66高中数学选修系列 选修《微积分基本定理与定积分计算》教案

41 / 24§3微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门设],[b a R f ∈，称函数⎰=Φxadt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：⎰=ψbxdt t f x )()(.注<i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. <ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.三、主要事实 1.微积分基本定理若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即⎰=xax f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注<i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. <ii ）通过微分中值定理<推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则⎰-=xaa F x F dt t f )()()(]),[(b a x ∈.(iii>微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.<iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限42 / 24⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ)()()()(abadx x f a g dx x g x f ⎰=bdxx g b f )()(ξ积分求导公式：若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ϕ、],[]),([b a d c ⊂ψ，则2.第二积分中值定理<1）<旁内<Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减<相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得 <相应地）<2）<Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证<1）令⎰=xadt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得⎰⎰--=→∑=ii x x i ni T badx x f x g dx x g x f 110|||| 1)()(lim )()())()()((lim 1110||||--=→-∑=i i i ni T x F x F x g再由))()()((111--=-∑i i i ni x F x F x g)()()]()()[(1111---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F43 / 24及g 的单调减小性，可得)()()()(max min a g F dx x g x f a g F ba≤≤⎰再由连续函数的介值性即得.<2）当g 为单调递减<增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g = ))(a g -应用<1）即得.3.定积分的计算<1）<牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(.注<i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.<ii ）证明可由)(R 积分的定义<分点包括例外点）及微分中值定理<作用在F 上）可推得.<2）<定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ注<i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式 可得，而且],[)(b a C t ∈'ϕ可减弱为],[βαϕR ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但ϕ的条件稍许加强<证明较为复杂），即有以下的命题成立：若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足44 / 24a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[)(βαϕR t ∈'，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ.<ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的 直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换<在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.<iii ）对应于不定积分中的第一换元法<即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改<即仍然采用原来的积分变量）.