高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试专题13 算法001

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高三数学模拟试题含答案

高三数学模拟试题含答案第一题：计算题已知 a = 3，b = 5，c = 7，d = 9，请计算以下表达式的值，并给出计算过程。

1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答：1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题：选择题在下面的选项中，选择一个正确答案。

1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是：A. a > 0，开口向上B. a > 0，开口向下C. a < 0，开口向上D. a < 0，开口向下解答：B. a > 0，开口向下第三题：解方程请求解以下方程，并给出解的步骤。

1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答：1) 2x - 5 = 3x + 1移项得：2x - 3x = 1 + 5化简得：-x = 6解得：x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式，因此使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1，b = -4，c = 3，得：x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得：x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得：x = (4 ± √4) / 2化简得：x = (4 ± 2) / 2分解得：x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3，x2 = 1第四题：证明请证明勾股定理，即直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题(含答案)

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。

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数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 150 分 . 考试时间120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：球的表面积为：S 4 R2,其中R为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、选择题：本大题共12 小题．每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数2i的实部为1iA．2 B ．2 C ．1 D ．12.设全集 U R，集合M x | y lg( x21)， N x | 0x 2 ，则N I (e U M ) A．x | 2 x 1B．x | 0 x 1C．x | 1 x 1D．x | x 13.下列函数中周期为且为偶函数的是A．y sin( 2x)B.y cos( 2x) C.y sin( x) D ．y cos(x)2222 4.设 S n是等差数列a n的前 n 项和， a12, a53a3,则 S9A．90 B ．54C．54D． 725.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若l m , l n , 且m, n, 则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则//C．若m, m n ，则n //D．若m // n, n，则 m6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为正视图左视图半径是 2 的圆，则这个几何体的表面积是A．16 B ．14 C ．12D．87.已知抛物线 y24x 的焦点为F，准线为l，点P为抛物俯视图线上一点，且在第一象限，PA l ，垂足为 A ， PF 4 ，则直线 AF 的倾斜角等于A．7B.2C．3D.512346r r| a b |r r r r8.若两个非零向量 a ， b 满足| a b | 2 | a | ，则向量 a b 与 b a 的夹角为A．6B．3C．2D．5369.已知函数 f ( x)x,x 0，若函数 g (x) f ( x)m 有三个不同的零点，则实数 m 的x2x, x0取值范围为A．[1,1]B．[1,1)22C．(1,0)D．(1,0]4410. 已知f ( x)| x 2 || x4 |的最小值为 n ，则二项式( x 1)n展开式中x2项的系数为xA．15B．15C． 30D． 3011. 已知函数 f ( x) 对定义域R 内的任意x 都有 f (x) = f (4x) ，且当x 2时其导函数f ( x) 满足 xf ( x) 2 f (x), 若2 a 4则A．f (2a) f (3) f (log 2 a)B．f (3) f (log 2 a) f (2 a )C．f (log2a) f (3) f (2 a )D．f (log2a) f (2 a ) f (3)12. 定义区间(a, b)，[ a, b)，( a, b]，[a, b]的长度均为d b a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1,2) U [3, 5) 的长度 d(21)(53)3 .用 [ x] 表示不超过x 的最大整数，记{}x x [ x] ，其中x R .设f ()x[]x { x} ， gx( ) x 1，当0x k 时 , 不等式f ( x) gx( ) 解集区间的长度为 5 ，则 k 的值为A．6B．7C．8D．9第Ⅱ卷（非选择题共 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分．13.某程序框图如右图所示，若a 3 ,则该程序运行开始后，输出的 x 值为;14.a1 )dx 3 ln 2(a n 1,x a若 (2x1)，则a的值1xn n 1是;x2y24n3是x2x 1 15.已知 x, y 满足约束条件x y20 ,则目标函否y0输出x数 z2x y 的最大值是;16．给出以下命题：结束① 双曲线y2x2 1 的渐近线方程为y2x ；2②命题 p : “x R +， sin x1 2 ”是真命题；sin x③ 已知线性回归方程为?32x ，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；y④ 设随机变量服从正态分布 N (0,1)，若 P(1)0.2，则 P(10)0.6 ；⑤ 已知2642 ，54342 ，712，10422，2465374141024依照以上各式的规律，得到一般性的等式为n8n2，（ n 4 ）n 4 (8 n) 4则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共74分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12 分）C已知函数 f ( x) sin x (0) 在区间 [0, ] 上单调3BO A递增,在区间 [, 2] 上单调递减 ; 如图 , 四边形 OACB 中 , a , b , c 为 △ ABC 的内角 3 3sin B sin C4 cosB cosC3.A ，B ，C 的对边，且满足sin Acos A（Ⅰ）证明： bc2a ；（Ⅱ）若 b c ，设AOB ， (0),OA 2OB 2，求四边形 OACB 面积的最大值 .18．（本小题满分 12 分）现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取 n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 n 9 ），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当 n 3 时, 记事件 A { 抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等 } ，求 P( A) ；（Ⅱ）当 n 2 时 , 若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）, ①求的分布列；②令21，E( ) 1，求实数的取值范围．19．（本小题满分 12 分）如图，几何体 ABCD B 1C 1D 1 中，四边形 ABCD 为菱形， BAD 60o ， AB a ，面 B 1C 1D 1 ∥面 ABCD , BB 1 、 CC 1 、 DD 1 都垂直于面D 1C 1ABCD , 且 BB 12a ， E 为 CC 1 的中点， F 为B 1AB的中点 .E（Ⅰ）求证：DB 1 E 为等腰直角三角形；DC（Ⅱ）求二面角 B 1DE F 的余弦值 .ABF20．（本小题满分 12 分）已知 n N ,数列 d n足 d n 3 (1) n足 a n d1d2 d3d2n；又知, 数列a n2数列 b n中， b1 2 ，且任意正整数m, n ，b n m b m n.（Ⅰ）求数列a n和数列 b n的通公式；（Ⅱ）将数列b n中的第 a1，第 a2，第 a3，⋯⋯，第．a n，⋯⋯去后，剩余的．．．按从小到大的序排成新数列c n，求数列 c n的前2013和. 21．（本小分13 分）ur(e x r ur re 是自然数的底数），曲已知向量 m,ln x k ) ， n(1, f ( x)) ， m / / n （k常数，y f ( x)在点 (1, f (1))的切与y垂直,F (x)xe x f( x) ．（Ⅰ）求 k 的及 F ( x)的区；（Ⅱ）已知函数g( x)x22ax (a 正数),若于任意x2[0,1]，存在x1(0,) ，使得g ( x2 ) F ( x1 ) ，求数 a 的取范．22．（本小分 13 分）已知 C :x2y21(a b0) 的焦距23 ,离心率2,其右焦点F ,点a2b22B(0, b) 作直交于另一点 A .uuur uuur6,求ABF 外接的方程;(Ⅰ)若AB BF( Ⅱ ) 若点M (2,0)的直与N : x2y21相交于两点 G 、 H ， P N 上一点，a2b23uuur uuur uuur uuur uuur25，求数 t 的取范.且足 OG OH tOP （O坐原点），当 PG PH3青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、：本大共12小．每小 5 分，共 60 分．CBACD ABBCA C B二、填空：本大共 4 小，每小 4 分，共 16 分．13.3114.215. 2 516．①③⑤三、解答：本大共 6 小，共74 分，解答写出必要的文字明、明程或演算步．