第10讲折叠剪切问题
折叠剪切问题
折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36° 二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图A图 （2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2E A A ABB B CC C GD D DFF F 图a图b图c第6题图答案：B三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A）15 （B）10-（C ）5- （D）20-答案：D四．折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )第7题图第8题图第9题图答案：D【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。
折叠与剪拼问题列析
折叠与剪拼问题列析平阳三中邱福强2003.4《数学科考试说明》中指出，对空间想象能力的测试是数学科考试的宗旨之一，而“能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形”是《考试说明》对“空间想象能力”的要求。
空间想象能力的最高层次应是能对题中给出的图形进行分割一分解，组合一拼补，变形一转换、位移或从不同视角观察图形，从而寻找出解题的最佳方法。
由于折叠与剪拼问题立意新颖、解法灵活，能突出对考生的空间想象能力的考查，因而备受各级考试命题者的青眯。
本文结合实例对折叠与剪拼问题进行例析，供大家在学习中参考。
一、直线的位置问题立体图形画在平面必然与实际图形产生差异，容易造成错觉，正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构应是空间想象能力的第一层次。
解决这类问题的关键应是观察折叠或剪拼前后各种直线的位置是否发生变化，找到变的直线与不变的直线。
例1、（2001北京、内蒙古春季招生11题）右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，N N M①BM与ED平行； D C M E F②CN与BE是异面直线；E A B D C③CN与BM成600角 F A B④DM与BN垂直。
以上四个命题中，正确命题的序号是（）A、①②③B、②④C、③④D、②③④分析：如图，把正方体的平面图展开图还原到原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排除法。
故选C。
例2（2002上海春招10题）如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对。
分析：将展开图恢复成正方体后， C A得到有AB与CD、EF与GH、AB和G D BGH三对异面直线。
H EF评注：以上两题主要考查空间想象能力和可展开立体图形的展开图和原立体图相应线段的位置关系问题。
中考数学创新题-------折叠剪切问题[下学期] 浙教版
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中考数学创新题-------折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36° 二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图A 图 （2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）E A A A B B B C C C GD D D F F F 图a 图b 图cA.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A）15 （B）10-（C ）5（D）20-答案：D 四．折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )第7题图 第8题图 第9题图答案：D【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。
折叠问题的解题方法
折叠问题的解题方法折叠问题是一种常见的数学问题，通常涉及到将一个二维图形折叠成一个三维形状。
解决这类问题需要一定的空间想象力和几何知识。
解决折叠问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，明确你要折叠的对象是什么，以及折叠的方式。
2. 分析图形：仔细观察你要折叠的二维图形，找出它的对称轴、对称中心、角度和边的长度等关键信息。
3. 预测结果：根据二维图形的信息，尝试预测折叠后的三维形状会是什么样。
这需要你具备一定的空间想象力。
4. 建立数学模型：如果预测结果涉及到具体的数值，你可能需要建立一个数学模型来描述这个过程。
这可能涉及到几何、代数等知识。
5. 求解问题：根据建立的数学模型，求解出问题的答案。
这可能涉及到计算、推理等步骤。
6. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。
这可以通过重新检查你的计算过程或与标准答案进行对比来完成。
下面是一个具体的例子：题目：一个正方形的纸片，对折两次后展开，得到的图形是( )。
A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形解题步骤：1. 理解问题：我们需要确定对折两次后展开得到的图形是什么。
2. 分析图形：正方形有四条等长的边和四个直角。
对折一次后，我们会得到一个矩形；再对折一次，我们会得到一个更小的矩形。
3. 预测结果：当纸片展开时，折痕会形成一条线，将纸片分成两个相同的部分。
因此，展开后的图形会有四条相等的边和四个直角。
4. 建立数学模型：由于对折两次后展开的图形有四条相等的边和四个直角，它是一个菱形。
5. 求解问题：答案是 B.菱形。
6. 验证答案：我们可以再次检查我们的推理过程，确保答案正确。
图形的折叠剪拼与分割
图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(2002年南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB'E ，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF ，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF 是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(2003年山西省中考题)思路点拨 本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm 、宽为30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm 、宽为10cm 的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．(2002年山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键．注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力．近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽；(2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图．【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (2003年温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学历训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (2003年三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．（第2题） （第3题） （第6题）4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有个．(2003年天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A．1种B．2种C．3种D．4种(2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A．∠A=∠1+∠2; B．2∠A＝∠1+∠2;C．3∠A＝2∠1+∠2; D．3∠A=2(∠l+∠2). (2003年北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形(2003年陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (2003年济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (2003年十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE 沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是．(2003年四川省竞赛题)（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．(2002年“宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于．(第12届“希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG为( )A．15°B．30°C．55°D．75°（第15题）（第16）16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=30㎝，AB=50cm，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a1，a2，a3，…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．27 (2001年山东省济南市中考题) 17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为( )A．2537+B．253+C．251+D．2)21(+. (2003年山东省竞赛题)、。
数学折叠问题解题思路
数学折叠问题解题思路折纸问题是数学中一个非常有趣的分支，它不仅能够让我们深入理解数学的几何概念，还能够启发我们思考和解决实际问题。