<3）<分部积分法）如果u 、v 具有连续的导数，那么有⎰⎰='babax dv x u dx x v x u )()()()(⎰-=bab ax du x v x v x u )()(|)()(.注<i ）分部积分可由乘积微分法则及L N -公式直接证之. <ii ）分部积分公式可连续使用n 次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u 、v 具有1+n 阶连续导数，那么有⎰+ban dx x v x u )1()()(b an n n n x v x u x v x u x v x u |)]()()1()()()()([)()1()(-++'-=-⎰++-+ban n dx x v x u )1(1)()()1(),3,2,1( =n .4.定积分计算中常用的几个公式 <1）若],[b a C f ∈，则⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(⎰-++=badx x b a f x f )]()([21.45 / 24<2）若],[a a C f -∈，则⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0))()(()(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰为奇函数为偶函数f ，f dx x f a 0 ,)(2 0<3）若)(x f 是以T 为周期的周期函数，则1R a ∈∀有⎰⎰⎰-+==T/22/ 0)()()(T TTa adx x f dx x f dx x f<4）若]1,0[C f ∈，则⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f .<5）若]1,1[-∈C f ，则⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x xf dx x xf .证<1）令t b a x -+=可得. <2）令t x -=得⎰⎰-=aadt t f dx x f 0)()(.<3）令Tt x +=得⎰⎰⎰=+=+a a Ta Tdt t f dt T t f dx x f 0)()()(，于是有⎰⎰⎰⎰++=+=TTa TTaTa adx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()(，再令2T a -=得⎰⎰=T ππ/dx x f dx x f 0 2/ 2- )()(.<4）令t x -=2/π可得.<5）令t x -=π可得⎰⎰⎰-=ππππ 0)(sin )(sin )(sin dt t tf dt t f dx x xf46 / 24及⎰⎰=22)(sin )(sin πππdt t f dx x f .5.带积分余项的泰勒公式若)(x f 在],[b a 上具有1+n 阶连续导数，那么],[,0b a x x ∈∀有⎰-+-∑=+=xx n n k k n k dt t x t f n x x k x f x f )1(00)(00))((!1)(!)()(，即⎰-=+x x n n n dt t x t fn x R )1(0))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余 项.注<i ）令n k nk t x k t f x f t F )(!)()()()(0-∑-==<常数变易法）， 对)(t F '分别应用L N -公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.<ii ）对积分余项应用第一积分中值定理<n t x t g )()(-=在积分区间],[0x x <或],[0x x 上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：10)1())(()!1(1)(++-+=n n n x x f n x R ξ<其中10),(00≤≤-+=θθξx x x ）.<iii ）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：)())((!1)(0)1(x x x f n x R n n n --=+ξξ )10()()1))(((!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n 四、例题选讲 1.定积分计算例题选.47 / 24例1求下列定积分 <1）⎰-20 24dx x x <2）⎰22cos sin πtdt t <3）⎰-121dx x<4）⎰++10 21)1ln(dx x x <5）⎰e xdx x 0 2ln <6）⎰--ln2 021dx e x <7）⎰++--4 2 )3ln()9ln()9ln(dx x x x <8）⎰+4 4- 21sin ππdx e x x <9）⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221 111dx e x x x x解<1）⎰=--=---=2 0 202322238|)4(31)4(421x x d x .<2）⎰=-=-=2 0 203231|cos 31cos cos ππt t td .<3）令tx sin =，<3）4|)2sin 21(21cos 2020 2πππ=+==⎰t t tdt <4）令t x tan =，<4）⎰+=4tant)ln(1πdt⎰⎰+=+=4 0 40 cos ))4/(sin(2ln cos sin cos ln πππdx xx dx x x x . 