专转本第九章 级数9.2
专升本高数重点归纳
专升本高数重点归纳在专升本考试中，高等数学是一个重要的科目。
而在高等数学中，又以高数是考生们普遍认为较为难以掌握的一部分。
因此，在备考过程中，对高数的重点知识的归纳总结是非常重要的。
本文将从不同的章节中归纳出高数中的重点知识，帮助考生更好地备考。
一、极限与连续1. 极限的定义及性质: 考生需理解极限的概念和符号表示，同时掌握常见的极限性质，如四则运算法则、夹逼准则等。
2. 无穷小量与无穷大量：考生需要掌握无穷小量的定义及常见的无穷小量性质，了解无穷大量的概念和性质，并能与无穷小量建立联系。
3. 函数的极限：考生需要理解函数极限的定义、极限存在的条件，以及函数极限的运算法则。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质：考生需理解导数的定义，掌握导数的四则运算法则，同时了解导数的几何意义和实际应用。
2. 常见函数的导数：考生需要熟悉常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并能灵活运用求导法则。
3. 高阶导数与高阶微分：考生需要理解高阶导数与高阶微分的概念，掌握高阶导数的计算方法。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：考生需要了解定积分的定义和性质，包括定积分的存在条件、基本性质以及定积分的几何意义。
2. 常见函数的不定积分：考生需要熟悉常见函数的不定积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并能进行简单的不定积分运算。
3. 定积分与不定积分的基本关系：考生需理解定积分与不定积分的基本关系，能够运用牛顿—莱布尼茨公式解决简单的定积分计算问题。
四、微分方程1. 一阶微分方程：考生需要了解一阶微分方程的概念和求解方法，掌握分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程的解法。
2. 二阶线性微分方程：考生需掌握二阶线性微分方程的概念和求解方法，包括齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解法。
五、级数1. 数列的概念与性质：考生需要了解数列的概念和性质，掌握数列极限的定义和常见计算方法，了解收敛数列和敛散性的判定。
9山东专升本高等数学第九章二重积分.
第九章二重积分【考试要求】1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．【考试内容】一、二重积分的相关概念1．二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2，，∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个∆σi上任取一点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi∆)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)∆σiii=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作⎰⎰f(x,y)dσ，即Dniii⎰⎰f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)∆σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)∆σiii=1ni叫做积分和．说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作⎰⎰f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．D2．二重积分的几何意义一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1和D2，则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则．σ=⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤ϕ(x,y)，则有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ϕ(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故又有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得⎰⎰f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ．D二、二重积分的计算（一）利用直角坐标计算二重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以用不等式a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)来表示的闭区域，其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰Dϕ2(x)⎡f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx，这个先对y、后对x的⎥a⎢ϕ(x)⎣1⎦b二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰dx⎰Dabϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以用不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表示的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddc⎡φ2(y)f(x,y)dx⎤dy，这个先对x、后对y⎢⎥⎣⎰φ1(y)⎦dc的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddy⎰φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（二）利用极坐标计算二重积分要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以用不等式α其中ϕ1(θ)、≤θ≤β，ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)来表示，ϕ2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβα⎡ϕ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ⎤dθ．⎢⎥⎣⎰ϕ1(θ)⎦这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβαdθ⎰ϕ2(θ)ϕ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22x⎰⎰xydσ=⎰D4221dx⎰x132x⎡y⎤xxydy=⎰⎢x⋅⎥dx=⎰(-)dx 1122⎣2⎦1⎡xx⎤9=⎢-⎥= ． 4⎦18⎣8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故⎰⎰xydσ=⎰D421dy⎰2y2⎡x⎤y3xydx=⎰⎢y⋅⎥dy=⎰(2y-)dy 112⎣2⎦y222⎡y⎤9=⎢y2-⎥= ． 8⎦18⎣【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围⎰⎰D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221⎤11⎡2σ=⎰dx⎰=-⎰⎢(1+x-y)⎥dx⎰⎰-1x3-1⎣⎦xD=-⎤122⎡x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．⎢⎥⎰⎰-10333⎣4⎦021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算比较麻⎰⎰⎰⎰D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ⎰⎰D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，⎰⎰xydσ=⎰D42-1dy⎰2yy+2⎡x2⎤1225⎤xydx=⎰⎢⋅y⎥dy=⎰⎡y(y+2)-ydy⎣⎦-1-12⎣2⎦y2262y+21⎡y43y⎤452=⎢+y+2y-⎥= ． 2⎣436⎦-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要用经过交点(1,-1)且平行于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据二重积分对积分区域的可加性，就有 {．⎰⎰xydσ=⎰⎰xydσ+⎰⎰xydσDD1D2=⎰dx01xydy+⎰dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2⎰⎰Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx⎡x⎤xdxdy=⎰dx=⎢2⎥dy 22⎰⎰1yy1⎣3y⎦yDy23y2=1yy1⎡yy-2-)dy=⎢-⎥= ． 