17. （本小分 12分）解：（Ⅰ）由意知：24，解得：3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分32sin B sin C 2 - cos B - cosCsin A cos Asin B cosA sin C cosA 2 sin A - cosB sin A - cosC sin Asin B cosA cosB sin A sin C cos A cosC sin A2sin Asin ( A B) sin( A C )2sin A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分sin C sin B 2 sin A b c 2a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）因 b c2a，b c ，所以 a b c ，所以△ ABC 等三角形SOACB SOABSABC1OA OB sin 3 AB2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分24sin3(OA2OB 2 -2OA OB cos)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分4sin- 3 cos532sin ( - )53 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分434Q(0， ),-( -2，) ，333-55312 分当且当2，即取最大 ,S OACB的最大 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯364 18．（本小分12 分）解： ( Ⅰ) 事件 A 随机事件，C 31C 32C 619 P( A)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分C 9314（Ⅱ）①可能的取2,3,4,5,6P(C 32 1P(3)C 31C 31 1 2)12C 924C 92P(C 32 C 31C 311 P(5)C 31C 311 4)C 923C 924P(C 32 16)12C 92∴的分布列：2 3 4 5 6P1 1 1 1 1 1243412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分② E() 1 1 41 1 1 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分23546124312Q21， E()2E( ) 14 21Q E() 1 ，4 2111 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分419．（本小分 12 分）解：（ I ）接 BD ，交 AC 于 O ，因四形 ABCD 菱形，BAD 60o ，所以 BD a因 BB 1 、 CC 1 都垂直于面ABCD ,BB 1 // CC 1 ，又面 B 1C 1D 1 ∥面zD 1C 1ABCD , BC // B 1C 1B 1所以四形 BCC 1B 1 平行四形,EHB 1C 1BC a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分DC因 BB 1 、 CC 1 、 DD 1 都垂直于面 ABCD ,x AOFByDB1DB 2BB12a22a23aDE DC 2CE2a2a26a22B1EB1C12C1E2a2a26a⋯ 4 分22所以 DE2B1E26a26a23a2DB124所以DB1E 等腰直角三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ II）取 DB1的中点H，因 O, H 分 DB , DB1的中点，所以OH∥ BB1以 OA, OB,OH 分x, y, z建立坐系，D (0,a,0), E(3a,0,2a), B (0,a,2a), F (3a,a,0) 2221244 uuuur uuur3a,a,uuur3a,3a,0)所以 DB1(0, a,2a), DE(2 a), DF(⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分22244ur面 DB1 E 的法向量n1( x1 , y1, z1 ) ，ur uuuur ur uuur0 ，即 ay12az13a2n1DB1 0, n1DE0 且ax1y1az1 0222ur令 z11，n1(0,2,1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分uur面 DFE 的法向量 n2( x2 , y2 , z2 ) ，uur uuur uur uuur3ax23ay23ax2ay22az2n2 DF 0, n2DE 0即0 且044222uur3 , 2 6 )令 x21， n2(1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分33ur uur6262233二面角 B1DE⋯12 分cos n1, n2, F 的余弦3118223320．（本小分12 分）解：d n 3 ( 1) na nd 1 d 2 d 3d 2n3 2n3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2 ,2又由知：令 m1 ， b 2b 12 22 , b 3 b 13 23 L b n b 1n2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分若 b n 2n ， b n m 2nm ， b m n 2mn ，所以 b n m b m n 恒成立若 b n2n , 当 m1, b n m b m n 不成立 , 所以 b n 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）由知将数列b n 中的第 3 、第6 、第 9 ⋯⋯ 去后构成的新数列c n 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首分是b 1 2 ， b 2 4 公比均是 8,⋯⋯⋯⋯ 9 分T2013(c 1 c 3 c 5c 2013 )( c 2 c 4 c 6c2012 )2 (1 81007 ) 4 (1 81006 )20 810066⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1 8 1 87f ( x) =1nx k1 ln x k21．（本小分13 分）解：（ I ）由已知可得：f ( x)xe x，e x由已知，f (1)1 k0 ，∴ k1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分eF ( x) xe x f ( x) x( 1 ln x1) 1 x ln x x 所以 F (x)ln x2⋯⋯⋯⋯ 3 分x由F ( x)ln x 20 x1，e 2由 F ( x)ln x 2 0 x12eF ( x) 的增区 (0,12 ] ，减区 [ 12 ,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分ee（ II ）Q 于任意 x 2 [0,1] ，存在 x 1 (0, ) ，使得 g ( x 2 ) F( x 1 ) ，g ( x) max F ( x)max⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由（ I ）知，当 x1， F (x) 取得最大 F (1118 分e 22)2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ee于 g ( x) x 2 2ax ，其称 xa当 0a1 ， g(x)maxg( a)a 2 ，a 2 11 ，从而 0 a 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分e 2当 a1 ， g ( x) maxg(1) 2a1 ，2a 1 11 a11e 2，从而1 2 ⋯⋯12分2e上可知：0 a 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分2e 222．（本小分13 分）解： ( Ⅰ ) 由意知： c3 ， e c2 ，又 a 2 b 2c 2 ，a2解得： a6, b3C 的方程：x 2y 2 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分6 3uuuruuur可得： B(0, 3) ， F ( 3,0) ,A( x 0 , y 0 ) ， AB ( x 0 , 3 y 0 ) ， BF( 3,3) ，uuur uuur3x 03( 3 y 0 )6 ，即 y 0 x 0 3QAB BF6 ，2 2x 0 4 3x 0y 0 1x 0 03由 63，或y 033y 0x 03y 03即 A(0,4 3 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分3) ，或 A(,3 )3①当 A 的坐 (0, 3) ， OA OBOF3 ， ABF 外接是以 O 心， 3半径的，即 x 2y 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分②当 A 的坐 (43 , 3) ， k AF1， k BF1，所以ABF 直角三角形，其外接33是以段 AB 直径的，心坐(2 3 , 2 3 ) ，半径 1 AB15 ，3 32 3ABF 外接的方程 (x2 3)2 ( y 23 3) 2 533上可知：ABF 外接方程是 x 2 y 2 3 ，或 (x2 3)2( y 2 3)25⋯⋯7分33 3( Ⅱ ) 由意可知直GH 的斜率存在 .GH : yk (x 2) ， G (x 1, y 1 ) ， H (x 2, y 2 ) ， P( x, y)yk (x2)2222由x 2得： (1 2k ) x8k x 8k2y212由64k 4 4(2 k 2 1)(8k 22) 0 得： k 21 （）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分28k 28k 22x1 x2 1 2k 2 , x1x2 1 2k 2uuur uuur2 5uuur 2 5即 1 k 2 x1 2 5QPG PH，HG x2333(1 k 2 )[64k 48k222]20 2 24(12k)12k9k 21，合（）得：1k 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分442uuur uuur uuurQ OG OH tOP ，( x1x2 , y1y2 )t( x, y)从而 x x1x28k 2，y1y214kt y t t [ k( x1x2 ) 4k]t (1 2k 2 ) t (1 2k 2 )Q 点P在上，[8k 22]22[4k2]2 2 ，整理得： 16k 2t 2 (1 2k2 )t(12k)t(12k)即 t 2818，2t236，或26t 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2k23。