令t x -=4π得⎰⎰=+4 0 40 cos ln )4sin(ln πππtdt dx x ，于是有<4）2ln 8|2ln 2140ππ=⋅=x .<5）⎰⎰-==e e e dx x x x x xd 1 1 2133)|ln (31)(ln 31)12(913+==e48 / 24<6）2ln 022ln 02|1)(1--=--=-⎰x x x x e e e d e⎰++-==-+2ln 02)32ln(231 dx e e x x<7）利用⎰⎰-++=ba b a dx x a b f x f dx x f )]()([21)(得<7）⎰==42121dx<8）利用⎰⎰-+=a aadx x f x f dx x f - 0)]()([)(得<8）⎰-==42418sin ππxdx <9）⎰⎰==+=++221 252 21 2211123|e xdedx exx xx .例2<1）求⎰=22sin πxdx I n<2）证明Wallis 公式：2!)!12(!)!2(121lim 2π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→m m n m .解<1）⎰---+-=22)2(201cos sin )1(|cos sinππxdx x n x x I n n nn n I n I n )1()1(2---=-， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==-==-=-,2,1,0,12,!)!12(!)!2(,2,1,2,2!)!2(!)!12(12m m n m m m m n m m J n n I n n π证<2）由⎰⎰⎰++<<21222212sin sinsinπππxdx xdx xdx m mn 得!)!12(!)!22(2!)!2(!)!12(!)!12(!)!2(--<⋅-<+m m m m m m π，49 / 24由此可得m m B m m m m m m A =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21!)!12(!)!2(2121!)!12(!)!2(22πm A m A B m m m 4210π<=-<，m m m A B A -<-<20π，因此2lim π=∞→m m A .例3利用定积分求下列极限<1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=∞→b n i a n n i n 1sin 1lim 1<2）2211lim in n i n +∑=∞→ <3）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑-=∞→πn i n i n n i n sin lim 11<4）i n n i n 1ln 1lim1=∞→∑ <5）n n n n n n n)()2)(1(1lim +++∞→解<1）⎰+-=+=1)cos(cos )sin(b a a dx bx a<2）⎰+=+=+∑==∞→1 0 221)21ln(1)/(111lim x dxn i n n i n .<3）由1+<+<n nin n 可得<3）⎰==∑==∞→1 0 12sin sin 1lim πππxdx n i n n i n<4）由⎰+=<<+i i i idx x i 1 11 ),2,1(1111 可得n in n i ln 11)1ln(1+<∑<+=.因此11ln 1lim1=∑==∞→in n i n . <5）令n n n n n n na )()2)(1(1+++=50 / 24)]ln([11ln ln 1i n n n a ni n +∑+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-+∑===n i n n i n n n i n i 1ln 1)ln )(ln(111 ⎰=+→1 0 4ln )1ln(e dx x .因此ea n n 4lim =∞→.2.微积分基本定理应用例题选 例4 设⎰⎰+=x tdt du u x f 0sin 12)1()(，试求)(x f ''.解 应用微积分基本定理两次可得x x x f 4sin 1cos )(+=''. 例5确定常数a 、b 、)0( ≠c 使得⎰=-+-→xb xc x ax dt t t 130)sin ())1ln((lim . 解 由⎰=+→x b x dt tt 300)1ln(lim 可推得0=b ，由罗比塔法则及)0( ~)1ln(33→+x x x 可推得1=a ，接着易求得21=c .例6若)(x f '存在，0)0(=f ，⎰-=-xn n n dt t x f t x F 01)()(，试求n x xx F 20)(lim →.解 令nn t x u -=，则⎰=n x du u f n x F 0)(1)(，)0(21)(lim 21)(lim 121020f n xx f x n x x F n n n x n x '==--→→. 例7设f 连续，1)1(=f ，⎰=-x x dt t x tf 0 2arctan 21)2(.试求：⎰21)(dx x f .51 / 24解 令u t x =-2，则⎰⎰--=-xxxdu u f u x dt t x tf 02 )()2()2(于是有22 2 arctan 21)()(2x du u uf du u f x xxxx=-⎰⎰. 