其中，数学折叠问题因其直观、有趣和实用而备受瞩目。
在本文中，我们将深入探讨数学折叠问题的解题思路以及如何通过数学折叠问题更好地理解抽象概念。
一、什么是数学折叠问题？数学折叠问题（origami），顾名思义，是指利用折纸来模拟和解决数学问题的一种方法。
在这些问题中，我们通常会用一张平面纸或一条带子，通过折叠或切割等方法，构造出具有一定几何形状或特性的结构。
同时，这些结构也可以被视为数学中的几何图形，具有一系列性质和关系。
举例来说，我们可以通过折纸的方法构造出各种不同形状的三角形、正方形、五边形等几何图形。
我们也可以利用折纸的方法来解决一些有趣的几何问题，例如黄金分割、对称性和模等等。
同时，在实际应用中，数学折叠问题也常常可以帮助我们解决各种实际问题，例如包装设计、建筑结构和无人机机翼设计等等。
二、解决数学折叠问题的思路要解决数学折叠问题，我们需要把它们抽象化，转化为数学模型。
然后，我们可以利用数学方法来分析和求解这些模型。
解决数学折叠问题的具体步骤如下：1. 构造模型在解决数学折叠问题之前，我们首先需要构造一个几何模型。
这个模型应该直观易懂，能够较好地反映出实际问题的本质。
同时，为了避免出现误解和模糊，我们需要确保模型的各个细节都被准确地描述出来。
2. 定义问题一旦我们有了几何模型，我们就需要明确问题，即要求解的目标。
不同的问题会有不同的定义方式，通常需要我们用数学符号和语言进行精确描述。
3. 分析问题在定义问题之后，我们需要通过分析模型和问题，来找到一些潜在的解决方法和路径。
这个过程中，我们需要运用数学知识和技巧，例如计算几何、向量和三角几何等等。
同时，我们也需要注意处理问题中可能出现的特殊情况和边界条件。
4. 求解问题一旦我们找到了解决问题的方法和路径，我们就可以开始具体的求解过程。
折叠题型分类
C DEB A图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题. 一、折叠后求度数1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．9502、如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3、用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所 示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.【练习】1、长方形如图折叠，D 点折叠到D′的位置，已知∠D′FC=88°，则∠FED=（ ）A ． 34°B ． 44°C ． 45°D ． 46°2、将一矩形纸条按如图所示折叠，则∠1的度数为（ ）A ． 72°B ． 84°C ． 63°D ． 76°3、（2006•淄博）将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后A′B 与E′B 在同一条直线上，则∠CBD 的度数（ ）图（1）A．大于90°B．小于90°C．等于90°D．不能确定4、如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°5、把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（）A．22.5°B．67.5°C．112.5°D．120°6、如图，△ABC首先沿DE折叠△CDE与△BDE完全重合，然后沿BD折叠△ABD与△EBD也完全重合，则∠ABC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7、将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，∠1=_________度；△EFG的形状是_________三角形．8、将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD=_________度．9、将一长方形纸条按如图所示折叠，∠2=54°，则∠1=_________．10、将一长方形纸条按如图所示折叠，则∠1=_________度．11、（2009•吉林）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________度．12、（2006•长春）将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_________度．13、一个宽度相等的纸条，如下图这样折叠，则∠1等于_________．14、将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1=64°，那么∠2等于_________．15、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD'=30°，则∠AED'等于_________．16、如图，将长方形纸片折叠后再展开，折痕AB和CB的夹角是_________度．17、如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，再将另一角折叠，使顶点B落在EA′上的B′点处，折痕为EG，则∠FEG等于_________．18、如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=_________．19、图1长方形纸带，∠CEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2再沿AF折叠成图3，图3中的∠DFE的度数是_________．20、如图，将平行四边形ABCD折叠，使得折叠后点C落在AB边上的C′处，点B落在B′处，EF是折痕，若∠CEF=65°，则∠EC′F=_________．二、折叠后求面积1、如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为 折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．102、如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右 图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．103、如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
七年级折叠问题知识点
七年级折叠问题知识点折叠问题是数学中的一个经典问题。
在数学竞赛和考试中，被认为是一种基本函数，是考察数学运算能力和思维逻辑的基本题型之一。
而在七年级的数学课中，也会接触到一些折叠问题。
本文将介绍七年级折叠问题的知识点，供大家参考。
一、折纸图形的平移、旋转和对称在折叠问题中，图形的平移、旋转和对称是常见的变换方式。
因此，掌握这些变换的基本概念及性质是十分重要的。
1.平移变换平移变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形沿着某一方向移动一定距离后得到的新图形。
平移变换的性质是：对于平面上任意两点A和B，其平移后的位置A'和B'可以由向量AB和A'B'相等得到。
2.旋转变换旋转变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕给定的点（旋转中心）顺时针或逆时针旋转一定角度后得到的新图形。
旋转变换的性质是：任何平面上的图形旋转一周后均回到原来的位置。
3.对称变换对称变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕某条直线对称后得到的新图形。
对称变换的性质是：对称变换前后的图形具有相等的形状和大小。
二、折纸图形的叠合和重合折叠问题中，叠合和重合是两个核心概念。
只有掌握了这些概念，才能更好地解决折叠问题。
1.叠合叠合指的是将两个相同的图形重叠在一起，使它们完全重合的过程。
叠合要求两个图形的形状和大小完全相同。
2.重合重合指的是将两个不完全相同但有一定相似之处的图形重合在一起，使它们重合的程度最大。
重合要求两个图形的形状和大小不需要完全相同。
三、折纸图形的解析与构造折叠问题通常需要进行图形的解析和构造。
下面介绍两个基本的解析和构造方法。
1.解析方法解析方法指的是通过观察图形特征，确定图形各个部分的位置、大小和形状的方法。
解析方法的关键在于观察，要将图形各个部分的位置、大小和形状仔细观察、分析和比较，找出它们之间的关系，以便在后续的折叠中更好地处理图形。
2.构造方法构造方法指的是通过折叠纸张的方式，得到所需的图形的方法。
折叠剪切问题专题复习
折叠剪切问题专题复习一、矩形中的折叠1、如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．2、如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使A 点落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到了线段BN ，过N 作NH ⊥BC 于Q ，则∠NBC 的度数是 _________ ．3、如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积3、如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ= _________ 度．4、如图2，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为 _________ 二、三角形中的折叠5、如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=6、在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．7、直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC ≤BC ，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC 上，记落点为D ，设折痕与AB 、AC 边分别交于点E 、点F ．探究：如果折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．8、如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n 次纸片折叠，使A 与点D n-1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6长（ ）B'CDAB9、阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n An C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现（1）△ABC 中，∠B=2∠C ，经过两次，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．