快速傅里叶变换
数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
快速傅里叶变换和逆变换
快速傅里叶变换和逆变换介绍快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）和逆变换（Inverse Fourier Transform）是一对重要的信号处理工具。
傅里叶变换及其逆变换是一种将信号在时域和频域之间转换的方法，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统等领域。
FFT算法是一种高效的实现傅里叶变换和逆变换的方法，通过减少计算量，加快了信号处理的速度。
傅里叶变换傅里叶级数傅里叶变换的前身是傅里叶级数。
傅里叶级数是将一个周期为T的连续函数f(t)分解成一系列基本频率（正弦和余弦函数）的和。
假设函数f(t)的周期为T，则可以将其表示为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，ω = 2π/T是与周期T对应的基本频率，an和bn是系数。
连续傅里叶变换对于非周期性的信号，可以使用连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）将其从时域转换到频域。
连续傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号f(t)在频域中的表示，ω是频率。
离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是将离散的时间域信号转换为离散的频域信号的方法。
DFT的定义如下：X(k) = Σ[x(n)e^(-j2πkn/N)]其中，X(k)表示信号x(n)在频域中的表示，k是频率的索引，N是信号的长度。
快速傅里叶变换FFT算法原理快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。
FFT算法的基本思想是将长度为N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT的计算，并重复这个分解过程，直到长度为1。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，相比于原始的DFT算法的O(N^2)，具有更快的计算速度。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
快速傅里叶变换浅析
快速傅里叶变换浅析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号在时域和频域之间转换的高效算法。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理以及其他各种领域。
本文将简要介绍FFT的原理、应用及其优缺点。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种快速算法。
FT是将一个信号分解成不同频率的正弦波组成的频谱。
而FFT则通过将信号分解成更小的子问题并利用许多对称性质来大大减少计算量。
在FFT中，信号被表示为一组复数形式的采样点。
通过对这些采样点进行分解和重组，可得到信号的频谱。
FFT算法的核心思想是将信号分解成大小相等的子问题，并通过迭代的方式快速计算出频谱。
不同大小的子问题需要使用不同的算法，其中最常用的是基2快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）。
二、快速傅里叶变换的应用1. 信号处理领域FFT在信号处理领域得到了广泛应用，例如音频和图像处理。
在音频处理中，FFT可以将时域的音频信号转换为频域，从而实现音频的分析、滤波、压缩等操作。
在图像处理中，FFT可以将图像转换为频域表达，从而实现图像增强、滤波、纹理分析等操作。
2. 通信领域FFT在通信领域也有着重要的应用。
例如，在调制解调器中，FFT被用于将时域的信号转换为频域，以进行调制解调操作。
另外，FFT还可以用于信号的编码、解码和信道估计等方面，提高通信系统的性能。
3. 数值计算领域FFT在数值计算领域也扮演着重要的角色。
例如，在大规模线性方程组的求解中，FFT被用于加速计算过程。
FFT还可以应用于信号滤波、噪声消除、信号重建和频谱分析等方面。
三、快速傅里叶变换的优缺点1. 优点（1）高效性：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT具有更高的计算效率，能够在较短的时间内完成复杂的频谱计算。
（2）节省空间：FFT所需的内存空间较少，可以适用于有限的计算资源。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
快速傅里叶变换和逆变换
快速傅里叶变换和逆变换一、前言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法，它在信号处理、图像处理等领域得到了广泛应用。
本文将介绍FFT算法的基本原理、实现方法和应用场景，以及逆变换的概念和实现方法。
二、傅里叶变换1. 傅里叶级数傅里叶级数是指将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数之和的形式。