两边关于x 求导得⎰++=xxx xf x xdu u f 2 4)(1)(2再令1=x 可得⎰=2143)(du u f . 例8试求可微函数)(x f 使得⎰⎰⎰+=txtxdu u f x du u f t du u f 111)()()(.解先关于x 求导得⎰+=tdu u f x tf xt tf 1)()()(令1=x 得⎰+=t du u f u tf t tf 1)()()(再关于t 求导得)()1()()(t f f t f t t f +='=.因而t f t f /)1()(='，因而c t f t f +=ln )1()(.3.积分中值定理应用例题选 例9设f在]1,0[上可微，而且0)0(=f ，1)(0≤'≤x f <]1,0[∈x ）.证明：⎰⎰≥1 0132)())((dx x f dx x f .证令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(，则由条件可得0)(≥'x F ，由0)0(=F 得0)(≥x F ])1,0[(∈x ，于是有1)1(≥F .例10设)(x f '在]1,0[上连续，而且0)0(=f ，1)1(=f .证 明：⎰>-'1 0 1|)()(|edx x f x f .52 / 24证x x x x f n 2sin )1()(-='，0)0(='f ，0)1(='f ，)(x f 在1=x 处取最大值，因而有⎰-=≤122sin )()1()(tdt t t f x f n⎰++=-≤122)32)(22(1)(n n dt t t t n .证⎰⎰'=-'-110 |))((||)()(|dx x f e e dx x f x f x xe dx xf e dx x f e x x /1 |))((| |))((|11 0⎰⎰='≥'>--例11 设⎰+∈-=xn N n tdt t t x f 022)( sin )()(.证明：)32)(22/(1)(++≤n n x f ，0≥∀x例12 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，而且0)(>''x f .证明：<i ）⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a a f b f dx x f ab b a f 2)()()(12； <ii ）又若0)(≤x f ]),[(b a x ∈，则⎰∈≤-bab a x x f dt t f a b ]),[( )()(2.证<i ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f 及⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a dx b a x 02得⎰⎪⎭⎫⎝⎛+≥-b a b a f dx x f a b 2)(1，再由 )()()()()(a f a x a b a f b f a a b x b b a b ax x f +---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=得⎰+≤-b a a f b f dx x f a b 2)()()(1.<ii ）],[b a x ∈∀，))(()()(t x t f t f x f -'+≥，积分后得53 / 24⎰⎰-'+≥-bab adt t x t f dt t f x f a b ))(()()()(⎰⎰≥-+=bab a b adt t f t f t x dt t f )(2|)()()(2.例13 设)(x f 在],[b a 上具有二阶连续函数，证明；存在),(b a ∈ξ使得⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=baf a b b a f a b dx x f 3)()(2412)()(ξ. 证 令⎰=xadt t f x F )()(，分别求得)(a F ，)(b F ，在2ba c +=处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及 连续函数的介值定理即得.例14 设],[)(b a C x f ∈而且⎰-==bakn k dx x f x )1,,1,0( 0)( ，⎰=ban c dx x f x )(.证明：c a b n x f n nb a x 1],[)()1(2 |)(|max +∈-+≥证 由条件⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=b a ndx x f b a x c )(2，若c a b n x f n n1)()1(2 |)(|+-+<，则由⎰+-=+-+b a nn n n a b dx b a x 1)1(2)(|2|导出c c <矛盾！例15 设],[b a C f ∈，g 在],[b a 上单调而且可微.证明：存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证 令⎰=xadt t f x F )()(，由微积分基本定理及第一积分中54 / 24值 定理可得⎰⎰=babax dF x g dx x g x f )()()()(⎰'-=bdx x g x f b F b g )()()()(ξ))()()(()()(a g b g F b F b g --=ξ ))()()(()()(ξξF b F b g F a g -+=.