自适应控制讲义—--教材讲义

第一章 概述1.1 自适应控制的研究对象自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。

1. 系统不确定性产生的原因 1）内部不确定性（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。

（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。

2）外部不确定性被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。

2. 系统“不确定性”的数学描述 1）状态方程设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：(1)(,)()(,)()()x k A k x k B k u k k θθε+=++ (1.1-1)()(,)()()y k C k x k v k θ=+式中：()()r r ()m 1 m x k y k u k ⨯⨯⨯——状态向量 n 1——输出向量 1 （由传感器数量决定）——控制向量 （由执行机构决定）{()}}{()}k u k ε——单位动态噪声称为随机序列，其统计特性未知——测量噪声(,)A k θ，(,)B k θ，(,)C k θ 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为,n n m n ⨯⨯⨯n ，v 。

k ——离散时间，k ~k T 。

其中T 为采样周期。

θ——S 维未知参数向量，可能A ，B ，C 中未知参数不同，为了简单起见，都设为S 维。

2）系统框图根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。

1Z -(,)C k θ(,)B k θ(,)A k θ()u k ()k ε()x k ()y k ()v k (1)x k +图 1.1-1 被控对象的结构框图图中1z -是时间延迟因子，1()(1)x k z x k -=+，噪声{()k ε}和{v (k ）}作用于对象的不同部位，对于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。

其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。

1.2 自适应控制系统的结构分类1 克服被控对象不确定性的方法通常采用两种方法：①在线辨识参数；②设定参考模型。

1）在线辨识对象的参数，一般采用递推算法，不辨识对象的阶次（结构），修改控制器得参数，称为自矫正方法。

2）设定参考模型，它代表给定的性能指标，将实测的性能指标和给定的性能指标进行比较，得到广义误差，由他来修改控制器规律，称为参考模型方法。

2 按结构分类由上述克服不确定性的方法将自适应控制系统分为两大类：1）自校正调节（控制）系统（Self-Tuning Regulator-Controller ） 通常自适应系统的结构框图如图1.2-1所示。

由图看以看出：② 常规控制系统比较增加了参数辨识和控制器设计两个部分，称为自适应环节。

②它的结构呈现双环系统，内环为常规反馈系统构成参数可调整系统；外环为自适应环节，它调整控制器参数，以达到性能最优或次优。

控制器被控对象内环外环()y k ()u k ()v k ()e k -+()r y k 调节器参数计算参数辨识自适应环节()y k ()u k ()y k ˆ()xk ˆ()k θ图1.2-1 自校正控制系统框图上图为显式结构，当参数辨识环节直接辨识控制器参数时，两个方框合二为一，形成隐式结构。

③参数自适应环节估计器输入控制信号()u k 和对象输出()y k ，计算出对象的状态估计值ˆ()x k 和参数的估计值ˆ()k θ（θ个参数未知或时变）。

由估计值ˆ()x k 和ˆ()k θ来修改控制规律。

2）模型参考自适应控制系统）（MRAC ）(Model Reference Adaptive Control System — MRACS)这类自适应控制系统结构框图如图1.2-2所示。

由图可以看出：① 它有一个参考模型（Reference Model ）。

它是要求（期望）性能指标的代表，其输入为()r y k 输出()m y k 是期望输出的表示，也可以是某种性能指标。

控制器被控对象参考模型自适应机构内环外环()y k ()u k ()v k ()e k ()y k ()m y k -+()r y k图1.2-2 模型参考自适应控制系统结构框图② 它也可以看成是双环系统，内环是通常的反馈，外环调节控制器参数和结构，为自适应闭环。

它的输入为广义误差()e t ，可能是输出的偏差，也可能是某种性能指标的误差，称为广义误差。

③ 由广义误差和参考输入来按照某种规律来修改控制器的参数，称为自适应结构。

只要()()m y k y k =系统就达到了优化状态。

1.3 自适应控制的理论问题自适应控制系统是具有非线性、时变参数和随机干扰等特性，内部机理相当复杂的系统。

理论分析和研究落后于应用。

目前各种各样的结构和算法也逐步得到广泛的应用，但它的理论课题还未彻底解决。

主要集中在三性的研究。

①稳定性 Stability ②收敛性 Convergence ③ 鲁棒性 Robustness 。

1 稳定性：指系统的状态、输出和参数的有界性。

目前的稳定性理论，李雅普诺夫稳定性理论、波波夫稳定性理论（超稳定性理论）还不能完全处理已有的自适应控制系统稳定性分析。

2 收敛性指一个自适应算法在指定的初始条件下，能渐进达到预期的目标，而且在此渐进的过程中保持系统的所有变量有界。

3 鲁棒性在存在扰动和未建模部分条件下，系统保持其稳定性和优良性能指标的能力。

其它理论问题有：①自适应速度分析和计算理论；②自适应控制系统的优化和简化设计； ③非线性对象的自适应控制系统理论。

第二章 自校正控制系统（STC 系统）2.1 被控对象的数学描述（数学模型）（Mathematical Description for Controlled Plant ） 1 被控对象的输入输出关系（P8）被控对象为单输入、单输出线性系统，用下列线性差分方程描述。