它可以用来分析周期信号的频率成分。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程，它可以将一个复杂的信号分解成若干个简单的正弦波或余弦波，从而更好地理解信号。
3. 傅里叶反演公式傅里叶反演公式是指将一个频域信号转换回时域信号的过程。
它可以通过对频域中每个频率分量进行加权求和来还原原始信号。
三、快速傅里叶变换1. FFT算法基本原理FFT算法是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的方法，它可以将DFT的时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将DFT分解为若干个小规模DFT的组合，从而达到减少计算量的目的。
2. FFT算法实现方法FFT算法有多种实现方法，其中最常用的是蝴蝶算法。
蝴蝶算法将DFT分解为两个规模较小的DFT，并通过旋转因子进行组合，从而得到原始信号的频域表示。
3. FFT应用场景FFT算法在信号处理、图像处理、音频处理等领域得到了广泛应用。
例如，在音频压缩中，可以使用FFT算法对音频信号进行频谱分析并提取重要信息，以便进行压缩。
四、傅里叶逆变换1. 逆变换概念傅里叶逆变换是将一个频域信号转换回时域信号的过程。
它可以通过对频域中每个频率分量进行加权求和来还原原始信号。
2. 逆变换实现方法傅里叶逆变换可以通过傅里叶反演公式来计算。
具体而言，可以对每个频率分量乘以相应的旋转因子，并将结果相加得到原始信号的时域表示。
3. 逆变换应用场景傅里叶逆变换在信号恢复、图像重建等领域得到了广泛应用。
例如，在图像处理中，可以使用傅里叶逆变换将频域中的图像还原为时域中的图像，以便进行后续处理。
4 快速傅里叶变换
4.2 直接计算 DFT 的问题及改进的途径
设 x(n) 为 N 点有限长序列 , 其 DFT 为
X (k ) x(n)W , k 0,1,…,N-1
n 0 nk N
N 1
(4-1)
反变换( IDFT) 为
1 N 1 nk x(n) X (k )WN , n 0,1,…,N-1 N k 0
表示。流图的表示法 将在第五章中讨论 , 当支路上没有标出系数
时 , 则该支路的传输系数为 1 。
采用这种表示法 , 可将上面讨论的分解过程表示于图 4-2 中。 此图表示 N= =8 的情况 , 其中输出值 X(0) 到 X(3 )是由(4-11) 式给出的 , 而输出值 X(4 )到 X(7 )是由 (4-12) 式给出的。
前半部分X（k）（k=0，1……,N/2-1)
后半部分X（k）（k= N/2 ……,N-1)
这样 , 只要求出 0 到 (N/2-1 ）区间的所有
值 , 即可
求出 0 到 (N-1) 区间 内的所有 X(k）值 , 这就大大节省了运算。
(4-11）式和 (4-12）式的运算可以用图 4-1 的蝶形信号流图符号
nk （1） WN 的对称性
(W ) W
nk * N
nk N
nk （2 ） 的周期性 WN
W
（3）W
nk N 的可约性
nk N
W
W
( n N ) k N
W
n( k N ) N
W
nk N
nmk mN
,W
nk N
W
nk / m N /m
由此可得出
n ( N k ) ( N n ) k nk WN WN WN ,
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
fft 快速傅里叶变换 (fast fourier transform)
FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。
FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。
傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。
但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。
三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。
FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。
1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。
蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。
快速傅里叶变换
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
【知识总结】快速傅里叶变换（FFT）
【知识总结】快速傅⾥叶变换（FFT ）这可能是我第五次学FFT 了……菜哭qwq 先给出⼀些个⼈认为⾮常优秀的参考资料：快速傅⾥叶变换（FFT ）⽤于计算两个n 次多项式相乘，能把复杂度从朴素的O (n 2)优化到O (nlog 2n )。
⼀个常见的应⽤是计算⼤整数相乘。
本⽂中所有多项式默认x 为变量，其他字母均为常数。
所有⾓均为弧度制。
⼀、多项式的两种表⽰⽅法我们平时常⽤的表⽰⽅法称为“系数表⽰法”，即A (x )=n∑i =0a i x i上⾯那个式⼦也可以看作⼀个以x 为⾃变量的n 次函数。
⽤n +1个点可以确定⼀个n 次函数（⾃⾏脑补初中学习的⼆次函数）。
所以，给定n +1组x 和对应的A (x )，就可以求出原多项式。