例16 证明下列极限 <1）若]1,0[C f ∈，则⎰=++→10 220)0(2)(lim f dx x f x h h h π. <2）若],[b a R f ∈，则⎰=∞→baxdx x f 0sin )(limλλ.<3）⎰=+∞→xx tdt t x 00sin 1lim <4）若]2,0[πR f ∈，则⎰⎰=∞→πππ2 02 0)(2|sin |)(lim dx x f dx nx x f n .<5）若f 是以T 为周期的连续函数，则⎰=+∞→x x dt t f x 0 )(1lim⎰Tdt t f T 0)(1.<6）若],0[b C f ∈而且A x f x =+→)(lim 0，则0>>∀a b 有 ⎰=∞→b/n a/n n a b A dx x x f ln )(lim . 证<1）))0(2)((lim 1 0 220⎰-+→f dx x f x h h h π)))0()(((lim 1 0 220⎰-+=→dx f x f x h hh ⎰-+=→1 220))0()(((lim δdx f x f x h hh55 / 24⎰=-++δ0 220)))0()((dx f x f x h h.<2）由⎰-ii x x xdx x f 1|sin )(|λ⎰⎰--+-≤ii ii x x x x i i xdx x f dx x f x f 11|sin | |)(||)()(|λλω2)(⋅+∆≤M x f i i<其中M x f ≤ |)(|）及)(R 可积的第二充要条件可得. <3）由第二积分中值定理得，存在),0(x ∈ξ使得⎰⎰≤=x xxtdt xxtdt t x 02 |sin | |sin 1|ξ，再令+∞→x 即得.<4）⎰⎰-=∑=πππ2 212 0 1|sin |)(|sin |)(n kn k nk dx nx x f dx nx x f⎰-==∑=∑=ππξξ2 21 11)(4|sin |)(n k nk k nk k nk f n dx nx f ⎰→∑⋅==ππξππ2 01)(2)(22dx x f f n k n k . <5）⎰⎰-=x Tdt t f T x dt t f x 0 0)()()(ϕ是以T 为周期的连续函数，从而有界，由此即得.<6）由第一积分中值存在)/,/(n b n a n ∈ξ使得⎰=b/na/nn abf dx x x f ln )()(ξ. 令∞→n 即得.例17 设f 在),0[+∞上单调递增，而且0>∀b ，∈)(x f],0[b R .若⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim，则A x f x =+∞→)(lim .56 / 24证 若不然，00>∃ε，n ∀，n x n >∃使得0 |)(|ε≥-A x f n ，此时分两种情形：<i ）若存在N 使得0)(ε≥-A x f N ，则⎰+∞→xx dt t f x 0))(1(lim0 0 ))(1)(1(lim ε+≥+=⎰⎰+∞→A dt t f x dt t f x N Nx xx x . <ii ）n ∀，0)(ε-≤-A x f n ，则),0[+∞∈∀x 有A x f ≤)(0ε-，于是⎰-≤xA dt t f x 00)(1ε.上述的<i ）、<ii ）与⎰=∞→xx A dt t f x 0)(1lim 矛盾.例18 设],[)(b a C x f ∈'，令),,2,1,0( )(n k a b nka x k =-+=，⎰-∑-==b a k nk dx x f x f n a b n r 1)()()(.证明：))()((2)(lim a f b f ab n nr n --=∞→. 证 令)(inf x f m kx k '=∆∈，)(sup x f M kx k '=∆∈，则由⎰⎰---'∑=-∑===kk kk x x k k nk x x k nk dx x x f dx x f x f n r 1 111))(())()(()(ξk nk k n k M na b n r m n a b 1221222)()(2)(==∑-≤≤∑- 于是有⎰--='-→b a a f b f ab dx x f a b n r n ))()((2)(2)((.57 / 24五、思考与讨论1.若)(x f 在区间I 上有原函数，是否必有L N -公式成立？提示：考虑⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x xx x F 2.若],[b a R f ∈，f 是否必有原函数？3.若],[b a R f ∈，而且⎰=xadt t f x F )()(是否必有)()(x f x F ='？4.若f 在I 上不)(R 可积，)(x f 的原函数在I 上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练 1.计算下列定积分<1）⎰20 52sin cos πxdx x <2）⎰-adx x a x 0222<3）⎰-+10 x x e e dx<4）⎰10 arcsin xdx<5）⎰+20 cos sin cos πθθθdx <6）⎰e edx x 1/ |ln | <7）⎰+4 1 42dx xx<8）⎰-π 0sin 1dx x <9）⎰---π 0 1010cos sin 4cos sin dx x x x x <10）⎰+2 2- 41sin ππdx e x x<11）⎰+3 6 sin cos sin ππαααdx x x <α为实数）<12）⎰+4 0 2)cos (sin πdx x x x58 / 242.