三次函数图像分析

合集下载

应用导数研究三次函数课件

应用导数研究三次函数课件
3a 3a
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合,特殊与一般,化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题,在函数中讲到了很 多,你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗?
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上(除对称中心) 2条
曲线上(除对称中心) 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心,对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于(0,0)对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心,对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的,你能证明切线条数的一般 性结论吗?
谢 谢!

三次函数的图象与性质

三次函数的图象与性质

解:(1)由原式,得 = 3 − 2 − 4 + 4,
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
(2)由′ −1 = 0,得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2),
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0,得 = 3或 = −1
= −
求导:’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0,则 = ±1.
列表:

−∞, −

−,

, +∞

+
0

0
+


极大

极小

y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二:三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知,1 ≥ −2, 2 ≤ 2,即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组,得−2 ≤ ≤ 2.
优解:因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线,
4 + 8 ≥ 0,
由条件,得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解:(1) ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时,对,有′ > 0,所以 的单调增区间为(−∞, +∞);
当 > 0时,由′ > 0,解得 < − 或 > ;由′ < 0,解得− < <

三次函数图像与性质

三次函数图像与性质

2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义:定数义判别式:y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解:、分别为极大值和极小值点,且在,为增函数,当时,bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点,,则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f (x )=x 3-x 2+(a+1)x+1,其中a 为实数(Ⅰ)已知函数f (x )在x=1处取得极值,求a 的(Ⅱ)已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈(0,+∞)都成立,求实数x 的取值范围。

2.a 为何值时,方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根,有没有可能无实根?2x。

第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)

第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)

第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)具有丰富的性质,利用导数研究这些性质,其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中.本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y=f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x=1时f(x)有极小值为-4.①求a,b,c,d的值;②若直线l3亦与y=f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x3-tx2+1,求证:对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =.(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点;(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式;(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间.4.已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:33b a >;(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围.。

三次函数图像与性质(解析版)

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像,单调性,极值,最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式(1)一般式:()³²f x ax bx cx d =+++(a ≠0)(2)交点式:()123()()()f x a x x x x x x =---(a ≠0)1.若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====,则()3f =()A .38B .171C .460D .965【解析】待定系数法,求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++,则()232f x ax bx c '=++,由题意可得:()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+,解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩,则()3210123f x x x x =-+,所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容,其考点广泛且深入,主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析:1.三次函数的定义与形式∙定义:形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (其中a ≠=0)的函数称为三次函数。

