函数的最大(小)值与导数》说课稿
《函数的最大(小)值与导数》教案完美版
《函数的最大（小）值与导数》教案§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解新课：1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解：设g (x )=xb ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．1213 4．函数y =122+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )A ．27B ．－3C ．－1D ．16．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．六、课后作业：§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40， 并求得 V(40)=16000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h =2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π即h =2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所x x xx6060x 60-2x 60-2x 60-2x x60-2x 6060用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+，令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =． 答：产量为84时，利润L 最大．三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________．2．函数f (x )=sin 2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____． 5．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大． 答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R 四、小结 ：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18． 2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b ②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =hS h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S 时，l ′>0． ∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略）七、教学后记：b。
教学设计7：1.3.3 函数的最大（小）值与导数（二）
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)教学目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题． 教学梳理知识点 用导数求函数f (x )最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f (x )的导函数f ′(x )；(2)求极值嫌疑点：即f ′(x )不存在的点和f ′(x )＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f ′(x )与f (x )随x 变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f (x )的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f (x )在其定义域内的最大值和最小值. 教学案例类型一 由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,4) C ．(－1,2] D ．(－1,2)【答案】C【解析】由f ′(x )＝3－3x 2＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由此得a 2－12<－1<a ，解得－1<a <11. 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.教学反思 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】D【解析】由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0， 解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 教学反思 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4]【解析】由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x＋x (x >0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0. g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增；所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方. 当堂检测1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2【答案】B【解析】f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2 B ．－e C ．－e －1 D ．－103【答案】C【解析】∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]【答案】A【解析】f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________． 【答案】4【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。
2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 求解函数最大值和最小值的方法。
3. 导数的定义和性质。
4. 运用导数求解函数的极值。
5. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。
2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。
5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。
7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。
9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。
10. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。
4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。
函数的最大(小)值与导数说课稿.
1《函数的最大（小）值与导数》说课稿一、说教材（一）地位与重要性函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f (x 是闭区间[a ，b ]上的连续函数，那么f (x 在闭区间[a ，b ]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一.（二）教学目标知识与能力目标：了解函数在某点取得极值, 会利用导数求函数的极大值和极小值. 以及闭区间上函数的最大(小值. ，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。
情感目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。
过程目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。
(三教学重难点重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．难点：。
本节课突破难点的关键是：理解方程f ′(x =0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法二、说教法与学法【教法】本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法】对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳2 出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，知道它们在数学分析中的重要性。
2. 引导学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际例子中的应用。
三、教学方法采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法，让学生在理解函数最大值和最小值的概念的基础上，学会利用导数求解实际问题。
四、教学步骤1. 引入函数最大值和最小值的概念，通过图形和实际例子让学生直观地理解。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法，引导学生掌握判断极值点和确定最大值、最小值的方法。
3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