333⎣52⎦15-xe⎰⎰D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中心在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤-xe⎰⎰D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2⎡1⎤dxdy=⎰dθ⎰e-ρρdρ=⎰⎢-e-ρ⎥dθ000⎣2⎦02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)⎰dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ⎰⎰【例9-6】计算D的在第一象限内的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(⎰⎰⎰⎰⎰⎰D00122⎧⎫1ρπ⎪⎡ρ2ρ⎪2⎤ =⋅dρ⎬⎨⎢ln(1+ρ)⎥-⎰022⎪21+ρ⎦0⎪⎩⎣2⎭ρ22)ρ3=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-⎰(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ⎡ρ212⎤=ln2-⎢-ln(1+ρ)⎥ 42⎣22⎦0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表示为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=⎰dθ⎰ρ⋅ρdρ=2π⎰ρ2dρ 02π⎡ρ3⎤8114π=2π⎢⎥=2π(-)=333⎣3⎦1【例9-8】交换下列二重积分的积分次序．1．2 ．⎰21dy⎰lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后⎰2．21dy⎰lny0f(x,y)dx=⎰ln20dx⎰xf(x,y)dy ． e2⎰dx⎰012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需用直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y⎰dx⎰0xf(x,y)dy=⎰dy⎰f(x,y)dx+⎰dy⎰0010f(x,y)dx ． 3．⎰dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11⎰dx122-xf(x,y)dy=⎰dy⎰02-yf(x,y)dx ．4．⎰π0dx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需用直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后⎰πdx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy=⎰dy⎰1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+⎰dy⎰-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】一、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则⎰⎰dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π （D）2π （A）33解：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故⎰⎰dxdy=π⋅12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序⎰dx⎰10f(x,y)dy=（）101（A）⎰⎰-10dy01f(x,y)dx （B）⎰dy⎰00f(x,y)dx（C）-1dy⎰f(x,y)dx （D）⎰0⎰f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤⎰dx⎰010f(x,y)dy=⎰dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则⎰⎰D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=⎰dx⎰dy=⎰dx⋅⎰ydy ⎰⎰00001+x1+xD1+x22⎡y⎤4⎤=⎡ln(1+x⋅=ln2⋅=2ln2．选项（D）正确．⎣⎦0⎢2⎥2⎣⎦01二、计算题1．（2010年，5分）求二重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2⎰⎰Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故二重积分 2x222xx2⎡⎤=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰111111yDy 222=⎡x⎣lnx⎤⎦1-⎰1⎡x2⎤3xdx=4ln2-⎢⎥=4ln2-． 2⎣2⎦12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ⎰⎰22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则二重积分2-1⎰⎰xydσ=⎰Ddy⎰2yy+2y2+4y+4y4xydx=⎰y(-)dy -1222436⎡⎤11y4yy453252=⎰(y+4y+4y-y)dy=⎢++2y-⎥=． -122⎣436⎦-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1⎰⎰D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则二重积分⎰⎰cosydxdy=⎰dy⎰2D02y+11cosy2dx⎡1⎤1=⎰ycosy2dy=⎢siny2⎥=sin4． 0⎣2⎦02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy⎰⎰xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则二重积分 1xyy2⎰⎰eD1dxdy=⎰dy⎰0y110⎡⎤1edx=⎰⎢ye⎥dy=⎰(yey-y)dy 00⎣⎦0y1121y⎡y⎤11y1⎤⎡⎤=⎰yd(e)-⎰ydy=⎡ye-edy-=e-e-⎢2⎥⎣⎦0⎰0⎣⎦02=2． 00⎣⎦0 5．（2005年，5分）计算二重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故用极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy⎰⎰D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故⎰⎰xydxdy=⎰dθ⎰222D0022ρ2cosθ⋅ρsinθ2⋅ρdρ⎡ρ⎤=⎰2sin2θcos2θ⎢⎥0⎣6⎦0π62cosθπdθ=⎰2(1-cos2θ)cos2θ⋅032cos6θdθ3 32π327531π97531π=⎰2(cos8θ-cos10θ)dθ=(⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅) 303864221086422327531π17π． =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3864221048。
江苏省专转本高等数学重点考查题型
x 1
x3 ax 2 b 存在，则常数 a, b 的取值分别为( x 1 B.a 1, b 4 C.a 1, b 4
)
A.a 1, b 4
3
D.a 1, b 4
解：因为 lim
x 1
x 1
2、构造导数的定义 例 2.1 已知 f (0) 1 ，且 f (0) 0 ，则 lim
x 0
解： lim
f ( x) f ( x) f (0) lim f (0) 1 。 x 0 x 0 x x0 f ( x) f ( x0 ) lim 备注：本题构造导数定义 f ( x0 ) x 。 x0 x x0 x ( 例 2.2 已知 f ( x0 ) 1, 则 lim x 0 f ( x 2 x ) f ( x x ) 0 0 A. 0 B. -1 C. 1 D. -3
)
综上，选 C。 例 1.2 当 x 0 时,下列四个无穷小中比另外三个更高阶的无穷小是(
A. x
2
B. 1 cos x
C. 1 x 1
2
D. x tan x
解：因为 1 cos x
1 1 2 1 1 x ， 1 x 2 1 (1 x 2 ) 2 1 ( x 2 ) x 2 ， 2 2 2 2 所以答案肯定选 D，因为前三个选项都是与 x 同阶的。 对于 D 中的 x tan x ，实际上它是于 x 3 同阶的，这是因为 x tan x 1 sec2 x tan 2 x x2 1 lim lim lim lim 。选 D 3 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 3 x x 3x 3x 3