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高三第三次调研考试

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高三第三次调研考试数学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（）（A ）12i +（B ）1i -（C ）1i -（D ）12i -（2）已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z zB ∈∈+==,,，则B 的子集个数为（）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8（3）已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 25=c ，则c b a ,,的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c a b <<（D ）a c b <<（4）已知向量()1,3a =，()3,b m =，若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（）（A ）3 （B ）3-（CD ）-（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且65101=-+a a a ，则11S =（）（A ）55 （B ）66 （C ）110 （D ）132 （6）已知34cos sin =+θθ)40(πθ<<，则θθcos sin -的值为（）（A ）32（B ）32-（C ）31（D ）31-（7）已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（）（A ）B （C）（D ）-或（8）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）（A ）1007（B ）（C ）（D ）3024（9）已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（）（A ）03=±y x （B ）03=±y x （C ）02=±y x （D ）02=±y x （10）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2(1)4n n S a n++=，则n a =（）（A ）2n n （B ）12n n -（C ）2nn （D ）12n n - （11）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）（A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++（12）如图，偶函数()x f 的图象如字母M ，奇函数()x g 的图象如字母N ，若方程()()0=x g f ，()()0=x f g 的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（）（A ）18 （B ）16 （C ）14 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高三数学第一学期综合模拟调研试卷附答案

-濮阳市一高高三数学周清二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为是正确的选项前面的代号填入答题卷相应的空格中。

1.设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( ) A.φ或{1} B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}或{2}2.如果复数miim ++12是纯虚数，那么实数m 等于( )A.-1B.0C.0或1D.0或-13.已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或135.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( )A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，- D. )21 23(，- 6.已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.47.若()m x x f ++=)cos(2ϕω，对任意实数t 都有)()4(t f t f -=+π，且1)8(-=πf ，则实数m 的值等于( )A.±1B.±3C.－3或1D.－1或38.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )9. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是（）A.234B.346C.350D.36310. 若1)11(21lim =---→x bx a x ,则常数b a ,、的值为（） A.4,2=-=b a ， B. 4,2-==b a ， C. 4,2-=-=b a ， D. 4,2==b a11.当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是( )A.)3 3(，-B.)3131(，- C.]31 31[，- D. )31 0(0) 31(，， - 12.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n a a a a a a (n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1021 B.921 C.101 D.51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题复习排列、组合、二项式定理测试卷

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题复习排列、组合、二项式定理测试卷一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分） 1、若（xx 13+）n 展开式中的第五项为常数项，则展开式中系数最大的项是第（）项。