4. 通过讨论，让学生理解在实际问题中如何运用函数最大值和最小值。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，加深对函数最大值和最小值以及导数的应用的理解。
3. 选择一个实际问题，尝试运用函数最大值和最小值的知识进行解决。
六、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对函数最大值和最小值以及导数求解方法的掌握程度。
七、教学资源1. 教学PPT。
2. 课后练习题及答案。
3. 实际问题案例。
八、教学时长1课时（40分钟）九、教学难点1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
十、教学准备1. 提前准备教学PPT。
2. 准备课后练习题及答案。
3. 收集实际问题案例。
六、教学拓展1. 引导学生思考：在求函数最大值和最小值时，还有哪些方法可以运用？2. 讲解其他求解函数最大值和最小值的方法，如构造法、函数图像分析法等。
3. 对比各种方法的应用范围和优缺点，让学生学会选择合适的方法解决问题。
七、教学实践1. 安排一次课堂实践，让学生分组讨论并解决一个实际问题。
2. 各组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。
3.3.3函数的最大(小)值与导数教案
§1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学内容分析1.在教材中的位置：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版，第一章。
第三节“导数在研究函数中的应用”2.学习的主要工具：基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。
3.学习本节课的主要目的：本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。
4.本节课在教材中的地位：函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。
学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。
二、学情分析学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。
三、课堂设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。
本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。
（3）复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。
2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。
（2）培养学生在生活中学习数学的方法。
3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的极值概念，掌握函数的极大值和极小值的求法。
2. 引导学生理解导数与函数单调性的关系，能够运用导数判断函数的单调性。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 函数的极值概念2. 函数的极大值和极小值的求法3. 导数与函数单调性的关系4. 运用导数解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的极值概念，函数的极大值和极小值的求法，导数与函数单调性的关系。
2. 教学难点：运用导数解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件辅助教学，结合板书进行讲解。
五、教学安排1课时教案一、导入新课通过复习导数的基本概念，引导学生回顾导数的计算公式，为新课的学习做好铺垫。
二、讲解函数的极值概念1. 定义：如果函数在某一区间内的任意一点的导数都小于（或大于）0，在这个区间内函数是单调递减（或单调递增）的。
2. 极值：在函数的单调区间内，如果函数在某一点取得局部最大值或最小值，这一点称为函数的极大值点或极小值点。
三、讲解函数的极大值和极小值的求法1. 求极值的方法：求出函数的导数，令导数为0，解方程得到可能的极值点。
2. 判断极值点的性质：根据导数的符号变化来判断极值点的性质。
如果导数从正变负，函数在这一点取得极大值；如果导数从负变正，函数在这一点取得极小值。
四、讲解导数与函数单调性的关系1. 单调性判断：如果函数的导数大于0，函数是单调递增的；如果函数的导数小于0，函数是单调递减的。
2. 单调区间：函数的单调递增区间为导数大于0的区间，单调递减区间为导数小于0的区间。
五、运用导数解决实际问题1. 问题提出：如何求解函数在实际问题中的最大值和最小值？2. 方法指导：建立函数模型，求出函数的导数，分析导数的符号变化，找出函数的极值点，根据实际意义选取合适的极值点作为最大值或最小值。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。
让学生学会使用导数来求函数的最大值。
2. 教学内容：导数的定义和性质。
利用导数求函数的最大值。
3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。
介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。
章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。
让学生学会使用导数来求函数的最小值。
2. 教学内容：导数的定义和性质。
利用导数求函数的最小值。
3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。
介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。
章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。
让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。
2. 教学内容：函数的单调性。
利用函数的单调性来求函数的最大值。
3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。
介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。
章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。
让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。
2. 教学内容：函数的单调性。
利用函数的单调性来求函数的最小值。
3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。
介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。
章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。
让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。
2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。
利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。
3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。
介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。
章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。
函数的最大(小)值与导数 说课稿 教案 教学设计
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 在 内的极值；
⑵将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求 在 的最大值与最小值
解：由例4可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 ，又由于 ，
因此，函数 在 的最大值是4，最小值是 ．
上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验证．
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值
学科：
数学
学段：
高二年级
课题：
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 在闭区间 上所有点（包括端点 ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．回顾总结
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案一、教学目标：1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，并能运用导数求解一些简单函数的最大值和最小值。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 让学生掌握利用导数研究函数的单调性，从而求解函数的最值。
二、教学内容：1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求解函数的最大值和最小值。
3. 利用导数研究函数的单调性。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：利用导数求解函数的最大值和最小值，以及利用导数研究函数的单调性。