江苏省专转本《高等数学》考试大纲
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载江苏省专转本《高等数学》考试大纲地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容江苏省专转本《高等数学》考试大纲一、答题方式答题方式为闭卷，笔试二、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题三、考试大纲（一）函数、极限、连续与间断考试内容函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
高等数学专升本教材讲解
高等数学专升本教材讲解高等数学是专升本考试中的一门重要科目，对于许多希望进入大学深造的人来说，掌握高等数学的知识是必不可少的。
本文将对高等数学专升本教材的内容进行详细讲解，帮助考生更好地理解和掌握这门学科。
一、数列与级数在高等数学中，数列与级数是重要的概念。
数列是由一系列有序的数所组成，常用来描述物理实验、数学实验等问题。
级数是数列的和，通过对数列求和得到。
研究数列与级数可以帮助我们了解数的规律以及相应的数学运算。
二、函数与极限函数与极限是高等数学中的核心概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
极限则是研究函数变化趋势的工具。
通过研究函数与极限，我们可以了解函数的性质、变化规律以及计算函数的导数和积分等重要概念。
三、微分学微分学是高等数学中的重要分支，主要研究函数的导数与微分。
导数是衡量函数变化速率的工具，也可以用来求解函数的最值、判断函数的单调性等。
微分则是导数的一种应用，通过微分可以近似求解函数的变化量、描述曲线的形状等。
四、积分学积分学是高等数学中与微分学紧密相关的内容，主要研究函数的积分与定积分。
积分是导数的逆运算，通过积分可以求解函数的定积分、计算曲线下的面积以及求解一些几何问题。
掌握积分学的知识可以帮助我们更好地理解函数的变化规律，并应用于实际问题的解决中。
五、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学中一个较为复杂的概念，它主要研究多个自变量与因变量之间的关系。
多元函数的导数被称为偏导数，用来描述函数在某一点的变化趋势。
多元函数与偏导数的研究可以帮助我们深入理解函数的性质，并解决更加复杂的数学问题。
六、重积分与曲线积分重积分与曲线积分是高等数学中的重要内容，它们是对函数在区域上的积分运算。
重积分可以用来求解空间体积、质量、质心等物理问题，曲线积分则可以用于计算曲线上的线积分、流量等。
掌握重积分与曲线积分的知识，可以帮助我们更好地理解数学模型，解决实际问题。
高等数学专升本教材目录及答案
高等数学专升本教材目录及答案一、导数与微分1. 函数的极限与连续2. 导数与微分基本概念3. 导数的计算方法4. 高阶导数与隐函数求导5. 微分中值定理与柯西中值定理二、一元函数微分学1. 函数的单调性与极值2. 函数的凸凹性与拐点3. 函数的图形与曲率4. 泰勒公式与应用5. 函数的极限、连续与导数的关系三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本不定积分表与常用积分公式3. 定积分的概念与性质4. 定积分的计算方法5. 反常积分与应用四、一元函数积分学1. 牛顿-莱布尼兹公式与基本积分表2. 定积分的应用3. 弧长、曲线面积与旋转体体积4. 广义积分的判敛准则5. 广义积分的计算方法五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 齐次线性微分方程3. 非齐次线性微分方程4. 二阶线性常系数微分方程5. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 多元函数的偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程求导4. 方向导数与梯度5. 多元函数的极值与条件极值七、多元函数积分学1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 牛顿公式与应用5. 曲线积分与曲面积分八、常微分方程与偏微分方程1. 线性常微分方程2. 高阶线性常微分方程3. 偏微分方程基本概念与分类4. 常见偏微分方程及其求解方法5. 偏微分方程的应用九、级数与幂级数1. 数项级数的收敛性与发散性2. 收敛级数的性质与判定法3. 幂级数的收敛半径与区间4. 幂级数的性质与求和5. 函数展开与傅里叶级数十、向量代数与空间解析几何1. 空间向量的基本概念与运算2. 空间直线与平面的方程3. 空间曲线与曲面的方程4. 空间解析几何中的重要定理5. 空间向量与几何应用本教材目录包含了高等数学专升本课程的各个重要章节，涵盖了导数与微分、一元函数微分学、不定积分与定积分、一元函数积分学、常微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程与偏微分方程、级数与幂级数以及向量代数与空间解析几何等内容。
《高数专升本讲义》第六-第九章
第六章多元函数微分法多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则。
不再一一指出。
下面举几例说明。
例6.求（1）;21lim222201-=+-++→→yxyxy x（2）.lim lim 11111112e x xe x x yx xy x yx y x ===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++→∞→+→∞→；（3）()()222200limsin0.x y yyxx→→++=（4）0022sin sin limlim. 2.x x y y xy xyy xxy→→→→==关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续. 例7．求10ln limy x y x e →→+解：因为()1,0是初等函数()ln ,y x e f x y +=定义域内的点，故()ln ,y x e f x y +=()1,0处连续，所以，原式()1,0ln 2.f ==例8．讨论函数设()=y x f ,222222,0,0,0.xyy x y x y x⎧+≠⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩在其定义域内的连续性。
解：函数的定义域是全平面，并且当()ln ,y x e f x y +=(),f x y 是初等函数，从而是连续的；下面考察函数在()0,0处的连续性。
因为22limx y xy x y →→+不存在（例4已证），所以(),f x y 在()0,0处不连续。
四.高阶偏导数对于二元函数()y x f z ,=，如果其偏导函数仍然可求偏导，一般说来，求得的结果仍然是关于y x ,的二元函数，称之为关于y x ,的二阶偏导数.按照对自变量求导次序的不同，共有四种不同形式的二阶偏导数： （1）x z 22∂∂（或记为),,////22fz x xxxxf∂∂；（2）yx z∂∂∂2（或记为),,////2fz xyxy yx f∂∂∂；（3）x y z ∂∂∂2（或记为),,////2f zyxyxx y f ∂∂∂；4）yz22∂∂（或记为),,////22fz yyyyy f∂∂。
专转本高数
专转本高数摘要：1.专转本高数简介2.专转本高数考试内容3.专转本高数备考策略4.专转本高数考试技巧5.总结正文：【专转本高数简介】专转本高数，即高等教育自学考试中的高等数学课程，是众多自考专业中一门重要的基础课程。
这门课程主要涵盖高等数学的基本概念、基本理论和方法，包括函数、极限、连续、导数、积分等内容，对于提升考生的数学素养和逻辑思维能力具有重要作用。
【专转本高数考试内容】专转本高数考试主要分为两部分：选择题和非选择题。
选择题主要测试考生对高等数学基本概念的理解和运用；非选择题则主要考察考生的计算能力、分析问题和解决问题的能力。
根据考试大纲，专转本高数课程涵盖的内容包括：1.函数、极限与连续2.导数与微分3.中值定理与微分不等式4.积分5.无穷级数6.向量代数与空间解析几何7.多元函数微分法及其应用8.重积分9.无穷级数10.常微分方程初步【专转本高数备考策略】1.制定学习计划：专转本高数课程内容较多，考生应合理安排时间，制定详细的学习计划，确保每个知识点都能掌握。
2.系统学习：考生应从基础概念入手，逐步深入学习，将新知识与已掌握的知识相联系，加深理解。
3.多做练习：数学课程需要大量的练习来巩固和提高解题能力。
考生应充分利用教材、习题集等资源，多做题，总结解题方法。
4.参加培训课程：如有条件，考生可以选择参加培训课程，跟随老师的教学进度学习，提高学习效果。
5.加强自我总结：考生在学习过程中，应不断总结知识点、解题方法和技巧，形成自己的知识体系。
【专转本高数考试技巧】1.仔细审题：在做题过程中，要仔细阅读题目，理解题意，挖掘题目中的隐含条件。
2.合理安排时间：考试时，要合理安排时间，先易后难，确保会做的题目都能得分。
3.解答过程清晰：在解题过程中，要注意步骤的清晰和规范，避免跳步和错误。
4.检查核对：在提交答案前，要检查计算过程和答案是否正确，避免因粗心大意而失分。
【总结】专转本高数是自考专业中的一门重要课程，涵盖高等数学的基本概念、基本理论和方法。
专转本第九章级数93-精品文档
(n1)!10n
10n1
n!