Ａ．10或11 Ｂ．９Ｃ．８Ｄ．８或９2、四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有（）A ． 30种B ．33种C ．36种D ．39种3、数列a1，a2，a3，…，a7，其中恰有5个1和2个2，在此条件下，互不相同的数列一共有（）A ．21个B ．25个C ．32个D ．42个4、（理科）在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -（文科）由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项5、某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆，现在要从这7个车队中抽出10辆车组成一个新运输队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法共有（）A ．301种B ．120种C ．63种D ．84种6、现从8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学分别有 ( ) A ．男生5人，女生3人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生6人，女生2人 D ．男生2人，女生6人7、（理科）25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意3人不同行也不同列，则不同的选出方法种数为 ( )A ．600B ．300C ．100D ．60（文科）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则则不同的选择方案( )A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种8、某班级英语兴趣小组有5名男生和5名女生，现要从中选4名学生参加英语演讲比赛，要求男生、女生都有，则不同的选法有 ( ) A ．210种 B ．200种 C ．120种 D ．100种9、若4)32(+x =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2(a1+ a3)2的值为（）A ． 1B ． 1C ． 0D ． 210、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，从最初位置爬到6号蜂房共有（）种不同的爬法。

2020-2021学年高三数学(理科)高三第一次调研考试及答案解析

最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==，依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+，令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=，令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >，综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______．【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______．（参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______．【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______．【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=．在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732．（2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥．由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r．设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=．当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++，令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值．【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3()f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试007

高三数学（理科）试题第1页（共5页）高三数学（理科）试题第3页（共5页）高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试高三数学（理科）试题1月（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i--的共轭复数是 A.3i 2+ B.1i 2- C.3i 2- D.3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A B =A.[]2,5B.(2,5]C.[]1,2-D.[)1,2- 3.等比数列 {}n a 中，242,8S S ==，则6S = A.32- B.32C.26- D.264.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A.p q ∨B.()()p q ⌝∧⌝C.()p q ∨⌝D.p q ∧5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有A.132231353535A A A A A A ++B.132231353535C C C C C C ++C.1337C C D.()13223143535354C C C C C C A ++6.变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.57.若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A.,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥ B.l ∥m ，m l α⊆⇒∥αC.l α⊆，m α⊆，l ∥β，m ∥βα⇒∥βD.,l n m n l ⊥⊥⇒∥m 8.将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图像分别向左、向右各平移π3个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则ω的最小值为 A.3B.43C.6D.329.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程为2y x =-，则该双曲线的离心率为 A.32B.623310.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件是 A.9i ≤ B.6i ≤ C.9i ≥ D.8i ≤11.已知圆O 的半径为2，,A B 是圆O 上任意两点，且120AOB ∠=，PQ 是圆O 的一条直径，若点C 满足()()331OC OA OB λλλ=+-∈R ,则CP CQ ⋅的最小值为 A.3B.4 C.5D.612.已知函数2()ln (,)g x x mx nx m n =--∈R 在2x =处取得极大值，则m 的取值范围为 A.()1(,0)0,8-+∞ B.1(,)8-+∞ C.()1,0(0,)8-∞ D.()0,+∞ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)结束i =i +11(2)s s i i =++输出si =1,s =0开始否是高三数学（理科）试题第3页（共5页）高三数学（理科）试题第4页（共5页）1742110865654320998854219998771918171615PDS NMCBA 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()1012x x -+)的展开式中3x的系数为______.14.已知对任意n *∈N ，点2221111(,(2))22n n n n a n a a a n ++--+ 在直线y x =上,若11a =，0n a >则n a =_________.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2,-20()2,021mx x f x nx x x +≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则1431()mx n dx -+=⎰.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()233()sin 302222x f x x ωωω=++<<（1）若函数()f x 图像的一条对称轴是直线π4x =，求函数()f x 的最小正周期（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3A f ω⎛⎫=⎪⎝⎭12a =，4C π=求b 的值18．（本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 面为矩形，PA ABCD ⊥面，12PA AD AB ==，M 为PB 的中点， N 、S 分别为AB CD 、上的点，且14AN CS AB ==. （1）证明：DMSN ⊥；（2）求SN 与平面DMN 所成角的余弦值．20.(本小题满分12分)从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C 上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形.21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =-（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程（2）证明：()ln 12x f x x >+ （3）设0m n >>，比较()()1f m f n m n -+-与22mm n +的大小，并说明理由NB CO DTMA高三数学（理科）试题第3页（共5页）记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=；（2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小．23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()3sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||32AB =，求直线的倾斜角α的值．24.（本小题满分10分）已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值；（2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|P B|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.。

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试013

图 2俯视图侧视图正视图高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试1．2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．54．已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是A ．1 B6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++= 8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下命题，这四个命题中的向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；图 1A ．1B ．2C ．3D ．411．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =．16．（12分）(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（(1) (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．18．（14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V 图 319．（14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈ 且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F cc >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（14分）设函数x kx x x f +-=23)(()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．广东文参考答案1A2C3D4C5C 6B7A8B9D10C6B 解：由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅ 7A 解：圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得2k =.10B 解：考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.11. 1512.12考查切线方程、方程的思想.依题意 ''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13. 5 画出可行域如图，最优解为()1,414解：1cos ()sin 为参数θθθ=+⎧⎨=⎩x y ，本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，再化成参数方程15解：212由3,AB =3BC =，可知60BAC ∠=，从而3,302AE CAD =∠=， 22212cos302DE AE AD AE AD =+-⋅⋅=. 16解：(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，24sin 1cos 5θθ=--=-， 1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【注意】两角差的余弦公式不要记错了. 17解：（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【注意】注意格式！18解：（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立， //DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， //DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【品题】考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【品题】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.21解：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-< ()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=>，即k <时，令()'23210fx xkx =-+=解得：1233k k x x +-==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【品题】常规解法完成后，结合图像感知x k =时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.20解：（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去）∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的，∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内,每小题5分，共60分）1.已知集合{}6,4,2,0=P ，集合}3|{≤∈=x N x Q ，则=⋂Q P （）A ．{}2B ．{}2,0C ．{}6,4,3,2,1,0D ．{}6,4,3,2,1 2.i 为虚数单位，复数11+-=i i z 的虚部为（） A ． 1 B ．0C ．i D ．以上都不对3.已知52=a ，212=b ，213log =c ，则（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 4.函数f(x)＝2sinxcosx 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5.已知平面向量(1,0)=a ，13(,22=-b ，则a 与+a b 的夹角为 A.6πB ．3πC.32πD.65π 6.欧阳修《卖炭翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm 圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（） A ．49π B ．94π C ．49π D ．94π7..已知⎩⎨⎧≥<+=2,22),1()(x x x f x f x，则()2log 3f =（） A ．12 B ．6 C ．4 D ．28.设,l m 表示不同直线，,αβ表示不同平面，则下列结论中正确的是()A ．若//,,l l m α⊥则m α⊥B ．若//,,l l m m αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//,l l m α则//m αD ．若//,//,//,,l l m m αβαβ⊄则//m β 9.已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A ．288+36πB ．60πC ．288+72πD ．288+18π10.若过点A （4，0）的直线l 与曲线（x ﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．11.执行如图K16－1－1所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．512.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 K16－1－1二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13.已知等比数列{}n a 满足：1611=a ，12573-=a a a ，则______3=a . 14.在△ABC 中，已知45,2B AC BC ∠=︒=，则C ∠=.15.设变量x ，y ，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为16.已知双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是双曲线上的一点，且|1MF |3=，|2MF |=1，︒=∠3021F MF ，则该双曲线的离心率是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题0013