∙形式:注意系数a ,b ,c ,d 的作用,特别是a 的正负决定了函数的开口方向(a >0开口向上,a <0开口向下)。

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题;也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥,,,若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是.【答案】3(2)2-,【解析】:函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x -x3,x ≤0,-2x ,x >0.)当x ∈(-∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[-16,+∞),则实数m 的取值X 围是________.【答案】 [-2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[-16,+∞),求出它的值等于-16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定.当x ≤0时,f (x )=12x -x 3,所以f ′(x )=12-3x 2.令f ′(x )=0,则x =-2(正值舍去),所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,此时f (x )单调递减;当x ∈(-2,0]时,f ′(x )>0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (-2)=-16.当x >0时,f (x )=-2x 单调递减,f (0)=0,f (8)=-16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[-2,8].解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力.题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =.(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点;(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式;(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间.解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4);(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤. 当0x =时,上式恒成立;当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =;②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤; 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤; (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞;2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞;3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞.例4,(2018某某期末) 若函数f(x)=(x +1)2|x -a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (-∞,-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72,+∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解.函数f(x)=(x +1)2|x -a|=|(x +1)2(x -a)|=|x 3+(2-a)x 2+(1-2a)x -a|.令g(x)=x 3+(2-a)x 2+(1-2a)x -a,则g ′(x)=3x 2+(4-2a)x +1-2a =(x +1)(3x +1-2a).令g ′(x)=0得x 1=-1,x 2=2a -13.①当2a -13<-1,即a<-1时,令g ′(x)>0,即(x +1)(3x +1-2a)>0,解得x<2a -13或x>-1;令g ′(x)<0,解得2a -13<x<-1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2a -13,(-1,+∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,-1. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,2a -13,(-1,+∞),单调减区间是(-∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,-1,满足条件,故a<-1(此种情况函数f(x)图像如图1). ,图1)②当2a -13=-1,即a =-1时,f(x)=|(x +1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(-1,+∞),单调减区间是(-∞,-1),满足条件,故a =-1.,图2)③当2a -13>-1,即a>-1时,令g ′(x)>0,即(x +1)(3x +1-2a)>0,解得x<-1或x>2a -13;令g ′(x)<0,解得-1<x<2a -13.所以g(x)的单调增区间是(-∞,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,+∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,2a -13. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,2a -13,(a,+∞),单调减区间是(-∞,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,a ,要使f(x)在[-1,2]上单调递增,必须满足2≤2a -13,即a ≥72,又因为a>-1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3).综上,实数a 的取值X 围是(-∞,-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72,+∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x3+x2,x<0,ex -ax ,x ≥0,其中常数a ∈R .(1) 当a =2时,求函数f (x )的单调区间;(2) 若方程f (-x )+f (x )=e x -3在区间(0,+∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围;规X 解答 (1) 当a =2时,f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x3+x2,x<0,ex -2x ,x ≥0.①当x<0时,f ′(x)=-3x 2+2x<0恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上递减;(2分)②当x ≥0时,f ′(x)=e x -2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,+∞)上递增.(4分)因为f(0)=1>0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞).(5分)(2) 当x>0时,f(x)=e x -ax,此时-x<0,f(-x)=-(-x)3+(-x)2=x 3+x 2.所以可化为a =x 2+x +3x在区间(0,+∞)上有实数解.(6分) 记g(x)=x 2+x +3x ,x ∈(0,+∞),则g ′(x)=2x +1-3x2=(x -1)(2x2+3x +3)x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,且g(1)=5,当x →+∞时,g(x)→+∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,+∞),即实数a 的取值X 围是[5,+∞).(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值;② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈,,R . (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示);② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由;规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->,,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<,,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>,,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点; 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:33b a >;(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围.解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>;(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >;(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一:332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=.记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤.法二:下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一.例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,a ∈R .(1) 曲线y =f (x )在x =0处的切线的斜率为3,求a 的值;(2) 若对于任意x ∈(0,+∞),f (x )+f (-x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围;(3) 若a >1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )=M (a )-m (a ),求h (a )的最小值.思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)=6(x -1)(x -a),且a >1,故只需分为两大类:a ≥2,1<a <2.