设⎰-++=1 0 22)(111)(dx x f x xx f .试求⎰1 0 )(dx x f . 3.设2/)13(x xe x f =+,试求⎰1)(dx x f .4.设2)(x e x f -=，试求⎰'''1)()(dx x f x f .5.⎰-=xdt t t x f 0 sin )(π.试求⎰π 0 )(dx x f . 6.设2)(=πf ，⎰''+πsin ))()((xdx x f x f .试求：)0(f '.7.求下列极限<1）⎰→x x dt t x 0 20cos 1lim <2）⎰⎰+∞→xt xt x dt e dt e 02 0 222)(lim<3）32sin lim xdt t x x ⎰+→ <4）3sin 020sin limx dt t xx ⎰→8.设⎰+=)( 021)(x g t dt x f ，⎰+=xdt t x g cos 02))sin(1()(.试求)2/(πf '<答案：1-）.9.设)(x f '连续而且0)0(=f ，0)0(≠'f .求k 使得0)()(lim220≠=-⎰→c xdtt f t x kxx .<答案：4=k ）10.证明：0sin 2 0 >⎰πdx x x<提示：分段，换元）.11.设)(x f '在],[b a 上连续，而且0)()(==b f a f .证明：⎰'≤badt t f x f |)(|21 |)(|,],[b a x ∈∀.12.设)(x f 在],[b a 上单调增加.证明：59 / 24⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf )(2)(. <提示：0)2))(2()((≥+-+-ba xb a f x f ）. 七、提高性习题13.求下列积分<n 为正整数）<1）⎰42tan πxdx n <2）⎰-10 2)1(dx x n<3）⎰π2 0sin xdx n <4）⎰2 0sin cos πxdx x n n14.求下列极限<1）221lim k n n nk n +∑=∞→ <2）πnin n i n 4tan 1lim 1=∞→∑ <3）i n ni n 12/31lim =∞→∑ <4）i n i n n i n ⋅-⋅∑=∞→/1lim 1<5）ni n i n n i n /112)/(lim -=∞→+∑ <6）π21sin )/1(lim ni n i n i n +∑=∞→<答案：<1）.4/π；<2）.π/2ln 2；<3）3/2；<4）.<2）；<5）.2ln /1；<6）6/5π）15.设],[b a R f ∈而且0)(>x f ，令)()(nab ia f f n i-+=. 证明：<1）⎰-=∑=∞→ba n i n i n dx x f ab f n )(1)(11lim <2）⎰=-∞→badxx f a b n n n n n e f f f )(ln 1)()(2)(1lim<3）⎰--=∞→-=∑ban ini n x f dx a b f n 11)(1))()(()1(lim .60 / 2416.求下列极限 <1）⎰+∞→1limn nn xn dx xe <2）x dt t xx ⎰+∞→ 0|sin |lim <3）⎰-+∞→xx dt t t 0])[(lim.<答案：<1）.0；<2）.π/2；<3）.2/1）. 17.证明下列极限：<1）若)(x f '在]1,0[上连续，则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f nx n n .<2）若],1[e R f ∈不变号，则⎰⎰+∞→=enn n dx xx f dx x f n 111 1)()(lim <3）若],[b a C f ∈，则⎰+∞→∈=1]),[( )()/(lim nx nxn b a x x f dt n t f<4）若),0[+∞∈C f 而且A x f x =+∞→)(lim ，则⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim.<提示：<1）利用分部积分；<2）令t x n=，再用第一积分中 值定理；<3）令n t u /=，再利用积分中值定理；<4）分段估计）.18.设]1,0[)(C x f ∈'，]1,0[∈x .证明：)(22ln ))()((lim 221x f x f kn k x f nk n '=-++∑=∞→. 19.设)(x f 在1R 上无穷次可微，n 为自然数，10R x ∈.证明：1)()()(lim 0)1(000+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→n x f x x x f x f dx d n nnx x .61 / 2420.设],[,a a C g f -∈，)(x g 为偶数且对于],[a a x -∈∀，有A x f x f =-+)()(.证明：⎰⎰=aaadx x g A dx x g x f 0- )()()(,并由此计算dx e x I x ⎰-=22arctan |sin |ππ<答案：2/π）.21.设)(x f 为连续函数.证明下述等式：<1）⎰⎰+=+ 1 2 1 222)()(a ax dxx a x f x dx x a x f <2）⎰⎰+=+4 1 4 1 )22(2ln ln )22(xdxx x f dx x x x x f . <提示：<1）令t x =2，再令t a u /2=<分段）；<2）令t x /4=）.22.