10、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB ′=x ，OC=y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ″，且使B ″D ∥OB ，求此时点C 的坐标．11、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=5，DB=7，则BC 的长是多少？图1…B 3B n+1B n A 2B 2A 1B 1AB C A nxy CD A B O12、OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y1所在直线的解析式；（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．①求折痕AD所在直线的解析式；②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=﹣x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．13、综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．探索如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP（1）求证：四边形OMEP是菱形；（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）运用（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC 的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC 面积的，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．14、在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？15、如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 … n 所得扇形的总个数(S)47…(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪 (4)成33个扇形？为什么？16、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+． （1）当1t=时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问： PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．17、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．xy BO AA D EH FB C G （方案一） AD E F B C （方案二） 图1OP A x BDC Q y图2OPA x BC Q y E18、如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．19、如图所示，已知：Rt ABC △中，90ACB ∠=°．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将Rt ABC △沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE DF 、，再展回到原图形，得到四边形AEDF ．①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；②若84AC CD ==，，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．y O xC N BPM ABCA。
中考数学专题考试——折叠剪切问题
图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生地动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示地方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 地度数为（ ）A ．600 B ．750 C ．900 D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′地位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等地足够长地纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示地正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 地面积为（ ）A ．4B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 地边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 地中点，若沿左图中地虚线剪开，拼成如下右图地一座“小别墅”，则图中阴影部分地面积是A ．2 B ．4 C ．8 D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm.操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c.则△GFC 地面积是（ ）E A A A B B C C C GD D D F F 图a 图b 图c 第6题图A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5地等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上地点D 地位置，且ED BC ⊥，则CE 地长是（ ）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中地虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到地平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形地是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形地纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中地虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后地形状应是( )第7题图第8题图第9题图第10题图答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中地虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后地平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得地图形是（ ）答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 地底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等地四边形地个数是（ ）A.1B.2A B CD 图3图1第12题图C.3D.4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱地同学们，在我们地生活中处处有数学地身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形地三个角拼在一起，就得到一个著名地几何定理，请你写出这一定理地结论：“三角形地三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 地正方形内去掉一个边长为b 地小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证地等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 =a 2+2ab+ b 2 Ｄ.a 2+ ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 地长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 地中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 地长与宽之比等于矩形ABCD 地长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1答案：A六、折叠和剪切地应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上地点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边地中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；第15题图（1）第17题图 （2）ABCDEF MG第19题图（2）如果M 为CD 边上地任意一点，设AB=2a ，问△CMG 地周长是否与点M 地位置有关？若有关，请把△CMG 地周长用含DM 地长x 地代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之. （2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 地周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上地位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国地报纸一般都有一个共同地特征:每次对折后,所得地长方形和原长方形相似,问这些报纸地长和宽地比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示地矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 地中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中地Rt △BCE 就是拼成地一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中地Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好地四边形分别画在图3、图4地虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成地Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中地边AB 和BC 地长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 地方程01)1(2=++--m x m x 地两个实数根,试求出原矩形纸片地面积.