当1<a <2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)=f(2)得到分类的节点a =53.规X 解答 (1) 因为f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,所以f ′(x)=6x 2-6(a +1)x +6a,所以曲线y =f(x)在x =0处的切线的斜率k =f ′(0)=6a,所以6a =3,所以a =12.(2分)(2) f(x)+f(-x)=-6(a +1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,+∞)恒成立,所以-(a +1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)=2lnx x2,x >0,则g ′(x)=2(1-2lnx )x3.令g ′(x)=0,解得x = e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)>0,所以g(x)在(0,e)上单调递增;当x ∈(e,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在(e,+∞)上单调递减.所以g(x)max =g(e)=1e,(6分)所以-(a +1)≥1e ,即a ≤-1-1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-1-1e .(8分)(3) 因为f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,所以f ′(x)=6x 2-6(a +1)x +6a =6(x -1)(x -a),令f ′(x)=0,则x =1或x =a.(10分)f(1)=3a -1,f(2)=4.由f(1)=f(2)得到分类的节点a =53.①当1<a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x ∈(a,2)时,f ′(x)>0,所以f(x)在(a,2)上单调递增.又因为f(1)≤f(2),所以M(a)=f(2)=4,m(a)=f(a)=-a 3+3a 2,所以h(a)=M(a)-m(a)=4-(-a 3+3a 2)=a 3-3a 2+4.因为h ′(a)=3a 2-6a =3a(a -2)<0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1,53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1,53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=827.(12分)②当53<a <2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x ∈(a,2)时,f ′(x)>0,所以f(x)在(a,2)上单调递增.又因为f(1)>f(2),所以M(a)=f(1)=3a -1,m(a)=f(a)=-a 3+3a 2,所以h(a)=M(a)-m(a)=3a -1-(-a 3+3a 2)=a 3-3a 2+3a -1.因为h ′(a)=3a 2-6a +3=3(a -1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2时,h(a)>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)=f(1)=3a -1,m(a)=f(2)=4,所以h(a)=M(a)-m(a)=3a -1-4=3a -5,所以h(a)在[2,+∞)上的最小值为h(2)=1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,x3,-1≤x ≤1,)若关于x 的方程f (x )=k (x +1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12【解析】思路分析 方程f (x )=k (x +1)的实数根的个数可以理解为函数y =f (x )与函数y =k (x +1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数.在同一个直角坐标系中,分别作出函数y =f (x )及y =k (x +1)的图像,则函数f (x )max =f (1)=1,设A (1,1),B (-1,0),函数y =k (x +1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )=k (x +1)有两个不同的实数根,则0<k <k AB =12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sinx ,x <1,x3-9x2+25x +a ,x ≥1,)若函数f (x )的图像与直线y =x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________.【答案】 {-20,-16}【解析】当x <1时,f(x)=sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =sinx ,y =x ,得x -sin x =0,令u(x)=x -sin x(x <1),则u ′(x)=1-cos x ≥0,所以函数u(x)=x -sin x(x <1)为单调增函数,且u(0)=0,所以u(x)=x -sin x(x <1)只有唯一的解x=0,这表明当x <1时,函数f(x)的图像与直线y =x 只有1个公共点.因为函数f(x)的图像与直线y =x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y =x 只有2个公共点.当x ≥1时,f(x)=x 3-9x 2+25x +a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x3-9x2+25x +a ,y =x ,得a =-x 3+9x 2-24x,令h(x)=-x 3+9x 2-24x(x ≥1),则h ′(x)=-3x 2+18x -24=-3(x -2)(x -4).令h ′(x)=0得x =2或x =4,列表如下:32数a =-20或a =-16.综上所述,实数a 的取值集合为{-20,-16}.3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)=kx +1,且函数y =f(x)-g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫-9,13【解析】解法1 y =⎩⎪⎨⎪⎧|x +3|-(kx +1),x ≤0,x 3-(k +12)x +2,x>0,若其图像经过四个象限.①当x>0时,y =x 3-(k +12)x +2,当x =0时,y =2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y=x 3-(k +12)x +2<0,则k +12>x 2+2x ,即k +12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2+2x min .令h(x)=x 2+2x (x>0),h ′(x)=2x -2x2=2(x3-1)x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上递增;当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x =1时取得极小值,也是最小值,h(x)min =h(1)=3,所以k +12>3,即k>-9.②当x ≤0时,y =|x +3|-(kx +1),当x =0时,y =2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y =|x +3|-(kx +1)<0,则k<|x +3|-1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x +3|-1x max .令φ(x)=|x +3|-1x=⎩⎪⎨⎪⎧-1-4x ,x ≤-3,1+2x ,-3<x<0,易知φ(x)在(-∞,-3]上单调递增,在(-3,0)上单调递减,当x =-3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max =φ(-3)=13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-9,13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)=x 3-12x +3,f ′(x)=3x 2-12=3(x +2)(x -2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,且 f(2)=-13<0,当x ≤0时,f(x)=|x +3|.g(x)=kx +1恒过(0,1),若要使y =f(x)-g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可(交点不可为(-3,0)和切点).①当k>0时,在(0,+∞)必有交点,在(-∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(-∞,0)必有交点,在(0,+∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)=x 3-12x +3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30-12x 0+3),由k =3x20-12=x30-12x 0+3-1x 0,解得x 0=1,切线斜率k =-9,所以k∈(-9,0).③当k =0也符合题意.综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-9,13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩, ,,的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ .【答案】a <0或a >2【解析】当a <0时,10y ax x =-,≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a <0时显然满足题意; 当a ≥0时,10y ax x =-,≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->,的图象需经过第一,二象限.【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切).如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a >2时,符合.综上,a <0或a >2.【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a >2,则实数a 的取值X 围为a <0或a >2.5,(2019某某期末)已知函数f(x)=ax 3+bx 2-4a(a,b ∈R ).(1) 当a =b =1时,求f (x )的单调增区间;(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值;(3) 当a =0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围.解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a =4x2-x 恰有两个不同的实数解.