第三节概率的定义

1 3
.
1. 几何概型： 指满足以下两个条件的 ( 1 ) 样本空间 为可度量的区域；
( 2 ) 向 内投一点， 落在 的任意子区域 成正比， 与 A 的形状及位置无关 .
随机试验：
A 的可能性与
A 的度量
2. 几何概率： 记 ( )， ( A ) 表示度量，
则P ( A)
0 到 T 时之间任一时刻
故可看作几何型随机试 的， 验
y
T
A
t
o
t
TxBiblioteka A { ( x , y ) 0 x T ,0 y T 且 x y t }
则 P ( A)
( A) ( )

区域A的面积 区域的面积

T (T t )
2
2
T
2
1 (1
(4) 可列可加性：对于互不相容事件
P ( Ak )
k 1 k 1
P ( A k ).
二、 概率的公理化定义
设 1. 概率定义： E 为随机试验， 对应一个实数 P ( A )，满足： 为样本空间， 若对 E 的每个事件 A
(1) 非负性： 对任一事件
A ， 0 P ( A ) 1； 有
证：
A B A ( B AB )， 且 A ( B AB ) ， P ( A B ) P ( A ) P ( B AB ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ). (5) 对任意事件A， P ( A) 1 P ( A). 有
1 . 两封信随机地投入标号 ( 1 ) 前两个信箱各有一封信 ( 2 ) 第二个信箱恰好有一封 ( 3 ) 第一个信箱没有信的概
1
为 1， ， ， 的 4 个信箱，求 2 3 4 的概率； 信的概率； 率.
率.
2. 从 1， ， ， 中任取 2 个数， 求两数之和为偶数的概 2 n 1 . 解： ( 1 ) P1
P ( AB ) 1 P ( AB ) 1 0 . 4 0 . 6 .
P
C n1 C n1
2 2
.
Cn
2
第一章 概率论基本概念
第三节 概率的定义
一、 几何概率
例： 在一个陀螺的圆周上均 螺，问陀螺停下时其圆周与 匀地刻上 [ 0， ]上的诸数字， 3 桌面接触点的刻度位于 旋转该陀 [ 1， ]上的概率 . 2
解：
所求概率为：
P
[1， ]的长度 2 [ 0， ]的长度 3
( A) ( )
.
例1 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能 是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同 数字组成的概率. 从10个不同数字中 5 解 p P10 =0.3024 取5个的排列 5
10
允许重复的排列
3. 几何概率P ( A)的性质： (1) 非负性： 对任一事件 ( 2) 规范性： 对必然事件
t T
)
2
例 2 . 从区间 [ 0， ]中随机任取两个数， 1 ( 1 ) 两个数之和小于
解： 如图，
求下列事件的概率： 0.25.
1.2 ；( 2 ) 两个数之积小于
1 0 .8 1
2 2
( 1 ) 所求概率为：
P
1 2
0 . 68 .
( 2 ) 所求概率为：
P
0 . 25 1 1
P ( Ak )
k 1


P ( A k ).
A k ( k 1， ， ， ， ) 有 2 n
k 1
(4) 可列可加性：对于互不相容事件
P ( Ak )
k 1 k 1
P ( A k ).
指满足以下两个条件的 1. 古典概型：
( 1 ) 样本空间只有有限个样 ( 2 ) 每个样本点出现的可能 本点，
P ( B ) P ( A ) P ( B A )， 故 P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
由性质 ( 3 ) 可得：
若A B， P ( A) P ( B ). 则
(4) 对任意事件A， ， P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ). B 有
证： A A ，A A ， P ( A ) P ( A ) 1， P ( A ) 1 P ( A ). 故
(6) 对于任意 n 个事件A1 , A2 ,, An , 有
n
P ( Ak ) S 1 S 2 S 3 ( 1)
( A) ( )
. 特别，
； g 的面积 G 的面积 v 的体积 V 的体积 .
( 1 ) l 为线段 L 的一段， 则向 L 投点落在 l 内的概率 P ( 2 ) g 为平面图形 ( 3 ) v 为空间图形
l 的长度 L 的长度
G 的一部分， 则向 G 投点落在 g 内的概率 P V 的一部分， 则向 V 投点落在 v 内的概率 P
4 求 ( 1 ) 三个事件至少发生一个
解：( 1 ) 所求概率为： P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( AB ) P ( BC )
P ( AC ) P ( ABC ) 5 1 1 1 1 00 0 . 8 4 4 4 8 ( 2 ) 所求概率为：
随机试验：
性相同 ( 称为等可能
)，
3. 概率的古典定义：在古典概型中， { ， ， ， }， 设 2 n 1
A { i1， i2， ， im }， 则
P ( A)
m n