答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 地两根E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCE M图3图4E第21题答案图∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片地面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”地材料制成，未切割前地单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 地正方形小硅片若干.如果晶圆片地直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸地小硅片66张？请说明你地方法和理由.（不计切割损耗）答案：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形地矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 地圆内，如图中矩形ABCD.∵AB ＝1 BC ＝10∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜205.10（2）我们在矩形ABCD 地上方和下方可以分别放入9个小正方形.GFH E D C B A∵新加入地两排小正方形连同ABCD 地一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 地长为9，高为3，对角线9098139222=+=+=EG ＜205.10.但是新加入地这两排小正方形不能是每排10个，因为：109910031022=+=+＞205.10（3）同理：8925645822=+=+＜205.1010625815922=+=+＞205.10∴可以在矩形EFGH 地上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.（4）再在原来地基础上，上下再加一层，共7层，新矩形地高可以看成是7，那么新加入地这两排，每排都可以是7个但不能是8个.∵9849497722=+=+＜205.1011349647822=+=+＞205.10（5）在7层地基础上，上下再加入一层，新矩形地高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个.∵9781169422=+=+＜205.1010681259522=+=+＞205.10现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 地空间，因为矩形ABCD 地位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：学生也可能按下面地方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一. 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层.（2）在前面地基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层. 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）【21】在一张长12cm 、宽5cm 地矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点地方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形地对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 地方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学地折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4151254622AEHS S S=-=⨯-⨯⨯⨯矩形菱形230(cm )=（方案二）设BE=x ，则CE=12-xAE ∴由AECF 是菱形，则AE 2=CE 22225(12)x x ∴+=-11924x ∴=2ABES S S-矩形菱形=111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知，方案二张丰同学所折地菱形面积较大.【22】正方形提供剪切可以拼成三角形.方法如下：（方案一）ADEFBC （方案二）第23题图仿上面图示地方法，及韦达下列问题： 操作设计：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积地矩形.（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积地矩形.答案：（1）（2）略.【23】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到地扇形面中地一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁地作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到地7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形地总个数(S)填入下表第24题图（2） 第24题图（3） 方法一： 方法二：第24题答案图（1） 第24题答案图（2）第25题图 O(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来地圆形纸板剪成33个扇形？为什么？ 答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等地圆内接多边形是正多边形.【24】如图，若把边长为1地正方形ABCD 地四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下地图形仍为正方形，且剩下图形地面积为原正方形面积地95，请说明理由(写出证明及计算过程).答案：剪法是：当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且S=95.在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1， ∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1，∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ， 则AD 1=1－x.∵正方形A 1B 1C 1D 1地面积=95， ∴S △AA1D1=91 即21x(1－x)=91， 整理得9x 2－9x+2=0.解得x 1=31，x 2=32. 当AA 1=31时，AD 1=32，当AA 1=32时，AD 1=31.∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积地95.折叠问题专题研究上虞市滨江中学 潘建德一、教学目标：1、理解折叠问题地本质2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本地导向 二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题 三、教学难点：折叠型综合题地分析 四、教学过程：1、引入：出示08绍兴8题：将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1地形状，则CPD ∠地大小是（ ）A ．120 B ．90 C ．60 D ．45此题凸显地主题是图形地折叠，折叠问题在近几年地中考中越来越常见，据统计，在08年我省11个地区地中考卷中有7个地区都出现了折叠型考题，其中有5个地区中考卷地压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考地热门问题之一．点出课题．2、解题策略（一）——重过程“折”（1）如何迅速且准确地解决08绍兴卷第8题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力地实践操作题．解题策略：重过程——“折”．（2）学生进一步尝试．题2：（2008山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然A．B．C．D．AB CDFE 后将最后折叠地纸片沿虚线剪去上方地小三角形．将纸片展开，得到地图形是（）3、解题策略(二)——重本质“叠”（1）本质探究：题3：如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上地F点处，如果∠BAF=30°，AD=2，则∠DAE=___，EF=_______．学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠地本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．根据轴对称地性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角地相等）；（2）点地轴对称性：互相重合两点（对称点）之间地连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应用勾股定理得方程）．（2）初步应用：题4：08丽水8：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上地点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A'．