设⎰+=xdt ttx f 11ln )(，),0(+∞∈x .试求)()/1(x f x f +. <答案：x 2ln 21）. 23.试求函数⎰+-=xe dt t t t x I 212ln )(在],[2e e 上的最大值.<答案：))1/(()1ln(e e e +-+）. 24.设)(xf 连续，而且⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(.试求⎰2)(πdx x f <答案：1）.25.设)(x f '在),0[+∞上存在，0)0(=f ，)(x g 为)(x f 的反 函数而且⎰=)( 02)(x f x e x dt t g .试求：)(x f <答案：c e x x ++)1(）.62 / 2426.设)(1R C f ∈而且)()()()(y x xy y f x f y x f +++=+ (1,R y x ∈∀>.试求)(x f <答案：c x x f +++3/)1(313）. 27.设],0[πC f ∈而且0)( 0=⎰πdx x f ，⎰=π0cos )(xdx x f .证明：)(x f 在],0[π中至少有两个零点.<提示：令⎰=xdt t f x F 0)()(，利用分部积分）.28.设],[b a C f ∈而且不恒为常数，而且)(min )()(],[x f b f a f b a x ∈==.证明：存在),(b a ∈ξ使得)()()( ξξξf a dx x f a-=⎰.<提示：令⎰--=tadx x f t f a t t F )()()()(，)(max )(],[0t f t f b a t ∈=，则0)(0>t F ，0)(<b F ）.29.设],[b a C ∈ϕ，)(x f ''存在而且非负.证明：⎰⎰≥aa dt t a f dt t f a 00 ))(1())((1ϕϕ. <提示：利用)(x f 在⎰=adx x f ax 0 0)(1处的一阶泰展开式）. 30.设]1,0[)(C x f ∈''.证明：⎰⎰⎰''≤11 01|})(|,|)(|max{|)(|dx x f dx x f dx x f .<提示：分)(x f 变号与不变号两种情形考虑）. 31.设],[)(b a C x f ∈'.证明|)(|max |)(||)(1|],[ x f dx x f dx x f a b b a x b a ba∈≥'=-⎰⎰. 32.设],0[)(a C x f ∈'而且0)0(=f ，|)(|max ],[x f M b a x '=∈.63 / 24证明：⎰≤aa M dx x f 022|)(|.<提示：利用 ⎰⎰'---=aa adx x f a x x f a x dx x f 00 0)()(|)()()(）33.设)(x f 在]2,0[上二阶可导，M x f ≤' |)(|<20≤≤x ）而且0)1(=f .证明：⎰≤23/ |)(|M dx x f .<提示：利用)(x f 在1=x 处的泰勒展开式）. 34.设],[)(b a C x f ∈''且0)2(=+ba f ，|)(|max ],[x f Mb a x ''=∈.证明：⎰-≤baa b M dx x f 3)(24|)(|. <提示：利用)(x f 在2/)(0b a x +=处的一阶泰展开式）.35.设⎰+-=xdt nt t x f 0)1ln()1()(，0>x .证明：6)(n x f ≤. <提示：)(x f 在1=x 处取最大值）. 36.设]1,0[C f ∈而且非负，⎰+≤'xdt t f x f 0)(21)(.证明：])1,0[( 1)(∈+≤x x x f .<提示：令⎰+=xdt t f x F 0)(21)(）.37.设],[)()2(b a C x fn ∈而且M x f n ≤ |)(|)2(，=)()(a f i)1,,2,1,0( 0)()(-==n i b f i .证明：⎰+-+≤a n a b M n n n dx x f 0 122)()!12()!2()!( |)(|. <提示：令nn b x a x x g )()()(--=，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设],[)(b a C x f ∈不恒为零而且满足M x f ≤≤)(0.证64 / 24明：⎰⎰⎰-++≤bababaa b M dx x f dx x f dx x f 4222212)())(())(())((.<提示：利用函数单调性）. 39.设],[)(b a C x f ∈而且⎰∈≤xadt t f x f b])[a,(x )()(.证明：]),[( 0)(b a x x f ∈≤.<提示：令⎰=xadt t f x F )()(，则0))((≤'-x F e x）. 40.设)(x f 连续，⎰=1 0 )()(dt xt f x ϕ而且A xx f x =→)(lim0<常 数）.试求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.<答案：2 0/)()(()(x dt t f x xf x x⎰-='ϕ，2/)(lim 0A x x ='→ϕ)0(ϕ'=）.41.设),0[)(+∞∈'C x f 而且0))()((lim ='++∞→x f x f x .证明：0)(lim =+∞→x f x .<提示：令)()()(x f x f x F '+=，则))(()('=x f e x F e x x ，再由⎰-=xx x x t x f e x f e dt t F e 000)()()(及积分中值定理可得）.。