⽤n +1个点表⽰⼀个n 次多项式的⽅式称为“点值表⽰法”。
在“点值表⽰法”中，两个多项式相乘是O (n )的。
因为对于同⼀个x ，把它代⼊A 和B 求值的结果之积就是把它带⼊多项式A ×B 求值的结果（这是多项式乘法的意义）。
所以把点值表⽰法下的两个多项式的n +1个点的值相乘即可求出两多项式之积的点值表⽰。
线性复杂度点值表⽰好哇好但是，把系数表⽰法转换成点值表⽰法需要对n +1个点求值，⽽每次求值是O (n )的，所以复杂度是O (n 2)。
把点值表⽰法转换成系数表⽰法据说也是O (n 2)的（然⽽我只会O (n 3)的⾼斯消元qwq ）。
所以暴⼒取点然后算还不如直接朴素算法相乘……但是有⼀种神奇的算法，通过取⼀些具有特殊性质的点可以把复杂度降到O (nlog 2n )。
⼆、单位根从现在开始，所有n 都默认是2的⾮负整数次幂，多项式次数为n −1。
应⽤时如果多项式次数不是2的⾮负整数次幂减1，可以加系数为0的项补齐。
先看⼀些预备知识：复数a +bi 可以看作平⾯直⾓坐标系上的点(a ,b )。
这个点到原点的距离称为模长，即√a 2+b 2；原点与(a ,b )所连的直线与实轴正半轴的夹⾓称为辐⾓，即sin −1ba 。
傅里叶变换及其快速算法
傅里叶变换及其快速算法傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，它在多个领域中被广泛应用，包括图像处理、音频处理、通信系统等等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理，并详细探讨其快速算法。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号表示为频域的复振幅和相位的分析工具。
它能够将一个连续时间域信号转换为连续频域信号，通过分析信号的频谱信息来揭示信号的特征和特性。
傅里叶变换的表达式如下：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt \]其中，\(F(\omega)\)表示信号的频谱，\(f(t)\)表示信号在时域的函数。
二、离散傅里叶变换在数字信号处理中，我们通常处理离散时间域的信号。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在离散时间域上的推广。
DFT的表达式如下：\[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]其中，\(F[k]\)表示信号的频谱，\(f[n]\)表示信号在时域的离散序列，\(N\)表示序列的长度，\(k\)表示频率的序号。
三、快速傅里叶变换DFT的计算复杂度为\(O(N^2)\)，当信号长度较大时，计算量将非常巨大。
为了解决这个问题，提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，能够将计算复杂度降低到\(O(N\log N)\)。
FFT算法基于分治法，将信号分解为较小的子问题，然后进行逐层合并。
其基本思想是通过迭代和递归的方式将DFT计算变为多个较小规模的DFT计算。
常用的FFT算法有蝶形算法（Butterfly Algorithm）和Cooley-Tukey 算法。
蝶形算法是一种基于时域采样点的折叠和重叠计算的方法；Cooley-Tukey算法则是一种使用递归分治的迭代算法。
FFT算法的快速计算使其得到了广泛的应用，特别是在实时系统和大规模数据处理中。
四、应用领域傅里叶变换及其快速算法在各个领域都有着广泛的应用。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种基于分治策略的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的高效算法。
FFT算法的基本原理是利用对称性和周期性来减少计算量，将O(n^2)的复杂度降低到O(nlogn)。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，能够将信号拆分成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换的计算公式为：X(k) = Σ(x(n) * e^(-2πikn/N))其中，X(k)表示频域上第k个频率的幅度和相位，x(n)表示时域上第n个采样点的值，N表示采样点的总数。
该公式根据欧拉公式展开，可以得到正弦和余弦函数的和的形式。
FFT算法的核心思想是将DFT的计算分解成多个较小规模的DFT计算，并通过递归进行计算。
它利用了信号的对称性和周期性，将2个互为共轭的频率分量合并成一个复数，从而减少计算量。
FFT算法的具体过程如下：1.如果采样点数N不是2的幂次，则通过添加零补足为2的幂次，得到一个新的序列x'(n)。
2.如果序列的长度为1，即N=1，则返回序列x'(n)。
3.将x'(n)分为两个长度为N/2的子序列x1(n)和x2(n)。
4.使用递归调用FFT算法计算x1(n)的DFT结果X1(k)和x2(n)的DFT结果X2(k)。
5.根据DFT的定义，计算输出DFT序列X(k)。
-对于k=0，X(0)=X1(0)+X2(0)-对于k=1至N/2-1，X(k)=X1(k)+W_N^k*X2(k)-对于k=N/2至N-1其中W_N^k = e^(-2πik/N)，是旋转因子。