2. 教学难点：如何判断函数在某个区间内的单调性，以及如何求解分段函数的最大值和最小值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念，以及利用导数求解最值的方法。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，帮助学生直观地理解函数的最值和单调性。
3. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾导数的基本概念，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的概念，解释其在实际应用中的意义。
3. 讲解利用导数求解函数最值的方法，引导学生掌握判断函数单调性的技巧。
4. 利用多媒体课件，展示函数图像，让学生直观地理解函数最值和单调性之间的关系。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数求解函数最值，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置一些有关函数最值的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
8. 布置作业：布置一些有关函数最值的课后作业，巩固所学知识。
六、教学案例与分析：1. 案例一：求函数f(x) = x^2 4x + 5 的最大值和最小值。
分析：求导数f'(x) = 2x 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。
将x = 2 代入原函数，得到f(2) = 1。
函数在x = 2 处取得最小值1。
2. 案例二：求函数g(x) = (x 1)^2 在区间[0, 3] 上的最大值和最小值。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。
2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数的最大值和最小值。
3. 函数的单调性及其与导数的关系。
4. 函数的极值及其与导数的关系。
5. 实际问题中的最大值和最小值问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。
2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。
2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。
4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。
5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。
7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。
2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。
函数的最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．过程与方法(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．3．情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)等)，必要时教师借助多媒体，以动态的过程演示变量同函数值的变化关系，以帮助学生实现从“图形语言”⇒“文字语言”⇒“符号语言”多角度认识函数的单调性的过程，顺利完成“形”到“数”的转换，最终师生共同总结出单调增函数的定义；(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．课标解读1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点) 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)增函数和减函数的定义如图，观察函数y＝x2的图象，回答下列问题：1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？【提示】增大．2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？【提示】y1<y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律．如－4<1，但(－4)2>12.3．如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图象变化规律？【提示】在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x21，f(x2)＝x22，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．条件结论设函数f(x)的定义域为I，定义函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．求函数的单调区间求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数．(1)y＝3x－2；(2)y＝－1x；(3)y＝－x2＋2x＋3.【思路探究】画出函数的草图―→结合图象“升降”给出单调区间【自主解答】(1)函数y＝3x－2的单调区间为R，其在R上是增函数．(2)函数y＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增函数．(3)函数y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．2．一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．(2)反比例函数y＝kx(k≠0)的单调性如下表所示：域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2增函数当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) f(x)在区间D上是增函数减函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)f(x)在区间D上是减函数k 的符号 单调区间 k ＞0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减 k ＜0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增 (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调性以对称轴方程x ＝－b 2a 为分界线．a ＜0 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 a ＞0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－1【解析】 由图可知，函数y ＝f (x )的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f (x )的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．【答案】 [－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]判断或证明函数的单调性判断函数f (x )＝x ＋9x 在x ∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．【思路探究】 取值→作差→变形→判号→定论【自主解答】 函数f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞)上是增函数． 任取x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又x 1，x 2∈[3，＋∞)，∴x 1x 2－9>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．即f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞]上为增函数．1．定义法判断函数单调性的四个步骤2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．判断函数f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上的单调性．【解】 任取x 1，x 2∈(0,3)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2. 又∵0<x 1<x 2<3，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－9<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上为减函数．函数单调性的应用已知函数f (x )＝kx －4x －8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．【思路探究】 首先对二次项系数k 是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．【自主解答】 当k ＝0时，f (x )＝－4x －8，其在[5,20]上是单调减函数，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时函数f (x )＝kx 2－4x －8对称轴为x ＝2k ，有两种情况： ①k >0时，要使f (x )在[5,20]上单调，必有5≥2k 或20≤2k ，即k ≥25或0<k ≤110.②k <0时2k <0，显然[5,20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k <0成立．综上可知，实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪k ≤110或k ≥25由函数的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用单调性的定义例如，由f (x 1)>f (x 2)结合单调性，转化为x 1与x 2的大小关系．(2)利用函数的特征例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (4a －3)>f (5＋6a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得，4a －3>5＋6a ，即a <－4.【答案】 (－∞，－4)因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．【错解】 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a ≥4，即a ≤－3.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【防范措施】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x ＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－3小结1．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．。