另外,由g(x)=x 3+kx 2-4恰有两个不同的零点,可设g(x)=(x -s)(x -t)2.展开,得x 3-(s +2t)x 2+(2st +t 2)x -st 2=x 3+kx 2-4,所以⎩⎪⎨⎪⎧-(s +2t )=k ,2st +t2=0,-st2=-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧s =1,t =-2,k =3.解:(1)当a =b =1时,f(x)=x 3+x 2-4,f ′(x)=3x 2+2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<-23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-23和(0,+∞).(4分)(2)法一:f ′(x)=3ax 2+2bx,令f ′(x)=0,得x =0或x =-2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)=0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a =0.当f(0)=0时,得a =0,不合题意,舍去;(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a =0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a +b ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a 2-4a =0,即-827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3+49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3-4=0,所以ba =3.(10分)法二:由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)=0得,b a =4-x3x2=4x2-x(x ≠0).(6分)设h(x)=4x2-x,h ′(x)=-8x3-1,令h ′(x)=0,得x =-2, 当x ∈(-∞,-2)时,h ′(x)<0,h(x)递减;当x ∈(-2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,+∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a=4-x3x2=4x2-x 恰有一个根-2,此时函数f (x )=a (x +2)2(x -1)恰有两个零点-2和1.(10分)(3)当a =0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )=ln x -bx 2,则g ′(x )=1x-2bx =1-2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,+∞)上递增,且g (1)=-b ≥0,所以在(1,+∞)上,g (x )=ln x -bx 2≥0,不合题意;(11分)当b >0时,令g ′(x )=1-2bx2x=0,得x =12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ,+∞递减, 所以g (x )max =g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b =ln12b -12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b -12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)=-b <0,g (e 12)=12-b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0,g (3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ln2-4b>0,ln3-9b ≤0,解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )=lnx x,则h ′(x )=1-lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增;当x ∈(e,+∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减.所以h (x )max =h (e)=1e>h (2)=ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b <ln24.(16分)(注:用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y =f(x)在x =x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y =f(x)的极值点.设函数f(x)=x 3-tx 2+1(t ∈R ).(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围;(2) 求证:对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行;(3) 当t =3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组.规X 解答 (1)由函数f(x)=x 3-tx 2+1,得f ′(x)=3x 2-2tx.由f ′(x)=0,得x =0,或x =23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)=3x 2-2tx =p,即3x 2-2tx -p =0,Δ=4t 2+12p.当p >-t23时,Δ>0,此时3x 2-2tx -p =0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y =(3x21-2tx 1)x -2x31+tx21+1和y =(3x22-2tx 2)x -2x32+tx22+1.若两切线重合,则-2x31+tx21+1=-2x32+tx22+1,即2(x21+x 1x 2+x22)=t(x 1+x 2),即2=t(x 1+x 2).而x 1+x 2=2t 3,化简得x 1·x 2=t29,此时(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4t29-4t29=0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合.综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.(10分)(3)当t =3时f(x)=x 3-3x 2+1,f ′(x)=3x 2-6x.由(2)知x 1+x 2=2时,两切线平行.设A(x 1,x31-3x21+1),B(x 2,x32-3x22+1),不妨设x 1>x 2,则x 1>1.过点A 的切线方程为y =(3x21-6x 1)x -2x31+3x21+1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d =|2x32-2x31-3(x22-x21)|1+9(x21-2x 1)2=|(x2-x1)|1+9(x21-2x 1)2=4,化简得(x 1-1)6=1+92,(13分)令(x 1-1)2=λ(λ>0),则λ3-1=9(λ-1)2,即(λ-1)( λ2+λ+1)=9(λ-1)2,即(λ-1)( λ2-8λ+10)=0.显然λ=1为一解,λ2-8λ+10=0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解.因为x 1-1>0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组.(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )=(x +a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式;(2) 当a >0时,若函数F (x )=f (x )-g (x )的最小值为M (a ),证明:M (a )<-73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为-a -1,则g ′(-a -1)=0且g ′(x)=0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系.(2) 求导得F ′(x)=(x +a +1)(e x -3x +a +3),解方程F ′(x)=0时,无法解方程e x -3x +a +3=0,构造函数h(x)=e x -3x +a +3,证得h(x)>0,所以-a -1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可.规X 解答 (1) 因为f ′(x)=e x +(x +a)e x =(x +a +1)e x ,令f ′(x)=0,解得x =-a -1.列表如下:所以x =-a -1时,f(x)取得极小值.(2分)因为g ′(x)=3x 2+2ax +b,由题意可知g ′(-a -1)=0,且Δ=4a 2-12b>0,所以3(-a -1)2+2a(-a -1)+b =0,化简得b =-a 2-4a -3.(4分)由Δ=4a 2-12b =4a 2+12(a +1)(a +3)>0,得a ≠-32.所以b =-a 2-4a -3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠-32.(6分)(2) 因为F(x)=f(x)-g(x)=(x +a)e x -(x 3+ax 2+bx),所以F ′(x)=f ′(x)-g ′(x)=(x +a +1)e x -[3x 2+2ax -(a +1)(a +3)]=(x +a +1)e x -(x +a +1)(3x -a -3)=(x +a +1)(e x -3x +a +3).(8分)记h(x)=e x -3x +a +3,则h ′(x)=e x -3,令h ′(x)=0,解得x =ln 3.列表如下:所以x =ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)=e ln 3-3ln 3+a +3=6-3ln 3+a=3(2-ln 3)+a=3ln e23+a>a>0.(10分)所以h(x)=e x -3x +a +3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)=0,解得x =-a -1.列表如下:所以x =-a -1时,F(x)取得极小值,也是最小值.所以M(a)=F(-a -1)=(-a -1+a)e -a -1-[(-a -1)3+a(-a -1)2+b(-a -1)]=-e -a -1-(a +1)2(a +2).(12分)令t =-a -1,则t<-1,记m(t)=-e t -t 2(1-t)=-e t +t 3-t 2,t<-1,则m ′(t)=-e t +3t 2-2t,t<-1.因为-e -1<-e t <0,3t 2-2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增.(14分)所以m(t)<-e -1-2<-13-2=-73,即M(a)<-73.(16分)。