6.返回DFT结果X(k)。
通过将FFT算法应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域，可以大大加速傅里叶变换的计算过程，提高算法的效率和性能。
总结起来，快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，可以将信号从时域转换到频域，通过利用信号的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(n^2)降低到了O(nlogn)。
快速傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT ）快速傅里叶变换并不是一种新的变换，而是离散傅里叶变换的一种快速算法。
DFT 的计算在数字信号处理中非常有用，但是由于DFT 的计算量较大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，通过引入其快速算法FFT ，使DFT 的计算大大简化，运算时间一般可缩短一、二个数量级。
4.1 FFT 算法的基本思想一、直接计算DFT 的问题设)(n x 为N 点有限长序列，其DFT 为：10)()]([)(10-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n knNIDFT 为：10)(1)]([)(10-≤≤==∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N k knN二式的差别仅在于N W 的指数符号不同，以及相差一个常数因子N /1，所以，我们只对DFT 正变换的算法进行讨论。
将)(k X 可以展开如下：)1()2()1()0()1()1()2()1()0()2()1()2()1()0()1()1()2()1()0()0()1)(1()2)(1()1)(1()0)(1()1(2)2(2)1(2)0(2)1(1)2(1)1(1)0(1)1(0)2(0)1(0)0(0-++++=--++++=-++++=-++++=--------N x W x W x W x W N X N x W x W x W x W X N x W x W x W x W X N x W x W x W x W X N N NN N N NN NN NNNNN NNNN N N N N N一般来说，)(n x 和knN W 都是复数，因此，完成每一个频率分量的计算需要作N 次复数乘法和1-N 次复数加法，完成)(k X 的N 个频率分量的计算需要作2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
我们知道，复数运算实际上是由实数运算来完成的。
一次复数乘法包括四次实数乘法和二次实数加法，即：)()())((ad bc j bd ac jd c jb a ++-=++一次复数加法包括二次实数加法，即：)()()()(d b j c a jd c jb a +++=+++因此，完成一个)(k X 需要N 4次实数乘法和)12(2)1(22-=-+N N N 次实数加法，整个DFT （N 点)(k X ）运算需要24N 次实数乘法和)12(2-N N 次实数加法。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
先设序列点数为N=2M，M为整数。如果不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值点，使之达到这一要求。 这种N为2的整数幂的FFT称基-2 FFT。
(一)N/2点DFT
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(3)对X1(k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为
X(0)~X(3),后半部分为 X(4) ~ X(7) 整个过程如图4.2.2 所示:
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
WNk
X2(k)
X(N 2
k)
X1(k) WNk
X 2 (k )
(后一半)
计算X(k)包含N/2个蝶形运算和两个N/2点DFT运算
计算工作量分析
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(1)1个N/2点的DFT运算量:
复乘次数: ( N )2 N 2 复加次数: N ( N 1)
24
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:
例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT, 具体步骤如下:
(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分:
x3(l) x1(r) x(n) x3(0) x1(0) x(0) x3(1) x1(2) x(4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施
快速傅里叶变换fft mathmatica
快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。