若四边形ADA E'是菱形，则下列说法正确地是（）A．DE是△ABC地中位线B．AA'是BC边上地中线C．AA'是BC边上地高D．AA'是△ABC地角平分线分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠地全等性得到，也可根据折叠地点轴对称性得到．（3）题5：09绍兴市属期末23．（本题满分12分）课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕地长．(1) 如图1, 折痕为AE;(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD地中点，折痕为AE;(3) 如图3, 折痕为EF．ACDEA'（第8题）分析：题（1）题（2）主要应用折叠地全等性，题（3）连结对称点地连线BD ，根据折叠中点地轴对称性得EF 是BD 地中垂线，BO=4125，同时根据矩形地中心对 称性知，EF=2E0，在Rt △CDE 中，根据勾股定理可解得DE=241,根据折叠全等性得BE=DE=241,在Rt △BOE 中根据勾股定理得EO=412,故EF=414．由此题得心得：在解决折叠类计算题时，根据Rt △地勾股定理应用方程思想是常用方法． 题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都根据课本原题改变而成．根据课本原题改变成中考题，是中考卷出题地一个新地方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课本习题进行探索和挖掘．（4）题6：08绍兴24题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+． （1）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上地点D 处，求点D地坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PE 与AC 能否垂直？此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨．题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题地着眼点．4、反思小结:折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力地实践操作题，到直接运用折叠相关性质地说理计算题，发展到基于折叠操作地综合题，甚至是压轴题．其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决有关地折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁．图1 （第24题图）初中几何综合复习（讲稿）—矩形折叠问题同学们好，今天我和大家一起研究平面图形地折叠问题.首先，在最近几年地中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形地能力、空间思维能力和综合解决问题地能力都提出了比以往更高地要求.希望通过今天地讨论，使同学们对折叠问题中有关地几何图形之间地位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决地过程中巩固头脑中已有地有关几何图形地性质以及解决有关问题地方法；并在观察图形和探索解决问题地方法地过程中提高分析问题和解决问题地能力.那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关地问题.下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠地意义1．折叠，就是将图形地一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线地同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.如图（1）是线段AB沿直线l折叠后地图形，其中OB'是OB在折叠前地位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后地图形，△ABC是△AB'C在折叠前地位置，它们地重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分地形状、大小不变，是全等形如图（1）中OB'=OB；如图（2），△AB'C≌△ABC；(3) 图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称如图（1）OB'和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△AB'C和△ABC关于直线AC成轴对称.二．和折叠有关地问题图形经过折叠，其翻折地部分折叠前地图形组合成新地图形，新地图形中有关地线段和角地位置、数量都有哪些具体地关系呢？这就是我们今天要重点讨论地问题.下面，我们以矩形地折叠为例，一同来探讨这个问题.问题1:将宽度为a地长方形纸片折叠成如图所示地形状，观察图中被覆盖地部分△A'EF.（a）△A'EF是什么三角形？结论：三角形AE'F是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等地,∴∠1= ∠2,又∵矩形地对边是平行地∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形方法二：∵图形在折叠前和折叠后地形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度地线段EP和FQ相等，即∆A'EF地边A'E和A'F上地高相等，∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形(b)改变折叠地角度α地大小，三角形A'EF地面积是否会改变？为什么?答：不会改变.分析：α地改变影响了A'E地长度，但却不能改变边A'E上地高，三角形A'EF地面积会随着α地确定而确定.例一：在上面地图中，标出点A'在折叠前对应地位置A,四边形A'EAF是什么四边形？分析：（1）由前面地分析可知A'与A'在折叠前地位置A关于折痕EF成轴对称,所以作A'关于EF地对称点即可找到点A（过点A'作A'A⊥ EF交矩形地边于点A）. 同学们还可以动手折叠一下，用作记号地方法找到点A.（2）四边形AEA'F是菱形证法一：∵ A是A'在折叠前对应地位置,∴A和A'关于直线EF轴对称,∴AA'⊥EF,且AO=A'O,又∵AE∥A'F,∴EO∶OF=AO∶OA',∴EO=OF∴四边形AEA'F是菱形证法二：A是A'在折叠前对应地位置,∴∆AEF≌∆A'EF,A'E=A'E,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,A'E=A'F,∴A E=AF=A'E=A'F,∴四边形AEA'F是菱形.例2.在上题地图中,若翻折地角度α=30°,a=2,求图中被覆盖地部分△A'EF.地面积..分析：图中被覆盖地部分△A'EF是等腰三角形，其腰上地高就是原矩形地宽度2,所以，本题地解题关键就是要求出腰A'F 或A'E地长.答：S四边形AEA'F＝2S△A'EF=(8/3)√3（解答过程略）练一练：当α地大小分别45°、60°时，图中被覆盖地部分△A'EF.地面积是多少？例题3. 如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN 上，（如图中1地点P）,若AB=√3,则折痕AE地长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE地斜边，故解决本题地关键是求PE(或BE)地长.解法一：由折叠地意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD ∥BC且AN是AP地一半∴ MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1地结论)∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.由BC∥MN∥DA且M、N分别为CD和AB地中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又PO=AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60°（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB地三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕AE地长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来地二等分线变为三等分线，其他条件不变.所以本题地解题关键还是求出EB(或EP)地长解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地三等分点∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP²+PF²=AF²∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1, ∴AE²=1+5=6,∴AE=√6例4 如图3,有一张边长为3地正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点地位置,折痕为AE.(1)求MP地长;(2)求以PE为边长地正方形地面积.分析：将本题与例题2比较，不难看出它们地共同之处，显然，解决本题地关键是求PE和PN地长解法一：延长EP交AD地延长线于F, 则FE=FA(已证)M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴ MN∥AD ∥B C且AN是AP地一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴PN=(3/2)√3，(1)∴MP=1-PN=3-(3/2)√3,又AP=3,∴EP=√3，(2)∴以EP为边长地正方形地面积为3.其他解法请同学们思考.例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中地M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD地面积分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形地边AB上，由折叠地意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等地，所以，求四边形CNMD地面积地关键就是求ΔDCN或ΔDMN地面积，所以本题地解题关键还是求出NC(或BN)地长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=10/3S四边形CNMD =2S△DCN=(10/3)*10=100/3例6.