n 10
1
发散.
1
(3)
解
nl1imn nn
n
(4)
;
un
1
lim 1 n n
.
0 收敛.
解 nl1i2u m nn (1 2 nl1i)m (2n1 )2n 1,
n u n n (2n1 )(2n2)
比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效.
或 改用ln比 im 较n审2 (敛2n法1 1)2(n2n111/)42n收n1敛2,.
第三节 任意项级数
交错级数及其收敛法
绝对收敛与条收收敛
一、交错级数及其审敛法
正、负项相间的级数称为交错级数.
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
结论:
p级 数 当 当pp11时 时,,
收敛 发散
（2）等比级数(几何级数) (a 0)
aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
n0aqn当 当qq
1时,收 1时,发
第二节 正项级数及其收敛法
正项级数及其收敛法
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
若 un中各un 0，则称此级数为正项级数. n1
2.正项级数收敛的充分必要条件:
对正项级数，有 s1 s2 sn
正项级数收敛的基本定理
正项级数 收 部敛 分和数.列有
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
注： 用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
江西专升本高等数学专用教材
江西专升本高等数学专用教材一、引言数学是一门基础学科，广泛应用于各个领域。
为了提高江西专升本学生的数学能力，我们特别编写了《江西专升本高等数学专用教材》。
本教材从基础知识到高级应用，全面覆盖了专升本高等数学的各个方面。
通过系统的学习，希望能够帮助学生在数学领域取得更好的成绩。
二、教材结构本教材共分为十个章节，每个章节涵盖了特定的数学内容。
下面我们将依次介绍每个章节的主要内容。
1. 初等函数初等函数是高等数学的基础，本章介绍了常见的代数函数、指数函数、对数函数等内容，包括其性质和应用。
2. 无穷级数无穷级数是数学中一个重要的概念，本章主要介绍了级数的概念、级数的敛散性及其计算方法。
3. 微分学微分学是高等数学中的重要分支，本章涵盖了函数的极限、连续性、导数和微分等内容，并介绍了微分的应用。
4. 积分学积分学是微分学的补充，本章主要讲解了不定积分和定积分的概念与计算方法，以及积分的应用。
5. 微分方程微分方程是数学在自然科学和工程技术中的一种重要工具，本章介绍了常微分方程的基本概念与求解方法。
6. 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是高等数学中的重要内容，本章主要介绍了向量的基本概念与运算，以及空间中直线和平面的方程与性质。
7. 多元函数微分学多元函数微分学是对一元函数微分学的拓展，本章涉及了多元函数的概念、极限、连续性、偏导数和全微分等。
8. 重积分学重积分学是对定积分的扩展，本章介绍了二重积分和三重积分的定义和计算方法，以及重积分的应用。
9. 曲线积分学曲线积分学是高等数学中的一个重要分支，本章主要介绍了曲线积分的概念、计算方法和应用。
10. 曲面积分学曲面积分学是对二重积分的扩展，本章讲解了曲面的方程、曲面积分的概念和计算方法，以及曲面积分的应用。
三、教学特点为了提高学生的学习效果，本教材采用了以下教学特点：1. 理论与实践相结合：除了介绍基本理论知识外，还通过大量的例题和习题帮助学生将所学知识应用到实际问题中。
江西科师大专升本高等数学B的教材
江西科师大专升本高等数学B的教材高等数学是一门广泛应用于各个科学领域的学科，作为理工科学生必修的课程之一，对于提高学生的数学能力和解决实际问题具有重要意义。
江西科师大专升本高等数学B的教材，针对江西科师大专升本的学生需求，以全面系统的数学知识体系为基础，开发了一套高质量的教材，旨在帮助学生掌握高等数学B的核心概念和解题方法。
教材内容包括多个章节，涵盖了微分学、积分学和级数学等相关内容。
下面将就教材中的几个重要章节进行简要介绍。
第一章：导数导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
通过学习导数的定义、性质和计算方法，学生可以掌握单变量函数的基本导数，并应用导数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和习题，帮助学生深入理解导数的意义和应用。
第二章：微分学微分学是导数的进一步延伸，研究函数在一段区间上的变化情况。
教材系统介绍了微分学的基本概念，如极限、连续性、导数的应用等。