三次函数图像

三次函数图像

三次函数的图像和性质1.复习(1)怎么求函数的极大值和极小值;(2)某区间内的最值怎么求?2.形如d cx bx ax x f +++=23)(为三次函数,你能知道其大致图像吗?有什么特点? 我们通过它的导函数来研究它的图像特点. 3.复习二交函数的图像如图X ∈ 时,Y>0 X ∈ 时Y<0三次多项式函数与其导函数(为二次函数)之间的对应关系:设三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数2()32f x ax bx c '=++(为二次函数,设它的判别式2412b ac ∆=-),我们先只考虑a>0时的情形4、当0∆>时,它们图象的对应关系为:变化情况如下表x(-∞,x 1) x 1 (x 1, x 2)x2(x2,+∞) y '+ 0 - 0 +y↗极大值f(x 1)↘极小值f(x 2)↗5、当0∆=时,它们图象的对应关系为:x(-∞,x 1) x 0 (x2,+∞) y '+ 0 +y↗无极值↗6、当0∆<时,它们图象的对应关系为:7.当0a <时,可类似研究32()f x ax bx cx d =+++与其导函数2()32f x ax bx c '=++的关系.(画出二种图像) 8.总结:其实三次函数只有四种图像(1) a>0, 0∆< (2) 0a <, 0∆< (3) a>0, 0∆< (3) 0a <, 0∆> (4) a>0, 0∆>9.例一. (浙江)设f x '()是函数f(x)的导函数,y f x ='()的图象如左图所示,则y =f(x)的图象最有可能是右图的( )10.例二.已知32()26(f x x x m m =-+为常数)在[2,2]-上有最大值3,求此函数在[2,2]-上的最小值 11.练习.函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M ,N ,则M -N 的值为 。

二次函数与三次函数的图像变换

二次函数与三次函数的图像变换

二次函数与三次函数的图像变换在数学中,函数是数与数之间的一种对应关系。

它描述了输入值(自变量)和输出值(因变量)之间的关系。

二次函数和三次函数是常见的数学函数,它们都可以通过图像变换来进行研究和探索。

本文将介绍二次函数和三次函数的图像变换。

一、二次函数的图像变换二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数形式,其中a、b、c为常数。

二次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。

1.平移变换:y = ax^2 + bx + c + m将二次函数的图像上下平移m个单位,可以通过在原函数上或下方添加m来实现。

正的平移值表示向上平移,负的平移值表示向下平移。

平移变换后的图像与原图像具有相同的形状,只是位置发生改变。

2.缩放变换:y = a(x - p)^2 + q将二次函数的图像沿x轴缩放p倍,y轴缩放q倍,可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。

当p>1时,图像水平方向收缩;当p<1时,图像水平方向拉伸。

当q>1时,图像竖直方向收缩;当q<1时,图像竖直方向拉伸。

缩放变换后的图像与原图像具有相同的形状,只是大小发生改变。

3.翻折变换:y = -ax^2 - bx - c将二次函数的图像关于x轴翻折,可以通过在原函数前添加负号来实现。

翻折变换后的图像与原图像形状一致,只是关于x轴对称。

二、三次函数的图像变换三次函数是形如y = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数形式,其中a、b、c、d为常数。