将长为8，宽为6地矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF地长.（2）求三角形DEF地面积分析：由矩形折叠地意义可知，EF垂直平分BD（O为BD地中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF地中点，所以可设法先求出EO地长，或直接求EF地长,进而求三角形DEF面积.解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10又AB∥DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=15/4∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4(2)S△DEF解（法二）：(1)过C作CP∥EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴CP=10*6/28=15/2∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=(2)S△DEF75/4同学们，图形折叠问题中题型地变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中地规律，从今天我们对矩形折叠情况地讨论中可以得到以下几点经验：1．图形地翻折部分在折叠前和折叠后地形状、大小不变，是全等形；2图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示地形状，图中重叠地部分△AE'F是等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质地位置关系，从而进一步发现其中地数量关系；5．充分挖掘图形地几何性质，将其中地基本地数量关系，用方程地形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用地方法之一.今天地讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好地成绩.中考专题复习——折叠问题动手折一折，并思考：（1）用一张矩形地纸，通过折叠，使较短地边AB 落在较长地边AD 上，分析重叠部分展开后地形状.（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成地图形.题组一：（1）如图（1），点E 是矩形ABCD 地边CD 上地点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上地F 点处，如果∠BAF ＝60o ，则∠DEA ＝____________.（2）如图（2），已知：点E 是正方形ABCD 地BC 边上地点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________.（3）如图（3），AD 是△ABC 地中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´地位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________. 图（1）图（2）题组二： 图（3）（4）如图（4），已知矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4.沿着对角线BD 将矩形ABCD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于E .求出未知地线段. A BCDEABCDA BCD（5）如图（5），矩形ABCD 地长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB 上地C ´点（DE 为折痕），那么阴影部分地面积是________.图（4） 图（5）题组三：（6）如图（6），P 是以AB 为直径地半圆上地一点，PA ＝4，AB ＝10，将半圆折叠使弦PA 正好落在AB上，则折痕AC 地长为___________.图（6）（7）如图（7），把正三角形ABC 地外接圆对折，使点A 落在弧BC 地中点A ´，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内地部分DE 地长为_____.提高题：(1)一张宽为3、长为4地矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ´地位置，BC ´交AD 于G （如图8）.再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （如图9），则ME 地长为__________.C ´GABCDA BCDABCPP ´B A DA DC ´图（9）图（8）(2)如图（10），在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，如图将矩形折叠使B 点落在AD 上，设为B ’，顶点C 到C ’点，B ’C ’交DF 于G ．（1） 求证：△AB ’E ∽△C ’GF ；（2）若AB ’＝x ，S B ’EFC ’＝y ，求y 关于x 之间地函数解析式； （3）当B ’在何处时，y 地值最小，y 地最小值是多少？图（10）折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质.轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上. 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠地选择题填空题，很有必要.1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △地AC ，BC 边地中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上地点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°C ´A BC D EFB ´G图（7）（第18题图）AC B2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）A ．40° B ．30°C ．20°D ．10°3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示地方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点地三角形与△ABC 相似，那么BF 地长度是．4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上地高.将△ABC 按如图所示地方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 地周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.55、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 地中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 地值为．6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上地点，联结AM（如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 地中点处，那么点M 到AC 地距离是．第2题图 A 'BD AC7、(2009宁夏)如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上地中线，将ADC △沿AC 边所在地直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边地长为8，BC 边上地高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 地长为x ，MN 上地高为h ．（1）请你用含x 地代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面地点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分地面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？A图3BM C BC NM AE C B A D。
中考数学创新题-------折叠剪切问题[下学期]浙教版
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中考数学创新题-------折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36° 二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图A图 （2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4 cm2 答案：B 三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿E A A AB B BC C C GD D D F F F 图a 图b 图c 第6题图着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A）15 （B）10-（C）5 （D）20-答案：D四．折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )答案：D第7题图第8题图第9题图第10题图【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的处。
绳子折叠剪数学问题
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绳子折叠剪数学问题
嘿，宝子们！今天咱们来唠唠这个绳子折叠剪的数学问题。
这玩意儿可有趣了呢。
想象一下哈，你手里有一根绳子。
如果把这根绳子对折1次，然后从中间剪一刀，会变成几段呢？这时候啊，就变成了3段。
为啥呢？你看啊，对折1次，中间那折痕就相当于把绳子分成了2部分，再剪一刀，就多出来1段，所以就是2 + 1 = 3段。