学生将学会使用微分学的方法来研究函数的性质和求解相关问题。
第三章：不定积分与定积分不定积分与定积分是积分学的两个重要分支，它们是导数的逆运算。
教材中详细讲解了不定积分和定积分的定义、性质和求解方法，使学生能够熟练地进行积分运算，并应用积分解决实际问题。
第四章：多元函数微分学多元函数微分学将微分学的概念推广到多元函数的情况下。
教材系统介绍了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念，并详细讲解了多元函数的极值和条件极值的求解方法。
通过学习这一章节，学生将能够研究多元函数的性质和解决相关问题。
第五章：级数级数是一种无限序列的和，也是数学分析中的一个重要概念。
教材中详细讲解了级数的定义、性质和判别法，并介绍了著名的级数求和方法，如调和级数、幂级数等。
学生通过研究级数，将了解级数的收敛和发散性质，以及级数在实际应用中的作用。
本教材以其系统性、全面性和实用性受到了广大师生的肯定和好评。
不仅满足了教学大纲的要求，而且注重培养学生的数学思维和解题能力。
云南专升本高等数学 教材
云南专升本高等数学教材高等数学作为专升本考试中的一门重要课程，对于考生来说是一个比较关键的科目。
为了帮助云南专升本考生更好地掌握高等数学知识，我们特别编写了一本云南专升本高等数学教材。
本教材详细介绍了高等数学的各个领域，内容丰富，对于考生来说非常有参考价值。
第一章极限与连续1.1 极限的概念及性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 函数的极限与连续性第二章导数与微分2.1 导数的定义与计算方法2.2 高阶导数与导数的运算法则2.3 微分中值定理及其应用第三章不定积分与定积分3.1 不定积分的基本概念与性质3.2 常用的不定积分公式3.3 定积分的概念及其计算方法第四章一元函数的应用4.1 曲线的图形与性质4.2 泰勒级数与二阶导数判定函数极值4.3 常微分方程的基本概念与解法第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的极限与连续性5.2 偏导数的概念及求法5.3 隐函数与参数方程求导第六章多重积分与曲线曲面积分6.1 二重积分与三重积分的概念与计算6.2 定积分的应用——质量、质心与重心6.3 曲线积分与曲面积分的基本概念与计算第七章级数与函数项级数7.1 数项级数的概念及判敛法7.2 幂级数与泰勒级数7.3 函数项级数的概念与收敛性第八章傅里叶级数与变换8.1 傅里叶级数的基本概念与性质8.2 傅里叶级数的计算与应用8.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换的概念与性质通过学习本教材，考生可以全面深入地掌握高等数学的基本概念、原理和应用方法，为专升本考试中的高等数学部分打下坚实的基础。
同时，本教材还提供了大量的习题和练习题，供考生进行巩固和练习，以帮助他们更好地理解知识点和提高解题能力。
总之，云南专升本高等数学教材是一本集理论性和实践性于一体的教材，内容全面详细，有助于考生全面了解高等数学的知识体系，提高数学思维能力和解题技巧。
希望考生能够利用好这本教材，取得优异的成绩！。
专转本第九章级数93
例对p级
数 1 np
n1
,总
有lim n
un1 un
limn n
un
1.
例 5
判别收敛性: (1)
1
;
1
n1 n!
解 u n1 ( n 1)! 1 0 1 收敛.
un
1 n1
n! n!
(2) n1 10 n ;
解
un1 un
设 n 1 u n 是 正 项 级 数 , l n in u m n (为 数 ),
则 1时 ,收 敛 ;1时,发散.（1时失效）
比值审敛法、根值审敛法的优点: 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性.
注意: 当 1 时 比 值 （ 根 值 ） 审 敛 法 失 效 。
(ii).ln i m un
lim10 nn
如果
S S n 1 1 2 1 3 1 4 ( 1 )n 11 n
则|rn|1 n 1二、绝对收敛与条件收敛
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定 义 :若 u n收 敛 ,则 称 u n绝 对 收 敛 ;
1 发散
n 1
t =－3时 ( 1) n 发散 n 1
(6).
n0
x 2n1 3n
缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R
lim u n1
n un
ln i mx32nn13
x2n1 3n
1| x|2 3
ρ<1时,收敛. ρ>1时,发散. x 3 时,发散.
第二节 正项级数及其收敛法
9山东专升本高等数学第九章二重积分.