三次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。

1.平移变换:y = ax^3 + bx^2 + cx + d + m将三次函数的图像上下平移m个单位,可以通过在原函数上或下方添加m来实现。

平移变换后的图像与原图像具有相同的形状,只是位置发生改变。

2.缩放变换:y = a(x - p)^3 + q将三次函数的图像沿x轴缩放p倍,y轴缩放q倍,可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。

高中数学三次函数图象和性质与四次函数问题

高中数学三次函数图象和性质与四次函数问题

三次函数与四次函数某某市红旗高中王金泽 wjz9589@163.在初中,已经初步学习了二次函数,到了高中又系统的学习和深化了二次函数,三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型,它是二次函数的发展,和二次函数类似也有“与x轴交点个数〞等类似问题。

三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点,不仅仅如此,通过深化对三次函数的学习,可以解决四次函数问题。

2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题,本文的目的就是,对三次函数做个重点的归纳,并且阐述在四次函数中的应用第一部分:三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数〔根的个数〕、极值情况三次函数图象说明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a>0时,在x→+∞右向上伸展,x→-∞左向下伸展。

当a<0时,在x→+∞右向下伸展,x→-∞左向上伸展。

(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)与x轴有三个交点假设032>-acb,且)()(21<⋅xfxf,既两个极值异号;图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点假设032>-acb,且)()(21=⋅xfxf,既有一个极值为0,图象与x轴有两个交点与x 轴有一个交点1。

存在极值时即032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ,既两个极值同号,图象与x 轴有一个交点。

2。

不存在极值,函数是单调函数时图象也与x 轴有一个交点。

1.()0f x =根的个数三次函数d cx bx ax x f +++=23)(导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f , 二次函数的判别式化简为:△=)3(412422ac b ac b -=-, (1) 假设032≤-ac b ,那么0)(=x f 恰有一个实根;(2) 假设032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ,那么0)(=x f 恰有一个实根; (3) 假设032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ,那么0)(=x f 有两个不相等的实根; (4) 假设032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ,那么0)(=x f 有三个不相等的实根.说明(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次,即)(x f 在R 上为单调函数〔或两极值同号〕,所以032≤-ac b 〔或032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f 〕.(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点,所以032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f .(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点,即)(x f 有一个极大值,一个极小值,且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .2.极值情况:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(〔a >0〕, 导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f , 二次函数的判别式化简为:△=)3(412422ac b ac b -=-, (1) 假设032≤-ac b ,那么)(x f 在),(+∞-∞上为增函数;(2) 假设032>-ac b ,那么)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数,)(x f 在),(21x x 上为减函数,其中aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.证明:c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b -=-,(1) 当0≤∆ 即032≤-ac b 时,0)('≥x f 在 R 上恒成立, 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. (2) 当0>∆ 即032>-ac b 时,解方程0)('=x f ,得aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=由0)('>x f 得1x x <或2x x >,)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. 由0)('<x f 得21x x x <<,)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 假设032≤-ac b ,那么)(x f 在R 上无极值;(2) 假设032>-ac b ,那么)(x f 在R 上有两个极值;且)(x f 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有,要么有两个。

三次函数-

三次函数-

三次函数三次函数是一种椭圆形状的曲线,它是二次函数的一种升级版,因为它比二次函数更加复杂和灵活。

三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d,其中a、b、c、d是常数,x为自变量,y为因变量。

在这篇文章中,我将探讨三次函数的定义、特点、应用和解法,让读者更好地理解和应用三次函数。

一、三次函数的定义三次函数是指一个以三次幂为最高次方的多项式函数。

一般的三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d,其中a、b、c、d是常数,x为自变量,y为因变量。

