函数求导公式，需要掌握隐函数定理和链式法则的基本概念，并且通过实例来加深理解。
隐函数求导公式
显函数
xy (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质
可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
➢隐函数组概念
隐 函 数
u u(x, y) v v(x, y)
组 的 显 化
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
邻域内连续且有连续偏导数,又
x, y)
的某一邻域内 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数 的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
x y
➢解题思路
(1) 确定因变量个数与自变量个数. 明确变量个数与方程个数 确定因变量个数 方程个数 确定自变量个数 变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
(3) 方程两边求偏导.
方程个数
例5
设
xu yv 0, yu xv 1,
求
u v ,.
x y
例6 设函数
在点(u,v) 的某一
视u,v为x,y的函数
F
两边对 x 求导
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
若在点P 的某邻域内系数行列式J≠0
x x
y
u
y
v
复合关系图
解方程组即得结论
例4
设
u f (ux,v y) v g(u x,v2 y)
其中f,g具有一阶连续偏导数,
求 u , v .
的连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 :
u 1 (F,G) , x J ( x, v )
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
在微积分中，隐函数是一种由x和y的关系表示的函数，其中y是x 的函数表示，但是y的显式表达式未给出。
在一些情况下，我们需要求解隐函数的导数，以找到关于x的斜率。
隐函数的求导公式是一种用于计算这个导数的公式。
在此文章中，我们将介绍具有一个独立变量和一个因变量的隐函数的求导公式。
假设我们有一个由x和y的关系表示的隐函数：
F(x,y)=0
我们将假设这个函数可以在一些区域上对x和y进行微分，因此我们可以得到以下的链式法则：
∂F/∂x+∂F/∂y*∂y/∂x=0
我们可以通过这个公式来求解y对x的导数
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
这个公式是隐函数的求导公式的基础。
它使用了偏导数的概念，表示了在一个多变量函数中相对于单个变量变化的速度。
偏导数通过将其他变量视为常数来计算，从而提供了函数对特定变量的变化率。
应用隐函数的求导公式的一个例子如下：
假设我们有一个由隐函数表示的圆的方程式：
x^2+y^2=r^2
该方程表示了半径为r的圆。
我们希望计算圆上点的斜率的导数。
因此，我们首先需要将方程转化为隐函数的形式。
我们可以得到：
F(x,y)=x^2+y^2-r^2=0
然后，我们计算偏导数：
∂F/∂x=2x
∂F/∂y=2y
接下来，我们将这些偏导数代入隐函数的求导公式：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) = - (2x) / (2y) = - x / y 这个导数表示了圆上点的斜率，对于每一个特定的点。
总结:。
隐函数怎么求导
隐函数的三种求导方法如下：一、隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
三、显函数与隐函数1、显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以y=f(x)来表示。
2、隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
3、隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如:y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
隐函数求导详细过程
隐函数求导详细过程对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
一、一个方程的情形=0 (1)求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
解设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数=，;=。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有=,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于(, )≡0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得+=0, +=0。
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y z
作业
P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1. 设
有连续的一阶偏导数 ,
又函数
分别由下列两式确定 :
exy xy 2 , ex xz sin t d t ,
定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下：
v y
1 J
(F,G) (u, y )
1 Fu Fv Gu Gv
Fu Fy Gu Gy
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设方程组
F( G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)
0 0
有隐函数组
则
两边对 x 求导得
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
(1 y)
dz dx
x f f xf Fy Fx x f 1 Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
(Fy x f Fz 0)
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解法2 微分法.
z x f (x y), F(x, y, z) 0
对各方程两边分别求微分:
u
1 1y
0 J u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1 x, y J v
v 1 x y J u
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注意 J 0, 从方程组②解得
1 x
u 1 x J 0
v y
1y, J v
v
x 1
v 1 x J
u y
1y
0
J u
u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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例2. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理3. 设函数
满足:
① 在点 导数；
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式 :
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再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
1
f 2
yz
x y
xz
x
y
f1 xz f2 f1 yz f2
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解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f (x y z, xyz)
d z f1 dx dy dz f2 yz dx xzdy xyd z
解出 dx :
dx f1 xz f2 dy 1 f1 xy f2 dz
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
②
0 y u y v
u x v x
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注意 J 0, 从方程组②解得
1 u 1 x J 0
x
v y
1y, J v
v
x
v 1 x J
u y
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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0t
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
u
xyz
xx
解得
z 1 ex(x z)
sin(x z)
因此
du dx
f1
y x
f 2
1 ex (x z)
sin(x z)
f3
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2. 设
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (99考研)
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
x x2 y2
x
1 J
y r
1 sin
r
x2
y
y2
同样有 r y y x2 y2
y
x2
x
y
2
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
z
y
F2
(F1dx
F2d y)
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
v x v x
0 0
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内
x x
系数行列式 J Fu Fv 0, 故得 Gu Gv
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x )
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v ) v 1 (F,G) y J (u , y )
思考与练习
设
求
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提示: z f (x y z , xyz)
•
z x
f1
1
z x
f 2
yz xy z
x
z x
1
f1 f1