在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。
1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。
2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。
其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。
快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。
3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。
在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。
在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。
4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。
它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。
虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。
总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。
通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。
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快速傅里叶变换
快速傅里叶变换在信号处理等领域有着广泛的应用。
在竞赛中，TTF 主要用途是求两个
多项式的乘积，即给定两个阶小于n 的多项式∑-==
1
)(n k k
k
x a
x A ，∑-==
1
)(n k k
k
x b
x B ，需要求解
)()()(2
20
x B x A x C
x C n k k
k
==
∑-=。
注意)(x C 的阶是不超过n 2，而不是n 。
朴素算法依次计算)(x C 的各个系数∑=-=k
i i
k i
k b
a C 0
，复杂度为)(2n O ，而通过FFT 可
以做到)log (n n O 。
在FFT 中需要应用到一些复数的知识。
方程1=n x 在复数域上一共有n 个不同的解，可以表示为n
k i n
k ππ2sin
2cos
+或是等价的)1..0(/2-=n k e
n
i k π。
记n
i e
/2π为n ω，则这n 个
解也可以表示成1
...-n n n ωω。
n ω被称为单位根。
从几何的角度来看，这n 个解对应到的是复
平面上单位圆的n 等分点。
对于一个小于n 阶的多项式，如果给出它在n 个不同位置的取值，则该多项式的系数是唯一确定的 。
例如若已知一个小于3阶的多项式)(x F 满足1)0(=F 、3)1(=F 、
1)1(=-F ，则可以知道1)(2
++=x x x F 。
如果已知一个小于n 阶多项式的系数，则可以在)(2
n O 的时间内求得它在任意n 个不同位置上的取值。
如果已知一个小于n 阶的多项式在n 个不同位置上的取值，则可以通过拉格朗日插值公式（)(2n O 的复杂度）或是求解线性方程组()(3
n O 的复杂度）得到它的系数。
若n 为偶数，则k
n k n 2/2ωω=。
FFT 基本思路是通过计算)(x A 在n 2个不同位置上的取值以及)(x B 同样在这n 2个位置上的取值之后，将这两组取值按位置相乘，就得到了)(x C 在这n 2个位置上去取值。
最后再将)(x C 的系数推出来。
为了控制时间复杂度，FFT 将这n 2个位置选取在0
2n ω，
12n ω (1)
22-n n ω。
算法有两个难题，一个是如何在)log (n n O 时间内求得)(02n A ω，)(12n A ω...)(1
22-n n
A ω和)(02n
B ω，)(12n B ω...)(122-n n B ω，还有一个是如何在)log (n n O 时间内根据)(0
2n C ω，)(1
2n C ω...)(1
22-n n C ω求得多项式)(x C 的系数。
不失一般性，若已知任意小于n 阶的多项式)(x F 的系数0f ，1f ...1-n f ，其中n 为2的
次幂，不足用0补足。
则可以通过递归法在)log (n n O 时间内求解它在0n ω，1
n ω...1-n n ω位置
上的取值。
首先，把)(x F 按照指数的奇偶性改写成)()()(202x xF x F x F e +=，其中，
1
2/220...)(--+++=n n e x
f x f f x F ，而12/1310...)(--+++=n n x f x f f x F 。
若n 为偶数，则
k
n k
n 2/2ωω=。
因此只需求解e F 和0
F 在0
2/n ω，1
2/n ω (1)
2/2
/-n n ω这
2
n 个位置上的取值即可。
这
样问题的规模被缩小了一半，一直递归下去即可。
若已知)(0
2n
C ω，)(12n
C ω...)(122-n n
C ω
，可以证明)(x C 的系数∑-=-=
1
20
22)(1
n j jk
n j n
k C n
C ωω。
不难发现这与上面的问题相似，只是多项式的系数变了变，可以用相同的路数来解决。