高考数学高三模拟考试试卷压轴题阶段综合练习一、集合与命题逻辑、不等式1．设集合A ＝{x|－1＜x≤2，x ∈N}，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于（）A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{2}D ．{－1,0,1,2,3}2．（北江中学）已知集合22{|log (2),}A x y x x x R ==-++∈,{|}B x y x R ==∈则A B ⋂=A.(1,1)-B. (1,1]-（）C.(1,2)-D.[1,2]-3．（武汉市教科院高三第一次调考）“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（恩城中学高三上学期模拟考试）已知命题p ：1|32|>-x ，命题q ：0)5(log 221<-+x x ，则q p ⌝⌝是的__条件（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件）．5．已知,x y 满足不等式组0,40y y xx y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则2x y -的最大值是． 6．命题”x ∃∈R ,使得sin 10x x -≤”的否定是___________________. 二、复数与算法、选做题7．若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________. 8．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值是_________.9．下图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.10．（佛山市三水中学高三上学期期中考试）AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C2AD =，6AB =，则AC 长为.11．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是，它与方程(0)4πθρ=>坐标是.三、三角函数与平面向量 12．已知2παπ<<,3sin 22cos αα=,则cos()απ-=__________.13．函数)sin(ϕω+=x y （πϕω<<>0,0）的周期为π，且函数图象关于点)0,3(π-对称，则函数解析式为．14．方程2cos 3sin =-x x ，()ππ,-∈x 的解集是．15．若向量)4,3(=AB ，)1,1(-=d ，且5d AC ⋅=，那么d BC ⋅=（） A ．0B ．4-C ．4D ．4或4-16．已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（） A ．5 B. 13 C. 5 D ．1317．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα+等于（）A ．71B ．7C ．71- D ．718．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（）A.)62sin(π+=x yB.)62sin(π-=x y C.)32sin(π-=x y D.)62sin(π+=x y 19．已知()3sin()cos 3f x x x π=+-．（I ）求()f x 在[0,]π上的最小值；（II ）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，353,cos 5b A ==，且()1f B =，求边a 的长．20．已知)sin ,(sin βα=a ，)1),(cos(--=βαb ，)2),(cos(βα+=c ，)(2,Z k k ∈+≠ππβα.（1）若c b //，求βαtan tan •的值；（2）求c b a •+2的值. 四、概率与统计21．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是． 22．某公司～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y0.620.740.810.8911.11根据统计资料，则（）A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系D.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系 23．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中*N y x ∈、)分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)频数2x3y24则样本在区间 [10，50) 上的频率为．24．设[][]0,3,0,4∈∈x y ，则点M 落在不等式组：23000+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y 所表示的平面区域内的概率等于 .25．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下:根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额均气温x 之间线性回归方程a x b y ˆˆ+=的系数y 与平4.2ˆ-=b．则预测平均气温为8-℃时该商品销售额为（）万元 26．为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 x y疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？（3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率. 五、空间几何体、立体几何27．已知下列命题(其中b a ,为直线，α为平面)：① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③若α//a ，α⊥b ，则b a ⊥；④ 若b a ⊥，则过b 有唯一一个平面α与a 垂直. 上述四个命题中，真命题是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④28．已知、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（） A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l β B ．若//,⊥l ααβ，则//l βC ．若,//,⊥⊂l m m αββ，则⊥l αD ．若,//,⊥⊂l m ααββ，则⊥l m 29．已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）平均气温（℃） 2- 3- 5- 6-销售额（万元）20 23 27 3011正（主）视图 ••侧（左）视图A ．2132π+ B ．4136π+C ．216π+ D ．2132π+30．如图，四棱锥P —ABCD 的底面为矩形，且2,1AB BC ==，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：EF//平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．六、数列31．已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（）A . 18B . 18-C . 15D . 1232．已知等差数列}{n a 的首项为24，公差为2-，则当n=时，该数列的前n 项和n S 取得最大值． 33．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且14239,8a a a a +==，则2011201220092010a a a a +=+．34．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且m a a a 252=+，则=m ．35．已知{}n a 是公差为正数的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，首项11b =且223212,20.a b S b =+=（1）求{}{}n n a b 和的通项公式；（2）令1231(1)(2)2(1,2,3,)n n n T nb n b n b b b n -=+-+-+++=，求.n T七、直线与圆、圆锥曲线36．直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.37．已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是. 38．设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=39．（天津卷）设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a .40．（上海市张堰中学高第一学期期中考试）椭圆C ：12222=+by a x ()0>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，且341=PF ，3142=PF . （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程. 八、导数与函数41．已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处取极值10，则a=，b=． 42．曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为. 43．函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为. 44．函数12ln y x x=+的单调减区间为______________. 45．已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________. 46．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间（2，2）上单调递增．则正确命题的序号是.47．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)48．（潜山县三环中学高三上学期第三次联考）已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++．（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围；（2）若(1)0f '-=，求函数()f x 的单调区间．参考答案：1．答案：B2．答案：B 3．答案：A 4．答案：充分不必要条件5．86．7．13+ 8．14 9． 310．答案：AC ＝2311．答案：(1,0)，(2,)4π12．13．14．答案：{－11π12,7π12} 15．C 16．B 17．A 18．B19．（Ⅰ）sin 3()3cos cos 22x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭4分6766πππ≤+≤x∴当π=x 时min 1()2f x =-；7分（Ⅱ）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A =∴4sin 5A =∵正弦定理sin sin a b A B=∴8a =．14分20．21．6 22．B 23．0.7 24．3/1625．A 26．解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率…… (1分)即0.332000x=∴660x =………………(4分) （2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，…………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取个数为360500902000⨯=个………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y ，z ）……(9分) 由（2）知500y z +=，且,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33事件A 包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个∴2()11P A =…………………(11分) 故不能通过测试的概率为211…………(12分)27．D 28．D 29．C 30．证明：(1)(2)31．C 32．n=12或13 33．4 34．835．36． 1 37．0156=--y x 38．A39．0 40．解：(1)20221=F F 525221=⇒==∴c c F F又36221=⇒=+=a PF PF a 149:22=+∴y x C 椭圆（2）()()()02736361836941491222222=-+++++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=k k k k x k y x x k y()1298:++=∴x y l 即02598=+-y x 41．答案：12，21 42．y=2xe 43．(2,1)--(或闭区间) 44．45．①,④46．①④ 47．B48．解：（1）∵3233()22f x x ax x a =+++， ∴23()322f x x ax '=++．∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线， ∴()0f x '=有实数解． ∴2344302a =-⨯⨯≥， ∴292a ≥．所求a 的取值范围是3232(,)(,)-∞-+∞．（2）∵(1)0f '-=，∴33202a -+=即94a =.∴231()323()(1)22f x x ax x x '=++=++．由()0f x '>，得1x <-或12x >-；由()0f x '<，得112x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2-+∞；单调减区间为1[1,]2--．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1.（5分）已知复数z=（5+2i ）2（i 为虚数单位），则z 的实部为. 2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=. 3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx 与y=sin （2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m 处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值. 【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*.（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 .【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为. 【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l 的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f （x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤c osC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴co sα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可.【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m 处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题. 19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值. 【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长. 【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*.（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），。