9⼭东专升本⾼等数学第九章⼆重积分.第九章⼆重积分【考试要求】1．理解⼆重积分的概念、性质及其⼏何意义．2．掌握⼆重积分在直⾓坐标系及极坐标系下的计算⽅法．【考试内容】⼀、⼆重积分的相关概念1．⼆重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个⼩闭区域σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表⽰第i个⼩区域，也表⽰它的⾯积．在每个?σi上任取⼀点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σiii=1．如果当各⼩闭区域的直径中的最⼤值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的⼆重积分，记作??f(x,y)dσ，即Dniii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做⾯积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σiii=1ni叫做积分和．说明：在直⾓坐标系中，有时也把⾯积元素dσ记作dxdy，⽽把⼆重积分记作f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直⾓坐标系中的⾯积元素．D2．⼆重积分的⼏何意义⼀般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以⼆重积分的⼏何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy⾯的下⽅，⼆重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但⼆重积分的值是负的．如果⽽在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若⼲部分区域上是正的，D上的⼆重积分就等于xOy⾯上⽅的柱体体积减去xOy⾯下⽅的柱体体积所得之差．3．⼆重积分的性质（1）设α、β为常数，则[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α??f(x,y)dσ+β??g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的⼆重积分等于在各部分闭区域上的⼆重积分的和．例如D 分为两个闭区域D1和D2，则??f(x,y)dσ=??f(x,y)dσ+??f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的⾯积，则．σ=??1?dσ=??dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤?(x,y)，则有f(x,y)dσ≤(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故⼜有f(x,y)dσ≤??DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最⼤值和最⼩值，σ是D的⾯积，则mσ≤??f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（⼆重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的⾯积，则在D上⾄少存在⼀点(ξ,η)，使得f(x,y)dσ=f(ξ,η)?σ．D⼆、⼆重积分的计算（⼀）利⽤直⾓坐标计算⼆重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以⽤不等式a≤x≤b，?1(x)≤y≤?2(x)来表⽰的闭区域，其中函数?1(x)、?2(x)在区间[a,b]上连续．此时⼆重积分可化为如下⼆次积分的形式：D2(x)f(x,y)dσ=??f(x,y)dy?dx，这个先对y、后对x的a(x)1b⼆次积分也常记作如下形式：f(x,y)dσ=?dx?Dab2(x)1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以⽤不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表⽰的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时⼆重积分可化为如下⼆次积分的形式：f(x,y)dσ=?Ddcφ2(y)f(x,y)dx?dy，这个先对x、后对yφ1(y)?dc的⼆次积分也常记作如下形式：f(x,y)dσ=?Ddy?φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（⼆）利⽤极坐标计算⼆重积分要把⼆重积分中的变量从直⾓坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直⾓坐标系中的⾯积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样⼆重积分从直⾓坐标变换为极坐标的变换公式如下：f(x,y)dxdy=f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以⽤不等式α其中?1(θ)、≤θ≤β，?1(θ)≤ρ≤?2(θ)来表⽰，?2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的⼆重积分化为⼆次积分的公式为：f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=?Dβα??2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ?dθ．1(θ)?这个先对ρ、后对θ的⼆次积分也常记作如下形式：f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=?Dβαdθ??2(θ)?1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算??xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22xxydσ=?D4221dx?x132x?y?xxydy=??x??dx=?(-)dx 1122?2?1?xx?9=?-?= ． 4?18?8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故xydσ=?D421dy?2y2?x?y3xydx=??y??dy=?(2y-)dy 112?2?y222?y?9=?y2-= ． 8?18?【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围??D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221?11?2σ=?dx?=-??(1+x-y)?dx??-1x3-1??xD=-?122?x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．-10333?4?021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算⽐较⿇D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ??D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，xydσ=?D42-1dy?2yy+2?x2?1225?xydx=y?dy=??y(y+2)-ydy??-1-12?2?y2262y+21?y43y?452=?+y+2y-?= ． 2?436?-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要⽤经过交点(1,-1)且平⾏于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据⼆重积分对积分区域的可加性，就有 {．xydσ=??xydσ+??xydσDD1D2=?dx01xydy+?dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2??Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx?x?xdxdy=?dx=2dy 221yy13yyDy23y2=1yy1?yy-2-)dy=?-?= ． 333?52?15-xe??D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中⼼在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表⽰为极坐标，0≤-xe??D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2?1?dxdy=?dθ?e-ρρdρ=??-e-ρ?dθ000?2?02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)?dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ??【例9-6】计算D的在第⼀象限内的闭区域．解：将积分区域D表⽰为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(D00122??1ρπ??ρ2ρ?2? =?dρln(1+ρ)?-?022?21+ρ?02?ρ22)ρ3=ln2-?ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-?ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-?(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ?ρ212?=ln2-?-ln(1+ρ)? 42?22?0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表⽰为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=?dθ?ρ?ρdρ=2π?ρ2dρ 02πρ3?8114π=2π??=2π(-)=333?3?1【例9-8】交换下列⼆重积分的积分次序．1．2 ．?21dy?lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后2．21dy?lny0f(x,y)dx=?ln20dx?xf(x,y)dy ． e2?dx?012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需⽤直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y?dx?0xf(x,y)dy=?dy?f(x,y)dx+?dy?0010f(x,y)dx ． 3．?dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11?dx122-xf(x,y)dy=?dy?02-yf(x,y)dx ．4．?π0dx?sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需⽤直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后πdx?sinxx2-sinf(x,y)dy=?dy?1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+?dy?