《3.3.3函数的最大(小)值与导数》教学设计(安徽省县级优课)-数学教案
§3·3·3函数的最大（小）值与导数教学目标：1、使学生理解函数的最大（小）值的概念，掌握可导函数)f在(x区间]a上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值,[b必有的充分条件。
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值得方法和步骤。
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。
教学过程：复习：1.函数的极大（小）值的概念则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值函数的极大值与极小值统称 为极值.求函数的极值的方法与步骤（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f ’(x)（3）求方程f ’(x)=0的根（4）解不等式并列成表格（5）求出极值f ’(x)左正右负--极大值，左负右正--极小值3、 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对X 0附近的所有点，都有f(x)<f(x 0),如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值；观察图象，我们发现， )(),(),(531x f x f x f 是函数y=f(x)的极小值， )(),(),(642x f x f x f 是函数y=f(x)的 极大值. 引入新课：极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小新课讲解：那么函数在什么条件下一定有最大、最小？它们与函数极值关系又如何呢？探究问题一：观察下面一个定义在区间],[b a 上的函数)(x f 的图像x问题1：这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗？问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点．问题3：f(x)在[a,b]上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？问题4：你是如何得出最大（小）值的？探究二：观察下列图形，你能找出函数的最值吗？通过以上的图像，你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢？问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？问题2：给定函数的区间[a,b]能否改为(a,b)？结论：一般的，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
函数最大(小)值与导数教案
函数最大(小)值与导数教案章节一：函数极值概念的引入1. 导入新课，通过复习导数的概念和性质，引导学生思考导数与函数极值之间的关系。
2. 讲解函数极值的定义，解释局部最大值和局部最小值的概念。
3. 通过具体例子，让学生理解函数极值在实际问题中的应用。
章节二：利用导数求函数的极值1. 讲解利用导数求函数极值的方法，强调先求导数，再判断导数的正负，确定极值。
2. 通过具体例子，让学生掌握利用导数求函数极值的基本步骤。
3. 引导学生思考如何利用导数求解实际问题中的函数极值。
章节三：函数的最大值和最小值1. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释全局最大值和全局最小值的概念。
2. 通过具体例子，让学生理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 引导学生思考如何利用导数求解函数的最大值和最小值。
章节四：利用导数求函数的最大值和最小值1. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法，强调先求导数，再判断导数的正负，确定最大值和最小值。
2. 通过具体例子，让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的基本步骤。
3. 引导学生思考如何利用导数求解实际问题中的函数最大值和最小值。
章节五：函数最大值和最小值的应用1. 通过具体例子，让学生了解函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、成本最小化问题等。
2. 引导学生思考如何运用函数最大值和最小值解决实际问题。
3. 总结本节课的重点内容，强调函数最大值和最小值在实际问题中的重要性。
章节六：利用导数求解实际问题中的函数极值1. 引入实际问题，如物体的运动速度、商品的销售利润等，让学生理解实际问题中的极值意义。
2. 讲解如何将实际问题转化为函数极值问题，引导学生运用导数求解。
3. 通过具体例子，让学生掌握将实际问题转化为函数极值问题的方法。
章节七：利用导数求解实际问题中的函数最大值和最小值1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等，让学生理解实际问题中的最大值和最小值意义。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案第一章：函数的导数与最大值1.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
复习导数的性质，如单调性、连续性等。
1.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。
举例说明导数与单调性的应用。
1.3 利用导数求函数的最大值引入函数的最大值的定义，即函数在某一区间内的最大值。
讲解利用导数求函数最大值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。
第二章：函数的导数与最小值2.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
复习导数的性质，如单调性、连续性等。
2.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。
举例说明导数与单调性的应用。
2.3 利用导数求函数的最小值引入函数的最小值的定义，即函数在某一区间内的最小值。
讲解利用导数求函数最小值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。
第三章：函数的极值与导数3.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
复习导数的性质，如单调性、连续性等。
3.2 极值的定义与判定引入极值的定义，即函数在某一点的局部最大值或最小值。
讲解极值的判定条件，即导数为0且在导数为0的两侧符号相反。
3.3 利用导数求函数的极值引入利用导数求函数极值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。
举例说明导数与极值的應用。
第四章：函数的最大值与最小值的判定4.1 利用导数判断函数的最大值与最小值讲解利用导数判断函数最大值与最小值的方法，即导数为0的点可能是最大值或最小值，还需判断两侧的单调性。
举例说明导数与最大值、最小值的判断应用。
4.2 利用二阶导数判断函数的最大值与最小值引入二阶导数的定义，即函数的一阶导数的导数。
函数的最大(小)值与导数说课1
作业布置 ;
• 课本第99页：6. ①②③④
x 2,2
课堂小结
• 1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上 必有最大值与最小值; • 2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步 骤; • 3．利用导数求函数最值的关键是对可导函 数使导数为零的点的判定.
※探索思考：
例题2：已知函数f ( x) 2 x3 6 x 2 a在 2， 2 上有最小值 37
四、教学设计
1、课题引入
2、知识应用
复习引入 知识逆应用
创设情境 铺垫导入
合作学习 探索新知
3、归纳小结
4、作业布置
指导应用 鼓励创新 归纳小结 反思建构
观察下列图形,你能找出函数的极值吗？
y
y=f(x)
a
x1 x2 x3
o
x4 x5x3 ), f ( x5 ) 是 观察图象，我们发现， 函数y=f(x)的极小值， f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 ) 是函数 y=f(x)的 极大值。
二、教法分析
（二）教学手段：根据知识特点，可以 结合多媒体教学。
三、学法指导
你知道吗?