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试 3

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） h V S =柱体如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，P （A·B ）=P （A ）·P （B ）h 表示柱体的高一、单项选择题：（每一小题仅有一个正确答案，请将正确答案的代号填入答题表内。

每小题5分，共计60分）1．下列关系中正确的是 ( )A.φ∈0B.a ∈{a}C.{a,b}∈{b,a}D.φ=}0{2．不等式21≥-xx 的解集为（）A ． )0,1[-B ． ),1[+∞-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(+∞--∞3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件4．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则=（）A ．)6,3(-B ． )6,3(-C ． )3,6(-D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

若3||1=PF ，则=||2PF （）A ． 1或5B ． 6C ． 7D ．96、原点到直线y=kx+2的距离为2，则k 的值为（） A. 1 B. 1 C. ±1 D. ±77、若135sin )cos(cos )sin(=+-+αβααβα，且β是第二象限角，则βcos 的值为（） A ．1312 B ．1312- C ．53 D ．53-8、在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=15 , a 3= ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59、已知函数b a x f x+=)(的图象经过点)3,1(，又其反函数)(1x f-的图象经过点)0,2(，则函数)(x f 的表达式是（）A ．12)(+=xx f B ．22)(+=xx fC ．32)(+=xx f D ．42)(+=xx f10、已知向量与，则下列命题中正确的是（） A. 若|a |>|b |，则a >b B. 若|a |=|b |，则a =bC. 若=，则∥D. 若≠，则与就不是共线向量11．下列函数中为偶函数的是（）A ．f(x)=1x3 B.f(x)=2x1 C.f(x)=x2+2 D.f(x)=x312. 一商场有三个大门,商场内有两部上楼的电梯,一顾客从商场外到商场二楼购物,不同的走法共有( )A.5种B.6种C.8种D.9种第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上）11．一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球的体积比为____________。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷理科0013

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．（5分）（•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（5分）（•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）（•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1] B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（•四川）复数=_________．12．（5分）（•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P 为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．20．（13分）（•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10 考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1] B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．评：9．（5分）（•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P 为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．21．（14分）（•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．19．（12分）（•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴．∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；。