事件A包含的样本点数 样本点总数
则P ( A)
.
3. 几何概率：记 ( )， ( A ) 表示度量，

2
0 . 25 0 . 25 x
1
dx

1 4
( 1 2 ln 2 ).
3. 几何概率P ( A)的性质： (1) 非负性： 对任一事件 ( 2) 规范性： 对必然事件
n
A ， 0 P ( A ) 1； 有 ，有 P ( ) 1；
A 1， 2， ， n 有 A A
( 3) 有限可加性： 对于两两互不相容事件 n
A k ( k 1， ， ， ， ) 有 2 n
( 2) 规范性： P ( ) 1； ( 3) 可列可加性： 对于互不相容事件

P ( Ak )
k 1


P ( A k ).
k 1
则称 P ( A )为事件 A 的概率 .
2. 性质： (1) P ( ) 0;
A A ( 2) 有限可加性： 对于两两互不相容事件A1， 2， ， n有
P(ABC ) P(A B C ) 1 P(A B C ) 1 2 . 已知 P ( A ) 0 . 7， P ( A B ) 0 . 3 , 求 P ( AB ).
5 8

3 8
.
解：
P ( A B ) P ( A AB ) P ( A ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A ) P ( A B ) 0 . 7 0 . 3 0 . 4 .
求 : 至少有一个
3
1 , ， 则 P ( A) 3 35 C7 34 . 所求概率为： P ( A ) 1 P ( A ) 35 1 1 例 3. 设 P ( A ) ， P ( B ) ，求在下列三种情况下求 P ( A B ). 3 2 1 ( 1 ) AB ；( 2 ) A B ；( 3 ) P ( AB ) . 8
1 2

1 8

3 8
.
例3 在 1 ~ 2000 的整数中随机地取一个 , 问取到的整数既不能 数 被 6 整除 , 也不能被 8 整除的概率是多少 ?
解
设 A 取到的数能被 6 整除 , B 取到的数能被 8 整除 .
所求概率为 P A B P A B 1 P A B
n1
Sn
其中
S1
k 1

n
P ( Ak ), S 2
k 1
1 i j n

P ( Ai A j ), S 3
1 i j k n

P ( Ai A j Ak )
例 2 . 口袋中有 4 个白球， 3 个黑球， 从中任取三球， 白球的概率；
解： 令 A 表示抽取的球全为黑球
n
A ， 0 P ( A ) 1； 有 ，有 P ( ) 1；
A 1， 2， ， n 有 A A
( 3) 有限可加性： 对于两两互不相容事件 n
P ( Ak )
k 1


P ( A k ).
A k ( k 1， ， ， ， ) 有 2 n
k 1
n
P ( Ak )
k 1
P ( Ak ).
k 1
n
( 3) 设A B， P ( B A) P ( B ) P ( A). 则
( 3) 设A B， P ( B A) P ( B ) P ( A). 则
证：
B A ( B A )， 且 A ( B A ) ，
C3
解：
( 1 ) AB ， B A， A B B ， P ( A B ) P ( B )
1 2
.
( 2 ) A B ， AB B A 1 1 1 P ( AB ) P ( B ) P ( A ) . 2 3 6