要是把绳子对折2次呢？这时候再从中间剪一刀，就会变成5段。
因为对折2次，绳子就被分成了4部分，再剪一刀，就多出来1段，就是4 + 1 = 5段。
那要是对折3次呢？哈哈，这时候从中间剪一刀，就会变成9段啦。
对折3次，绳子被分成了8部分，再剪一刀，就多出来1段，8 + 1 = 9段。
我们可以总结个规律出来呢。
如果对折n次，然后从中间剪一刀，那么绳子会变成2的n次方加1段。
比如说n = 4的时候，2的4次方是16，再加1就是17段啦。
这就是绳子折叠剪的数学小秘密哦。
宝子们，是不是很神奇呢？
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和同学们谈“折叠剪切”问题
和同学们谈“折叠剪切”问题折叠剪切问题是通过纸片的折叠与展开，将图形的变换、作图、推理、计算融合在一起，以考查学生观察、分析、推理和动手的能力，它是《课标》中“数学思考”理念的体现。
因此，它成为近年来中考考查的一个热点问题。
现将“折叠剪切”问题归纳如下，供同学们复习使用。
一、折叠后得图形例如：将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）a．矩形b．三角形c．梯形d．菱形分析：学生只要按照过程进行操作就可得出答案是d。
二、折叠后求度数例如：如图，裁剪师傅将一块长方形布料abcd沿着ae折叠，使d点落在bc边的f处，若∠baf=60°，则∠dae=______。
分析：由题意可知，∠bad=90°，折叠得∠dae=∠fae，所以∠dae=15°。
三、折叠后求长度例如：将矩形纸片abcd按如图所示的方式折叠，得到菱形aecf，若ab＝3，则bc的长为（）a．2 b．c．1 d．2分析：由折叠过程可知，bc=oc=oa，所以∠cab=30°，设bc=x，则ac=2x，再由勾股定理可得x=，故答案为b。
四、折叠后求面积例如：如图a，abcd是一矩形纸片，ab＝6 cm，ad＝8 cm，e是ad上一点，且ae＝6 cm。
接下来进行操作：（1）将ab向ae折过去，使ab与ae重合，得折痕af，如图b；（2）将△afb以bf为折痕向右折过去，得图c。
则△gfc的面积是（）a.1 cm2b.2 cm2c.3 cm2d.4 cm2分析：由题中的操作过程可得，图c中∠afb=∠afc=45°，fc=2，gc=2，所以△gfc的面积=fc×gc÷2=2，故选b。
五、折叠后得结论例如：如图，把△abc纸片沿de折叠，当点a落在四边形bcde 内部时（即a′），则∠a与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）a.∠a=∠1+∠2b.2∠a=∠1+∠2c.3∠a=2∠1+∠2d.3∠a=2（∠1+∠2）分析：由折叠过程可得∠1＋2∠aed=180°，∠2＋2∠ade=180°，所以∠1＋2∠aed＋∠2＋2∠ade=360°，又因为∠aed＋∠ade=180°－∠a，所以答案是b。
第10讲 折叠翻转性问题-2022中考数学巅峰冲刺(解析版)
专题10折叠翻转性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算,折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在．图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见的问题类型有以下3种：（1）求线段的取值范围；（2）求最值问题；（3）分类讨论线段长度其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图，把一张长方形纸片ABCD进行折叠之后，恰好使其对角顶点A与C能够重合，且使的折痕与BC的交点恰好在其三等分点处，则下列图形长度能够满足题意的是（）A．AB=10，BC=20B．AB=10，BC=30C．3BC=20D．3BC=30【解析】：根据折叠图形的性质，利用勾股定理求出AF=2BF，3，由此即可判定D正确．解：选项D正确．理由是根据题意可知AF=2BF，利用勾股定理或者30°的直角三角形判断计算AB=AB=3BF，根据线段之间的关系可选得答案。
故选D．【原创2】如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=___．【解析】设AD=，则DB=3，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，∴∠EDA∠FDB=120°，又∵∠EDA∠AED=120°，∴∠FDB=∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠，得CE=DE，CF=DF∴△AED的周长为5，△BDF的周长为7，∴△AED与△BDF的相似比为5：7∴CE：CF=DE：DF=5：7．故答案为5：7．【原创3】如图1，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D,，OC＝6，sin∠BOC=45反比例函数y＝kx＞0的图像经过点D，（1）求反比例函数的关系式；（2）如图2，将ΔAOC沿过C 点的直线折叠，使点A落在轴上的点E处，折痕所在直线交y轴正半轴于点F，求直线CF的解析式（3）如图3，将图2中的直线CF向上平移m个单位，与反比例函数y ＝kx＞0的图像相交，当直线与反比例函数的图像只有一个交点时，求m的值解:（1）作DM⊥轴,∵四边形OABC 是矩形，∴D为BO的中点，∵OC⊥BC，DM⊥∴DM=12BC ，OM=12OC∵OC＝6，sin∠BOC=45设BC=4，OC=3，则OB=5得，∵OC＝6，解得=2，所以BC=8,DM=4 ∴D（3，4）代入y ＝k x，∴＝12．∴反比例函数的关系式为：y ＝12x．（2）∵OC=6,BC=8∴OB=AC=10将ΔAOC 沿过C 点的直线折叠得到ΔCEF, ∴△ACF≌△ECF ∴AF=EF,AC=EC=10 ∴OE=4设OF=，则AF=EF=8-由勾股定理得（8-）2-2=16解得=3， ∴F 点的坐标为（0,3）设直线CF 的解析式为y=tb,把C （6,0）C （0,3）代入得t=-12，b=3∴直线CF 的解析式为y=123M（3）设平移后的直线解析式为y=12-3m由12x =12-3m得2-62m24=0∵平移后的直线与反比例函数的图像只有一个交点∴Δ=62m2-96=0解得m1=263-m2=263--（舍去）∴m的值为263-【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】求线段的取值范围:如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=，则的取值范围是．分析：作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B时，根据翻折的性质可得BA′=AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，然后写出的取值范围即可．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=17，∴BC=AD=17，CD=AB=8，①当折痕经过点D时，由翻折的性质得，A′D=AD=17，在Rt△A′CD22-=15，178'A D CD-22∴BA′=BC﹣A′C=17﹣15=2；②当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′=AB=8，∴的取值范围是2≤≤8．故答案为：2≤≤8．归纳：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与最大值时的情况，作出图形更形象直观．【例题2】求最值问题:如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点AE BD AD FB =21 1.2AE =.4C222-=+(9)3x x，再根据折叠的性质得到BE=DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE=90°，②∠AED=90°，设BE=，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．解答解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm．直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE=DE ，设BE=，则DE=，AE=10-①当∠ADE=90°时，则DE∥BC， ∴DE AECB AB =∴10610x x -=解得：=②当∠AED=90°时， 则△AED∽△ACB ∴DE AECB AC =∴1068x x -=解得：=故所求BE 的长度为：或． 故答案为：或．中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC ＝30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD 如图4－1－3①，剪去△CDE 后得到双层△BDE 如图②，再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为____cm【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC ＝30，∴AB＝10，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝30°，BE ＝AB ＝10，∴DE＝10，BD ＝20，如答图①，平行四边形的边是DF ，BF ，且DF ＝BF ＝，∴平行四边形的周长＝，如答图②，平行四边形的边是DE ，EG ，且DE ＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40综上所述，平行四边形的周长为40或7（2022安阳、林州二模）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点11133x ±=11133+11133-22610-34238236=≠==AG AB 96321=⨯⨯4321⨯⨯N，再把这个正方形展平，设EF 和MN 交于点O ；第二步：沿直线CG 折叠，使点B 落在EF 上，对应点为B′，再沿直线AH 折叠，使点D 落在EF 上，对应点为D′；第三步：设CG ，AH 分别与MN 交于点Q ，由对称性可知，EB′＝FD′，∴EB′＝NQ由两次对折可得，OE＝ON＝OF＝OM，∴OB′＝ON⊥EF于点O，∴PQ⊥B′D′于点O，∴四边形B′PD′Q为正方形．。
数学折叠剪切创新题.docx