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试010

高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试题21若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是. （第一届高二第一试第20题）解法1比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当 21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825min =∴u . 解法2xyxy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤ ⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+= 21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825min =u . 评析解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y在上单调减，在)+∞上单调增）.解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用.拓展命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广：推广1若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明1111bc ca ab c a b a b c abc a b c abc a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13abc abc ≥++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()x x x f 1+=在⎥⎦⎤⎝⎛271,0及⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）. 推广2 若0(1,2,,)i a i n >=，11=∑=ni i a ，则2111nni i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广3若0(1,2,,)i a i n >=，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 题22已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是. (第八届高二培训填空题第6题)解法111,,1,,224a b a b R a b ab ++∈+=≤=∴≤且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法21111111111a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法31111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 评析求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展此题可作如下推广：推广1若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2n b a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 证明+∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ .同理121222(1)111,,1n nn nn na n a a a a a a +++≥+≥.故2121212)()111111(1)nn n n n n a a a a n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当121n a a a n ====时取等号.12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+.推广3若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==n i i m a 1，则111nki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 证明由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑，121211(1,2,,)p p pkp p nn n k kk k i i i n i i i n C C C p n a a a m ≤<<<≤⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭∑,从而1212112121111111111111n n nnnkk k kk k k k i i i i n i i i ni i i i i i i i ia a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏2112111n nnkkkkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111n ki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i ≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值.2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值. (提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=，原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.)5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值.答案：1、（1）18（2）n 32⋅（3）92、643、2)1(+n n 4、95、316 题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是，最小值是．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）解法1122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥．由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1min -=u ，当22==y x 时，221max +=u ．解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ．则2211cos sin cos sin sin sin 2422x y xy r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x时取等号．max 1()2x y xy ∴++=．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x ．令]2,2[,cos sin -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(min 2min 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(min -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法．解法322222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤， 2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号．212)(max +=++∴xy y x ．解法4222211111122()112222222x y x y x y ++⋅+≤+=++≤+⨯=，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(max +=++xy y x . 评析解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy 同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；（2）当0λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ．证明设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθsin ,cos r b r a ==，220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+- λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴1、当121≤λr ，即12r λ≥≥时，（1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号．（2）222211212222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号．2、当112r λ≥，即1022r λ≤≤≤时（1）当22,1cos ==r θ时，22max +=λz ．（2）当1cos -=θ时，λ22r r z +-≥．又函数22,y x x λλ⎡=-+∈⎢⎣⎦，当0,2x ⎡∈⎢⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当02λ≤≤时， 2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理20,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222nm z n m n +≤≤--；（2）当02n m ≤≤时，2222nm z n m +≤≤+-．简证n z m x y xy m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令nt x y xy m=++，再由定理1即可得证．再引伸，还可得到定理3 设12,,,n x x x R +∈，且12()m mmn x x x S m N ++++≤∈，则有11212m m n n x x x x x x nS -++++≤证明1212,,,,()m mm n n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈及平均值不等式1121212,mm mmnnn n x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥⎪⎝⎭111212,,n n mmm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212m m n n x x x x x x nS -∴++++≤题24若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是．（第十三届高二培训题第68题）解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭，又22xy 3x 3y 20=+-，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t-=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y160∴+=．解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭.令1x y ,6y ,⎧-=α⎪⎪=α⎩即x ,y .⎧=αα⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简, 得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有t cos ,t sin ,=α=α即x ,y .=α=α代入已知等式,得222223t 3t cos cos sin 20823α-αα+α=,()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos 2sin 823⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-αα+α即228x 23y 160+≤．解法4 ()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令m 2cos ,n =α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++- 2231m 30mn 31n =-+()22620162cos 2sin 744376cos 277=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=．解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y 208x 23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上,368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=．解法7()()()22222228x 23y 83x xy 3y16x8xy y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时,()22max8x 23y 160+=．评析破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解2222227x 2xy y y )1)x 2xy 1)y ⎡⎤=+-=+--+⎣⎦ 22222y )1)x y )⎛⎫=+-≤+ ⎪⎝⎭，即22x y +≥x y=再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是．(第九届高二第一试第15题)解（1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦．到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题)2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦） 3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：8877+-）题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）解法1 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1max =∴y .解法61sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1max =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xxx y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即1d =≤，解之得1≤y ，1max =∴y .评析类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法.万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tanxt =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题. 解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac d x c bx a y 的最值的通法.例求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解2sin 42sin 23cos 93cos 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-. 题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是.（第十一届高二培训题第46题）解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=. 故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+- 22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3121212*********sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝()225111105156sin cos 6464646432232x x ⎫++-≥=⋅+-⎪⎭ 651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法422sin x cos x 1+=，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析因为[]sin ,cos 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x 配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==.拓展仿照解法3，我们可以证明下面的定理函数()22sincos nn y x x n N +=+∈的值域是12,1n -⎡⎤⎣⎦.证明222112111sin cos sin 222n n nn n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个211211122cos 2222n n n n n n n n x n n -⎛⎫⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个 ()12211min 222222222sin cos 2,222222n n nn n n n nn n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sincos sin cos 1nnn x x x x +≤+=，即max 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n-⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.题27设+∈N n ，则|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是．（第九届高二培训题第53题）解可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、，则线段AB的中点的坐标是,1975220011949=+|19751949||19751950|S ∴=-+-最小|19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++(261)2627022+⋅=⨯=．评析本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题．拓展运用同样的思想方法，可以得到下面的定理1对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解4=n 为偶数，4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）（4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解5=n 为奇数，10<5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）（105）=28. 例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x y y =--+--+-+--+2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x=3且y=2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值．解n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑，则（1）当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3）当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f =)1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aa i ini j jj ij j j ni j jij j ,)(11nn i ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n bf b 向下无限延伸，中间是（n1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+）（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？下面的问题供读者练习：1、求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、求()|6||3||16|f x =+-的最大值． 3、求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈的最小值．答案：1、3 2、5 3、999题286110s =+++，则s 的整数部分是（）A 、１９９７Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）解若}{n a 是等差数列,n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n,,2+∈≥是公差).由此，得66611122332101010s =+++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 )((6121101211999⎡⎤=++++=+-=⎢⎥⎣⎦.又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n ，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n .这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。

专题13 算法(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(原卷版)

第十三章算法一．基础题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，5】如图给出的是计算1111124640304032+++++…的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A ．4030i ≤B ．4030i ≥C ．4032i ≤D ．4032i ≥2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，5】右图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入209,121m n ==，则输出的m 的值为（）A ．0B ．11C ．22D ．883.【江西南昌市2017届摸底考试，4】执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8A．1 B．2 C．3 D．45.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，9】右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a=，11a=，20a=，31a=-，则输出u的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-16.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），10】执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．-1 B．1 C．-2 D．27.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，7】执行如图所示的程序框图，若输入1,2a b==，则输出的x=（）A．1.25 B．1.375 C．1.4375 D．1.406258.【河北衡水中学2017届上学期一调，7】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．1321B．2113C．813D．1389.【河南百校联考2017届高三9月质检，5】若输入16,1,0,1a A S n====，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．510.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，8】下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b分别为8，12，则输出的a （）A． 4 B．2 C．0 D．1411.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，7】阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和D ．计算数列{}12n -前6项的和 12.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，6】运行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．37B ．33C ．11D ．8 11.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，11】执行如图所示的程序框图, 若输入x 的值为32-,则输出i 的值是．二．能力题组A.37B.30C.24D.19。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷理科0013

