2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期27.1.3、圆周角同步练习2

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知能提升作业(十三)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2011·枣庄中考)如图，直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O(0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值( )
134(A)
(C)
(D)2
5
5
2.如图,AB 是半圆的直径,弦AD,BC 相交于P,已知∠DPB=60°,D 是弧BC 的中点,则tan ∠ADC 等于( )
(A)12
(B)2 (C)3
3.如图,A,B,C,D 是⊙O 上的四个点,AB=AC,AD 交BC 于点E,AE=3,ED=4,则AB 的
长为( )
(A)3 (B) (D)
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2011·南京中考)如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A，B 的张角∠APB的最大值为________°.
5.(2011·河北中考)如图,点O为优弧 ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D=_______.
6.如图,△ABC内接于圆O,若∠B=30°，则⊙O的直径为______.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在⊙O中,直径AB的两侧有定点C和动点P,点P在弧AB上运动(不与A，B重合),过点C作CP 的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？(不要求证明)
(2)当点P运动到什么位置时,△ABC≌△PCB？并给出证明.
8.(8分)(2012·湘潭中考)如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=1
AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A，B两点重合)，过点C作直线PB 2
的垂线CD交PB于D点.
(1)如图1，求证:△PCD∽△ABC;
(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由;
(3)如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数.
【拓展延伸】
9.(10分)已知：AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A，B，G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明：OE·OP=r2；
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立？请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.如图，设⊙A与x轴，另一个交
点为D，连结DC.
∵∠COD=90°,
∴DC为圆的直径.
∴DC=10.
∵点C的坐标为(0,5),
DC,
∴OC=5,∴OC=1
2
∴∠ODC=30°,∴∠OBC=30°,
∴cos ∠.
2.【解析】选C.连结AC.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
∵∠DPB=∠APC=60°,
∴∠CAP=30°.
∵D是弧BC的中点,
∴∠CAP=∠BAD,∠CAB=60°.
∴∠ABC=30°=∠ADC.
则tan∠
3.【解析】选 C.连结CD,证明△ACE∽△ADC.根据对应边的比相等：3AC
,
AC7
得出因为AB=AC,所以.
4.【解析】轮船P与A，B的张角∠APB的最大角就是 AB所对的圆周角,也就是图中的∠AP′B,根据圆周角与圆心角的关系,得出∠AP′B=1
∠AOB=40°.
2
答案：40
∠AOC=54°,
5.【解析】由圆周角的性质可得,∠ABC=1
2
∵BD=BC,∴∠D=∠BCD=1
∠ABC=27°.
2
答案：27°
6.【解析】连结AO并延长,交⊙O于点E,连结EC,则△AEC是一个直角三角形,
且∠AEC=30°,易求得直径AE=2AC=
答案：
7.【解析】(1)相似；
(2)当 CP为半圆时,△ABC≌△PCB.
证明如下：因为AB是直径,所以∠ACB=90°,
因为 CP为半圆,所以CP是直径,所以∠PBC=90°.
且AB=CP,
因为CB是公共边,所以Rt△ABC≌Rt△PCB.
8.【解析】(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵PD⊥CD,
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB,
∵∠A与∠P是 BC的圆周角,
∴∠A=∠P,
∴△PCD∽△ABC.
(2)当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC,
理由：∵AB，PC是⊙O的直径,
∴AB=PC,
∵△PCD∽△ABC,
∴△PCD≌△ABC.
AB,
(3)∵∠ACB=90°,AC=1
2
∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径,
∴
,
AC AP
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°.
9.【解析】(1)连结FO并延长交⊙O于Q,
连结DQ.
∵FQ是⊙O的直径,∴∠FDQ=90°.
∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.
∴OE OF
=.∴OE·OP=OF2=r2.
OF OP
(2)(1)中的结论成立.
理由：如图2,依题意画出图形,连结FO并延长交⊙O于点M,连结CM. ∵FM是⊙O的直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.
∴OP OF
=,∴OE·OP=OF2=r2.
OF OE。