三次函数的图像是一条平滑的曲线,通常呈现出椭圆形状。

它的导数是一个二次函数,它的图像呈现出一条抛物线。

二、三次函数的特点1. 对称性三次函数的对称轴为一条直线,该直线平分曲线的两侧,并且与曲线的最高点和最低点相交。

对称轴的方程式为x = -b / 3a。

2. 零点三次函数通常有三个零点,但是有时候会有一个或两个重根。

这些零点可以通过求解所给方程的根来获得,其中方程的系数a、b、c和d是已知的。

当三次函数与x轴相交时,y等于0,因此方程式可以写成ax³ + bx² + cx + d = 0。

3. 最值三次函数有局部最高点和局部最低点。

可以通过求导数来获得最高点和最低点的位置。

三、三次函数的应用下面是一些三次函数的应用领域:1. 经济学三次函数通常用于经济学中的成本和利润分析。

基于不同的成本和利润相关的方程,可以得出三次函数的表达式。

这对分析和管理公司的经济活动非常有用。

2. 物理学三次函数也常用于物理学中的运动方程。

例如,弹道学家可以使用三次函数来描述抛物线的运动,而声学专家则可以使用三次函数来描述声波等物理量的传播。

3. 生物学在生物统计学中,三次函数通常用于研究生长曲线。

这些曲线可以描述有机体个体生长的趋势,并对某些遗传因素的作用进行分析。

四、三次函数的解法三次函数的解法与二次函数有很大的不同。

浅析三次函数的图像

浅析三次函数的图像

浅析三次函数的图像作者:石群英来源:《读天下》2018年第03期摘要:本文主要论述了高中新课标选修教材中导数一章中利用导数研究三次函数单调性极值的过程。

关键词:三次函数;导函数;单调性;极值;图像导数及其应用是高中数学重要内容。

教材指出如果在某个区间内,都有导函数f′(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,都有导函数f′(x)设任意一个三次函数为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0,b,c,d∈R),易知其定义域为R,其导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c是一个二次函数,对应的方程为3ax2+2bx+c=0,对应的判别式为Δ=4b2-12ac。

1. 当a>0时,对应的导函数为开口朝上的二次函数。

(1)若Δ>0,则方程f′(x)=0有两个不同的实根,不妨设两个实根分别为x1,x2且x1x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(x1,x2)时,f′(x)x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x2为极小值点;当x的取值很大,即x→+∞时y→+∞,当x的取值很小,即x→-∞时y→-∞。

故函数的值域为R。

这时三次函数的图像如图(1)先增后减再增(图1)(2)若Δ≤0则方程f′(x)=0有重根或者无实根,则导函数f′(x)≥0在R上恒成立且只在二次函数的顶点处等于0,易知f(x)为R上的增函数,值域为R。

这时三次函数的图像如图(2)递增(图2)当a>0时,函数图像先增后减再增或在R上递增。

2. 当a(1)若Δ>0则方程f′(x)=0有两个不同的实根,不妨设两个实根分别为x1,x2且x1x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x1为极小值点;x∈(x2,+∞)时,f′(x)当x的取值很大,即x→+∞时y→-∞,当x的取值很小,即x→-∞时y→+∞。

故函数的值域为R。

这时三次函数的图像如图(3):先减后增再减(图3)(2)若Δ≤0则方程f′(x)=0有重根或者无实根,则导函数f′(x)≤0在R上恒成立且只在二次函数的顶点处等于0,易知f(x)为R上的减函数,值域为R。

三次函数的图像和性质

三次函数的图像和性质
对函数f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一,利用导数研究函数的 性质,主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等,这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有:(1)导数的概念及其 意义;(2)导数的运算;(3)导数在研究函数中的应用.其中第(3) 点有两个小点:①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数 研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容:其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们,如果考与多项式有关的导数问题,多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的,特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位,因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究,其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.

三次函数图像与性质

三次函数图像与性质
3 2
b b 3 b 2 b 2b3 bc f ( ) a ( ) b( ) c ( ) d d 2 3a 3a 3a 3a 27a 3a
b b x) f ( x) 3a 3a b b b a ( x )3 b( x ) 2 c ( x ) d 3a 3a 3a b b b a ( x )3 b( x ) 2 c ( x ) d 3a 3a 3a 2b b b b b b 2b a( )(( x) 2 ( x)( x) ( x) 2 ) b(2( ) 2 2 x 2 ) c( ) 2d 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 2b b 2 2b3 2bc 2 ( )(( ) 3 x ) 2 2bx 2 2d 3 3a 9a 3a 4b3 2bc b 2 d 2 f ( ) 27a 2 3a 3a f (
3.已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________.
答案 2. C
例 3.已知三次函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 的导函数图像如下所示,则 y f ( x) 的图像 最有可能的是
A
B
C
D
1.5.设函数 g ( x) x x 3x
3 2
1 3
1 2
5 2018 1 2 ,则 g +g + … +g 12 2019 2019 2019

三次函数画法

三次函数画法

三次函数画法一、三次函数的定义三次函数是指函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中 a 和 b 不为零。