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．17．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．10．（5分）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．14．（5分）设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B （0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．20．（13分）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）（•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．5解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）（•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B4．（5分）（•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．5．（5分）（•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．6．（5分）（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A7．（5分）（•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（﹣2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．8．（5分）（•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y 个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=﹣1．解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1=0，解得：a=﹣1，故答案为：﹣110．（5分）（•北京）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为60．（用数字作答）解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=（﹣2x）r=（﹣2）r xr，令r=2，则x2的系数==60．故答案为：60．11．（5分）（•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=2．解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．则圆心C在直线上，∴|AB|=2．故答案为：2．12．（5分）（•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=6．解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．a1=6，a3+a5=0，∴a1+2d+a1+4d=0，∴12+6d=0，解得d=﹣2，∴S6==36﹣30=6．故答案为：6．13．（5分）（•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=2．解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，即a=b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：214．（5分）（•北京）设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为2；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．解：①若a=0，则f（x）=，则f′（x）=，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；②f′（x）=，令f′（x）=0，则x=±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．（13分）（•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K==，故C班有学生8÷=40人，（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；（Ⅲ）μ0＞μ1．17．（14分）（•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．18．（13分）（•北京）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同时f′（2）=e﹣1，∵f（x）=xea﹣x+bx，∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，则，即a=2，b=e；（Ⅱ）∵a=2，b=e；∴f（x）=xe2﹣x+ex，∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，∴f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）是增函数，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．19．（14分）（•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．解：（Ⅰ）由题意可得e==，又△OAB的面积为1，可得ab=1，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=|1+|；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=|2+|．可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|=||=|| =||=4，即有|AN|•|BM|为定值4．证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=||；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=||．即有|AN|•|BM|=||•||=2||=2||=4．则|AN|•|BM|为定值4．20．（13分）（•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k ﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜…＜ik，对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则﹣a1≤﹣≤1．对于第二个“G时刻”i1，有＞≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则﹣≤﹣≤1．类似的﹣≤1，…，﹣≤1．于是，k≥（﹣）+（﹣）+L+（﹣）+（﹣a1）=﹣a1．对于aN，若N∈G（A），则=aN．若N∉G（A），则aN≤，否则由（2）知，，L，aN，中存在“G时刻”与只有k 个“G时刻”矛盾．从而k≥﹣a1≥aN ﹣a1．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C 3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m mx y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

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高考数学高三模拟试卷复习试题高三年级调研考试专题13 算法1. 【高考北京理第4题】执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（） A.3- B.12-C.13D.2【答案】D2. 【高考北京理第4题】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A. 2B .4C.8D. 16 【答案】C 【解析】试题分析：0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

考点：算法.3. 【高考北京理第4题】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )． A ．1 B ．23C ．1321D ．610987【答案】C 考点：算法.4. 【高考北京理第4题】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ．7 B ．42 C ．210 D ．840 【答案】C考点：程序框图，容易题.5. 【高考北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B考点定位：本题考点为程序框图，要求会准确运行程序高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32B ．155C ．105D ．3312. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P （）0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（12分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2ef x --<<.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）33()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．参考答案1．D【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，3．B【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上5．A【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A【解析】取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，= 得224c a =，24e =，2e =．10．C【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）可知112MN AB =，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，12MQ AC =ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，=AC则MQ =MQP △中，MP = 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP+-∠=⋅⋅222+-== 又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅，令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 极小值为()11f =-．12．B【解析】几何法：如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点），则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅，即求PD PA ⋅最大值，又323PA PD AD +==⨯=，则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-．解析法：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，PD CBA∴()03A ，，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，， ()3PA x y=--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，∴()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+223324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．13．1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，()231cos 3cos 4f x x x =-+-令cos x t =且[]01t ∈， 2134y t t =-++231t ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭则当3t =时，()f x 取最大值1． 15．2+1n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+= 414610S a d =+=求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=()()112222122311nk kSn n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭16．6【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =，且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=17.【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15cos 17B =，（2）由⑴可知8sin 17B =． ∵2ABC S =△， ∴1sin 22ac B ⋅=， ∴182217ac ⋅=， ∴172ac =， ∵15cos 17B =， l FN M C B AOyx∴22215217a cb ac +-=，∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=()()()0.4092P A P B P C ==（2）由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．19．【解析】zyxM 'MOFPABCDE（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥．又∵12AB BC AD ==，∴12BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥．又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，， (00P ，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，∴MBM '△为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．设MM a '=，CM '=，1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，．BM a a '==⇒=．∴11OM'==． ∴100M ⎛⎫'⎪ ⎪⎝⎭，，10M ⎛ ⎝⎭2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，(001)n =，，．∴10cos ,m n m n m n⋅<>==⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，∴12M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+，令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+， ∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．21．【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <；当0a >时，令()0g x '=，得1x a=．当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调增．若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =．⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >．令()0h x '=得12x =，当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <．因此，()201e 4f x -<<． 22．【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，，，则0||OM OP ρρ==，． 000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点交圆C 于B 点，此时AOB S △最大max 1||||2S AO HB =⋅ ()1||||||2AO HC BC =+2=23．【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=∴()()222a b a ab b +-+=∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦∴()()332a b ab a b +-+=∴()()323a b aba b +-=+由均值不等式可得：()()32232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()32232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤ ∴()()33324a b a b ++-≤∴()3124a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。