-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】⼀、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则??dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π（D）2π（A）33解：⼆重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的⾯积，⽽积分区域D为圆域x2+y2≤1，故??dxdy=π?12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序dx10f(x,y)dy=（）101（A）-10dy01f(x,y)dx （B）?dy?00f(x,y)dx（C）-1dy?f(x,y)dx （D）?0?f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤dx010f(x,y)dy=dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则??D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原⼆重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=?dx?dy=?dx??ydy ??00001+x1+xD1+x22?y?4?=?ln(1+x?=ln2?=2ln2．选项（D）正确．??0?2?2??01⼆、计算题1．（2010年，5分）求⼆重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2??Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故⼆重积分 2x222xx2??=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) 111111yDy 222=?x?lnx??1-?1?x2?3xdx=4ln2-??=4ln2-． 2?2?12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ??22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则⼆重积分2-1??xydσ=?Ddy?2yy+2y2+4y+4y4xydx=?y(-)dy -1222436??11y4yy453252=?(y+4y+4y-y)dy=?++2y-?=． -122?436?-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1??D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则⼆重积分??cosydxdy=?dy?2D02y+11cosy2dx11=ycosy2dy=siny2=sin4． 0?2?02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy??xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则⼆重积分 1xyy2??eD1dxdy=?dy?0y110??1edx=??ye?dy=?(yey-y)dy 00??0y1121y?y?11y1=?yd(e)-?ydy=?ye-edy-=e-e-?20?0??02=2． 00??0 5．（2005年，5分）计算⼆重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故⽤极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy??D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故??xydxdy=?dθ?222D0022ρ2cosθ?ρsinθ2?ρdρρ?=?2sin2θcos2θ??0?6?0π62cosθπdθ=?2(1-cos2θ)cos2θ?032cos6θdθ3 32π327531π97531π=?2(cos8θ-cos10θ)dθ= (-?) 303864221086422327531π17π． ==3864221048。
专转本——级数 基本考点以及解题方法
本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：● 级数的敛散性；● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数；●给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结)2.解题方法归纳：● 级数的敛散性此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法：nn n n )12(1∑∞=+ 比较审敛法的极限形式： ))10(1(32∑∞=-+n n n n∑∞=+1)11l n (n n 分析：比值审敛法： ∑∞=∙1!2n nn n n 分析：（2）交错项级数 莱布——尼兹定理：∑∞=+-111)1(n nn（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛： 分析：注意：要学会这三种方法的综合运用！● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型：（1）∑∞=-1)1(n n nn x （2）∑∞=--1)21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x对于（1）有：a. 利用定理2得收敛半径；b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ；b. 利用定理2得t 的收敛半径；c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有：只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间；● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型：（1）展开成x 的幂级数 （1）)4(1)(x x f +=（2）x e x x f 22)(=（2）展开成)(0x x -幂级数● 求幂级数的和函数；大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：附：7个常用的函数展开式① ),(.....!1+∞-∞∈=∑∞=x x n e n nx② ),(.....!121)1(/)!12(1)1(sin 0121121+∞-∞∈+---=∑∑∞=+∞=--x x n x n x n n n n n n ）（③ ),(.....)!2(1)1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x x n x n nn④ )1,1( (110)-∈=-∑∞=x x x n n⑤ )1,1(......)1(110-∈-=+∑∞=x x x n n n⑥ ]1,1(......11)1(/1)1()1ln(0111-∈+--=+∑∑∞=+∞=-x x n x n x n n n n n n ⑦ ]1,1(......11/1)1ln(101-∈+=-∑∑∞=∞=+x x n x n x n n n n● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！)做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】 对于级数∑∞=1n nu，有以下分析：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ； 若级数∑∞=1n nu发散，则k u n n =∞→lim （k 可以为0）；若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu 的敛散性不确定； 若0lim ≠=∞→k u n n ，则必发散；分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况● 对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”，以上两种分析是基础，另外还需结合——“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很”；（2）与“级数的基本性质3、4”有关的几个问题【3组】① 在两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv中，有以下分析：若一个收敛，一个发散，则有)(1∑∞=±n n nv u发散；若两者都收敛，则)(1∑∞=±n n nv u收敛；若两者都发散，则)(1∑∞=±n n nv u的敛散性不确定；② 对①反过来有：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛；若级数)(1∑∞=±n n nv u收敛若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散；若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必发散；若级数)(1∑∞=±n n nv u发散若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu不确定；③ 对两个级数的乘积分析 a. 两个级数收敛 乘： nn1)1(-（收敛） / 211)1(n n -（发散） 除： 41)1(n n-与21)1(n n -（收敛） / n n 1)1(-（发散）b. 两个级数发散乘：n1（收敛） / 211n （发散） 除： n 1与211n （收敛） / n1（发散） c.一个收敛、一个发散乘：n 1与21n（收敛） / 321n 与231n （发散） 除：n 1与31n （收敛） / n 1与21n（发散） 综上所述有：两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定；（极限中无穷小的概念要深刻体会！） （3）级数的“绝对值、次方”产生的问题对交错项级数的P-级数的单独分析： 交错项级数的P-级数，例如：∑∞=-11)1(n knn 特点：首先明确一点，即：K>0时，交错项级数的P-级数总是收敛的； （1）次方（奇偶）的改变导致K 的改变，（奇偶）决定了交错； （2）绝对值的介入改变了交错；① 若级数∑∞=1n nu收敛（不强调是正项级数），则∑∞=+1n mkn u必收敛；∑∞=1)(n knu （其中0>k ）不一定收敛；【K 为奇数的情况？】∑∞=1n nu不一定收敛；（反过来成立！）② 若级数∑∞=1n nu为正项级数，且∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1)(n knu （其中0>k ，k 奇偶不分）收敛；∑∞=1n nu收敛；这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小！ 如：若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u.............（错误）（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。
贵州专升本高数知识点归纳
贵州专升本高数知识点归纳高等数学作为专升本考试的重要科目之一，其知识点覆盖广泛，包括极限、微分、积分、级数、多元函数微分学、常微分方程等。
以下是对这些知识点的归纳总结：一、极限- 极限的概念：数列极限、函数极限。
- 极限的性质：唯一性、有界性、保号性。
- 极限的运算：四则运算法则、夹逼定理、单调有界定理。
二、连续性与间断点- 函数的连续性：定义、性质。
- 间断点的分类：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点。
三、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
- 基本初等函数的导数公式。
- 高阶导数：二阶导数、三阶导数等。
- 微分的概念：一阶微分、高阶微分。
四、微分中值定理及其应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
- 洛必达法则：0/0型、∞/∞型。
五、导数的应用- 函数的单调性、极值、凹凸性。
- 曲线的凹凸、拐点、渐近线。
六、不定积分与定积分- 不定积分：换元积分法、分部积分法。
- 定积分：定积分的性质、几何意义、物理意义。
- 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式。
七、级数- 数项级数：正项级数、交错级数、绝对收敛级数。
- 幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数。