对于求函数的最值，高二学生已经具备了一定的知 识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法， 能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中 注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主 动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活 动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思 考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方 法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到 “学会学习”。
函数的最值说课稿(获奖)
函数的最值说课稿(获奖)
作为数学老师，我经常接到学生关于函数最值的问题。
今天我
想分享一下我教授这个概念的方法。
首先，我们需要了解什么是函
数最值。
函数最值的概念
函数最值是指给定函数的最大值和最小值。
最大值是函数在定
义域内的最大输出值，而最小值则相反，是函数在定义域内的最小
输出值。
函数最值的求法
函数的最值可以使用各种方法求解，包括解析解法和图形解法。
其中，最常用的方法是导数法。
导数法
导数法是一种求函数最值的算法。
通过计算函数在定义域内的
导数，可以确定函数的最值点。
此外，通过判断导数的正负性，可
以判断函数的最值点是最大值还是最小值。
图形解法
图形解法是一种直观的方法，通过观察函数的图形，可以确定
函数的最值点。
对于连续函数，可以使用极值定理来判断最值点是
否在区间端点上。
函数最值的应用
函数最值在实际生活中具有广泛的应用。
例如，商家可以使用
函数最值来确定最大化利润的定价策略。
工程师可以使用函数最值
来确定最适合的材料使用比例和尺寸设计。
医生可以使用函数最值
来确定最适合的药物剂量和治疗方案。
总之，函数最值是数学中重要的概念，在实际应用中也具有广
泛的意义。
希望本文的内容可以帮助您更好地理解和应用函数最值。
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4x 2 思考：函数 f ( x) 2 的值域（主要让学生自已探究函数不是闭区间 x 1 上的值域） 四．教学设计说明 本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力， 即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的 一个具体体现， 整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以 “是否存在？ 存在于哪里？怎么求？”为线索展开． 1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直 观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识 体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的 发展为本”的基本理念． 2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续的函数的最值的方 法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化 方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探 究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性． 3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于 理解和接受； 课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率． 4． 关于教学法， 为充分调动学生的学习积极性， 让学生能够主动愉快地学习， 本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的 数 学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．
3
3
-4x+4 在上［0,3］的最大值和最小值
（让学生体会用导数来解决解析式比较复杂函数的最值） 变式： （1）将[0,3]改为[-3,-3],求函数的最值； （2）将[0,3]改为[3,5],求函数的最值； (区间有两个极值和没有极值的情况，怎样用好表格) 课堂练习 1 求函数f ( x) x 2 5x 4 在 x [1,1] 上的最值。
3 2 求函数f ( x) x 12 x 在x [3,3] 上的最值。
4x 3 求函数f ( x) x 2 1 在பைடு நூலகம்x [2,2] 上的最值。 (考查学生对知识的联系性)
教师引导学生讨论解答，并个别答疑、点拨，收集学生的解法，挑出若干答案
在进行展示，并进行点评。通过方法、思想的小结学生分析、解决问题的能力 有所提高，有助于后续问题学习和研究。 （四 ）课堂小结： 1．在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值; 2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; （五）作业布置 1 P98 练习 P99 A 组 6（练习闭区间上求值域的题）
是有没有一种更一般的方法， 能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设 计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归 纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 在本堂课学习中， 学生发挥主体作用， 主动地思考探究求解最值的最优策略， 并归纳出自己的解题方法， 将知识主动纳入已建构好的知识体系， 真正做到 “学 会学习” 。 三．说教学过程 （一）复习 1.函数极值的概念。 2.求函数极值的具体步骤。 （二）新课讲解 问题 1： 观察下列图形，你能找出函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小 值吗？ 问题 2：给定函数的区间必须是闭区间吗？在开区间上连续能不能保证函数一 定有最大值和最小值？ （教师作图验证） 问题 3：在闭区间上每一点必须连续的吗？若在闭区间上有间断点能不能保证 函数一定有最大值和最小值？。 总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数 f（x）的图像是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值。如何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值 学生通过观察图像感受极值与最值的区别，从而引发学习本节内容的兴趣。 （三）应用 例 1、求函数 f(x)=x2-4x+6 在区间[1，5]内的最大值和最小值 （本道题让学生体会两种不同的方法求值域） 例 2、求函数 y= x
《函数的最大（小）值与导数》说课稿 郑飞飞 一．说教材 （一）地位与重要性 函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修 1-1 的内容，本节主要 研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这 里是第一课时， 它是在学生已经会求某些函数的最值， 并且已经掌握了性质： “如果 f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么 f(x)在闭区间[a，b]上有 最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一 节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社 会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中 体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进 一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意 义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等 知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目， 可以综合考查学生应用 函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考 的热点之一. （二）教学目标 （1）知识与技能目标：了解函数最值与极值的区别和联系，会用导数求给定 区间上的函数的最大值，最小值。 （2）过程与方法目标：通过多举实例和函数图像的直观展示，让学生发现数 极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法，培养学生数形结 合、化归的数学思 想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。 （3）情感，态度与价值观：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活 中的作用下激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。 (三)教学重难点 重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法。 难点：函数的最大值，最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。 二．说教法与学法 （一）教法 本节课引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，帮助学生肯定了闭 区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，自己归纳、总结出函数最大 值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步 骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而 不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教 学法组织教学． （二）学法 对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就