中考数学折叠剪切创新题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方町解答出此类问题.一.折叠后求度数【1】将一-张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则ZCBD的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 95°答案：C[2]如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C1的位置,若ZEFB= 65°,则ZAED'等于（）A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°答案：A[3]川一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE,其屮ZB AC= 度.第3题图答案：36°二.折叠后求面积【4】如图，有一矩形纸片ABCD,AB二10,AD二6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,再将AAED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则ACEF的血积为（）A. 4B. 6C. 8D. 10A B E第1题图图（1）答案：c[5]如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4,点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中 的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是第5题图答案：B【6】如图a, ABCD 是一•矩形纸片，AB=6cm, AD=8cm, E 是AD 上一点，且AE=6cm 。
操作： (1) 将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF,如图b ； (2)将Z\AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则AGFC 的面积是()A DB D B AEC E C第4题图D. 10ABDC 图aDC第6题图AA. 1cm 2B. 2 cm 2C. 3 cm 2D. 4 cm 2答案：B三. 折叠后求长度[7] ill 图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿 著EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且EQ 丄BC ,则CE 的长是（）（A ） IO A /3-15（C ） 5A /3-5答案：D 四. 折叠后得图形 [8]将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图小的虚线剪下，得到①、②两部分, 将①展开后得到的平面图形是（ ）第•题图A.矩形B.三角形C.梯形D.菱形答案：D[9] 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边 形乂能拼成三角形和梯形的是（第9题图答案：D[10] 小强拿了张正方形的纸如图（1）,沿虚线对折一次如图（2）,再对折一次得图（3）, 然后川剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是(B) 10-5^3(D) 20-1()73AA.B.C. D.【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点蒂在折痕MX 上的3’处。
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第10讲：折叠剪切问题
一、轴对称图形
1、（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
2、（2010·贵州贵阳）如图是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）
3、（2010·云南玉溪）如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是 ．
4、（2008·内蒙古赤峰市）星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是 ．（按12小时制填写）
二、轴对称的性质及其应用
5、（2011湖南怀化，10，3分）如图5，∠A=30°，∠C′=60°,△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠B=_______________.
6、（2010·江苏扬州）如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
三、折叠问题
【折叠产生图案形状】
7、（2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）
A C B
D
（向上对折） 图（1）
图（3） （向右对折） 图（2） 图（4） D C B A （第6题）
8．（2010台湾） 将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
最后将图(七)的色纸剪下一纸片， 如图(八)所示。
若下列有一图形 为图(八)的展开图，
【折叠后计算线段长度】
9、（2010·广西钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）
A 、4 cm
B 、5 cm
C 、6 cm
D 、10 cm
10、如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将
AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）
A.1cm 2
B.2 cm 2
C.3 cm 2
D.4 cm 2
【折叠后计算角度】
11、（2010·江苏南通）如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片
ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿EF 折叠后，D 、C 两点分别落在D ′、C ′的位置，并利用量角器量得∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 度．
12.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）
所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
13.如图，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿着直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于________
图(六) 图(七) 图(八
) (A) (B) (C) (D) E A A A
B
B B
C C C G
D D D F F F 图a 图b 图c 第12题图（1） 第12题图 （2） 第11题 第13题
四、跟踪练习
1、（2011山东菏泽，）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一
点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( )
A ．6
B ．3
C ．
D ．
2．（2010江苏扬州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD
折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．
3．（2010 浙江义乌）如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确．．
的个数是（ ） ①BDF ∆是等腰三角形 ②BC DE 21=
③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．（2010江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形
的周长之和为 ．
5．（2011年德州）长为1，宽为a 的矩形纸片(12
<a <1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作），如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止，当n ＝3时，a 的值为______．
6.将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形的纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF （如图2），证明：四边形AEDF 是菱形。
C A B C
D
E
F 2题 第3题 第4题 第4题
M D C 图2A F E D C B A 图1
' 7.在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH
（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
8．将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA =6，OC =10。
（1）如图①，在OA 上取一点E ，将EOC ∆沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；
（2）如图②，在OA 、OC 边上选取适当的点E '、F ，将OF E '∆沿F E '折叠，使O 点落在AB 边上的D '点，
过D '作y G D //'轴，交F E '于T 点，交OC 于G 点，求证：E A TG '=．
（3）在（2）的条件下，设),(y x T ，
①探求：y 与x 之间的函数关系式；②指出自变量x 的取值范围．
（4）如图③，如果将矩形OABC 变为平行四边形C B A O '''，使10='C O ，C O '边上的高等于6，其他条
件均不变，探求：这时),(y x T '的坐标y 与
x 之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系式？若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式．
（方案一） A D E F B C （方案二）。