- 函数的幂级数展开。
八、多元函数微分学- 偏导数、全微分。
- 多元函数的极值问题。
九、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。
- 高阶微分方程：常系数线性微分方程。
结束语通过上述知识点的归纳，我们可以看到高等数学的深度和广度。
掌握这些知识点对于专升本考试至关重要。
希望同学们能够系统地复习，深入理解每个概念，熟练运用各种解题技巧，从而在考试中取得优异的成绩。
2019年年湖北工业大学专升本考试大纲.doc
湖北工业大学2011年普通“专升本”考试大纲《高等数学》考试大纲第一章：函数与极限1.1 映射与函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 无穷小与无穷大1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则1.7 无穷小的比较1.8 函数的连续性与间断点1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1.10 闭区间上连续函数的性质基本要求：理解函数的概念；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单实际问题中的函数关系式；理解极限的概念；掌握极限四则运算法则；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。
会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大以及无穷小比较阶的概念、会用等价无穷小求极限；理解函数在一点连续的概念；了解间断点的概念，会判别间断点的类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。
第二章：导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率2.5 函数的微分基本要求：理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量；掌握导数四则运算法则和复合函数求导法。
掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；了解高阶导数的概念；了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式；掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
湖北工业大学普通专升本专题：/ptzsb/Channel/hbgydxzsb/第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性3.5 函数的极值与最大值最小值基本要求：理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理；理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法；会用导数判断函数凹凸；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
江苏专转本高数考纲及重点总结
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念:函数的定义，函数的表示法，分段函数.（2）理解和掌握函数的简单性质:单调性,奇偶性，有界性,周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数,三角函数，反三角函数。
(6)了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.（2)了解数列极限的性质：唯一性,有界性，四则运算定理,夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。
(3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→—∞）时函数的极限。
（4）掌握函数极限的定理:唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理.（5)理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.重点:会用左、右极限求解分段函数的极限，掌握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续(1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义,左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。
（2）掌握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型.（3）掌握闭区间上连续函数的性质:有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理)，会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的间断点.理解闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质（如介值定理、最值定理）用于不等式的证明.二、一元函数微分学(一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
高数第九章知识点总结
高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。
下面将对第九章的知识点进行总结。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。
2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。
3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。
4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。
二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。
2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。
3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。
5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。
三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。
2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。
以上就是高数第九章的主要知识点总结。
掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。
在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。
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推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变 性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减
(u
n 1
n
vn ) un vn S
n 1 n 1
例:
1 1 ( 2 2 32 ) n 1
级数收敛
1 1 因为 2 和 2 都收敛 n 1 2 n 1 3
性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性
证 不妨设去掉前k 项,得级数 uk 1 uk 2 uk n 常数
n uk 1 uk 2 uk n Sk n Sk
n 时, n , S k n
原级数部分和 同时敛散
n 1
称为数项无穷级数
项
通项
问题:如何理解无穷个数相加?
n k 1
变化趋势
1. 部分和: S n uk u1 u2 un 2. 部分和数列: S1 , S 2 , , S n , 3. 收敛: lim S n S n rn S S n 称级数收敛 称为级数余项
因此,不影响级数的敛散性.
性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变 证: 设收敛级数 u1 u2 un 新级数 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 1 S 2 , 2 S5 , , m S n ,
n 1
证:
lim un lim ( S n S n 1 )
n n
lim S n lim S n 1
n n
S S 0
n 1
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un 0 ,则级数 u n 发散 n
(2). lim un 0 时,级数 u n 不一定收敛 n
n 1
1 1 1 例如:调和级数 1 2 3 n
1 lim un lim 0 n n n
但可以证明级数发散 假若级数收敛,则 lim ( S 2 n S n ) S S 0 n 但是,
1 1 1 1 1 1 S2n Sn n 1 n 2 2n 2n 2n 2
n( a
n 1
n
an 1 )收敛, 证明 an收敛
n 1
记 an 的前n项和为 S n , 记 n(an an 1 ) 的前n项和为 n .
n 1 n 1
则 n (a1 a0 ) 2(a2 a1 ) 3(a3 a2 ) n(an an 1 ) (a0 a1 a2 an 1 ) nan S n 1 nan S n (n 1)an n 1 lim S n 存在
a S 1 q
| q | 1, S n
| q | 1, S n
级数发散
| q | 1 级数发散
总之:
| q | 1, 级数收敛
1 (4). ln(1 ) n n 1
un ln
n 1 ln(n 1) ln n n S n ln(n 1) (n )
矛盾
例. 判断级数敛散性:
n (1) 100 n 1 n 1
lim un lim
n
n 1 0 n 100 n 1 100
n n 1
级数发散
(2)
(1) n
n 1
lim un lim (1) n
n n
n n 1
不存在
级数发散
思考
1.已知数列xn nan收敛,
不存在,称级数发散
例. 判断级数敛散性:
(1). 1+2+3+…+n+…
Sn 1 2 3 n
级数发散
n(n 1) (n ) 2
(2).
1 1 1 1 2 2 3 n(n 1)
=1
1 1 级数收敛 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n n 1 1 1 1(n ) n 1 un
级数发散
二. 数项级数的性质
性质1
若级数
u
n 1 n
n
收敛于和 S, k 为常数,则
ku
n 1
k un k S
n 1
证
n k u1 k u2 k un k Sn
lim n lim k Sn k lim S n k S
n n n
aqn a aq aq2 aqn (3).
n 0
q =1时 Sn na
级数发散
q =-1时 Sn a a a a 极限不存在,级数发散
q 1
a aqn S n a aq aq2 aqn 1 1 q
第一节
数项级数
第一节
数项级数
一. 数项级数的概念
2 n 1 中学: 无穷等比级数 a aq aq ...... aq ......
就是无穷级数的一种
定义 设有数列 u1 , u2 , , un , 将其各项依次累加所得的式子
u1 u2 un u n
m
lim m lim S n S
n
注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散. (2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛. 例如: (1－1)+ (1－1)+ (1－1)+......收敛 而1－1+1－1+1－1+......发散.
性质5.(级数收敛必要条件) 若级数 u n 收敛,则 lim un 0 n
n
a
n 1
n
收敛.