18-导数在经济中的应用

日产量75件时的总成本和平均成本 求: (1)日产量 件时的总成本和平均成本; 日产量 件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由 件提高到 件时, 总成本的平均改变量; 当日产量由75件提高到 件时, 总成本的平均改变量; 当日产量由 件提高到90件时
1 2 (3)当日产量为 件时的边际成本. C ( x ) = x + 60 x + 2050 当日产量为75件时的边际成本 当日产量为 件时的边际成本. 4 日产量75件时的总成本和平均成本 解 (1)日产量 件时的总成本和平均成本 日产量
x0 ) 边际函数. 在点x 称为ƒ(x)在 x0 处的边际值 的边际函数. 在点 0的值 f ′( 称为 在
(或变化率、变化速度等). 或变化率、变化速度等 . 或变化率
Q f ′( x0 ) = lim
∆x → 0
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∴ = f ′( x0 ) + α (lim α = 0) ∆x→0 ∆x
1.平均成本最小 平均成本最小
生产成本函数( 例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C ( x ) = 9000 + 40 x + 0.001 x 2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本. 其最小平均成本和相应的边际成本.
显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是: 时 政府税收总额最大. 但须指出的是: x = 5/2(4 – t) > 0 满足限制0 并未超出t 的限制范围. 即 t 满足限制 < t < 4.显然 t = 2 并未超出 的限制范围. .
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二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结 为求函数的最大值和最小值问题. 为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值 在经济上的应用. 在经济上的应用.
§4.8 导数在经济中的应用
一. 边际分析 二.函数最值在经济中的应用
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§4.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数( 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用 微分)在经济中的一些简单的应用.
若x = 3000件时,平均成本达到最小，且最小平均成本为. 平均成本达到最小，且最小平均成本为.
C (3000) = 46(元 / 件)
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而边际成本函数为
C ( x ) = 9000 + 40 x + 0.001 x 2
C ′( x ) = 40 + 0.002 x
故 x = 3000 时, 相应的边际成本为 C ′(3000) = 46(元 / 件)
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某商家销售某种商品的价格满足关系p 例7 某商家销售某种商品的价格满足关系 = 7– 0.2x 为销售量(单位: (万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 万元/ 商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元) (万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 若每销售一吨商品, 万元), 若每销售一吨商品 获最大利润时的销售量; 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大. 为何值时, 政府税收总额最大. 解 (1)当该商品的销售量为 时, 商品销售总收入为 当该商品的销售量为x时 当该商品的销售量为
C(75) = 7956.25(元) 元 C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由 件提高到 件时, 总成本的平均改变量 当日产量由75件提高到 件时, 当日产量由 件提高到90件时
∆C C (90) − C (75) = 101.25(元 / 件 ) = 90 − 75 ∆x
在产量为Q时 边际成本 C ' (Q ) ：在产量为 时，再多生产一单位产 品所需的成本。 品所需的成本。 例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 某机械厂, 日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的 件 ( 函数为
1 2 C ( x ) = x + 60 x + 2050 4
一.曲线凹凸与拐点的判别 曲线凹凸与拐点的判别
f ′′(x) > 0, x ∈ I f ′′(x) < 0, x ∈ I
拐点
二.渐近线
+ –
极小
极大
— 连续曲线上有切线的凹凸分界点
若 lim f ( x) = b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y = b .
x→∞
若 lim f ( x) = ∞ , 则曲线 y = f ( x) 有一条垂直渐近线 x = a .
显然最小平均成本等于其相应的边际成本. 显然最小平均成本等于其相应的边际成本.
2.最大利润 最大利润
设总成本函数为C(x), 总收益函数为 , 总收益函数为R(x), 其中 x 为 设总成本函数为 , 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为 L(x) = R(x) – C(x)
R = px = 7x − 0.2x2
设政府征的总税额为T, 则有T 设政府征的总税额为 , 则有 = t x, 且利润函数为
L = R − T − C = −0.2 x 2 + (4 − t ) x − 1
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L′( x ) = − 0.4 x + 4 − t = 0, 得驻点 x = 5 (4 − t ) 2 而 L′′( x ) = −0.4 < 0, 且驻点唯一. 且驻点唯一.
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解 平均成本函数是
C ( x) =
9000 C( x) = + 40 + 0.001x x x
C ′( x ) = −
9000 + 0.001 2 x
C ′′( x ) =
1800 >0 3 x
且驻点唯一. 令 C ′( x ) = 0 得 x = 3000, 且驻点唯一. 唯一的极小值点. 故 x = 3000是(0, +∞ ) 唯一的极小值点.
一. 边际分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究 经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析 边际分析与 经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分 析.
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1.边际函数 1.边际函数
定义1 经济学中, 把函数ƒ(x)的导函数 f ′(称为 称为ƒ(x) 定义 经济学中, 把函数 的导函数 x)
当∆x → 0 (即∆x很小)时, 有
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) ∆x
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在经济学中, 通常取∆x , 就认为∆x达到很小 达到很小. 在经济学中, 通常取 =1, 就认为 达到很小. 故有 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x) 在 x0 处的 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得 边际值 f ′( x0 ). 经济意义: 经济意义 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单 位时, 函数 f(x) 的改变量. 的改变量. 位时,
C ( x ) = 100 + 2 x + 0.02 x 2 和 R( x ) = 7 x + 0.01 x 2 . 入函数分别是
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤 求边际利润函数和当日产量分别是 公斤, 250公斤 公斤 公斤 和300公斤时的边际利润 并说明其经济意义 公斤时的边际利润. 公斤时的边际利润 并说明其经济意义. 总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5 x − 100 − 0.01 x 2 解 (1)总利润函数为 总利润函数为 边际利润函数为 L′( x ) = 5 − 0.02 x (2)当日产量分别是 公斤、250公斤和 公斤时的 当日产量分别是200公斤 公斤、 公斤和 公斤和300公斤时的 当日产量分别是 边际利润分别是
令
故 L( x ) 在 x = 5 (4 − t ) 取得最大值 . 2
是使商家获得最大利润的销售量. 即 x = 5 (4 − t ) 是使商家获得最大利润的销售量. 2 (2)由(1)的结果知, 政府税收总额为 由 的结果知, 的结果知
T = tx = 5 2 (4 − t )t = 10 − 5 2 (t − 2)2
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2.成本 生产一定数量的产品所需的全部资源投入。 2.成本C(Q)：是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入。包 成本 ：是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入 括（原材料、设备及劳动力等）的价格或费用总和。 原材料、设备及劳动力等）的价格或费用总和。 平均成本C (Q)：单位产品的成本
C (Q) = C(Q) Q
R (Q) = R(Q) Q
边际收益 R ' (Q ) 品的收入。 产 品的收入。
:在产量为 时，再多生产一单位 在产量为Q时 在产量为
当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 注 当销售量为 总利润为 时 所增加或减少的利润. 所增加或减少的利润
为销售量为x L ′ ( x )为销售量为
时的边际利润, 时的边际利润 它近似等于销售量为 x 时再多销售一个单位产品 某糕点加工厂生产A 例2 某糕点加工厂生产 类糕点的总成本函数和总收