三次函数的图像呈现一条弧线,形状比二次函数更为复杂,可向上、向下或呈锯齿状。

其关键点有最高点、最低点以及可能存在的零点。

二、三次函数的画法在画三次函数之前,需要先确定函数的各个关键点,包括最高点、最低点以及零点。

第一步,确定最高点和最低点,根据三次函数的系数可以得到 a > 0,那么最高点就在抛物线的谷底,而最低点则在抛物线的峰顶。

计算最高点和最低点的方法为 x = -b / (3a)。

第二步,确定零点。

三次函数最多有三个零点,在确定零点时需要使用判别式Δ = b^2 - 3ac 来辅助计算。

若Δ > 0,则函数有三个不同的实数零点;若Δ = 0,则函数有一重实数根和一个二重实数根,或者三重实数根;若Δ < 0,则函数有一个实数根和一对共轭复数根。

确定零点后,可以将它们标记在坐标轴上。

第三步,画函数图像。

利用最高点、最低点和零点来确定函数曲线的轨迹。

根据函数的对称性质,最高点和最低点在纵轴中线上的对称点坐标相同。

而在两个相邻零点之间,函数的图像必然存在一个拐点。

三、注意事项1、确定关键点时需要对三次函数的系数进行分析,以便更准确地确定函数的轨迹。

2、为了画出函数的完整图像,建议取足够的区间,以便覆盖所有可能的零点和关键点。

3、使用合适的工具,例如可多次绘制精度高的曲线图或使用数学软件来绘制。

综上所述,三次函数的画法需要先确定其关键点,然后画出曲线轨迹。

为了获得更准确、完整的函数图像,需要仔细分析函数系数,并使用合适的工具进行绘制。

三次函数与四次函数

三次函数与四次函数

三次函数与四次函数一、学习目标三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数,在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。

近年高考中,在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题,不仅仅如此,通过深化对三次函数的学习,可以解决四次函数问题。

近年高考有多个省份出现了四次函数高考题,更应该引起我们的重视。

单调性和对称性最能反映这个函数的特性。

下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。

二、知识要点:第一部分:三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数(根的个数)、极值情况a对图象的影响三次函数图象说明可以根据极限的思想去分析当a>0时,在x?+∞右向上伸展,x?-∞左向下伸展。

当a<0时,在x?+∞右向下伸展,x?-∞左向上伸展。

与x轴有三个交点若b2?3ac?0,且既两个极f(x1)?f(x2)?0,值异号;图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点若b?3ac?0,且既有一f(x1)?f(x2)?0,个极值为0,图象与x轴有两个交点 2与x轴有一个交点 1。

存在极值时即b?3ac?0,且2既两个极f(x1)?f(x2)?0,值同号,图象与x轴有一个交点。

2。

不存在极值,函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。

1.f(x)?0根的个数三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d导函数为二次函数:f/(x)?3ax2?2bx?c(a?0),二次函数的判别式化简为:△=___________, (1) 若_____________,则f(x)?0恰有一个实根;(2) 若b2?3ac?0,且_________,则f(x)?0恰有一个实根; (3) 若b2?3ac?0,且__________,则f(x)?0有两个不相等的实根; (4) 若b2?3ac?0,且____________,则f(x)?0有三个不相等的实根.说明(1)(2)f(x)?0含有一个实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴只相交一次,即f(x)在R上为单调函数(或两极值同号),所以b2?3ac?0(或b2?3ac?0,且f(x1)?f(x2)?0).(3)f(x)?0有两个相异实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点,所以b?3ac?0,且f(x1)?f(x2)?0.2(4)f(x)?0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴有三个公共点,即f(x)有一个极大值,一个极小值,且两极值异号.所以b?3ac?0且f(x1)?f(x2)?0. 2.极值情况:三次函数f(x)?ax?bx?cx?d(a>0), 导函数为二次函数f(x)?3ax?2bx?c(a?0),二次函数的判别式化简为:△=4b?12ac?4(b?3ac), (1) 若___________,则f(x)在(??,??)上为增函数;22/2322(2) 若____________,则f(x)在(??,x1)和(x2,??)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中?b?b?3ac3a2x1?,x2??b?b?3ac3a2.三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0), (1) 若b2?3ac?0,则f(x)在R上无极值;(2) 若b2?3ac?0,则f(x)在R上有两个极值;且f(x)在x?x1处取得极大值,在x?x2处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有,要么有两个。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相关文档
最新文档