将微分方程化为差分方程可参看《过程辨识》，p75~p78，方崇智，清华大学出版社。

111011()(1)()()(1)()n n y k a y k y k n b u k d bu k d u k d n '''''+-+-=-+--+--+a +b （2.1-1）式中： u(k)，y(k) ——对象输入和输出； n 1 ——被控对象的阶次；k —— 采样时刻，k ~ k T 0（T 0——采样周期）；d —— 系统总延迟时间，d ~ d T 0，d = L +1，L 为对象纯延迟时间，d ≥1，“1”是对象有惯性环节，离散化结果一定出现一个周期的延迟。

为了书写和运算的方便，引入时间平移因子1z -，1(1)()y k z y k --=，则（2.1-1）式可写成：1111()()()()d A z y k z B z u k ---= （2.1-2）式中：11111111111111010()11()n n in i i n n i ni i A z a z za z B zb b z b z b z ----=----='''=+++=+''''=++=∑∑a也可写成： 1111()()()()dB z y k zu k A z ---= （2.1-3）说明： ① 用1z -表示时间平移一个采样周期后，（2.1-1）式差分方程可以简化为以1z -为变量的代数多项式的代数方程；② 对于1z -多项式A 1 (1z -)和B 1（1z -）可以进行四则运算，解差分方程可以变为解代数方程。

③ 对象的脉冲传递函数为：11111()()()dB z H z zA z ----= 它和（2.1-3）式()()y k u k 的形式相同，但两者的含义是有差别的。

1()H z -中的Z 是Z 平面（Z 变换）上的一点，而（2.1-3）式中为时域变量。

2被控对象运行环境的描述（噪声数学模型）工业实际中被控对象运行时可能受到各种干扰，作用于对象的不同点，由于对象是线性系统，利用叠加原理，将作用于系统的全部干扰用一个作用于系统输出的等价噪声v (k )来等效。

通常{v (k )}是一个具有有理谱密度的平稳随机信号，它代表很大一类干扰噪声信号。

1)平稳随机序列（过程） Stationary Random Sequence 其统计特性具有时间平移不变特性的随机信号。

统计特性是分布函数和数字特征。

数字特征有两个：①数学期望；②相关函数（协方差函数）。

(1)数学期望（均值）：描述变化的平稳性。

Expectation 。

{()}()v v E v k m k m ==或为0；E{}()v xf x dx +∞-∞⋅=⎰（概率空间的总体平均值）（2）相关函数:描述变化的相关性（前后相关程度）。

Relative Function 。

{()()}(,)()v v E v k v k R k R λλλ+== {()()}R R λλ=- 121212(,)(,,,)v R k x x f x x R dx dx λλ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰若随机过程的数学期望为常数，相关函数与k 无关，称为平稳随机过程。

2）谱密度 （Spectrum ）自相关函数的傅里叶（Fourier ）变换称为平稳随机过程的功率频谱或谱密度。

()()j kv v k eR k ωω∞-=-∞Φ=⋅∑ （2.1-4）1()()2j k v v R k e d πωπωωπ--=Φ⎰ （2.1-5）当k =0，2(0){()}v R v k =，设()v k 为电压（或电流），则2()v k 为功率（即干扰强度）。

由（2.1-5）式得到：()(0)2v v R d ππωωπ-Φ=⎰平均功率(0)v R 是各种频率噪声的功率总和，()vd ππωω-Φ⎰的平均值（即除以2π），因此()v ωΦ表示频率为ω的干扰噪声信号的功率（强度）。

也就是说源噪声可以看成各种频率噪声的混合。

不同噪声其包含的各种频率信号的大小不同。

例如：有的噪声以高频为主，可以用电容来消除。

3）白噪声（White Noise ）若一随机信号的期望值为0，相关函数为脉冲函数20{()()}{E k εσελελ≠⋅+= k=0 k 0 ，则称它为白噪声。

其谱密度为：2()()j k k R k e ωεεεωσ∞-=-∞Φ==∑（常数）。

表明它的各个分量的强度都是一样的，相当于白光的光谱在各个频率上有相同的强度。

不具有上述条件的噪声称为有色噪声。

4）随机扰动模型 （Stochastic disturbance model ）由谱表示定理可知：对于所有具有有理谱密度的平稳随机过程，都可以用白噪声激励一个稳定的线性的动态系统来产生（或表示）。